2022人教版中考数学复习专题8几何最值问题解法探讨.pdf

新人教版中考数学复习导学案【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1.（山东济南3分）如图，ZM ON=90,矩形ABCD的顶点A、B 分别在边OM,ON上，当 B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,B C=1,运动过程中，点 D 到点O 的最大距离为【】A.O+1 B.E C.*5 D.:【答案】A。【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取 A B的中点E,连接OE、DE、OD,必VODCEo又YCM+MN有最小值，当C E是点C 到直线A B的距离时，CE取最小值。：BC=4jT,ZABC=45,.,CE 的最小值为4点 sin45Q=4。；.CM+MN的最小值是4。例 3.(四川凉山5 分)如图，圆柱底面半径为2c？，高为97tcvH,点 A、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 A、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3 圈到B,求棉线最短为 c m。【答案】15兀。【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。-l(B)【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、:高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为4兀 c m,；高为3兀 c m,根据勾股定理，得斜线长为5兀 c m,根据平行四边形的性质，棉线 A.I(A)最短为15兀c m。例 4.(四川眉山3 分)在AABC中，AB=5,AC=3,AD是 BC边上的中线，则 A D 的取值范围是新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案【答案】lA D4o【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】延长A D 至E,使 DE=AD,连接C E.根据SAS证明4ABD丝ZECD,得 C E=A B,再根据三角形的三边关系即可求解:延长AD 至 E,使 DE=AD,连接CE。.CE=ABo&在4ACE 中，CE-A C V A EV C E+A C,即 2V2ADV8。.,.1ADP1Q=P10+Q K=P 0+Q 0。此时的K,就是使PK+QK最小的位置。(2)点 P,Q 变动，根据菱形的性质，点 P 关于B D 的对称点匕在 A B上，即不论点P 在 BC上任一点，点 匕总在AB上。因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当 P Q A B 时 P Q 最短。过点 A 作 AQ1，DC 于点 Q/V Z A=1 2 0o,A ZDA Q=30 A.综上所述，PK+QK的最小值为出故选B。/(D p C例 3.(江苏连云港12分)已知梯形ABCD,ADBC,AB1BC,AD=1,问题1：如图1,P 为 AB边上的一点，以PD,PC为边作平行四边形PC Q D,请问对角线PQ,D C的长能否相等，为什么？问题2：如图2,若 P 为 A B边上一点，以PD,PC 为边作平行四边形PC Q D,请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.问题3：若 P 为 AB边上任意一点，延长PD 到 E,使 D E=P D,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.问题4：如图3,若 P 为 D C边上任意一点，延长PA到 E,使 AE=nPA(n为常数)，以 PE、PB 为边作平新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案行四边形PB Q E,请探究对角线P Q 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.【答案】解：问题1：对角线PQ 与 D C 不可能相等。理由如下：.四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，NDPC=90。：AD=1,AB=2,B C=3,，D C=2 。设 PB=x,贝 IJAP=2x,在 RtZDPC 中，PD2+PC2=DC2,即 x2+32+(2X)2+12=8,化简得 X22X+3=0,V A=(-2)2-4 x lx 3=-8 0,二方程无解。不存在PB=x，使/D PC=90。.对角线PQ 与 D C不可能相等。问题2：存在。理由如下:如图2,在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与 DC相交于点G,则 G 是 D C的中点。过点Q 作 Q H L B C,交 B C 的延长线于H。；ADBC,.NADC=NDCH,即 N A D P+/PD G =NDCQ+NQCH。；PDCQ,/.ZPDC=ZDCQ/.ZADP=ZQCHo又：PD=CQ,ARtAADPRtAHCQ(AAS),；.AD=HC。VAD=1,BC=3,ABH=4,.当PQ LAB时，PQ 的长最小，即为4。问题3：存在。理由如下：如图3,设 PQ与 DC相交于点G,DG PD 1；PECQ,P D=DE,=。GC CQ 2；.G 是 DC上一定点。作 QH_LBC,交 BC的延长线于H,AD同理可证NADP=NQCH,/.RtAADPRtAHCQoCHPD _ 1CQ 2VAD=1,ACH=2o .B H=B G+C H=3+2=5。当PQ_LAB时，PQ 的长最小，即为5。问题4：如图3,设 PQ 与 AB相交于点G,新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案；PEBQ,AE=nPA,.PA AG,-BQ-BG；.G 是 D C上一定点。作 QHP E,交 C B 的延长线于H,过 点 C 作 CK_LCD,交Q H 的延长线于KoVAD/7BC,AB1BC,/D=ZQHC,ZDAP+/P A G=ZQBH+ZQBG=90/P A G=/Q B G,AD PA 1.ZQBH=ZPADo.,.ADPs/BHQ,BH BQ n+1VAD=1,.B H=n+lo；.CH=BH+BC=3+n+I=n+4。过点D 作 DMJ_BC于 M,则四边形ABND是矩形。，BM=AD=1,DM=AB=2o，C M=B C-B M=3-1 =2=D M。.,./D C M=45。.,.NKCH=45。.,.CK=CHcos450=(n+4),20.当PQLCD时，PQ 的长最小，最小值为 Y(n+4)0【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。.【分析】问 题 1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设P B=x,可得方程x2+32+(2x)2+l=8,由判别式/|3 o【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。【分析】画出第三步剪拼之后的四边形M|N N 2M 2的示意图，如答图1 所示。图中，N1 N2=E NJ+E N2=N B+N C=B C,M(M2=M1 G+G M+M H+M,H=2 (G M+M H)=2GH=B C (三角形中位线定理）。又M M 2N 1 N 2，二四边形M N N 2M 2是一个平行四边形,其周长为 2N N 2+2M N =2B C+2M N。DV B C=6 为定值，.四边形的周长取决于MN的大小。如答图2 所示，是剪拼之前的完整示意图。过 G、H 点作BC边的平行线，分别交A B、CD于 P点、Q点，则四边形P B C Q P是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半。V M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点,BN C答图2Q新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案.根据垂线段最短，得到M N的最小值为PQ 与 BC平行线之间的距离，即M N最小值为4；而 M N的最大值等于矩形对角线的长度，即JPB2+BC2=4 2+6 2 =2 g：四边形 MN|N2M2 的周长=2BC+2MN=12+2MN,四边形MN|N2M2周长的最小值为12+2x4=20；最大值为12+2、2而=1 2+4 6。例 7.（四川乐山3 分）如图，在AABC中，ZC=90,AC=BC=4,D 是 A B 的中点，点E、F 分别在AC、BC边上运动（点 E 不与点A、C 重合），且保持A E=C F,连接DE、DF、E F.在此运动变化的过程中，有下列结论：4D F E 是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E 位置的改变而发生变化；点C 到线段E F的最大距离为血.其中正确结论的个数是【】ADRA.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】B。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】连接CD（如 图 1）。VAABC 是等腰直角三角形，.*.NDCB=/A=45o,CD=AD=DB。F.AE=CF,AAADEACDF（SAS）O/.ED-DF-A ED DF,z_ CDF EDA o /0 3V ZADE+ZEDC=90,A ZEDC+ZCDF=ZEDF=901,图 1.DFE是等腰直角三角形。故此结论正确。当 E、F 分别为AC、B C 中点时，：由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。2四边形CEDF是平行四边形。又：E、F 分别为AC、B C中点，A C=B C,四边形CEDF是菱形。新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案又：/C=90。，.四边形CEDF是正方形。故此结论错误。如图2,分别过点D,作 DMJ_AC,DN_LBC,于点M,N,由，知四边形CMDN是lE方形，；.DM=DN。由，知4D F E 是等腰直角三角形，.DEuDF。ARtAADERtACDF(HL),山割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。/.四功形CEDF的面积不随点E 位置的改变而发生变化。故此结论错误。由，ZXDEF是等腰直角三角形，DE=JTEF。当 DF与 BC垂直，即 DF最小时，EF取最小值2。此时点C 到线段EF的 最 大 距 离 为。故此结论正确。故正确的有2 个：。故选B。例 8.(浙江宁波3 分)如图，ZABC中，ZBAC=60,ZABC=45,A B=2jT,D 是线段BC上的一个动点，以AD为直径画。0 分别交AB,AC于 E,F,连接E F,则线段EF长度的最小值为【答案】6。【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由垂线段的性质可知，当 A D 为4 A B C 的 边 B C 上的高时，直径 A D 最短，此时线段EF=2EH=20EsinZEOH=20Esin60,当半径 0E 最短时，EF 最短。如图，连接 OE,O F,过 O 点作 OH_LEF,垂足为H。.在 Rtz2ADB 中，ZABC=45,AB=2壶,；.AD=BD=2,即此时圆的直径为2。新人教版中考数学复习导学案BD新人教版中考数学复习导学案由圆周角定理可知NEOH=ZEOF=ZBAC=60,2.在 R fE O H 中，EH=OE 2OH=32 2山垂径定理可知EF=2EH=J7，例 9.(四川自贡12分)如图所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120,Z!AEF为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边BC.C D 上滑动，且 E、F 不与B.C.D 重合.(1)证明不论E、F 在 BC.CD 上如何滑动，总有BE=CF；(2)当点E、F 在 BC.CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF和4 C E F 的面积是否发生变化？如果不变,求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.【答案】解：(1)证明：如图，连接AC,四边形ABCD为菱形，ZBAD=120,ZBAE+ZEAC=60,NFAC+NEAC=60,ZBAE=ZFAC,VZBAD=120,A ZABF=60o.ABC和AACD为等边三角形。/.ZACF=60,AC=AB。/.ZABE=ZAFC,在 4ABE 和4ACF 中，V ZBAE=ZFAC,AB=AC,ZABE=ZAFC,AAABEAACF(ASA)。，BE=CF。(2)四边形AECF的面积不变，ACEF的面积发生变化。理由如下:由(1)A A B E A A C F,则 S、ABE=S ACF。,S 四 地 形AECF=AAEC+AACF=AAEC+AABE=5&ABC,是定值。作 AH_LBC于 H 点，贝 l BH=2,S=s四边形AECF AABC1.BC AH=；BC-JAB2-BH2=4有。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边A E 与BC垂宜时,边 AE最短.故4A E F 的面积会随着A E的变化而变化,且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小,新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案又SACEL S四 边 形AECF-AEF,则此时C E F 的面积就会最大，SACEFS 四 边 杉 AECF-S m E F =4 4-j 2币 小Q-3)=艮.CEF的 面 积 的 最 大 值 是。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】(1)先求证AB=A C,进而求证aA BC、ZXACD为等边三角形，得/A CF=60。，A C=A B,从而iiE A A B E A A C F,即可求得 BE=CF。(2)由ZkABE丝4ACF 可得 S=S,故根据 S F=S+S=S+S E=S1 AABE AACF 0 四 边 彩 AEC AAEC AACF AAEC A AB AABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边A E与 BC垂直时，边 A E最 短.4A E F的面积会随着A E的变化而变化，且当A E最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S-=S 4 F r-S.A rF,CEF 四 边 形 AECF AAEF则4 C E F 的面积就会最大。例 10.(浙江义乌10分)在锐角AABC中，AB=4,BC=5,NACB=45。，将AABC绕点B 按逆时针方向旋转，得到A|BC(1)如 图 1,当点C 在线段C A 的延长线上时，求NCC|A 的度数；(2)如图2,连接AA,CCr若4ABA 的面积为4,求ACBCi的面积；(3)如图3,点 E 为线段A B 中点，点 P 是线段A C上的动点，在AABC绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点匕，求线段EP1长度的最大值与最小值.【答案】解：(1)I 由旋转的性质可得:ZA1C1B=ZACB=45,BC=BC/.ZCC,B=ZCCB=450oZCC1A1=ZCC|B+ZA1C1B=45+45=90o(2),由旋转的性质可得：AABC四A|BC，BA=BA,BC=BC,ZABC=ZA|BC1B BA=,ZABC+ZABCZA,BC.+ZABC.o A ZABA.=ZCBCBC BC 1,1 1 1i新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案.,.A B A A C B C r一.25,SAABA!=4,ACBC 4（3）过点B 作 BDLAC,D 为垂足,:ABC为锐角三角形，点 D 在线段AC 上。在 RtABCD 中，BD=BCxsin450=-5/2 021625如图1,当 P 在 AC上运动至垂足点D,AABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段A B 上时，EP最小。最小值为：EP.=BP,-BE=BD-BE=*先-2。11 2如图2,当 P 在 AC 上运动至点C,ZiABC绕 点 B 旋转,使点P 的对应点P1在线段A B 的延长线上时，EP1最大。最大值为：EP尸BC+BE=5+2=7。【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（I）由旋转的性质可得：/AB=N AC B=45。，BC=BC 又由等腰三角形的性质，即可求得NCC|A1的度数。（2）由旋转的性质可得：AABC丝A|BC 易证得A B A yC B C,利用相似三.角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CBCj的面积。（3）由当P在 AC上运动至垂足点D,AABC绕点B 旋转，使点P 的对应点P,在线段A B 上时,EP1最小；当 P在 AC上运动至点C,AABC绕点B 旋转，使点P 的对应点P,在线段A B 的延长线上时,EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。例 1 1.（福建南平14分）如图，在AA BC 中，点 D、E 分别在边BC、AC 上，连接AD、DE,且/1=/B=/C.（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：（2）若NB=45。，BC=2,当点D 在 BC上运动时（点 D 不与B、C 重合），求CE的最大值；若4A D E 是等腰三角形，求此时B D 的长.（注意：在 第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案【答案】解：(1)AB=AC；ZAED=ZADC；AADEAACD(2)O V Z B=Z C,NB=45。，.ACB 为等腰直角三角形。AC=B C =0 x 2 =&2 2V Z1=ZC,ZDAE=ZCAD,A AADEAACD.AAD：AC=AE：AD,AD2C；AE=当 AD最小时，A E最小，此时AD_LBC,AD=，BC=1。2A E的最小值为/2考。.心 的最大值=a孝考当 AD=AE 时，；./l=N A ED=45。，ZDAE=90%.点D 与 B 重合，不合题意舍去。当 EA=ED 时，如图 1,.,.ZEAD=Z1=45；.AD 平分NBAC,；.AD 垂直平分 BC。，BD=1。当 DA=DE时，如图2,VAADEAACD,ADA：AC=DE：DC。，DC=CA=6。；.BD=BCDC=2-&综上所述，当AADE是等腰三角形时，B D 的长的长为1或 2一 右【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等 腰（直角）三角形的判定和性质。【分析】（I）由N B=N C,根据等腰三角形的性质可得AB=AC；山N1=NC,ZAED=ZEDC+ZC得到NAED=NADC；又由N D A E=/C A D,根据相似三角形的判定可得到A D EsaA C D。（2）山NB=NC,/B=45。可得4A C B 为等腰直角三角形，则AC=0 B C =x 2 =/由2 2Z1=ZC,ZD A E=ZC A D,根据相似三角形的判定可得 A D E s/A C D,则 有 AD：AC=AE：A D,即AE=A D?=半.=人 口 2,当AD_LBC,AD最小，此时A E最小，从而由CE=AC-AE得到C E 的最AC/25.（辽宁阜新3 分）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点 E 是 B C 中点，点 F 是边CD上的任意一点,当4A E F 的周长最小时，则 D F的长为【】A.1B.2 C.3D.46.（贵州六盘水3 分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,B D=8,点 E、F 分别是边AB、BC的中点，点 P 在 A C上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是【】A.3 B.4 C.5D.67.（甘肃天水4 分）如图，在梯形ABCD中，ABCD,ZBAD=90,A B=6,对角线 AC 平分/B A D,点E 在 A B上，且 AE=2（AEAD）,点 P 是 A C上的动点，则 PE+PB的最小值是_四、应用二次函数求最值:典型例题：例 1.（四川自贡4 分）正方形ABCD的边长为1cm,M、N 分别是BC.CD上两个动点，且始终保持AMJ_MN,当 BM=cm 时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案【答案】【考点】正方形的性质，相似二角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】设 BM=xcm,贝 ij MC=1-xcm,V ZAMN=90,ZAMB+ZNMC=90,ZNMC+ZMNC=90,A ZAMB=90-ZNMC=ZMNCo.ABM sM CN,.AB=B M，即 I=x,解得 C N=X(I-X)。2582?-=器。（2）；A P _ L P E,A R t A A B P R t A P C E o.A B B P P C -C E即Ky2 2+，23 9.当x=时，y的值最大，最大值 是。2 81 3（2）设 B P=x,由（2）得C E =-x 2+x。2 2V P E/B D,/.C P E A C B D o1 x z9 +3 X.C P _ C E 3-x _ 2 2 f-fC B C D 3 2化简得 3 x 2-1 3 x +1 2=0。4解得或x,=3 （不合题意，舍去）。1 3 24.,.当 B P=时，P E B D。3【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。【分析】(1)由 A P E g ZA D E可得A P=A D=3,在R t ZA B P中，应用勾股定理即可求得B P的长。(2)由A P J _ P E,得R t ZX A B P s R t/S P C E,根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当*=三3 时，y的值最大，最大值是9”。2 8(3)由P E B D,得 C P E s/C B D,根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得B P的长。例4.(广东广州14分)如图，在平行四边形A B C D中，A B=5,B C=1 0,F为AD的中点，C E L A B于E,设/A B C=a (60 a 9 0).新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案(1)当 a=60。时，求 C E 的长;(2)当 60a +3(0 X 2)O四边形A MPN AADP 4 4 4 4,当 x=l时，S 的 最 小 值 为。连接P G,设 D E交 A P于点O。若 NBAD=15。，V ZDAP=60),.NPAG=45)。VAAPD和AA PE都是等边三角形,:.AD=DP=AP=PE=EAo.四边形ADPE是菱形。.二 D O 垂直平分AP。AGP=AGo A ZAPG=ZPAG=4S)o ZPGA=90)。新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案设 B G=l,在 R t ZB P G 中，ZB=60 o猜想：以 D G、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。:四 边形 A D P E 是菱形，；.A O J _ D E,ZA D O=N A E H=3 0。V Z B A D=1 5 o,；.易得N A G O=4 5。，N H A O=1 5。，N E A H=4 5。设 A O=a,则 A D=A E=2a,OD=/a。，DG=DO-GO=(1一 1)a。又.；/B A D=1 5。，N B A C=63,N A D O=3 0,/D H A=N D A H=7 5。：D H=A D=2 a,；.G H=D H D G=2 a-(73-1)a=(3 一1)a,H E=2 D O D H=2 a2 a=2 (1 1)a。：D G 2+G H 2 =缶.1)q+小血卜(6-8 5/3 X 2,H E 2 =2。一i)a2 =1 6-8a2 ,D G 2+G H 2 =H E 2。以 DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由AABC、Z i A P D 和4APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用A S A 证明.（2）由 B P M s/C A P,根据时应边成比例得等式，解方程即可。应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得S 四川AMPN=SAADP用 x的代数式表示S,用二次函数的最值原理求出S的最小值。由/B A D=1 5。得到四边形A D P E 是菱形，应用相关知识求解。求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。例 6.（江苏苏州8 分）如图，已知半径为2的。0与直线1 相切于点A,点 P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线1 的垂线，垂足为C,P C 与。0交于点D,连接P A、P B,设 PC的长为x（2x 4）.新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案当x=3时，求弦PA、PB的长度;2当x为何值时，PD-PC的值最大？最大值是多少？BC A【答案】解：（1）：0 O与直线1相切于点A,A B为O O的直径，又：PC_L1,；.A BPC.；./C P A=/P A B。VAB 为(DO 的直径，ZAPB=90二 ZPCA=ZAPB.A APCAAAPBo二PC 二PGA,pA 2=p c.pDOAP AB；PC=x=：,AB=4,P A=x4=y/10 o.在RtZAPB中，由勾股定理得：PB=J16-10=C(2)过O作OE_LPD,垂足为E。：PD 是。O 的弦，OF_LPD,；.PF=FD。在矩形 OECA 中，CE=O A=2,，PE=ED=x-2。*.CD=PCPD=x2(x 2)=4x。PD-PC=Xx-2).(4-x)=-2x2+12 x-16=-2(x-3)2+2 o2 x 4.当x=3时，PD PC有最大值，最大值是2。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）山直线1与圆相切于点A,且A B为圆的直径，根据切线的性质得到A B垂直于直线1,又PC班直于直线1,根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到A B与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出M C A与4PAB新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案相似，由相似得比例，将 PC 及直径A B 的长代入求出PA 的长，在 RtAAPB中，由 A B及 PA 的长，利用勾股定理即可求出PB 的长。（2）过 0 作 0 E 垂直于P D,与PD 交于点E,由垂径定理得到E 为 PD 的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=0A=2,用PC-EC的长表示出P E,根据PD=2PE表示出P D,再由PC-PD表示出C D,代入所求的式子中，整理后得到关于x 的二次函数，配方后根据自变量x 的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x 的取值。例7.（山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4 的正方形纸片A B C D,点 P 为正方形AD边上的一点（不与点A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交 DC于 H,折痕为 E F,连接BP、BH.（1）求证：ZAPB=ZBPH；（2）当点P 在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论;（3）设 A P为 x,四边形EFGP的面积为S,求出S 与 x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在,求出这个最小值;若不存在，请说明理由.(备用图)【答案】解：（1）如图 1,VPE=BE,.ZEBP=ZEPB.又./EPH=/EBC=90,/.ZEPH-ZEPB=ZEBC-Z E B P,即/PBC=NBPH。又；ADBC,.,.ZAPB=ZPBCo A ZAPB=ZBPH(.(2)PHD的周长不变为定值8。证明如下：如图2,过 B 作 BQ J_PH,垂足为Q。由(1)知NAPB=NBPH,又：NA=/BQP=90,BP=BP,.,.ABPAQBP(AAS)。.AP=QP,AB=BQ。又Y A B=B C,，BC=BQ。XVZC=ZBQH=90,BH=BH,.,.BCH丝BQH(HL)。.CH=QHo新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案.PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。(3)如图 3,过 F 作 FM_LAB,垂足为 M,贝！FM=BC=AB。又.EF 为折痕，.EFLBP。ZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90?.ZEFM=ZABP又：/A=/EM F=90,AB=ME,/.AEFM ABPACASA),:.EM=AP=x.在 RtZAPE 中，(4-BE)2+X2=BE2,即 BE=2+、2。8CF=BE-EM =2+X?-xo8又,:四边形PEFG与四边形BEFC全等，s=L(BE+CF)BC=L 4+上-X2 2 1 44=-x2-2x+8=(x-2)2+6 o2 2.0 n),它们的面积和为S,则NE=Jn,P E=n oPN2=NE2+PE2=2m2+2n 2=2 Gru+ru)./.S=m2+n2=PN2。2图延长PH交ND于点G,则PG_LND。在 RtAPGN 中，PN2=PG2+GN2=(m+n+(m-n。,/岸 m+m+n+?n=阴+3,即 m+n=3,S=+(m n)2),2 2二当(m-n 1=0时，即m=n时，S最小。.S=1x32=o最 小 2 2当(m-n 最大时，s最大，即当m最大且n最小时，S最大。.m+n=3,由 知，m=3-3Q新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案:.n=3-m =3 最小 最大赤-3 )=6 -3 6。,-.S J 1 9+(m -n J 1 9+卜 点-3-6+3加=9 9-54/。最大 2 L 最大 最小2 L J【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形E F P N的位似正方形E F P T T,如答图所示。（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E F+A E，+B F=A B,列方程求得正方形EFPW的边长（3）设正方形D E M N、正 方 形E F P H的边长分别为m、n（m n）,求得面积和的表达式为：S=；+（m n）2,可见s的大小只与m、n的差有关：当m=n时，S取得最小值；当m最大而n最小时，S取得最大值.m最大n最小的情形见第（1）（2）问。例9.（湖南株洲8分）如图，在AABC中，N C=9 0。，B C=5米，A C=1 2米.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.（1）当I为何值时，Z A M N=Z A N M?（2）当t为何值时，AMN的面积最大？并求出这个最大值.【答案】解：（1）从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为I秒，/.A M=1 2 -t,A N=2 t。V Z A M N=Z A N M,Z.A M=A N,即 1 2-t=2 t,解得：t=4 秒。.当 t 为4 时，Z A M N=Z A N M,(2)如图作N H _ L A C于H,/.Z N H A=Z C=9 0,；.N H B C。.AN H S/XABC。1 3AABC2 1 3 1 3 1 3 1 31 3新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案.当t=6时，4A M N 的面积最大，最大值为o13【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）用 t 表示出AM 和 A N 的值，根据AM=AN,得到关乎 t 的方程求得t 值即可.（2）作 NHLAC于 H,证得A N H s A B C,从而得到比例式，然后用t 表示出N H,从而计算其面积得到有关t 的二次函数求最值即可。例 1 0.（湖南衡阳10分）如图，A、B 两点的坐标分别是（8,0）、（0,6）,点 P 由点B 出发沿BA方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3 个单位长度，点 Q 由A 出发沿AO（O 为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2 个单位长度，连接P Q,若设运动时间为t（O V tV：）秒.解答如下问题:（1）当 t 为何值时，PQBO?（2）设AAQP的面积为S,求S 与 t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；若我们规定：点 P、Q 的坐标分别为（X|,y p,（x2,y2）,则新坐标（x2-x,y2-y,）称为“向量PQ”的 坐 标.当 S 取最大值时，求“向量PQ”的坐标.【答案】解：（1）：A、B 两点的坐标分别是（8,0）、（0,6）,则 OB=6,OA=8.AB=JOB2+OA2=J62+82=10。如图，当 PQBO 时，AQ=2t,B P=3t,则 AP=10-3t。：P Q/B O,，AP=AQ,AB AO20 当 1秒时，PQBO。2t 切出 20,解得t=5 11即臂t(2)由(1)知：OA=8,OB=6,AB=10.如图所示，过点P 作 PD，x 轴于点D,则 PDBO。AAAPDAABOo.A P=P D,即*3 PDAB OB 10 6,9解得 PD=6-5to新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案.,.S=；AQ P D=；.2t.（6_；t）=_：t2+6t=_；（t_；J+5。.S与 t 之间的函数关系式为：S=-9f t-5Y+5（0 t 0）o14 2依题意，“向量PQ”的坐标为（4,0-3）,即（，-3）.3 32.,当S 取最大值时，“向量PQ”的坐标为（,-3）。【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。【分析】（1）如图所示，当 PQBO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式把=，求AB AO出 t 的值。（2）求S 关系式的要点是求得AAQP的高，如图所示，过点P 作过点P 作 P D Lx轴于点D,AD PD构造平行线PDB O,由A P D s/iA B O 得=求得P D,从而S 可求出.S 与t 之间的函数关系AB OB式是一个关于t 的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S 的最大值。求出点P、Q 的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为AO AB的中位线，从而可求出点P 的纵横坐标，又易求Q 点坐标，从而求得点P、Q 的坐标；求得P、Q 的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2-X,y2-y j）,即可求解。例 1 1.（贵州六盘水16分）如 图 1,已知AABC 中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果点P 由B 出发沿 B A 方向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s.连接P Q.设运动的时间为t（单位：s）（0t4）.解答下列问题：图1图2新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案(1)当 t 为何值时，PQBC.(2)设AAQP面积为S（单位：cm2）,当 t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值.(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把aA B C 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.（4）如图2,把4A Q P沿 A P翻折，得到四边形AQPQI那么是否存在某时刻t,