2019年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学理.pdf
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上所粘贴的条形码中准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名、考试科目是否一致。2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第 II卷 用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。3.考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。参考公式：样本数据（5,%）,（工 2，%），1（X,%）的线性相关系数(x,.-x)(x-y)i=lf=l V r=l其 中 =X+X 2+L x“j=x+y 2+L y,n n锥 体 体 积 公 式V=-SI3其中S 为底面积，为高第 I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5 分，共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 +2/-1.若 z=则复数z=iA .2 i B.2 +i C.2 i D.2 +z2.若集合 A=M 142X+143,B=X|0 ,则 ACB=A.x|-l x 0 B.x|0 x l C.0 x 2 D.x|0 x (x)0 的解集为A.(0,+o o)B.(-1,0)(2 5+c o)C.(2,+o o)D.(-1,0)5 .已知数列 a 的前n项和5“满足：Sn+Sm=Sn+m,且 q=l.那么/=A.1 B.9 C.1 0 D.5 56 .变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(1 0,1),(1 1.3,2),(1 1.8,3),(1 2.5,4),(1 3,5)；变量u 与 V 相对应的一组数 据 为(1 0,5),(1 1.3,4),(1 1.8,3),(1 2.5,2),(1 3,1),可表示变量 Y与 X之间的线性相关系数，表示变量V与 U之间的线性相关系数，则A.弓弓 V。B.0 2 V 4 C.5 Vo p3，那么“片 =是 4 =4”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9 .若曲线G：%2+,2-2%=0 与曲线G：丁(丁一盛一加)=0 有四个不同的交点，则实数m的取值范围是3 3 3 3C.立，好 D.f 一 叵)U (3,+8)3 3 3 310.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2 的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和 N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M,N在大圆内所绘出的图形大 I致是VD第 II卷注意事项：第I I卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11.己 知,卜 忖=2,（。+2。）（一 人）二-2,则。与匕的夹角为12.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大 于 则 周 末 去 看 电 影；若此点到圆心的距离小于,，则去打篮球；否则，在家看书，则小2 4波周末不在家看书的概率为13.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是/v2 114.若椭圆/+方=1的焦点在X轴上，过 点（1,万）作圆V+y 2=l的切线，切点分别为A,B,直线A B恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分。本题共5分。15.（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为Q=2sin8+4 c o s&以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为15.（不等式选做题）对于实数x,几若|x 1区1,小一2设1,贝业一2丁 +1的最大值为四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望。17.（本小题满分12分）在V A B C中，角的对边分别是已知sinC+cosC=l-s in .2（1）求sin C的值；（2）若=4（a+力-8,求边c的值.1 8 .（本小题满分1 2 分）己知两个等比数列。,电 ,满足a,=。（。0）,伪一q =1,伪生=2,4%=3.（1）若 a=l,求数列 a,1 的通项公式；（2）若数列 4 唯一，求a 的值.1 9 .（本小题满分1 2 分）1,1,设/（x）-3+x2+2 ax（1）若/（x）在（：,+8）上存在单调递增区间，求 a 的取值范围；（2）当0a ，60）上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线P M,P N 的斜率之积为g.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1 的直线交双曲线于A,B 两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足=4 0 4 +0 3,求;I 的值.2 1 .（本小题满分1 4 分）（1）如图，对于任一给定的四面体44A4,找出依次排列的四个相互平行的平面%,a?,四，4,使 得 4 e a 4 i =l,2,3,4）,且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面区，。3，。4,其中每相邻两个平面间的距离都为 1,若一个正四面体44AAi的四个顶点满足：4eq.（i =l,2,3,4）,求该正四面体A4A4的体积.儿4参考答案一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共5 0分。1 5 D B A C A 6 1 0 C D C B A二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.1 0三、选做题：本大题5分。1 5.(1)x2+y2-4 x-2 y=0(2)5四、解答题：本大题共6小题，共7 5分。1 6 .(本小题满分1 2分)解：(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4 14 4 iP(X =i)=Mi=0,l,2,3,4)即(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 1 0 0,2 8 0 0,3 5 0 0X01234P17 01 67 03 67 01 67 017 0则 P(Y =3 5 0 0)=P(X =4)=焉QP(y =2 8 0 0)=P(X =3)=5 3P(y =2 1 0 0)=P(X 0得 一 一 一,2 2 2 4 2 2即巳 C 0得 =4 a 2+4 a 0,故 方 程(*)有两个不同的实根由 4 唯一，知 方 程(*)必有一根为0,代 入(*)得19 .(本小题满分12分)解：(1)由 fx)*2+%+2 a (x )+2 a当X 勺,+8)时，(x)的最大值为1()=g +2a；2 i令一+2 a 0,得Q 9 91?所以，当。-g Q寸,/(X)在(,+0 0)上存在单调递增区间(2)令/(x)=0,得两根西=匕用鱼=匕乎比.所以/(x)在(F,x,),(x2,+oo)上单调递减，在(内,/)上单调递增当0 a 2时,有西 1 工2 4,所以，(x)在 1,4上的最大值为f(x2)27又/(4)-f(l)=-+6a 0,即/(4)/3y+4/6 z =0有 ，即 ,n-NA.=0 3x+V 3y=0所以，=(1,-V 3,-V 6).因为4,4,4,%相邻平面之间的距离为I,所 以 点 到 平 面A 3P 3 N的距离|（）x 1+a x（）+0 x（5/6）I4 4.+（-V 3）2+（-5/6）2解得a =J1 5,由此可得，边长为J万的正四面体A i A 2A 3A 4满足条件。所以所求正四面体的体积3 3 4业”=也/=3近3 12 3解法二：如图，现将此正四面体A|A2A3A4置于一个正方体ABCDAIBICQI中，（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥，得到一个正方体），EP R 分 别 是 A|B”CQi的中点，EEQiD和 B B R F是两个平行平面，若其距离为1,则四面体A】A2A3A4即为满足条件的正四面体。右图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为“，若 AIM=MN=1,则有a2DIEI=AD：+A E；泻a据 A Q iX A F 产AIM XDIE”得 a=&,于是正四面体的棱长d =M,其体积v=d 4 x 1/=定6 3 3（即等于一个棱长为。的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）
