湖南省岳阳市2021-2022学年高二下学期期末数学试卷及答案.pdf

岳阳市2022年高二教学质量监测数学本试卷共6页，22小题，满 分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写在答题卡上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、单 选 题(本大题共 8 个小题，每 小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合力=1,2,3,4,8=x|2x 3W0,则/n 8 =A.4 B.x|-lx3 C.1,2,3D.2,3,4)2.已知li为虚数单位，则复数乜 的 模 等 于1 +2;A.1 B.1 +z C.1 i3.平面a与平面4平行的一个充分条件是A.平面a内有一条直线与平面户平行B.平面a内有两条直线分别与平面，平行C.平面a内有无数条直线分别与平面月平行D.平面a内有两条相交直线分别与平面月平行4.过点Z(2,1)且与直线/:2x 4y+3=0垂直的直线的方程是A.x-2 y =0 B.2x+y-5=0C.2 x-y-3 =0 D.x+2 y-4 =0D.V25.在 平 行 四 边 形/B C D中，A E =-A B,C F =-C D,4 4。为E R的 中 点，设A B=5,A D =b,则 A O =1 _ 1 -3 1 -1 3-A.a H b B.QHb C.adb2 2 8 2 2 83-1 rD.a+b4 46.函数/(x)=2闵t sin(3x)(-万X 0,y 0,且2 x+8 y-孙=0,则A.x +y的最小值为1 8 B.孙的最小值为6 4C.x?+尸 的 最 小 值 为1 2 8 D.r-的最小值为一x2 y2 81 2.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，/(x)=%一1).则下列结论正确的是A.当x 0 时，/(x)=e*(x +l)B.函数/(X)有两个零点C.若方程/(x)=加有三个解，则实数加的取值范围是/(-2)m 0)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移今个单位长度，得到函数y =g(x)的图像，若函数y =g(x)为偶函数，则。的最小值为.1 5.已知双曲线。的中心在原点，以坐标轴为对称轴，从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件，求双曲线C的标准方程.一个焦点坐标为(2,0);经过点(、万,0);离心率为J 5 .你选择的两个条件是(填 序 号)，得到的双曲线。的标准方程是.1 6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名了“高斯函数”.即：设x e R.用 x 表示不超过x的最大整数，则夕=卜 称为高斯函数，也称为取整函数，例如：-3.7 =-4,2.3 =2.已知/(x)=二 一 一 则 函 数e+1 2y =/(x)的值域为.四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)1 7 .(本 题 满 分 为1 0分)已 知 等 差 数 列 ,满 足%=3,%=2，等 比 数 列 满足4=1,4=8；,侧 面 44CC，侧面（1）求数列 4 和 也 的通项公式；（2）求数列 4+4 的前项和.1 8 .（本 题 满 分 为 1 2 分）已 知 A48C的 内 角 4 B、C的 对 边 分 别 为 a、b、c,且in=（c os A,I）,n=（2b-a,2c）,ini In.（1）求角C的大小；（2）求 2 c os Z +c os 8的取值范围.1 9 .（本 题 满 分 为 1 2 分）如 图，在 直 三 棱 柱 N BC-Z4G中A A B B,M、N 分 另 U 为 B C、4a的中点，A B =A C=4,A Ay=3;（1）求证：直线A/C /面 Z8N；（2）求异面直线/G，与 8N 所成角的余弦值.2 0 .（本题满分为1 2 分）某校高二年级将某次学业水平合格性考试模拟考试的数学成绩（百分制，均为整数）分 成 4 0,5 0）,5 0,6 0）,6 0,7 0）,7 0,8 0）,8 0,9 0）,9 0,1 0 0 六组后，得到部分频率分布直耀（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求成绩位于 5 0,6 0）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）数学老师从这次模拟考试的数学成绩不及格（6 0 分以下）的学生中,用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2人进行交谈，了解他们数学学习的困难，为他们后阶段数学学习提供指导，求 这 2名学生这次模拟考试的数学成绩分别位于4 0,5 0）,5 0,6 0）两个不同区间的概率.2 1 .（本题满分为1 2 分）已知函数/（x）=1 n x-o x；（1）若直线夕=一1 与函数y=/（x）的图像相切，求实数a的值：（2）若函数/（x）有两个零点，求实数a的取值范围.2 2 .（本题满分为1 2 分）如图，直线4 :x+y-3 =0与椭圆C:=+=l（a60）相交a b于/、B两点、,且 45的中点为（2,1）；（1）求椭圆的离心率；（2）若直线与：x y T=0 与椭圆相交于尸、0两点，求i 正 4 B、P、。四点在同一个圆上.岳阳市2023届高二期末质量监测试卷数学参考答案一、单选题l.C 2.D 3.D 4.B 5.A 6.A 7.C 8.A二、多选题9.BC 1 0.AB 11.ABD 1 2.AC三、填空题1 3.9 1 4.815.，=1 或，-=1 或，1 1 6.-1,03 2 2 3 3四、解答题17.解：(1)设 等 差 数 列%的 公 差 为“，则=g,所 以9 a=ai+(n-3)d=-设等比数列也 的公比为g,则/=%=8,所以q=2,4=如7=2，(2)因为4+4=匕+2 L 2所以%+a的前项和为邑=2 _ x+l z二=17-+2“_ i J 2 1-2 41 8.解：(1)因为玩/万，所以2 cco s/-2 b +a =0 ；由正弦定理知：2 si n C co sA-2si n(J +C)+si n 4=0所以2 si n/co sC =si n Z,又si n 4 01 JI所以 co sC =-,C =2；2 3(K(万、(2)法一：2 co s4 +co s8 =2 co s4-co s A+=v3 si n A+I 3 j I 3)2 4 TL TT(因为0力 ,，所以-A +-7V,所以0 si n /+4 1所 以3 3 3 I 3 J0 2 co s A+co s 5 V 3法二：因为C =工，c2=a2+h2-2abcosCa2+h2-ab3所以 2 co s/+co s 8 =夕+，二-二+工+，二be 2ac2b-a 2a-b 3 b-+-=一c 2c 2c_ 3 si n 52 si n C=V i si n 5因为083，所以0 s i n 8 4 1,所以0 2 co s/+co s3 4百31 9.(1)证明：取 的 中 点P,连结P M、PN因为M、N分别为8 C、/G的中点，所以A/P/C且MP=L/C,又在直三棱柱/8 C一小3 1 G中，2G N/C 且 C i N=；/C,所以 MP GN 且 MP=N,所以四边形P NG为平行四边形，所以NCJ/PN因为A/G 且平面/B N,PN U平面/8 N,所以直线A/G 平面Z8 N；(2)解在直三棱柱Z8 C一小。，中4 4 平面/B C,所以4 B L 4 4,又侧面/小GC _ L侧面/小历8,平面“小G C C平面4 4I8|8=44I，所以平面/C G小，分别以/C、/小、所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知C|(4,3,0),B(0,0,4).N(2,3,0),M(2,0,2)所 以 宙=(2,3,-2),丽=(2,3,-4)；山一 IT T；MC,-BN 2 x2 +3 x3 +(-2)x(-4)2 1 7 4 9 3所以 co s=_ _=-f=-4 )=-.阿卜 8 N|22+32+(-2)2 7 22+32+(-4)2 4 9 32 1 V 4 9 3所以异面直线M g与8 N所成角的余弦值为 .4 9 32 0.解：(1)由频率分布直方图知，数学成绩位于5 0,6 0)内的频率为P =l-1 0(0.0 0 5 +0.0 2 0 +0.0 3 5 +0.0 2 0 +0.0 1 0)=0.1补全频率分布直方图如图所示：(2)因为数学成绩位于4 0,5 0)内的频率为1 0 X0.0 0 5=0.0 5,所以用随机分层抽样的方法随机抽取6名中,有 2人的数学成绩位于4 0,5 0),记作，6：有 4人的数学成绩位于5 0,6 0),记 作 1,2,3,4；从中任 取 2人的所有可能的取法有：(a,b),(a,l),(a,2),(a,3),(a,4),(6,1 ),(b,2),(6,3),(6,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)(2,4),(3,4),共 1 5 种，其 中 这 2名学生这次模拟考试的数学成绩位于4 0,5 0),5 0,6 0)两个不同区间的取法有(a,l),(a,2),(a,3),(a,4),(瓦 1),(b,2),(b,3),(仇4),共 8种，所以这2名学生这次模拟考试的数学成绩位于Q4 0,5 0),5 0,6 0)两个不同区间的概率为P =2 1 .解：/(x)的定义域为(0,+8)且 fx)=-a=-X X(1)设/(x)的图像与直线y =-l相切于尸(X。,1),则/(x 0)=0所以 x=,/(x)=/L =lnL _ l=_ la a)a所以a =l;(2)当aWO时，/(乃0 在(0,+8)上恒成立，所以/(x)在(0,+8)上单调递增，与已知矛盾，因此 a0；由/(x)0 及x 0 得0 x ，由/(x)0 得a a所以/(x)在j o,，上单调递增，在(工,+oo上单调递减；k a)a)所以/(x)极大=/(，)=-I na _1 0 即 lna e,又/=-a 0,所以/(x)在(1,，有一个零点;e)a a)a)令 g(x)=V-e则 gr(x)=2 x-ex9 g (x)=2 e”,由于 g (x)。在(e,+oo)上恒成立,8 (工)=2%一产在(2十 8)上单调递减，所 以 g(x)2 e e e 0,所 以 g(x)=/一产在(e,+0 0)上单调递减，所以g,g(e)=a所以/(x)在 口,上 有 一 个 零 点；综上知当a m时函数/(X)有两个零点.a e2 2 .解析：(1)设 4(,必)、则4i+2=i/b22 2J五=1L2 b2两式相减得：+G+（？+%）=oa h因为 X 1 +x,=4,y+y2=2,y=-1X i f所以与二工4 2=二2 =,，所以e=Ea2 2a2 a2 2 2（2）设P（X 3，%）、。（4，%）2 2 y=1由 b2 得 3 f-4 x +2-2 =0 x-j-1=04 2-2b2（2 1A所以 X3+%=y,x3x4=广,P0 的中点为 所以|P。|=+Z）、4无3X 4=吗-1 一 上必-p-1由 h2 得 3-12x+1 8-2/=0 x+y-3 =0所以苞+%=4,再=生产所以|1=V2A/（XI+X2）2-4X1X2=M g r由已知可得4为 的 中 垂 线 且|MN|=4V2,2,362_91 j 4 0 Ti 3广斤）2yl3b2 -T I 00|3 2所以|附|=|稗|=/号 J +M所以/、B、P、。四点在以尸。为直径的圆上.