2023年高考数学总复习第九章平面解析几何第三节圆的方程.pdf

第三节圆的方程,最新考纲，1 .掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2 .初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考向预测考情分析：求圆的标准方程、一般方程，圆心到直线的距离，与圆有关的轨迹、最值问题仍是高考考查的热点，题型将以选择与填空题为主，也可能出现在解答题中.学科素养：通过求圆的标准方程及利用圆的方程求最值，考查数学运算、直观想象的核心素养.积 累 必 备 知 识 基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1.圆的定义及方程定义平面内与_ _ _ _ _ _ _ _ 的距离等于_ _ _ _ _ _ _ _的点的集合(轨迹)标准方程_ _ _ _ _ _ _ _(r 0)圆心：_ _ _ _ _ _ _ _,半径：_ _ _ _ _ _ _ _一般方程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(D2+E2-4 F 0)圆心：_ _ _ _ _ _ _ _,半径：_ _ _ _ _ _ _ _2.点与圆的位置关系点 M(x 0 这一条件.三、必练4类基础题(一)判断正误1 .判断下列说法是否正确(请在括号中打“或 X”).(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x?+y 2 =a 2 表示半径为a的圆.()(3)方程 x 2+y 2+4 m x 2 y+5 m=0 表示圆.()(4)方程 A x2+B x y+C y2+D x +E y+F=O 表示圆的充要条件是 A=C W 0,B=0,D2+E2-4 A F 0.()(二)教材改编2 .必修 2 0 2 4 A 组 力改编 圆 x 2+y 2 4 x+6 y=0 的圆心坐标和半径分别是()A.(2,3),3 B.(-2,3),V3C.(-2,-3),1 3 D.(2,-3),V 1 33.必修2/i 2 4 A组。改编 圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(l,3),则圆C的方程为.(三)易错易混4.(错用点与圆的住置关系)若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值 范 围 是()A.-l a l B.0 a l 或 a/2(2)2022山东潍坊模拟 设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=l 上的动点，定点A(2,0),B(-2,0),则 万 瓦 的 最 大 值 为.听课笔记：反 思 感 悟 建 立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.【对点训练】1.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C：x 2+y 2-2y=0上的动点，则4 A B P的面积的最小值为()A.6 B.221C.8 D.22.设点P(x,y)是圆：(x-3)2+y 2=4 上的动点，定点A(0,2),B(0,-2),则 丽+画 的最大值为.考 点 三 与 圆 有 关 的 轨 迹 方 程|综合性】例 3 己知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点，P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若N P B Q=9 0。，求线段PQ中点的轨迹方程.听课笔记：反思感悟求与圆有关的轨迹问题的四种方法|直 接 法 卜 直接根据题设给定的条件列出方程求解|定义法 卜T 根据圆的定义列方程求解I几何法 I 利用圆的几何性质，得出方程代入法(相关点法)找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式【对点训练】1.2022六盘山高级中学测试 已知圆C：x 2+y 2+4 x=0的圆心和圆上两点A,B 构成等边三角形，则 AB 中点M 的轨迹方程是()A.(x +2 p+(y+1)2=1B.(x+l +(y+l)2=3C.(x+l)2+y2=2D.(x+2p+y 2=32.2022江苏南通高三测试 在平面直角坐标系x O y 中，已知圆A：(x-l +y 2=1,点B(3,0),过动点P引圆A的切线，切点为T.若 PT=&PB,则动点P的轨迹方程为()A.x2+y2-14 x+18=0B.x2+y2+14 x+18=0C.x2+y2-10 x+18=0D.x2+y2+10 x+18=0第三节圆的方程积累必备知识1 .定 点 定 长(x a)2+(y 力)2=/(a,b)r x2+y2+D x+E y+F=0(一 5,-J-7D2 4-E2-4F2 .(l)(x o a)2+(j06)2r2(2)(xo-a)2+(y o-i)2=r2(3)(工 0。)2+&0。)2 户三、1.答案：J(2)X(3)X(4)V2 .解析：由公式可知圆心坐标为(一*-1),半径r=，D2 +E 2-4 F,解得圆心坐标为(2,-3),半径 r=g.答案：D3 .解析：设圆心坐标为C(a,0),因为点4(I,1)和 5(1,3)在圆C上，所以|C A|=|C B|,即J(a +1)2 +l=J(a I)+9,解得。=2,所以圆心为 C(2,0),又|C A|=J(2 +1 尸+1 =V 1 0,所以圆C的半径为同，所以圆C的方程为(X2)2+9=1 0.答案：(x-2)2+j2=104 .解 析:因为点(1,1)在圆内，所以(1 一幻2+(1+4)2 4,g p-l a 2=1.即 e+y 2 2 x=0.方法二设所求圆的方程为x2+y2+D x+y+F=0(D2+E2-4 F0),由已知条件可得(F=0,(D=-2,l2+l2+D+E +F=0,解得I E =0,(22+2 D+F=0,(.F=0,所以所求圆的方程为+y 2 2 x=0.答案：x2+y2-2 x=0提升关键能力考点一1 .解析：设圆心为C(a,0)(a/1一题多变解析：.圆心(2,0)到直线3 x+4 y+1 2=0 的距离1=但 詈=,.P(x,y)到直线3 x+4 y+1 2=0 的距离的最大值为1 +6，最小值为券一百.,5 5例 2 解析：(1)由已知可得线段AB 是圆/+9=1的直径，且|A 8|=2,.N A PB=9 0。.,.|M|2+|PB|2=|A B|2=4,由基本不等式可得(*AI；IPBI)2|PAF；|PB|2=2,当且仅当|必尸|尸例时取等号，./以|+|P8|W 2&.即照|+|P用的最大值是2 夜.(2)由题意知PX=(2-x,y),而=(一2 一x,-y),所以PX P B=?+/-4.由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程/+。-3)2=1,故/=。-3)2+1,所以PX PB=-(y-3)2+1 +/-4=6 y-1 2.由圆的方程f+(y-3)2=l 知 2 W y W 4,所以当),=4 时，万 而 的值最大，最大值为1 2.答案：(1)B 12对点训练1.解析:一+y-2 y=0可化为1)2=1,则圆C为以(0,1)为圆心，1 为半径的圆.如图，过圆心C向直线AB 作垂线交圆于点P,连 接 8 P,A P,这时 A 8 P的面积最小，直线A B的方程为：+=1,即 3 x-4 y-1 2=0,圆心C到直线AB 的距离d=募，又|阴=停，不=5,所以 A BP的 面 积 的 最 小 值 为 5 X(-1)=芳.答案：B2.解析：由题意知万=(一心2-y),而=(一x,-2-y),所以证+而=(一 版，-2y).由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x 3)2+丁=4,故丁:一。3)2+4,所以|正+而|=,4 x 2 +4 y 2=2A/6X-5.由圆的方程(x 3)2+)2=4,易知 1 WXW 5,所以当 x=5 时，丽 +而|的值最大，最大值为2/6x 5-5=1 0.答案：10考点三例3解析：(1)设 AP 的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2 x 2,2 y).因为 P 点在圆+/=4上，所以(2 x-2)2+(2 y)2=4.故线段AP 中点的轨迹方程为。一4+产=1.(2)设 P Q的中点为N(x,y)，在 R t ZP B。中，|P N|=|8N|,设。为坐标原点，连接ON(图略)，则 O M1PQ,所以|OP|2=|ON|2+|pN2 =QN|2+|BN|2,所以4+一)2+&-1)2=4.故线段P Q中点的轨迹方程为f 十丁一 一 一 1=0.对点训练1 .解析：圆 C：X2+2+4X=0=(X+2)2+)=4,所以圆心(一2,0),半径r=2,因为a AB C 为等边三角形，且A C=B C=2,所以 A B=2,M C=y X 2=V 3,所以M 的轨迹是以C 为圆心，半径为V5 的圆，所以AB 中点M 的轨迹方程是(X+2)2+)2=3.答案：D2 .解析：设尸(x,y),-：PT=V2PB,：.PT1=2PB1.(x l)2+_y2 1 =2(x3)2+_y2整理得：f+y2-0 x+i8=o.答案：C