甘肃省武威市2022年初中毕业高中招生模拟考试数学试题（含答案与解析）.pdf

武威市2022年初中毕业、高中招生模拟考试数学试卷注意事项:L 本试卷满分为120分,考试时间为120分钟.2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效.4.选择题必须使用25铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本大题共10个小题，每小题3 分，共 30分.每小题只有一个正确选项，将正确选项填入题后的括号内.1.-2 的相反数是（）3.据亚洲开发银行统计数据，2 0 1 0 年至2 0 2 0 年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 美元基建投资.将8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 用科学记数法表示为（）A.0.8x10 B.8xl012 C.8xl013 D.80 x104,下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）6.如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线。上，若N 1=4 0。，则N2等 于（）C.6 0 D.1 4 0 7 .为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为2 8 9 元的药品进行连续两次降价后为2 5 6 元，设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是（）A.289 A-x)2=256B.2 5 6 (1 -x)2=2 8 9C.2 8 9 （1 -2 x）=2 5 6 D.2 5 6 （1 -2 x）=2 8 98 .已知。的直径等于12c m,圆心O到直线1的距离为5 c m,则直线1与。O的交点个数为【】A.0 B.1 C.2 D.无法确定9.如图，二次函数）=o r 2+b x+c （存0）的图象与x 轴交于A、B两点，与 y 轴交于点C,点 8坐 标（-1,0）,下面的四个结论：O A=3；a+b+c 0；b2-4 c 0.其中正确的结论是（）A.B.C.D.10.如图，在矩形A B C。中，AB=9,8 c=3,点 E是沿A-B方向运动，点尸是沿A-O-C方向运动.现E、产两点同时出发匀速运动，设点E 运动速度为每秒1个单位长度，点 F 的运动速度为每秒3 个单位长度，当点尸运动到C点时，点 E立即停止运动.连接E 凡 设点E的运动时间为x 秒，E 尸的长度为y 个单位长度，则下列图象中，能表示y 与 x的函数关系的图象大致是（）二、填空题：本大题共8 小题，每小题3 分、共 24分.111.函数 =方=中，自变量X的取值范围是_ _ _ _ _ _.lx-212.下列各数：s i n 30,-百，其中是无理数的有 个13.已知一个布袋里装有2 个红球，3 个白球和a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同.若从该布袋里任意摸 出 1个球，是 红 球 的 概 率 为 则。等于3 一14 .定义新运算”软，规定：a&=a -2 b.若关于x的不等式x 3的解集为x T,贝 i j 机=15 .在 A B C 中，已知/4 8 C=9 0,ZBAC=30 ,B C=1,如图所示，将 A B C 绕点A按逆时针方向旋转9 0后得到A B C .则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.16 .如图，点 8是 AO延长线上的一点，D E/A C,A E 平分N C A B,Z C=5 0,Z E=30,则/CD4的度数等于一.17 .如图，已知。为原点，点 A的坐标为（0,4）,点B的坐标为（3,0）,e。过 A,B,。三点，点。为优弧O A B上一点（不与点0 重合），则cosC的值为.H0X18.为切实做好当前疫情防控工作，根据国务院联防联控机制有关规定，结合疫情流调溯源情况，某市统筹疫情防控和经济运行工作领导小组（指挥部）办公室决定，增加部分封控区、管控区、防范区.某地区根据疫情的发展状况，决定安排足量的工作人员.如图所示，把封控区、管控区、防范区根据需要设计成正多边形，各边上的点代表需要的工作人员，按此规律，则第个图形需要的数是 人.第1个 图 形 第2个 图 形 第3个 图 形 第4个 图 形 三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1 9.计算：.7 1 2+(2 0 1 4-2 0 1 5)-6 ta n 3 0 2 0 .先化简，后求值.已知实数。满足+2 a +l =2,求-安 +竺1）（4+2）的值.a +1 1 a2 a +12 1.如图，已知AABC,ZBAC=90；（1）用直尺和圆规作出O。，使0。经过A,B两点且圆心。在B C上（保留作图痕迹不写作法）；（2）圆心。到弦A 8的距离为3,求A C的长.2 2 .经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口.（1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；（2）求至少有一辆汽车向左转的概率.2 3.为了了解全校1 8 0 0名学生对学校设置的体操、球类、跑步、踢健子等课外体育活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生.对他们最喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计并绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）.（1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？（2）补全频数分布直方图；（3）估计该校1 8 00名学生中有多少人最喜爱球类活动？四、解答题(二)：本大题共5 小题，共 40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.2 4.某中学紧挨一座山坡，如图所示，已知A B 长 3 0米，ZABC=66,为防止山体滑坡，需要改造山坡，改造后的山坡B E 与地面成45。角，求 A E 是多少米？(精确到1 米)(参考数据：s i n 6 6 3 0.9 1,c o s 6 6 0.41,ta n 6 6 0 2.2 5)2 5.如图，直线AB与反比例函数的图象交于A(-4,根)，8(2,)两点，点 C在 x 轴上，A O=A C,04C 的面积为8.(1)求反比例函数解析式；(2)求AOAB的面积；(3)求 s i n/O B A 的值.2 6 .如图，在四边形A 8 C Z)中，A B C Z),点 E 是对角线4 c上一点，Z A D C=Z A B C.(1)求证：四边形A 5 C O 是平行四边形:(2)分别过点E,B 作 E F H AB,B F /A C,当N FC E 和 Z D C E满足怎么样 数量关系时，四边形EFCD是菱形？请说明理由.2 7.如图，BE是AABC的角平分线，N C=9 0 ,点。在 边 上，以 OB为 直 径 的 经 过 点 E,交 BC于点F.3(2)若 sinA =g,0。的半径为5,求ABEF的面积.2 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=2+云+4 与 x 轴交于A,B 两 点(点A 在原点左侧，点 B 在原点右侧)，与 y 轴交于点C,已知04=1,0C=0B.(1)求抛物线的解析式；(2)若 D(2,/)在该抛物线上，连接CQ,D B,求四边形O C 0B 的面积；(3)设 E 是该抛物线上位于对称轴右侧 一个动点，过点E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点F,过点E作轴于点H,再过点尸作FGJLx轴于点G,得到矩形EFGH.在点E 运动的过程中，当矩形EFG”为正方形时，求出该正方形的边长.参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项，将正确选项填入题后的括号内.1.-2 的相反数是()11A.-2 B.2 C.-D.22【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义可得结果.【详解】因为-2+2=0,所以-2 的相反数是2,故选：B.【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键.2 .如图所示的几何体的俯视图是（）D.【答案】B【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可.【详解】从上面可看到是三个左右相邻的长方形.故选：B.【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.3 .据亚洲开发银行统计数据，2 0 1 0 年至2 0 2 0 年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 美元基建投资.将8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 用科学记数法表示为（）A.0.8x10B.8x10C.8x10”D.80 x1 0【答案】B【解析】【分析】在用科学记数法表示的大于1 0 的数时，a x l O 的形式中。的取值范围必须是1 同 1（）,1 0 的指数n比原来的整数位数少1.【详解】解：将 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 用科学计数法表示为8xl（r.故选B.【点睛】本题考查科学记数法，对于一个写成用科学记数法写出的数，则看数的最末一位在原数中所在数位，其中a 是整数数位只有一位的数，1 0 的指数比原来的整数位数少1.4 .下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）【答案】D【解析】【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转1 80。后能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形.【详解】解：A选项，两者都不是；B选项，不是轴对称图形；C选项，两者都不是；D选项，两者均是.故选 择 D.【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念.5.下列运算正确的是（）A.3a+3b=6ah B.a2-a =a2 C.D.a5-a-c r【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，幕的乘方，同底数募的除法计算法则逐一求解判断即可.【详解】解：A、3 a 与以不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；B、/与。不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；C、（2）2=a4,计算错误，不符合题意；D、a5 a3=a2 计算正确，符合题意；故选D.【点睛】本题主要考查了合并同类项，幕的乘方，同底数幕的除法，熟知相关计算法则是解题的关键.6.如图，直线a 与直线6 平行，将三角板的直角顶点放在直线。上，若/1=40。，则/2 等 于（）A.40 B.50 C.60 D.140【答案】B【解析】【分析】先根据两角互余的性质求出/3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论.【详解】解：三角板的直角顶点放在直线。上，Zl=40,.*.Z3=90-40o=50.：a/b,：.N2=N3=5O.故选：B.【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等.7.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为2 89 元的药品进行连续两次降价后为2 5 6元，设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是()A.2 8 9 (1 -x)2=2 5 6 B.2 5 6 (1 -%)2=2 8 9C.2 8 9 (1 -2 x)=2 5 6 D.2 5 6 (1 -2 x)=2 8 9【答案】A【解析】【分析】设平均每次的降价率为x,则经过两次降价后的价格是2 8 9 (1 -x)2,由题意可列方程2 8 9 (1 -x)2=2 5 6.【详解】解：设平均每次降价的百分率为x,则第一次降价售价为2 8 9 (1 -x),则第二次售价为2 8 9 (1-x)2由题意得:2 8 9 (1 -x)2=2 5 6故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.解题的关键在于根据题意列正确的方程.8.已知。O的直径等于1 2 c m,圆心0到直线1 的距离为5 c m,则直线1 与。O的交点个数为【】A.0 B.1 C.2 D.无法确定【答案】C【解析】【详解】首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断.若d V r,则直线与圆相交，直线与圆相交有两个交点；若 d=r,则直线于圆相切，直线与圆相交有一个交点；若 d r,则直线与圆相离，直线与圆相交没有交点：根据题意，得该圆的半径是6 c m,即大于圆心到直线的距离5 c m,则直线和圆相交，故直线1 与。O的交点个数为2.故 选 C.9.如图，二次函数尸n F+f e r+c (对0)的图象与x 轴交于A、B两点，与 y 轴交于点C,点 B坐 标(-1,0),下面的四个结论：。4=3；a+h+c 0；b2-4 c 0.其中正确的结论是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由图象知，点 B坐 标(-1,0),对称轴是直线产1,的坐标是（3,0）.：.OA=3.结论正确.,由图象知：当时，y 0,.把代入二次函数的解析式得：ya+b+c 0.结论错误.:抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，.,.a 0.；.a c 0.二结论正确.综上所述，结论正确.故选A.1 0.如图，在矩形中，AB=9,8 c=3,点E是沿A-8方向运动，点尸是沿AO-C方向运动.现E、尸两点同时出发匀速运动，设点E的运动速度为每秒1个单位长度，点尸的运动速度为每秒3个单位长度，当点F运动到C点时，点E立即停止运动.连接E F,设点E的运动时间为x秒，E F的长度为y个单位长度，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）【答案】C【解析】【分析】当点E是沿A-8方向运动，点厂是沿A一。方向运动时；当点E是沿A-B方向运动，点尸是沿D-C方向运动时，利用勾股定理即可解答.【详解】分两种情况讨论：当点E 沿A-B方向运动，点厂是沿A一。方向运动时，此时，0 x W l,AE=x,AF=3x,y=J/+（3 x）-=V l O x -当点E是沿ATB方向运动，点F是沿。TC方向运动时，如答图，过点尸作F H L 4 B于点”，l x 9,39.当兀二5时，（2 x-3）+9有最小值，即y有最小值.故选：C.【点睛】本题考查了：1.双动点问题的函数图象；2.勾股定理；3.分类思想的应用.二、填空题：本大题共8小题，每小题3分、共24分.11 1 .函数y =-/=中，自变量x的取值范围是.lx-2【答案】x 2【解析】【分析】【详解】由题意得-2 0,解得x 2,故答案为：x 2.1 2.下列各数：s i n 3 0 ,4 其中是无理数有 个【答案】2【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可得到答案.【详解】解：凡是无理数，符合题意；3s i n 3 0。=，是有理数，不符合题意；2一百是无理数，符合题意；=2是有理数，不符合题意；无理数一共有2个，故答案为：2.【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握有理数和无理数的定义以及特殊角三角函数值，算术平方根.13.已知一个布袋里装有2 个红球，3个白球和。个黄球，这些球除颜色外其余都相同.若从该布袋里任意摸 出 1个球，是红球的概率为，则 a 等于3【答案】1.【解析】【分析】根据红球的概率结合概率的计算方法即可得到结果.【详解】解：因为红球的概率是,，布袋里有2 个红球，3 个白球和。个黄球,3a=l故答案为1.【点睛】此题重点考察学生对概率的应用，会计算事件的概率是解题的关键.14.定义新运算“软，规定：a -1,则胆=【答案】-2【解析】【分析】先根据新运算法则列出关于x 的不等式，然后再根据不等式的解集情况确定机的值即可.【详解】解：由题意：可化为：x-2 m 3,解得 x3+2m 该 不 等 式 的 解 集 为 为-13+2/71=-1,即 m=-2.故答案为-2.【点睛】本题主要考查了新运算法则和根据不等式的解集情况求参数，根据新定义运算法则列出不等式成为解答本题的关键.15.在 A8C中，已知NABC=90。，NBAC=30。，B C=,如图所示，将A A BC绕点A 按逆时针方向旋转9 0 后得到AB C.则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.【答案】Z B2 2【解析】【分析】利用勾股定理求出AC及 4 8 的长，根据阴影面积等于S扇 形C A C，-S用形D A B，-S求出答案.【详解】解：由旋转得 AB=AB,AC=AC,ZCAC=90,ZBAC=Z BAC=30,：ZABC=90,NBAC=30,BC=,：.AC=2BC=2,AB=J AC2 8 c2 =百，NCAB=60,:阴影部分的面积=无形C A C，一 S扇形D A B 八叱90%X22 60%x(g)=7 1 y/3-7 V，故答案为；土_ B.2 2【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键.1 6.如图，点 8 是 A。延长线上的一点，DE/AC,AE平分/CAB,ZC=50,Z E=30,则/C D 4 的度数等于.【答案】70。【解析】【分析】先根据平行线的性质得出/C 4 E 的度数，再由角平分线的性质求出N C 4O 的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论.【详解】:DEAC,Z=30,：.ZCAEZE=30.平分 NC4B,ZCAD=2ZCA=60.在 AC。中，：NC=50。，ZCAD=60,ZCDA=1800-Z C-N 040=180-50-60=70.故答案为:70.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形内角和定理，题目较易，是基础题.1 7.如图，已知O为原点，点A的坐标为（0,4）,点B的坐标为（3,0）,e。过4,8,。三点，点。为优弧OAB上一点（不与点0重合），则cosC的值为.4【答案】y【解析】【分析】连接4 8,利用圆周角定理得N C=/O 4 8,将问题转化到RlABO中，利用锐角三角函数定义求解.【详解】解：如图，连接AB.AAOB=90,OA=4,08=3.在 Rt/XAOB 中 AB=y/oA1+OB2=5.:ZC=ZOAB,_ AO 4cosC=cos NX）AB=-二AB 5故答案为:【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理及锐角三角函数的定 义.关键是运用圆周角定理将所求角转化到直角三角形中解题.18.为切实做好当前疫情防控工作，根据国务院联防联控机制有关规定，结合疫情流调溯源情况，某市统筹疫情防控和经济运行工作领导小组(指挥部)办公室决定，增加部分封控区、管控区、防范区.某地区根据疫情的发展状况，决定安排足量的工作人员.如图所示，把封控区、管控区、防范区根据需要设计成正多边形，各边上的点代表需要的工作人员，按此规律，则第个图形需要的数是 人.第1个 图 形 第2个 图 形 第3个 图 形 第4个 图 形 一【答案】(+2)【解析】【分析】由第1个图象是2 x 3-3,第2个图象是3 x 4-4,第3个图象是4 x 5-5,依此规律即可得出结果.【详解】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了 3个点，需要黑色棋子2x3-3个.第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了 4个点，需要黑色棋子3x4-4个.第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了 5个点，需要黑色棋子4 x 5-5个.按照这样的规律摆下去，第 个 图形需要黑色棋子的个数是(+1)(+2)-(+2)=(+2).故答案为：+【点睛】本题考查了图形的变化类问题，首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应减去，找出规律是解此题的关键.三、解答题(一)：本大题共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.计 算:.712+(2014-2015)+-I-6 tan30【答案】5【解析】【分析】先化简二次根式以及计算零指数幕，负整数指数幕和特殊角三角函数值，然后根据实数的运算法则求解即可.【详解】解：V12+(2014-2015)+-6 tan 30=26+1+4-6乂 型3=2 7 3+1+4-2 7 3=5.【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟知化简二次根式，零指数募，负整数指数幕，特殊角三角函数值的计算法则是解题的关键.2 0.先化简，后 求 值.已 知 实 数。满 足/+2 a +i=2,求 -W +（“：l）（a +2）的值.a +1 Q1 ci一2 a +1【答 案】2+2 a +11【解 析】【分 析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可.【详解】解:1 Q+2 (Q+1)(Q+2)。+1 Q-1 u,-2。+11 Q+2 (Q+1)(Q+2)Q+1 (Q+1)(Q-1)(Q_ )21 a +2Q+1 (Q+1)(Q 1)(+1)(Q+2)1 a-lQ +l (a-hl)*2ci+2。+12当/+2 a +l =2时，原 式=：=L2【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键.2 1.如图，已 知A/W C,N B 4 C =9 0。；_。+1 Q+1（4 +1）22BC(1)用直尺和圆规作出O。，使O。经过A,8两点且圆心。在8 C上(保留作图痕迹不写作法);(2)圆心。到弦A 8的距离为3,求A C的长.【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】(1)作线段A B的垂直平分线E尸交8 c于。，以。为圆心，0 B为半径作圆即可;(2)根据作图可知E F是A 8的垂直平分线，易证。是 的 中 位 线，即可求解.【小 问1详解】又；N B A C=9 0,NBDO=NBAC=90。,J.OD/AC,.0。是8 A C的中位线,：.AC=2OD=6.【点睛】本题考查了基本作图，及线段的垂直平分线的性质，三角形的中位线性质，掌握线段的垂直平分线的性质，三角形的中位线性质是解题的关键.22.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口.（1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；（2）求至少有一辆汽车向左转的概率.【答案】（1）答案见解析；（2）-9【解析】【分析】画树状图求解.可以得到一共有9种情况，两辆车全部继续直行的有1种情况，至少有一辆车向右转有5种情况，根据概率公式求解即可.【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的“树形图”：这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果（2）由（1）中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等/.p （至少有一辆汽车向左转）=39【点睛】本题考查树状图或列表法求概率，正确画图是本题的解题关键.23.为了了解全校1800名学生对学校设置的体操、球类、跑步、踢健子等课外体育活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生.对他们最喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计并绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）.（1）这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？（2）补全频数分布直方图；（3）估计该校1800名学生中有多少人最喜爱球类活动？【答案】（1）80A；（2）见解析；（3）810人.【解析】【分析】（1）利用体操的人数和百分比可求出总数为1012.5%=80（人）；（2）利用总人数和踢超子的百分比可求出其人数是8 0X 25%=20（人），补全统计图即可;（3）用样本估计总体即可.【详解】解：104-12.5%=8 0（人），一共抽查了 8 0名学生；（2）踢健子的人数=8 0 X 2 5%=2 0 （人），如图：一 人 数40.3630io_fi_ _ _ _ _ _ _ _ n 产 1 3，体 操 球 类 蹋 蛙 子 跑 步 耳 他 项 目（3）18 00 x =8 10（人），估计有8 10人最喜爱球类活动.8 0【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数目；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.四、解答题（二）：本大题共5 小题，共 40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.2 4.某中学紧挨一座山坡，如图所示，已知A 尸8 C,4 B 长 3 0 米，/A B C=6 6。，为防止山体滑坡，需要改造山坡，改造后的山坡B E 与地面成4 5。角，求 AE 是多少米？（精确到1 米）（参考数据：s i n 6 6 0.9 1.c os 6 6 0.4 1,t an 6 6 2.2 5）DB【答案】1 5 米.【解析】【分析】过 E 作 EN J _B C 于 N,则四边形A E M）是矩形，有 NE=AD,A E=D N,在 R t Zs A O B 和中都已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出A。和 B。、AE 的长.【详解】解：在 RS 4D B中，A 8=3 0 米，ZABC=66,：.AD=ABsin ZA B C=3 0 xs i n 6 6=3 0 x0.9 1=2 7.3 （米），D B=ABcosZA B C=3 0 xc os 6 6=3 0 x0.4 1=1 2.3 （米）.过 作 EN _L B C 于 N,如图所示：.四边形A EN 是矩形，:.NE=AD=T13 米，在 R t z xEN B 中，N E8 N=4 5 时，BN=EN=AD=T13 米,:.AE=DN=BN-B D=2 7.3 -1 2.3=1 5 米，答：A E 是 1 5 米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；通过构造直角三角形和矩形是解决问题的关键.2 5.如图，直线AB与反比例函数的图象交于4(-4,根)，3(2,)两点，点 C在 x 轴上，A O A C，(2)求 。钻 的面积；(3)求 s i n/0 8 4 的值.Q【答案】(1)y =X(2)6 (3)叵10【解析】【分析】(1)如图所示，过点4作 A O L x 轴于。，设反比例函数解析式为丫=工，先根据等腰三角形的性x质求出O C=8,再利用三角形面积公式求出，的值即可利用待定系数法求出反比例函数解析式；(2)先求出点8的坐标，然后利用勾股定理求出O A,OB,AB的长，过点。作 O E L A 8 于 E,利用等腰三角形的性质与勾股定理求出OE 的长即可得到答案；(3)根 据(2)所求解直角三角形即可.【小 问 1 详解】解：如图所示，过点A作轴于O,设反比例函数解析式为=幺,X 点 4 的坐标为(-4,m),AC=AOf AD VOC,(?C=2 O)=8,AD=in,A O C的面积为8,：.-O C A D S,2-x Sm=8 ,2.*./n=2,k=Tx 2=8,Q 反比例函数解析式 y =-；x【小问2详解】Q解：反比例函数解析式为y =，点、B(2,)在反比例函数图象上,x8n-即 =-4,2工点8的坐 标 为(2,-4),；OA=J(-4 y+2 2 =2瓜 OB=百 +(4丫 =2亚,A B =(-4-2)2+2-(-4)2=6 7 2，：.OA=OB,过 点。作。E L A 8于E,Z.4 E =8EA B =3&,2O E =y J o -A E2=7 2，5AAO=A B O E=6-,s i n N O B A=s i n Z O B E =O B 1 0【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的应用，求正弦值，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键.2 6.如图，在四边形4 8 C。中，A B/C D,点E是对角线A C上一点，Z A D C =Z A B C.(1)求证：四边形A B C。是平行四边形：(2)分别过点E,B作E F H AB,B F/A C,当N F C E和Z D C E满足怎么样的数量关系时，四边形我 尸。是菱形？请说明理由.【答案】(1)见解析(2)N F C E =/D C E,理由见解析【解析】【分析】(1)根据A R/C Z)得力钻C+4 C D=1 8 0。，根据N A C =NABC等量代换得Z A D C +/B C D =18 0 得 A D/B C,即可证得结论；(2)根据律A B,B F A C得 四 边 形 是 平 行 四 边 形，根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 砂，A B =E F，根据四边形A B C。是平行四边形得A B a,A B =C D,等量代换得C E F,C D =E F ,即可得四边形E C 3是平行四边形，根据C D 即，即可得平行四边形E F C。是菱形.【小问1详解】证明：A 8 C O,Z A B C+Z B C D 80,：Z A D C =Z A B C,：.ZADC+ZBC)=18 0.ADI IBC,四边形A B C。是平行四边形.【小问2详解】当N F E C =N E C D 时,四边形EFCD是菱形，理由如下：解：,/EF/AB,B F/AC,四边形ABEF是平行四边形，:.A B =E F，四边形A B C D是平行四边形，/AB/CD,A B =C D,：.C D/E F,C D=E F,：.四边形E F C D是平行四边形，；CD/EF,：./F E C =4 E C D,：Z D C E =AFCE,：.N F E C =N F C E,：.EF=FC,平行四边形EFC。是菱形.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识点并能准确应用其解决问题.27.如图，BE是AABC的角平分线，NC=9 0 ,点。在4B边上，以OB为直径的。经过点E,交.BC于点F.(1)求证：AC是。的切线；3(2)若sinA=二，。的半径为5,求ABEF的面积.【答案】(1)证明见解析(2)12【解析】【分析】(1)连接0 E.根据O8=OE得到N 08E=N 0E B,然后再根据8E是AA8C的角平分线得到N O E B=N E B C,从而判定OEB C,最后根据/C=90。得到/A E O=/C=90。证得结论AC是。的切线.(2)如图所示，过点E作石6,4 8于6,连接。凡 先 解 直 角 三 角 形 求 出 从 而 求 出A E,即可利用面积法求出E G,即可利用角平分线的性质求出CE的长，再解直角三角形求出3F的长即可.【小 问 1详解】解：连接。OB=OE,:.NOBE=NOEB,：BE是/A B C 的角平分线,：./O BE=N EBC,：.NOEB=NEBC,：.OE/BC,V Z C=90,：.ZAEO=ZC=90,；.AC是。的切线；解：如图所示，过点E 作 EG L4B于 G,连接。F,3V sin A=-,OE=5,NAEO=90,5Q 4=OE 25-=-sin A 3AE=ylOA1-O E2=,3 SZ.-AA/l O匚E=-O E A E =-O A E G,EG=4,BE平分/ABC,EG1,AB,ZC=90,:.EC=EG=4,BO是圆。的直径，：.ZBFD=ZC=90f：.AC/DFf:B D F=4A,BF=BD-sinZB D F=B D sin A=6,BEF=gBF-CE=12.【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，解直角三角形，角平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线是解题的关键.2 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=办 2+/次+4 与x 轴交于4,B两 点(点 A 在原点左侧，点 B 在原点右侧)，与 轴交于点C,已知OA=1,OC=OB.(1)求抛物线的解析式；(2)若D(2,m)在该抛物线上，连接CQ,D B,求四边形。CQB的面积；(3)设 E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点F,过点E作轴于点”，再 过 点 尸 作 轴 于 点 G,得到矩形EFGH.在点E 运动的过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长.【答案】(1)y=-%2+3x+4.；(2)16；(3)正方形的边长为a一2 或 J 芯+2.【解析】【分析】(1)先求出点C 的坐标，则 B 的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)求出D 的坐标，作 DM_Lx轴于点E.则 S 边 彩OCDB=S榜 彩OCDM+SABMD,利用C、D 的坐标即可求出四边形OCDB的面积；(3)分两种情况考虑，当点E 在 x 轴上方和下方，根据E和 F 关于对称轴对称，然后利用正方形的性质即可列方程求解.【详解】解：(1)在 y=ax?+bx+4中，令 x=0,得 y=4,则点C 的坐标是(0,4).vOC=OB,.B 的坐标是(4,0).抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2).,.点 D(2,m)在抛物线 y=-x2+3x+4 上，/.-4+6+4=m,解得 m=6.所以 D(2,6).作 DM_Lx轴于点M,如图所示.贝 I S 四 边 形OCDB=S 梯 形OCDM+SABMD=g x(4+6)x2+y x2x6=10+6=16.(3)抛物线的解析式为y=-X2+3X+4,7 Q 抛物线的对称轴是X=2 a 2如图，设点 E 的坐标为(x,-x2+3 x+4),则点 F 的坐标为(3-x,-x2+3 x+4),E F=x-(3-x)=2x-3.四边形E F G H 是正方形，.E F=E H.当 E在 x 轴上方时，2x-3=-x?+3 x+4,解得x i=匕 且 9 ,x?=-正 2 (舍去)2 2.，E F=V 2 9-2：当 E在 x 轴下方时，2x-3=-(-x2+3 x+4),解得 x i=+回，(舍 去).2 2E F=屈+2.所以正方形的边长为J 沟-2 或 回+2.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、图形面积的分割、正方形的性质，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键.