2023年高考数学总复习第7讲：三角函数及其恒等变换（附答案解析）.pdf

2023年高考数学总复习第7 讲：三角函数及其恒等变换一.选 择 题（共 10小题，满分50分，每小题5 分）1.（5 分）（20 22春江西期中）扇形的弧长为1 2,面积为24,则圆心角的弧度数为（）A.4B.3C.2D.12.（5 分）（20 22春钦州期末）9 3 0 =（）A.3 1 2LB.3 1 2LC.3 1 兀D.3 1 K34563.（5 分）（20 22春温州期末）已知s i n a+c o s a 号，且 aJT：-,W-），则 cos a2）-s i n a=（）A.-返.B.近c.运D.V 633334.（5 分）（20 22春温州期末）已知s i n 8+cos 8 ,8b（0,九）,则 s i n。-cos 0=（）A.1B.C.工D.755555.（5 分）（20 22春开福区校级月考）若角 a的终边过点?（8 加，-3）,且t a n a二与则4m的 值 为（）A.B.AC 近D.返22226.（5 分）（20 0 7 秋海曙区校级期中）已知定义在R 上的奇函数/（x）在 区 间（0,+）上单调递增，若 f8）=0,A BC内角A满 足/（cos A）V 0,则 A的取值范围是（）A.（芸 二 兀）B.，告）C.（,”）D.（2 L,2 L）u（I2 L,兀）、3 3，k 3 2 7 K 3 7.（5 分）（20 22春房山区期中）若 s i n 0 0 且 t a n 0 0)的部分图象如图，贝 ij o)1 9.(5分)(20 20 春上海期中)函数/(x)=s i n (u u)(其中3 0)的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A i,4 2,4 3，4”，在点列 A 中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的3 值从小到大组成的数列记为 3,则 3 2 0 2 0=20.(5 分)(2020普陀区三 模)设函数/(x)=sin (a)x+A)(a)0).若关于x 的方程f(x)=1 在区间 0,I T 上有且仅有两个不相等的实根，则 3 的 最 大 整 数 值 为.四.解 答 题(共5小题，满分50分，每小题10分)21.(10 分)(2019 秋 水富市校级期末)函数f (x)=A sin(W x+(t )(A 0,0)0,|。|0,3 0,g co saL 4 2，贝 ij co sa-si na=-y (COSQ _ si.nd)2 =V l_2 si nCl co sO.=故选：D.【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.4.（5 分）（2 0 2 2 春温州期末）已知si n8+co s 8 =，9 （0,兀），则 si n。-co s。5=（）A.A B.C.工 D.J-5 5 5 5【考点】同角三角函数间的基本关系.【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理；数学运算.【分析】直接利用三角函数关系式的变换求出三角函数的值.【解答】解:由 于 si n。+co s 850 (0,兀),关系式两边平方得：1+s in 2e 所以si n2 8 =-祟;由于 si n2 0=2 si n6 co s6 O,所以 co s0 O,故 si nO -co s0 0；所以 si nO -co s0 =|si n0 -co s0 1=(sin0 -c os 0 )2=故选：C.【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.5.（5分）（2 0 2 2 春开福区校级月考）若角a 的终边过点尸（8 机，-3）,且t and.=3，则4m的 值 为（）A.-X B.A C.小 D.近2 2 2 2【考点】任意角的三角函数的定义.【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【解答】解：若角a 的终边过点尸（8 处-3）,且ta n a=3=二，4 8 m则解得m-2故选：A.【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题.6.（5分）（2 0 0 7 秋海曙区校级期中）已知定义在R上的奇函数f（x）在 区 间（0,+-）上单调递增，若 f e）=o,A B C内角A满足/（co sA）0,则 A的取值范围是（）A.（等，冗）B.（,2 L）C,兀 2兀、（3，3）D.（,2 L）u（1 2 L,兀）k 3 2 3 【考点】三角函数的定义域；三角函数的恒等变换及化简求值；奇偶性与单调性的综合.【专题】计算题.【分析】因为/（x）是定义在R上的奇函数，在区间（0,+8）上单调递增，且 f 仔）=0,就可画出f（x）的草图，借助图象即可得到了（co sA）0中 co sA 的范围，再根据角A为三角形内角，就可得到A的取值范围.【解答】解：V（x）是定义在R上的奇函数，在区间（0,+8）上单调递增，且 f（A）=o,：.f（x）的草图如图，由图知若/（co sA）0,则 co sA -工，或 0 co sA 2 2又为 A B C 内角，（0,i t）M e（令，B）u 将，兀）故选：D.【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性，单调性解不等式，以及三角不等式的解法,属于综合题.7.（5分）（2 0 2 2 春房山区期中）若 si n8 0 且 t an8 ,a G（-E_,0）,贝 1 ta na 等 于（2 2 2A.-5/3 B.a【考点】诱导公式.C.一 亨。亨【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.【分析】由诱导公式,可得 c o s a=A,结合 aG(-1-,0),知 a=-L,再求 tana2 2 3的值，即可.【解答】解：因为sin(_ZL+a)=A,所以cosa=2,2 2 2因为 ae(-0),所以 a=-,2 3所以lan a=-料.故 选:A.【点评】本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值,考查运算求解能力，属于基础题.10.（5 分）（2015春青岛校级期中）cos（-15）的 值 为（A近 飞 B巫M C限 电4 4 4【考点】半角的三角函数；两角和与差的三角函数.)D-V2+V64【专题】计算题；三角函数的求值.【分析】由诱导公式和半角公式，结合特殊角的三角函数值即可得解.【解 答】解：cos(-15 )=cos 15/2+6+4V3=V2 W6V 164.故选：C./l+cos300【点评】本题主要考查了诱导公式和半角公式，以及特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查.二.多 选 题（共 5 小题，满分25分，每小题5 分）（多选）11.（5 分）（2021秋宁波期末）下列等式成立的是（）A.sin_75-cos275=-B.ySin15 +-cos 15 C.sin75 cos75=2 D.tan 165=2-遥4【考点】二倍角的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数.【专题】计算题；转化思想：转化法；三角函数的求值；数学运算.【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简各个选项即可求解.【解答】解：对于 A,sii?7 5 -COS27 5 =-(cos27 5 -sin27 5 )=-cosl5 0 =近,2故正确；对于 B,工.目 月。ic 0 =sin(1 5 +6 0 )=sin(4 5 0 +3 00)=2 2 V U O X v*返 _乂 近+叵 乂 工=逅 返，故错误；2 2 2 2 4对于 C,sin7 5 cos7 5 =JLsinl5 0 =x=故正确；2 2 2 4恪x n对于 ),ta nl6 5 =-ta n 1 5 =-ta n(4 5 -3 0 )=-尸-=-2，故错误.泻故选：AC.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.（多选）1 2.（5分）（2 0 2 1 秋香坊区校级期末）以下化简结果正确的是（）A.sin(a+p)+sin(a -p)=2 sina cos0B-cosa -V3sina =2 sin(aoC.ta n5 0 +ta n7 0 -7 3 ta n5 0 0 ta n 7 0 0 =-7 3D.1-COS2a 2 r1+cos2 a =tan【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数.【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算.【分析】对于4 利用两角和与差的正弦公式即可求解；对于B,利用两角差的余弦公式，诱导公式即可求解；对 于 C,利用两角和的正切公式化简即可求解；对于。，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解.【解答】解：对于 A，左边=sina cosB+cosa sinB+sina cos0 -cosa sinB=2 sina cosB=右边，故正确；对于 B,左边=2 （Acosa -Y a sina）=2 cos（a+2 L）=2 sin（a+且 I_）#2 sin（a -1-）2 2 3 6 3=右边，故错误;对于 C,因为 ta nl2 0 =ta n(5 0 +7 0 )=ta n5 0 沙二。二 尸 一 ,l-ta n5 0 0 ta n7 0 所以 ta n5 0 0 +ta n7 0 -V3ta n5 0 ta n7 0 =-3(1-ta n5 0 ta n7 0 0 )-V3ta n5 0 ta n7 0 =-V 3 故正确；对于),左边=.2sin.0.=ta n2(x=右边,故正确.2cos2 a故选：ACD.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.(多 选)1 3.(5 分)(2 0 2 2 福田区校级一模)对于函数f(x)=sinxcosx,x e R,则()A.f(x)的最大值为1 B.直线*=/工为其对称轴4C.f(x)在 0,今 上单调递增 D.点 4，0)为其对称中心【考点】二倍角的三角函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值.【专题】函数思想；数学模型法；三角函数的图象与性质；数学运算.【分析】利用倍角公式变形，然后逐一分析四个选项得答案.【解答】解：(x)=sia r cosx=-l-s|n2x：.f(X)的最大值为工，故 A 错误；27 (卫 L)=工 s i n&兀)，直线乂=出巴为其对称轴，故 B正确；4 2 2 2 4当x 0,子 时，2AG 0,I T,则/(x)在 0,上先增后减，故 C错误；.V(_ _)=_ s i n(2 x 3)s i n 兀=0 一 点(；，0)为其对称中心，故。正确乙 乙 乙 乙 乙故选：B D.【点评】本题考查二倍角公式的应用，考 查 y=A s i n(3 x+(p)型函数的图象与性质，是基础题.(多 选)1 4.(5 分)(2 0 2 2 春洪山区校级期中)已知函数/(x)=(s i nx+cos x)|s i nx -cos x|,下列说法正确的是()A./(%)是周期函数B.若I f(x i)|+MX2)1=2,贝 Ux 1+x D=等(k E Z)1/2C./(x)在区间 三，工 上是增函数L 2 2 JD.函数g (x)=f(x)+1在区间 0,2 n上有且仅有1个零点【考点】二倍角的三角函数；正弦函数的单调性；余弦函数的图象.【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；数据分析.【分析】由已知写出分段函数，作出其图象，结合图象逐一核对四个选项得答案.【解答】解：f(x).、一 ,fcos2x,sinxcosx=(s i nx+cos x)|s i nx -cos x|故。错误；-s i nl O O 0 -s i n80 0对于。，A-O S21 5 =-A(2C O S21 5 -1)=-A cos 3 0 =-1,故。错误.3 3 3 3 6故选：AB.【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式与两角和的正弦，是基础题.三.填 空 题（共5小题，满 分25分，每小题5分）1 6.（5 分）（2 0 2 2榆林三模）已知 2 s i na=5 cos a,则 s i n2 a+cos 2 a=建.2 9【考点】二倍角的三角函数.【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求t a na的值，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解.【解答】解：因为2 s i n a=5 co s a,所以 t a n a=N,2522 X-+l则 s i n 2 a+co s 2 a=2或。出四空 9 m 巴=2 t a n a+l =2 4s i n a+co s a t a n a+1 -+i 乙，4故答案为：2 4.2 9【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.1 7.（5 分）（2 0 2 2 黔东南州一模）若 t a n （a+p）=工，t a n （a -p）=，贝 U t a n 2 a=-5-.3 6 1 7【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数.【专题】计算题；转化思想：综合法；三角函数的求值：数学运算.【分析】由已知利用两角和的正切公式即可求解.【解答】解：因为t a n （a+P）=，t a n （a -p）=，所以 t a n 2 a=t a n (a+0)+(a -0)=tan(a +8)+tan(Q-B)故答案为：A.17【点评】本题主要考查了两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题.1 8.（5分）（2 0 2 1 春上海期末）若函数y=s i n（3 x+（p）（a）0）的部分图象如图，则 3 =n劣-【考点】y=A s i n（3 x+（p）中参数的物理意义.【专题】计算题；转化思想；三角函数的图象与性质.【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解3.【解答】解：由函数的图象可知，（xo,）与（xo+，-加），纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2 （A O+J L-X O）=,4 2所以7=匹，所以3=4.3 2故答案为：4.【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力.1 9.（5分）（2 0 2 0 春上海期中）函数/（x）=s i n（3 X）（其中30）的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为4,A2,A 3,，A”，在点列 A“中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的3值从小到大组成的数列记为 3 ,则 3 2。2。=_ 亨兀一【考点】y=A s i n (a)x+(p)中参数的物理意义.【专题】数形结合；转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；直观想象；数学运算.【分析】先根据题意作出图象，若 A i A M 3 A 4为菱形，则3&L，若 4A4 A 5 4 8 为_2菱 形，贝3 =兀，再 得 出 若AAk-AkAm为 菱 形，则 1 4 4 1 =|A i 4 -i|,即2 _ _I A 1 A 2 T(k-l)丁 得)2+4 =2 T从 而 得 到 3 连”,k C N，从而得到答案【解答】解：根据题意作出图象如下，设/(x)=s i n (o)x)的最小正周期为T=2 L,1 3，.V“4 A/、zx力 2 4若 A 1 A 2 A 3 A 4 为 菱 形，则I A A?I 二 I A A 3 I,I A A 3 I=T，I A A 2 I 4(万)？+4所 以I A l人2 I=4 6)2 +4=即祗X舞+；=等，解 得 3居冗；若 A i/U 4 5 A 8 为 菱 形，则I A 1 A 5 I 4 A 1 A 4 I，I A 1 A 5 H T,以 述41d(丁，产+4所 以“A 21d(T卷)2+4=2 即岛事二=，解 得俄誓；若 AAk AkAm 为 菱 形，则|A i A k l=|A A k.J，|A A k l=k T,|A A 4 1 d(k-l)T ,产+4,所 以“A2T(1)吗)2+4=2 即 杵1-X 唔Z=等解得所以3=埠 兀,k N,3 2侬正声故答案为：嘤冗.【点评】本题考查正弦型函数的图象及性质的应用，数列的通项，考查逻辑推理能力、数形结合思想，属于中档题.2 0.(5 分)(2 0 2 0 普陀区三模)设函数f(x)=s i n(3 x+)(a)0).若关于x的方程f6(x)=1在区间 0,n 上有且仅有两个不相等的实根，则 3 的最大整数值为4 .【考点】y=A s i n(3 x+p)中参数的物理意义.【专题】计算题；数形结合；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.【分析】当x e 0,IT 时，x+2Le 2L,3 7 1+工 ;根据条件关于x的方程/(x)=1在6 6 6区间 0,河上有且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得 且 L W 3 7 T+?L ,几人、,sin(+$)=0TT TT=k兀，依Z,即。=k兀(k Z)；由I。I年，得 号 。=，与函数f(x)的图象在x 0,2 E上只有一个交点；由(I )可知 f(x)=2 s i n画出函数f(x)=2 s i n C|x T)在区间【，2 n 上的图象，如图所示;由图象知，当或m=2时，满足题意，所 以?的 取 值 范 围 是-V 2 ,后)U .【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的问题，是中档题.2 2.(1 0分)(2 0 1 9秋宁乡市期末)已知函数f(x)=3 s i n华)+3(1)指出/(x)的周期、振幅、初相、对称轴并写出该函数的单调增区间：(2)说明此函数图象可由y=si nx,x 0,2n上的图象经怎样的变换得到.【考点】y=A si n(a)x+|哈)的 图 象；由y=sin(!吟)的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3 倍(横坐标不变),得y=3 s in 华 4 )的图象；由y=3 s in 华 吟)的 图 象 上 各 点 向 上 平 移 3 个长度单位，得y=3 s in 伶 *)+3的图象【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.23.(10 分)(2020涪城区校级模拟)函数f(x)=Asin2(3x+0,30,Q0,且2+&=2,解得 A=2；又/(x)图象相邻两对称轴间的距离为2,且3 0,所以 空=2,解 得 3 工;2 23 4所以/(x)=1-c os(?L x+2(p),又 y=f(x)过(1,2)点,所以 1 -c os(-Z L+2(p)=2,求得 c os(2L+2(p)=-1,所以 si n2(p=l,解得 2(p=2E+?L,kWZ；2又o 所以 y=/(x)=1 -c os(-L r+_ I L)=l+si n2L j：；甲 4 2 2 2所以/(I)+f(2)+f(3)+f(4)=2+l+0+l=4,又y=/(x)的周期为4,且2019 +4 =5 04 3,所以/(I)+f(2)+/,(2019)=5 04 X 4+3=2019.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数值的计算问题，是中档题.24 .(10 分)(2019 秋 正定县校级期末)已知函数f (x )=V 3 si nx c osx +si n(-+x)si n(I)求函数/(x)对称轴方程和单调递增区间；(I I)对任意x ,，/(X)-，2 0恒成立，求实数，的取值范围.6 6【考点】y=A si n(3x+(p)中参数的物理意义；正弦函数的图象.【专题】综合题；转化思想；演绎法；三角函数的图象与性质.【分析】(/)化简函数，利用正弦函数的性质求函数f(x)对称轴方程和单调递增区间；()对任意-于(X)-机2 0恒成立，f(X)-恒成立等价于 26 6勺(外加，即可求实数m的取值范围.【国 军 答】解：(/)f (x)=-si n2x+(c osx+si nx)-y p(c osx-si nx)=-si n2x+-(c os2x-si n2x)=y si n2x+-c os2x=si n(2x-)(3 分)rh 冗 兀4 k兀兀,尸、由 2x K =k 7 l =x-?(k Z),由2k兀2x+2 k=kK-/_(6分)/rr 由 广 兀 JT _ ZQ 兀广兀 7T _ I I()由 x -T-.-T-倚 2x-7-E -T-.可 从6 6 6 6 2s i n(2x-t-)E -y 1,(”分)f(x)-机0恒成立等价于/nW/(x)m讥，1r(12分)【点评】本题考查三角函数的化简、考查三角函数的图象与性质，考查恒成立问题,而考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.25.(10 分)(2020 春许昌期末)已知函数 f (x)=A s i n(3 x T)(A0，3 ()的部分图象如图所示.(1)求A,3 的值;(2)求/(X)的单调增区间;(3)求/(x)在区间,，上的最大值和最小值.【考点】y=A s i n(3x+(p)中参数的物理意义；三角函数的最值.【专题】计算题；三角函数的图象与性质.【分析】(1)通过函数的图象直接求4,利用函数的周期即可求出3 的值；(2)根据函数的单调增区间，直接求了(x)的单调增区间即可；(3)通过在 工，2L-I,求出函数的相位的范围，利用正弦函数的最值，直接求解L 6 4 Jf(x)的最大值和最小值.【解答】解：（1）由图象知A =l,（2分）由图象得函数的最小正周期为2（答）=兀，则由三H-二兀得川二？.（4分）3J；+2k兀 2x4 +2k兀,0 07 1“/兀T+k%x T+k n.所以/（X）的 单 调 递 增 区 间 为 三+k冗，+k n,k z （9分）3 6，C s i n（2x ）,N A O D=N BO D=1,A C=A B=l,2A O C中，A O=组=，sin/AOC sinl从 而 弧 长 为ar=,sinl故 选B.【点 评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键.【解题方法点 拨】弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于a的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.(3)记住下列公式：/=a R；S=L l R；S=L l R 2其 中R是扇形的半径，/是 弧 长，2 2a (0 a .2 或 4【分析】设出扇形的圆心角为a r a d,半 径 为 根 据 扇 形 的 周 长 为6 cm,面积是2 “产,列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数.解：设扇形的圆心角为a m d,半径为&7 W,2 R+Q -R=6则1 1 2 ，解得a=l或a=4.押a=2选C.【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题.【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于a的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.(3)记住下列公式：/二洲；S=2/R；S=L a#.其中R是扇形的半径，/是弧长，2 2a(0 a 0)的周期 T=22L.3【解题方法点拨】I .一点提醒求函数y=A s i n(皿+0)的单调区间时，应注意口的符号，只有当30时，才能把皿+0看作一个整体，代入y=s i nr 的相应单调区间求解，否则将出现错误.2 .两类点y=s i nx,x 6|0,2 nJ,y=c os x,x 0,2TT的五点是：零点和极值点(最值点).3 .求周期的三种方法利用周期函数的定义.f(x+T)=/(x)利用公式：y=4 s i n(a)x+x+p)的最小正周期为，兀 ，y=t a n(a)x+(p)I 3|的最小正周期为利用图象.图象重复的x的长度.9 .诱导公式【概述】三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益.【公 式】正弦函数：表 达 式 为y=siwc；有 s i n(n+x)=s i n(-x)=-s i nx；s i n(i r -x)=s i i u,s i n(-Z L+%)=s i n(-2 L-x)2 2c os x余弦函数：表达式为丫=8 大；有 c os (T T+X)=C O S(n-x)=-c os x,c os (-x)=c os x,c os (-x)=s i nx2正切函数：表 达 式 为 丫=1 2 2；兀t a n(-x)=-t a a r,t a n(-x)=c ot r,t a n(n+x)=t a nj v2余切函数：表 达 式 为y=c ot x；J Tc ot (-x)=-c ot r,c ot (-x)=t a r i ,c ot (i r+x)=c ot r.2【例 题 解 析】例 1：t a n 3(X)+t a n 765 的值是 1 -JQ.解：原 式=t a n (3 60 -60 )+t a n (2 X 3 60 +4 5 )=-t a n 60 +t a n 4 5 =1 -如.故答案为：1 -愿.利 用3 60 -60 =3 0 0 ,2 X 3 60 +4 5 =765 ,诱导公式化简表达式，然后求出表达式的值.例2：诱 导 公 式t a n (n n -a)=()(其 中 尤Z)解：*.*t a n (m r -a)=t a n (-a)=-t a n a【应 用】1、公式:公式一：s i n (a+2 K D=s i n a,c o s (a+2 K r)c o s a,其中公式二：s i n (n+a)=-s i n a,c o s (n+a)=-c o s a,t a n (n+a)=t a n a.公式三：s i n (-a)=-s i n a,c o s (-a)=c o s a.公式四：s i n (T T-a)=s i n a,c o s (n -a)=-c o s a.公式五：sin=cos a,cos=sin a.公式六：sin=cos a,cos=-sin a2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.3、在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式ta n a=0 l2化成正、余弦.c o s a(2)和积转换法：利 用(sin 0cos 0)2=1 2sin Ocos。的关系进行变形、转化.(3)巧 用 1 的 变 换:1=sin2O+cos20=cos2G(l+tan20)=tan45=.4、注意：(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱周一化锐.特别注意函数名称和符号的确定.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.1 0.三角函数的恒等变换及化简求值【概述】三角函数的恒等变化主要是指自变量x 数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性.【公式】正弦函数有 y=sin(2Znr+x)=sior,sin(工 _+x)=sin(2 L-x)=cosx2 2余弦函数有 y=cos(2内T+X)=COSX,COS(-x)=sio2j r正切函数有卜=1 口 (.kn+x)=tanjr,tan(-x)=cotx,J T余切函数有 y=cot(-x)=tanx,cot(内r+x)=cotx.2【例题解析】例:sin60 cos(-45)-sin(-420)cos(-570)的值等于解:s i n 60 =-，c o s (-4 5 )=c o s 4 5 0 ，s i n (-4 2 0 )=s i n (-IX 3 60 0 -60 )=-s i n 60 0 =-，c o s (-5 70 )=c o s (-1 X 3 60 -2 1 0 )=c o s 2 1 0 =c o s (1 80 +3 0 )=-c o s 3 0 0 =,原式-(J-)(_ 亭.)=血：3.先利用诱导公式把s i n (-4 2 0 )和 c o s (-5 70 )转化成-s i n 60 和-c o s 3 0 ，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案.这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换.【考点点评】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的.1 1.同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1 .同角三角函数的基本关系(1)平方关系：s i n2o+c o s2o=l.(2)商数关系：s i n a _.=t a n a.cos a2 .诱导公式公式一：s i n (a+2kn)=s i n a,c o s (t n-2 Z r r r)=c o s a,-s i n a,c o s (n+a)=-c o s a,其中k&Z.t a n (n+a)公式二：s i n(n+a)=公式三：s i n(-a)=.-s i n a,c o s (-a)=c o s a.公式四：s i n(n -a)=s i n a,c o s (n -a)-c o s a.公式五：s i n(-a)2=c o s a,c o s -a)=s i n a.2公式六：s i n(+a)2=c o s a,c o s (-+a)=-s i n a23 .两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(a-p)：cos(a -p)=c o s a c o 而+s%a s 山0；(2)C(a 邛)：cos(a+0)=c o s a c o 邓 一(3)S(a+p)：sin(a+p)=s%a c o 邓+c s a s%0；(4)S(a 邛)：sin(a -p)邓 一 c o s a y，i 0：(5)T ：tan(a+0)=t a n-+t a n E;.1-t a n CI t a n P(6)T,a 邛)：tan(a-p)=t a n CI-t a n 1+t a n CI t a n B4 .二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)Slat s i n 2 a=2 s i n c o s a；(2)C2a：c o s 2a c o s2g-s i n2a=2 c o s%-1 =1 -2 s i n2a；(3)72 a：t a n 1 a=2 t a n Q.1-ta n?a【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角(髭Z)的三角函数记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶2不变”是 指“当人为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变”符号看象限”是 指“在a的三角函数值前面加上当a为锐角时，原函数值的符号1 2.运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1.“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.2.“大化小”，利用公式一将大于3 6 0 的角的三角函数化为0 到3 6 0。的三角函数，利用公式二将大于1 80 的角的三角函数化为0 到1 80 的三角函数.3.“小化锐”，利用公式六将大于90 的角化为0 到90 的角的三角函数.4.“锐求值”，得到0 到90 的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.13.两角和与差的三角函数【知识点的认识】(1)邛)：c os (a-p)=c os ac os，+s in as in 0；(2)C(a+p)：c os (a+p)=c os ac os B -s in as in B；(3)S(a+p)：s in (a+p)=s in ac os B+c os as in B；(4)S(a-p ：s in (a-P)=s in ac os 0 -c os as in 0；(5)7 a+p ：tan (a+p)=tan(-1 +t a n?.1-tana tanP(6)tan (a-0)=t a nJa nB1+tanCL tan B14.二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即 a=p 的一种特例，其公式为:sin2a=2sina,cosa；其可拓展为 l+sin2a=(sina+cosa)2.二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即 a=0 的一种特例，其公式为:cos2a=cos a-sin a=2cos a-1=1 -2sin a.二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即 a=p 的一种特例，其公式为:tan2a=2 t a n .对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可.1-ta n2 a【例题解析】例：sin2x+2sinxcosx 的周期是 n.解：Vy=sin2x+2sinxcosx=1-852乂+疝山2=sin2x-ACOS2X+A2 2=Y_sin(2x+x+p)或丫=4:0$(0)的单调区间时，要视“皿+”为一个整体，通过解不等式求解.但如果30,3 0）的图象的步骤法一法二横也标变为修;来的、倍向左（4X）或向行（3 0）平移纵坐标变为原来的A倍得 到 尸$inx的图象得 到v=“in(ou*MP)的图象画 出y=sin x的图软得到y=A$in（3 x y）的图象,画 出y=sin x的图软向左（中对）或向右（）平移|中1个小位得 到 产sin（x+s）的图象横型标变为，来的A倍图个单位纵器标变为旗来的A倍积 到y=s i n（w*+卡）的 图 象(!到 y=A s i n(3、+(p)的图象两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是-L曳1（3 0）个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对X而言的.【解题方法点拨】1.一个技巧列表技巧：表 中“五点”中相邻两点的横向距离均为工，利用这一结论可以较快地写出“五4点”的坐标.2.两个区别（1）振 幅A与函数y=A s in（公什。）+/?的最大值，最小值的区别：最大值M=A+6,最小值m=-A+Z?,故A=此卫.2（2）由y=s inx变换到y=A s in（ax+cp）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由了=411 X的图象变换到了=人m（3 X+0）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变 换（伸缩变换），平移的量是5个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是电1 （。0）个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对X而言，即X本身加（0减多少值，而不是依赖于3 t加减多少值.3 .三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)由丫=4$访3的图象得到y=Asin(皿+“)的图象时，需平移的单位数应为史 1,3而不是20.y=Asin(a)x+(p)中参数的物理意义【知识点的知识】函数y=A sin(3 r+/)(A0,G 0)的物理意义当函数y=A sin(5+e)(A0,a)0f xG0,+)表示一个简谐振动时,则4 叫做振幅,T=”叫做周期，尸 叫做频率，3X+0叫做相位，x=0 时的相位 叫做初相.3T2 1.三角函数的最值【三角函数的最值】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象.在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元.化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数.【例题解析】例 1：sin2x-sirucosjc+2cos2x=cos(2x+-5_).2 2 4 解：sin2x-sirixcosx+2cos2x=1-c o s z,x _ i n2 西.+2.1+c 0 s 4”,=旦+_!_ (cos2x-sin2x)2 2 2 2 2二旦+2/co