考点17圆-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（解析版）.pdf

考点1 7 圆命题趋势该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考生来说也是难点，分值为1 2分左右。预 计2 0 2 2年各地中考肯定还是考查的重点在选择、填空题中考查三角形的外心、正多边形、弧长、扇形面积，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。知识梳理一、圆的有关概念1.与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.6）弦心距：圆心到弦的距离.2.注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经 过1点或2点的圆有无数个.3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.二、垂径定理及其推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.2.推论1）平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.三、圆心角、弧、弦的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.四、圆周角定理及其推论1.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.2）直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形的对角互补.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.五、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.（l）d r=点在。0外.判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1 个2个数量关系drd=rd/2）2=6，1 1 30P=-AB=3f:.MD=-OP=-t2 2 2由题意可知，点M的运动路径是以点。为圆心，以|为半径的半圆，1 3 3 3二点M的运动路径长=：x 2兀x =7!,故答案为：9.2 2 2 2【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹.考向2垂径定理1 .垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立.2 .垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据.典例引领1.（2021湖北鄂州市中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在 农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如 图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，如图2,a知圆心。在水面上方，且。被水面截得的弦AB长为6米，。半径长为4米.若 点。为运行轨道的最低点，则点。到 弦 所 在 直 线 的 距 离 是（）【答案】B【分析】连接O C交”于。，根据圆的性质和垂径定理可知0 c l ”，4）=5。=3,根据勾股定理求得的长，由 CD=OC-0。即可求解.【详解】解：根据题意和圆的性质知点C 为 的 中 点，连接 0C 交 N8 于。，贝 1JOC_LZ8,AD=BD=AB=3,2在 RtzQZ）中，04=4,4）=3,OD=O -A D2=742-32=-：.CD=0C-OD=4-V7.即点。到弦A B 所在直线的距离是（4-、万）米，故选：B.【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键.2.（202卜四川自贡市 中考真题）如图,/12为。的直径,弦。，4 8 于 点 凡 0 石，4 7 于点：,若。=3,0 8 =5,则 8 的长度是（）CA.9.6 B.4A/5 C.573 D.19【答案】A【分析】先利用垂径定理得出4E=EC,CF=FD,再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接OC：ABCD,OEAC：.AE=EC,CF=FD：OE=3,OB=5：.OB=OC=OA=5.在 R t O A E 中人七=y l o -O E*2=/52-32=4 :心 EC=41.（2 0 2 1 四川广安市中考真题）如图，公园内有一个半径为1 8 米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）.已知A、8是圆上的点，。为圆心，4 4 0 3 =1 2 0。，小强从A走到8,走便民路比走观赏路少走（）米.A.6 兀-6#B.6 7V-9 C.12兀-9 6 D.1 2%-1 8 6【答案】D【分析】作 OCL/8于 C,如图，根据垂径定理得到/C=8 C,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出N 4 从而得到。和 4C,可 得 然 后 利 用 弧 长 公 式 计 算 出 A8的长，最后求它们的差即可.【详解】解：作于C,如图，则 4 c=8 C,：O A=O B,：.Z A=Z B=（1 8 0。-/0 8）=3 0 ,2在 A4OC 中，O C=O A=9,/C=J 8 2 -9 2 =9：.A B=2A C=18y/3，又；A B =崇羽=1 2 万,；.走便民路比走观赏路少走1 2 万1 8 百 米，故选D.1 8 0【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、设 O F=x,则有 A C 2 A尸=。2一。尸 82_（5 +X）2=52-X2 X=1.4在 RMOFC 中，F C =y 0C2-OF2=J 5 2-I.42=4.8 C D=2 F C=9.6 故选：A【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键变式拓展弦心距等问题.2.（2 0 2 1 浙江中考真题）如图，已知A 3是。的直径，N A CD是 A O 所对的圆周角，Z A C D =3 0 .（1）求 N DA B的度数；（2）过点。作垂足为E，O E 的延长线交。于点F .若 A B=4,求。歹的长.【答案】（1）6 0；（2）2 7 3【分析】（1）连结3D，根据圆周角性质，得 N B =ZAC D；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含3 0。角的直角三角形性质，得AD=1AB；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案.【详解】（1）连结 BO，.Z AC D =3 0?3 7 A CD 3 0?F、-/Q A 8 是。的直径，.Z AD B =90,/.ADAB=90 -ZB=6 0(2)-Z A D B =9 0,ZB=3 0。，A B =4A A D =A B =2.Z D A B=m ,D E A.A B 且 A B 是直径，E/=DE =A。s i n 6 0,=6 z.DF =I D E=2 7 3 .【点睛】本题考查了圆、含3 0 角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含3 0 角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解.考向3 弧 弦 圆心角 圆周角1.圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1。的角，1。的圆心角对着1。的弧.2.圆周角要具备两个特征：顶点在圆上；角的两边都和圆相交，二者缺一不可.典例引领1.（2021山东泰安市中考真题）如图，四边形ABC。是。的内接四边形，ZB=90,ZBCD=120.4 5 =2,CD=,则AD的 长 为（）A.26-2B.3-V 3C.4-V 3【答案】C【分析】如图，延长力。，B C,二线交于点E,可求得NE=30。，在对中，利用打30。计算。E,在R tB E中，利用si 30。计算A E,根据AD=AE-DE求解即可；【详解】如图，延长B C,二线交于点K,V ZS=90,ZBCD=20,：.ZA=60,Z=30,ZADC=90,：.ZADC=ZEDC=90,1在 RtCDE 中，tan300=吧,DE=6=g ,在 R f M B E 中,s i n30=，：,A B=T=4,:.A D=A E-D E=4-6 ,故选 CAE 2【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数值计算是解题的关键.2.（2 0 2 1 湖北武汉市中考真题）如图，A B是。的直径，BC是。的弦，先 将 沿 3c翻折交43于点。.再将8 0沿 A 8 翻折交于点若 B E =DE，设 N A BC=a,则a 所在的范围是（）A.21.9 0 a 22.3 B.2 2.3 2 2.7 C.22.70 a 23.1 D.2 3.1 a C =Z）E =EB.弧/C 的度数=1 80。+4=4 5。./8=,乂 4 5。=2 2.5。.a 所在的范围是 2 2.3 a 2 2.7：故选：B.2【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用r 翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键.变式拓展1.（2021 浙江绍兴市 中考真题）如图，正方形/B C D 内接于。，点 P 在 4 5 上，则 N P 的度数为（）A.30B.45C.60D.90【答案】B【分析】连接08,OC,由正方形力8 8 的性质得N 30C =9 0 ,再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论.【详解】解：连接08,OC,如图，B.正 方 形 内 接 于 O。，.NBOC=90；.NBPC=!NBOC=X90=45 故选：B.2 2【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.2.（2021广西贵港市中考真题）如图，点 4 B,C,。均在。上，直径/8=4,点 C 是 8 0 的中点，点。关 于 对 称 的 点 为 区 若NCCE=100。，则弦CE的 长 是（)D【答案】AC.5/3 D.1【分析】连接A。、A E、O D、O C.O E,过点。作F 点”，根据圆内接四边形的性质得ZZME=8 0，据对称以及圆周角定理可得N 3 8 =N3OE=80。，由点。是 3 0 的中点可得ZBOC=ZCOD=40,ZCOE=ZBOC+ZBOE=120,据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解.【详解】解：连接A。、A E、O D、O C、O E,过点。作 0 H l.c E 于点H,-.ZJ9CE=100,ZDAE=180-ZDCE=80,点。关于 A 3 对称的点为 E，.-.ZBAD=ZBAE=4Q,:.ZBOD=NBOE=80。,点 C 是 3 0 的中点，；4 O C =NCOD=40。,/.ZCOE=ZBOC+ZBOE=120,：OE=O C，OH I C E，:.EH=CH,ZO E C =ZO C E =30,直径AB=4，：.O E =OC=2,：.EH=CH=6;.C E =2 G.故选：A.【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出ZC O E=120是解题的关键.考向4 点、直线与圆的位置关系1 点和圆的位置关系：在圆上；在圆内；在圆外.2.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离.典例引领1.（2021浙江嘉兴市中考真题）已知平面内有。和点A,B,若。半径为2 c m,线段。4=3cm,OB=2 c m,则直线A B 与 0。的位置关系为（）A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.【详解】解：；。的半径为2cm,线段O4=3cm,线段O8=2cm,即 点/到 圆 心。的距离大于圆的半径，点 8 到圆心。的距离等于圆的半径，二 点/在。外.点 8 在。上，直线4 8 与。的位置关系为相交或相切，故选：D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键.2.（2021上海中考真题）如图，已知长方形A B Q 9中，A B =4,A D =3,圆8 的半径为1,圆4 与圆8内切，则 点 与 圆/的 位 置 关 系 是（）A.点 C 在 圆/外，点。在圆2 内B.点 C 在圆/外，点。在 圆/外C.点 C 在圆4 上，点。在圆/内D.点 C 在 圆/内，点。在圆4 外【答案】C【分析】根据内切得出圆4 的半径，再判断点。、点 E 到圆心的距离即可【详解】.圆/与 圆 8 内切，A 3=4，圆 8 的半径为1；.圆/的 半 径 为 5AO=35.点。在圆/内 在放N5C中，AC=4 AB1+BC1=742+32=5.点C 在 圆/上 故 选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，掌握点与圆的位置关系是关键3.（2021四川成都市中考真题）如图，在平面直角坐标系xO y中，直线y=x +毡与。相交于4-3 3B 两点，且点Z 在 x 轴上，则弦A 8 的长为【答案】2百.【分析】过 O 作 O EL48于 C,根据垂径定理可得可求。/=2,。=2 叵，在 a2 3中，山勾股定理AO=生 叵，可证A。4 c sD4。，由相似三角形性质可求4C =有 即可.3【详解】解：过。作 0 E L/8 于 C,.MB为弦，./C=8C=AB,2.,直线y=x +2 叵 与。相交于4 8 两点，,当 尸 0 时，苴x+2 叵=0,解得x=-2,.04=2,3 3 3 3.当 x=0 时，y =,：.O D=-,3 3在用/0。中，由勾股定理AO=JAO+C=4G亍V Z A CO=Z A O D=9 0,N C A O=N O A D,：./O A C/D A O,A C A O 4 c =A。=4 =百茄=即 AD 4G，：A B=2A C=2 5 故答案为2省.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质,掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键.变式拓展1.（2 0 2 1青海中考真题）点p是非圆上一点，若点P到。上的点的最小距离是4 c m,最大距离是9 c z,则。的半径是.【答案】6.5。或2.5。【分析】分点尸在。外和。内两种情况分析；设。的半径为了。n,根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案.【详解】设。的半径为比 加 当点P在。外时，根据题意得：4 +2 x=9 ：.x =2.5 cm当点P在。内时，根据题意得：2 x=9+4 x-6.5 c m故答案为：6.5。%或2.5的.【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解.2.（2 0 2 0上海中考真题）在矩形4 8 C。中，A B=6,B C=8,点。在对角线/C上，圆。的半径为2,如果圆O与矩形A B C D的各边都没有公共点，那 么 线 段 长 的 取 值 范 围 是.【分析】根据勾股定理得到A C=1 0,如 图1,设O与AD边相切于E,连接O E,证明/O E s Z V f。即可求出与A D相切时的AO值；如图2,设。与B C边相切于F,连接O F,证明C O尸即可求出B C相切时的AO值，最后即可得到结论.【详解】解：在矩形/8 C Q 中，N D=9 0,A B=6,S C=8,：.A C=0,如 图1,设。与A D边相切于,连接O E,n lOE AO AO 2 10则：.O EHCD,:.A O Es A CD,：.=,/.=-,：.A O=；CD AC 10 6 3如图2,设。与 8 c 边相切于尸，连接。尸,E O C O F 0 C 2 10 20贝 OFJ_8C,J.OFHAB,:A C O F s/xC A B,：.=,=一，：.OC=,：.AO=,A C AB 10 6 3 3如果圆O 与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是3.3 3故答案为：-AO 4G=3,；8C 与圆/相切于点。，.N/D8=N/DC=90。，在,R D B q中，A B=6,则ril cosNBAD=A D -1-,ZBAD=60,AB 2VZCDE=18,：.ZADE=90-18=72,：AD=AE,：.ZADE=ZAED=12,：.ZDAE=0-2x72=36,/.ZGAC=36o+60=96,：.ZGFE=ZG AC=4S,故选：B.24D C【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得/历1 =6 0。是解答的关键.2.（2 02 1江苏连云港市中考真题）如图，R h A BC中，Z A B C =90,以点C为圆心，CB为半径作O C,。为O C上一点，连接A。、C D,A B A D，A C平分4 4 0.（1）求证：49是O C的切线；（2）延长A O、相交于点E,若S，E0C=2 S“B C，求ta n/8 4 C的值.【分析】（1）利用S/S证明A B A C学S 4C,可得N A Z C=N A 3 C =90。，即可得证；（2）由已知条件可得 E D C N E B A,可得出D C:B A =1：6，进而得出C B:8 4 =1:正即可求得ta n/B AC ；【详解】（1）平分N S M ，N 8 4 C =N D4 C.V A B A D,A C =A C,/.A B A C A D A C.：.Z A D C Z A B C =90.，C D _ L A D,，A D 是 O C 的切线.（2）由（1）可知，N E C=Z A B C =90,又N E=/E,：.,DCSM BA.S&EDC=2 sA4B C，L A&4 C A D A C,S AE DC SEBA=1 ：2，D C:BA -1:y/2-：D C =CB,：.C B:B A l：y2.Z A B C =90：,tan Z B A C =BA 2【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键.3.（2021河南中考真题）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动 连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个 双连杆机构“，设计图如图1,两个固定长度的“连杆”伸，6 P的连接点P在。上，当点尸在O。上转动时，带动点A,3分别在射线OA7,ON上滑动，OM LO N .当AP甘OO相切时，点B恰好落在。0上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.（1）求证：NA4O=2NP6O；（2）若。的半径为5,4尸=，求8 P的长.【答案】（1）见解析；（2）3.y/iO【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明；（2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再 把 族 放到直角三角形中，利用勾股定理求解.【详解】解：（1）证明：连接。P，取V轴正半轴与O。交点于点。，如下图：J OP=O N,N O P N =NPBO,NPOQ 为PQN 的外角，NPOQ=NOPN+NPBO=2ZPBO,ZPOQ+ZPOA=ZPOA+ZPAO=90，,ZPAO=ZPO Q，,ZPAO=2ZPBO.(2)过点。作PO的垂线，交PO与点。，如下图：由题意：在中，./。4。二 而 二 空 百，T由（1）知：ZQ O C =Z O A P,Z A P O =ZOC Q,R t A P O R t O C Q,.ta nZ C C）e =1 =j,C 2 =5,:.CO =C Q=3,.-.P C =P O-C O =5-4 1,:.P Q =y/PC2+C Q2=s 11+9 =V 1 0-由圆的性质，直径所对的角为直角；在 R t A Q P B 中,由勾股定理得：BP=y/BQ2-P Q2=V 1 02-1 0 =3 /1 0 1 即 3 P =3 ji 6.【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解得的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解.变式拓展1.（2 0 2 1四川泸州市中考真题）如图，。的直径/8=8,A M,8 N是它的两条切线，与。相切于点E,并与N M,8 N分别相交于。，C两点，BD,O C相 交 于 点 凡 若C/A 1 0,则8尸的长是A8 7 1 7 口 10g 门 8 /1 5 c 1 0 V 1 5A.-o.-C _z-I./.-9 9 9 9【答案】A【分析】过点。作。G,8 c于点G,延长C O交D 4的延长线于点，根据勾股定理求得G C =6,即可得A D=BG=2,8 c=8,再证明H 4 O四 S C O,根据全等三角形的性质可得N H=8 C=8,即可求得。=1 0；在R S 4 8 O中，根据勾股定理可得5。=2 J万；证明DHFSBC尸,根据相似三角形的性质可得DHBC空,由此即可求得8尸=立 叵BF9【详解】过点。作。G,8 c于点G,延长CO交。力的延长线于点,：AM,8N 是它的两条切线，DE 与。相切于点 E,：.AD=DE,BC=CE,NDAB=N4BC=90,：D G L B C,四边形/8GO 为矩形，：.AD=BG,4B=DG=8,在 RtAOGC 中，3 1 0，GC=y/c if-D G2=V102-82=6-：AD=DE,BC=CE,CIO,/.CD=DE+CE=AD+BC=10,J.AD+BG+GC=10,：.AD=BG=2,BC=CG+BG=8,:NDAB=N4BC=9Q,：.AD/BC,：.ZAHO=ZBCO,ZHAO=ZCBO,：OA=OB,:.丛HAO出ABCO,:.AH=BC=8,：AD=2,：.HD=AH+AD=0；在 RtzUB。中，AD=2,AB=S,*-BD=yjAB2+AD2=/82+22=2后，DH DF.AD/BC,:.DHFS B C F,：.-=，BC BF.10 2后-B F 硬汨 D 8J17.-,解得，BF-.故选A.8 BF 9【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.2.(2021湖北随州市 中考真题)如图，。是 以 为 直 径 的。上一点，过点。的切线。E交 的 延 长线于点E,过点3作8 C L D E交AO的延长线于点C,垂足为点F.(1)求证：AB=B C；(2)若。的直径A 3为9,sinA=-.求线段B E的长；求线段鸵的长.3AO切E【答案】（1）见解析；（2）；BE9-7一一【分析】（1）连接0。，由。E是。的切线，可得D E _ L 0 D,可证0 D B C,可得N 0 Z M =NC.由。4 =0 ），可得N 0 D 4 =NA即可；（2）连接B。，由。的直径AB为9,s i n A =可求A B 3BF 13。=3.可 证/4=/5。产，由4 1 1/8。6=一,B F =.由（1）可知。D B F,可证 E 3 EB D 3_ =1 9s/E O D,由性质可得八b 9 9 ,解方程得8 =一.BE+72 2【详解】（1）证明：连接0。，是。的切线，.O E，。，又：B C 工 DE,：.O D/IBC,：.N 0 D A =/C.又.在 Q 4 D中，O A O D,：.Z O D A Z A A ZC=Z A,：.A B-B C.（2）连 接，；0。的直径A3为9,A B =9，（T.R t八A B D 中，,:s i n A =,B D A B=3 .A B 3 3又：Z O B D+Z A =Z F D B+Z O D B=9 0 ,且 Z O B D =N ODB,，Z A =ZB DF，D p 1|在 R t V BD F 中，；s i n N B D F =,/.BF =B D=1.B D 3 3 由（1）可知 O D/BF，:.ND O E=NFBE,NO D E=NBFE,BE BF BE _ =J _ 9:AE B F sWOD,：.=，B P ,J C,9 9 ,解得8 E =.经检验符合题意.O E O D B E+2 2 7【点睛】本题考查圆的切线性质，平行线性质，等腰三角形判定与性质，直径所对圆周角性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，利用相似的性质构造方程是解题关键.考向6三角形的内切圆与外接圆典例引领1.（2 0 2 1 浙江中考真题）如图，已知点。是 A 3 C 的外心，NA=4（）,连结3 0,CO,则ZBOC的度数 是（）.【答案】CB.7 0 C.8 0 D.9 0【分析】结合题意，据三角形外接圆的性质，作。0；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案.【详解】AABC的外接圆如下图【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解.2.（2 0 2 1 四川泸州市中考真题）在锐角中，N/,NB,NC所对的边分别为m b,c,有以下结论：a b c-=-=-=2 R（其中火为 4 8 C 的外接圆半径）成 立.在 Z B C 中，若N力=7 5。，N 8=4 5。,s i n A s i n B s i n Cc=4,则 的 外 接 圆 面 积 为（）16兀-6 4 7 一 ”,A.-B.-C.1 6 万 D.6 4 万3 3【答案】Ac1 6 7 7【分析】方法一：先求出/C,根据题目所给的定理，-=2 R，利用圆的面积公式SM=.s i n C 3方法二：设2 U 8 C 的外心为O,连结。儿0 8,过。作 OOL/8 于。，由三角形内角和可求N C=6 0。，由圆周角定理可求乙4。8=2/。=1 20。，山等腰二.角形性质，/。4 8=/0 历1=30。，山 垂 径 定 理 可 求/尸 2，利用三角函数可求04=递，利用圆的面积公式S M=3 3【详解】解:方法一：,./4=75,Z5=45,Z C=180-Z.A-B=80o-75-45=60o,2R_ c _ 4 _ 4 _ 8,有题意可知 sinC sin60一耳 一 亍2.尺=述，.SM=R 2=OA2=(速=3 3 J 3方法二：设/BC的外心为0,连结0 4 O B,过。作OZ）J_/8于V Z4=75O,N8=45。，ZC=180-Z J-Z5=180-75-45=60,A ZAOB=2ZC=20=20t：OA=OB,：.AOAB=ZOBA=(180-120)=30,：ODLAB,48 为弦，：.AD=BD=-AB=2,：.AD=OACOS300,2/.OA=AD COS 300=2+走=，/S 产 71Kl=7i0片2 3.故答案为4【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键.3.（2021陕西西安益新中学模拟预测）如图，圆。是四边形力BCD的内切圆，连接力。、BO、CO.DO,记口力。、QAOB.GCOB,口。的面积分别为与、S2、S3、S4,则、S、Sj、S,的数量关系为【答案】S/+S3=S?+S【分析】设切点分别为反尸、G、,由切线性质可知,OE AD,OF CD,OG BC OH AB,OE=OF=OG=OH=r,设 DE=DF=a,4E=AH=b,BH=BG=c,CG=CF=d,推出 S/+Sj=-r(a+6)r+r(c+d)=/(a+b+c+d)2 2 2=S+S4.【详解】解：如图设切点分别为从F、G、H,由切线性质可知，OE AD,OF CD,OG BC OH AB,OE=OF=OG=OH=r,设 DE=DF=a,AE=AH=b,BH=BG=c,CG=CF=d,Si=r ka+b)r,S?=-r(b+c)Sj=r(c+J),S4=r(a+J),2 2 2 2CSi+S3=r(a+b)rl r(c+d)=r(a+b+c+d),S2+S产r(a+d)+r(b+c)=r(a+b+c+d),2 2 2 2 2 2DSI+S3=S2+S4.故答案为：S!+S3=S2+S4.【点睛】本题考查了内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键.变式拓展1.（2021山东中考真题）古希腊数学家欧几里得在 几何原本中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：在。上任取一点/,连接工。并延长交。于点8,8 0 为半径作圆孤分别交。于 C,。两点，并延长分交。O 于 点 区 F；顺次连接BC,FA,AE,D B,得至“六边形4FC BD E.连接交于点G,则下列结论错误的是C.点 G 是线段 尸的三等分点B.NFGA=NFOAD.EF=y/2 AF【答案】D【分析】证明A/O E 是等边三角形，EFLO A,ADL OE,可判断/；.证明尸=6 0。，可判断8；证 明/G=2 G E,可判断C；证明所=64 凡 可判断【详解】解：如图，B在正六边形 A ED BCF 中，N 4 O F=N 4 O E=N EO D=6 0。,：O F=O A=O E=O D,：./A O F,AAOE,W 都是等边三角形，：.A F=A E=O E=O F,O A=A E=E D=O D,；.四边形力E O E 四边形 Z O O E 都是菱形，：.A D 1O E,的内心与外心都是点G,故/正 确，V Z EA F=l 20,Z EA D=30,：.Z FA D=9 0,：Z A FE=30,：.Z A GF=Z A O F=6 0,故 8 正确，V Z GA E=Z GEA=30,：.GA=GE,：FG=2A G,：.FG=2GE,.点 G 是线段“的三等分点，故 C 正确，：A F=A E,Z FA E=20,：.EF=y/3A F,故。错误，故答案为：D.【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形4 EOE四边形NOQE都是菱形.2.（20 21 青海西宁中考真题）如图，AABC的内切圆与43,3C,A C 分别相切于点。，E,F,连接O E,O F,Z C =90 ,A C =6,B C=8,则阴影部分的面积为（）2 2 4【答案】C【分析】连接0 6 由题意，先利用勾股定 理 求 出 的 长 度，设半径为，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案.【详解】解：连 接 如 图:在AABC中，ZC=90,AC=6,B C=8,由勾股定理，则 =AC?+8C?=&+8?=10，设半径为r,则OD=OE=QF=r,CF=CE=OE=OF=r,四边形CEO厂是正方形；由切线长定理，则 也=AF=6-r,BE=BD=8-r,AB=AD+BD,6 r+8 r=10,解得：r=2,OD=OE OF=2：阴影部分的面积为：S=2x2-火 上 2=4-%；故选：C.360【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题.3.（2019山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德欧拉（Leo”瓦 m/ERer）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在AABC中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 1分别为其外心和内心，则 O/2=R 2 _ 2 R r.如 图 1,。和分别是AABC的外接圆和内切圆，与 AB相切分于点F,设。的半径为R,。1的半径为r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离01=d,则有 d2=R2-2Rr.下面是该定理的证明过程（部分）：延长A I交。O 于点D,过点I 作。O 的直径M N,连接DM,AN.V ZD=ZN,NDMI=NNAI（同弧所对的圆周角相等），/.AM DIAANI,-=：.1ATD=1M IN,IA IN如图2,在 图 1（隐去MD,AN）的基础上作。的直径D E,连接BE,BD,BI,IF,DE 是DO 的直径，/.ZDBE=90,:。I 与 AB 相切于点 F,A ZAFI=90,A ZDBE=ZIFA,./B A D=/E（同弧所对圆周角相等），.AIFSEDB,IA IF ：IA B D=D E IF,任务：(1)观察发现：I M =R+d ,IN=(用含R，d的代数式表示)；(2)请判断B D和I D的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子和式子，并利用任务(1),(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若A A B C的外接圆的半径为5 c m,内切圆的半径为2 c m,则AABC的外心与内心之间的距离为 c m.【答案】(l)R-d；(2)B D=I D,理由见解析；(3)见解析；(4)6.【分析】(1)直接观察可得；(2)由三角形内心的性质可得/B A D=/C A D,Z C B I=Z A B L由圆周角定理可得N D B C=N C A D,再根据三角形外角的性质即可求得/B I D=N D B I,继而可证得B D=I D：(3)应用(1)(2)结论即可；(4)直接代入结论进行计算即可.【详解】(1)；0、I、N 三点共线，.O I+I N=O N,.I N=O N-O I=R-d,故答案为 R -d：(2)B D=I D,理由如下：.,点 I 是A A B C 的内心，.Z B A D=Z C A D,Z C B I=Z A B I,V Z D B C=Z C A D,Z B 1 D=Z B A D+Z A B 1,Z D B I=Z D B C+Z C B 1,A Z B I D=Z D B 1,.B D=I D；(3)由(2)知:B D=I D,又 I A I D=I MI N,I A B D=D E I F，A D E I F=I M I N,2R r=(R +d)(R-d),：.R2-d2=2R r:.辟=R?-2R r.(4)由(3)知：d?=R 2-2 R r，把 R=5,r=2 代入得：d2=52-2 x 5 x 2 =5 .，d =石，故答案为君.【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.考向7 正多边形与圆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.典例引领1.（2021河北中考真题）如图，点。为正六边形A 8C 0E F 对角线E D 上一点，SFO=8,SAC D0=2,贝S正六边形A BCD EF的 值 是（）【答案】BD.随点。位置而变化【分析】连接4C、3、CF,4 D与 C F 交于点、M,可知/是正六边形ABCD EF的中心，根据矩形的性质求出5 根=5,再求出正六边形面积即可【详解】解：连接/C、4 D、CF,4 D与