2020届中考数学十大题型专练卷10二次函数的综合应用题（含答案）.pdf

2020届中考数学十大题型专练卷题型1 0二次函数的综合应用题一、解答题1.如图，抛物线y =V+Zz x+c与x轴交于A、8两 点（A在3的左侧），与y轴交于点N,过A点的直线/：y =丘+与y轴交于点C,与抛物线y =-d+历c+c的另一个交点为。，已知A（1,0）,（5,-6）,P点为抛物线y =-V+法上一动点（不与A、。重合）.（1）求抛物线和直线/的解析式；（2）当点P在直线I上方的抛物线上时;过P点作P E x轴交直线/于点E,作P F U y轴交直线/于点F,求尸E +PR的最大值；（3）设M为直线/上的点，探究是否存在点M,使得以点N、C,M、尸为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点例的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y =-d+3 x+4,直线/的表达式为：y =-x-l；（2）P E+P产最大值：1 8；（3）存在，P的坐标为：（2 +9,一3-旧）或（2-旧,一3 +9）或（4，-5）或（-4,3）.【分析】（1）将点A、Q的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2）P E+P F=2 P F=2 C -X2+3X+4+X+）=-2（方 2 +1 8，即可求解；（3）分N C是平行四边形的一条边、N C是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可.k+=0 k=1【详解】解：（1）将点4、。的坐标代入直线表达式得：一，解得：一，5 Z+=-6 n-故直线/的表达式为：y=x-l,将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y =-x2+3x+4（2）直线，的表达式为：y=-x-l,则直线/与x轴的夹角为45 ,即：则 P E=P E,设点 P 坐标为（x,-%2 +3 x +4）、则点 F（x,-x-1）,P E+P F=2 P F=2（-X2+3X+4 +X+1）=-2（x-2）2+1 8,-2 0,故P E+P F有最大值，当x=2时，其最大值为1 8；（3）N C=5,当N C是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x,-%2+3X+4）、则点M（X,-尸1）,由题意得：1丁 丁%1=5，即：l-x2+3 x+4+x+l|=5,解得x=2土 Ji Z或。或4（舍去0）,则点P坐标为（2+J1 7,-3-旧）或（2-旧,一3 +旧）或（4,-5）：当N C是平行四边形的对角线时，则N C的中点坐标为（一;,2）,设点P坐标为（m,-毋+3 m+4）、则点M（，-n-1）,N、C,M、2为顶点的四边形为平行四边形，则N C的 中 点 即 为 中 点,1 m+n -m2+3m +4-n-l即：=-,2 =-,2 2 2解得：机=0或-4（舍去0）,故点 K -4,3）；故点 P 的坐标为：（2+M,-3-J F 5）或（2-9,一3+9）或（4,-5）或（-4,3）.【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与儿何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.2.已知二次函数丁 =62（“。0）的图象过点（2,7），点p （p与o不重合）是图象上的一点，直线/过点（0,1）且平行于1轴.P M _ U于点M ,点F（0,-l）.（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P在线段M F的中垂线上；（3）设直线PR交二次函数的图象于另一点Q,Q N 工I于点、N ,线 段 的 中 垂 线 交/于 点R ,求=7的值；（4）试判断点R与以线段尸。为直径的圆的位置关系.【答案】（1）y =-y x2；（2）见解析；（3）竺=1；（4）点R在以线段PQ为直彳仝的圆上4 R N【分析】（1）把点（2,-1）代入函数表达式，即可求解；（2）即玉2=T y,pM=|1-|,又P F=J（x,_ 0 C+（y+以=J-4y +y；+2y+1 =-1|=PM ,即可求解：（3）证明M R 乌 k P F R（S AS）、R t R F Q g R t R N Q （H L）,即 R V =F R ,即 M R =f T?=R N,即可求解；（4）在 AP Q R 中，由（3）知 PR 平分 N M R F,Q R 平分 NF R N,则 N P R Q =g（N M R F+N FR N）=90,即可求解.【详解】解：（1）丁 =奴2（。#0）的图象过点（2,-1）,r r E 1 1 7*-1 =2 x 2*即=二，y=X；4 4（2）设二次函数的图象上的点P（%，M）,则“（办），y=_；x：，即 片=-4y,又 P F =J(%-O)2+(y+=S+N+2 X+1 =E 1|=PM，即 P F =P M ,.点P在线段M E的中垂线上；(3)连接R尸,：R在线段MF的中垂线上，/.M R =F R,乂：P M =P F ,P R =PR,：.P M R 丝 k P F R(SAS),；N P F R =N P M R =9 0，R F P F ,连接 R Q，乂在 R t X R F Q 和 R t R N Q 中，1 ,.。在y =-x 2的图象上，由(2)结论知.Q R u Q N,4.R Q =RQ,.R t R F Q R t R N Q (HL),即 R N =F R ,即 M R =F R =R N，M R ,:.=1 ；R N(4)在A P Q R中，由(3)知 P R 平分N M R F,Q R 平 分乙F R N ,：.Z P R Q =N M R F+4 F R N)=90,点R在以线段P。为直径的圆上.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其 中(3),证明 X P M R 也 P F R(SAS)、R t R F Q R R t R N Q (HL)是本题解题的关键.3.如图，抛物线了 =办2+笈+。与轴交于点A(一1,0),点8 (-3,0),且08=0C,(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，且/尸08=N 4 C B,求点尸的坐标；(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为如点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点，过点D作y轴的平行线交M N于点E,求DE的最大值.点D关于点E的对称点为凡当m为何值时，四边形M DN F为矩形？y【答案】尸 一/_4%-3：(2)点P坐标为(-2,1),或(*;)或(-9；屈 9；呵或9+V33 9+V33(3)当f=m +2时，OE最大值为4,当m=一4 +走 或-4一 走 时，四边4 8 2 2形M DN F为矩形.【分析】(1)已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式)=(x+1)(x+3)；由0C=0B=3得C (0,-3),代入交点式即求得a=-L(2)由N P O 8=/A C 8联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线P”得放 P C W,故可过点A在B C边上作垂线A G,构造 ACGS P O H.利用点A、B、C坐标求得A G、C G的长，由相似三角形对应边成比例推出黑=空=1.设点尸横坐标为P，则。与P 都能用p表示，但需按P横纵坐O H C G 2标的正负性进行分类讨论.得到用。表示。”与P H并代入O H=2 P H计算即求得的值，进而求点P坐标.(3)用机表示股、N横纵坐标，把?当常数 求 直 线 的 解 析 式.设 横 坐 标 为3把广f代入直线MN解析式得点E纵坐标，/)与E纵坐标相减即得到用机、/表示的D E的长，把机当常数，对未知数/进行配方，即得到当f?+2时，D E取得最大值.由矩形M A W尸得M2。尸且MN与。尸互相平分，所以E为MN中点，得到点。、E横坐标为5+2.由得仁川+2时，D E=4,所以M N=8.用两点间距离公式用，表 示MN的长，即列得方程求，的值.【详解】解：(1)抛物线与x轴交于点A (-L 0),点8 (-3,0)设交点式 y=”(x+1)(x+3)0C=0B=3，点C在)，轴负半轴：.C(0,-3)把点C代入抛物线解析式得：3 a=-3/.a=-1，抛物线解析式为y=-(x+1)(x+3)=-f-4 x-3(2)如 图1,过点A作AG8c于点G,过点P作轴于点”ZAGB=ZAGC=Z PHO=90V ZACB=ZPOB：.RACGs APOH.AG CG.A G-P H,C G -O H：OB=OC=39 ZBOC=9()：.ZABC=45,BC=y/OB2+OC2=372 A8G是等腰直角三角形AG=BG=AB=y/22：,CG=BC-BG=3 C-叵=2 亚 _P_H_ _ _A_G_ _ _1,OHCG2：.OH=2PH设 尸(p,-p工4p-3)当p V-3或JV p V O时，点P在点8左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数：OH=-p,PH=-(-p?-4p-3)=/+4p+3-p=2(/?2+4/?+3)貂徨 9 +65 9 +3 3解传：p=-,p2=-(9+7 3 3 9 +属)(-9 +屈 -9+庖一产J当-3 p 0时，点？在A8之间或在点C右侧，横纵坐标异号；=2(/+4p+3)3解得：p i=2 P2=-综上所述，点 P 的坐标为（2,1）,或（一g j）或（-9 屈，-9;屈）或（_9七 咨,_9+咨）；/.M (?,F-4怯3),N(加+4,-12也35)设直线M N解析式为y=kx+nkm+n=-n r -4m-3k(m+4)+n=-m2-12 z-35k=-2 m 8解得：1，4,n=m+4 m-3；直线 MN：y=(-2m-8)x+m2+4m-3设。(3-r-4/-3)(/V/Vm+4).QEy 轴/XE=XD=t,E(t,(-2/H-8)f+?2+4，-3)DE=-C-4t-3-(-2/n-8)Z+/w2+4n?-3=-Z2+(2m+4)t-m2-4m=-t-(m+2)+4.当 片?+2 时，Q E的最大值为4.如图3,F关于点E对称：.D E=EF.四边形M O N F是矩形：.M N=D F,且M N与。尸互相平分：.D E=-MN,E 为 M N 中点2m+m+4 日xD=xE=-=m+2由得当冷山+2时，OE=4：.MN=2D E=8(o i+4-m)2+-f f l2-1 2 m-3 5-()2=82解得：/n =-4 -,m,=-4 +2 2m的值为一4一 正 或-4 +1时，四边形M DN F为矩形.2 2【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩 形 的 性 质.第（3）题没有图要先根据题意画草图帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算.4.如图，已知直线43与抛物线C：y a x2+2 x+c相交于A（1,0）和点5（2,3）两点.求抛物线。的函数表达式；若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以M A、M 3为相邻两边作平行四边形A M N B,当平行四 边 形 的 面 积 最 大 时，求此时四边形K 4N B的面积S及点M的坐标；在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y =4的4距离，若存在，求出定点尸的坐标；若不存在，请说明理由.1?7(1 15、【答案】(l)y =/+2x+3：当。=耳，S n MA Nfl=2S A A B M =,此时M万,彳卜 存在.当/时，无论x取任何实数，均有尸G =P厂.理由见解析.【分析】(1)利用待定系数法，将4 8的坐标代入产o?+2 x+c即可求得二次函数的解析式；(2)过 点 例 作 轴 于H,交直线A B于K,求出直线A 8的解析式，设点M (“，才+2”+3),则K(ma+1),利用函数思想求出M K的最大值，再求出A A M B面积的最大值，可推出此时平行四边形M 4 N 2的面积S及点M的坐标；(3)如图2,分别过点5,。作直线 尸 的垂线，垂足为N,H,设抛物线对称轴上存在点F,使抛物线 41 7C上任意一点尸到点尸的距离等于到直线y=的距离，其中F(l,a),连接BF,C F,贝l j可根据BF=BN,4C F=C N两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可.【详解】(1)由题意把点(-1,0)、(2,3)代入产a 2 +c =0得，,4 a+4 +c =3解得 a=-l,c=3,：.此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2 x+3 ；(2)如 图I,过点M作轴于“，交直线A 8于K,将 点(-1,0)、(2,3)代入广履+b中,-k+b=0得，2k+4 3解得，E,b=,VA f l=x+l ,设点 A/(67,-a2+2a+3),则 K(a,a+1),贝ij MK=-J+2 a+3-(a+1)=(一1)2H-9,2 41 9根据二次函数的性质可知，当 赤 彳时,根K有最大长度：,2 4S&AMB 域 SRAMK+S&RMK=MK*AH+MK9(x/物)2 21 z、=-MK(,XB-XA)2_27 ,8二以A M、MB为相邻的两边作平行四边形M A N S,当平行四边形M A N S的面积最大时,2727115S 火=2SA4“8 卅 大=2X -,M(-,8424(3)存在点尸,.=-X2+2X+3=-(j c-1)2+4,.对称轴为宜线广1,当)=0 时，X|=-l,、2=3,二抛物线与点x轴正半轴交于点C (3,0),如图2,分别过点B,C作直线广工 的垂线，垂足为N,H,4抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线尸 二 的 距离，设尸(1,a),4连接B F,C F,17 5 17贝 ij B F=B N=-3=，C F=C H=，4 4 4(2 1)2+(a 3)2=图由题意可列：，(3一1+/=(9)解得，a=-,4：.F(1,).4【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四 边 形 的 面 积 最 大 时，A 8 M 的面积最大，且此时线段MK的长度也最大.5.如图，抛物线y=a f+法(a 0)过点E (8,0),矩形A B C O 的边A 6 在线段OE上(点 A在点B的左侧)，点 C、。在抛物线上，N8AO的平分线AM交 8c于点点N是 C 的中点，已知O A=2,且。4：(1)求抛物线的解析式;(2)F、G分别为无轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、尸构成四边形M N G F,求四边形M N G F周长的最小值；(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使A O C P中。边上的高为小 何？若存在，求出点P的坐5标；若不存在，请说明理由；(4)矩形A B C Q不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、3且直线K L平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.【答案】(1)y=y x2-4.r；(2)四边形M N G F周长最小值为12 0；(3)存在点P,P坐 标 为(6,-6)；(4)抛物线平移的距离为3个单位长度.【分析】(1)由点E在x轴正半轴且点A在线段O E上得到点A在x轴正半轴上，所以A (2,0)；由O A=2,且O A：A D=：3得A D=6.由于四边形A 8 C D为矩形，故有所以点。在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点。坐标.由抛物线经过点。、E,用待定系数法即求出其解析式；(2)画出四边形M N G凡 由于点尸、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M,作点N关于y轴的对称点点M,得F M=F M G N=G N.易得当M F、G、M在同直线上时最小，故四边形M N G F周长最小值等于M N+M W.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M、N、M坐标，即求得答案；(3)因为0。可求，且已知O C P中。力边上的高，故可求A O D P的面积.又因为A O D P的面积常规求法是过点P作P Q平行y轴交直线O D于点Q,把O O P拆分为a O P。与ACPQ的和或差来计算，故存在等量关系.设点P坐标为t,用 表示P Q的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点尸在x轴下方的条件；(4)由A X平分矩形A 8 c。的面积可得K在线段A8匕L在线段C O上，画出平移后的抛物线可知，点K由点。平移得到，点L由点。平移得到，故有K(?,0),L(2+m,-6).易证K A平分矩形面积时，K L 一定经过矩形的中心”且被平分，求出“坐标为(4,-3),由中点坐标公式即求得，的值.【详解】(1).点A在线段O E上，E(8,0),O A=2(2,0)：O A：A D=1：3：.AD=30A=f：四边形A B C D是矩形.AD AB：.D(2,-6)抛物线y=a r 2+b x经过点O、E14。+2。=-66 4。+助=0解得：a 2抛物线的解析式为y=y x2-4x(2)如 图 1,作点M 关于x 轴的对称点M,作点N 关于)，轴的对称点M,连接FM、GN、MW1 ,I,V y=-JT-4x=-(x-4)2 -82 2，抛物线对称轴为直线x=4 点C、。在抛物线上，且。不轴，D(2,-6)%、=-6,即点C、D 关于直线x=4 对称Axc=4+(4-切)=4+4-2=6,即 C(6,-6)：.AB=CD=4f B(6,0)TAM 平分NBA。，ZBAD=ZABM=9Q：.ZBAM=45：.BM=AB=4：.M(6,-4)丁点M、M 关于x 轴对称，点尸在x 轴上：.M(6,4),FM=FM ；N为CD中点：.N(4,-6)丁点N、乂关于y 轴对称，点 G 在 y 轴上:.N(-4,-6),GN=GN：.C 四 边 形 MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+NG+GF+FM ,当M、F、G、M在同一直线上时，NG+GF+FM=MN最小4)?+(+6)2 +J(6+4+(4+6)=2五+10点=12 应二四边形MNG尸周长最小值为1 2 a.M过点P作PQ/y轴交直线。于点Q6V105,:D(2,-6)8=+6 2 =2而，直线。解析式为y=-3x1 ,设点 P坐 标 为(f,-r-4/)(0 z+切-xp)=PQ*xD=PQ=-/+/乙 乙 乙 乙 乙V AODP中OD边上的高h=生 叵.51 S、ODP=OD*h1 2 1 -)/77T 65/10-r+r=-x 2 V n)x方程无解如图3,当 2 V/V 8 时，点尸在点力右侧解得：八=-4（舍去）,：.P（6,-6）综上所述，点尸坐标为1 2 1 2PQyp-yn r -4t-（-3r）t-t2 21 1 1 1 1 2-St,0DP=S0PQ-S）PQ=-PQXp-PQ*（x p-初）=P Q（Xp-Xp+XD）=PQXr）=PQ=-1 乙 乙 乙 乙 乙、-5“=6（6,-6）满足使A。）尸中0。边上的高 为 鼠 叵.5（4）设抛物线向右平移m 个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L：K L平分矩形ABCD的面积.K在线段AB上，L 在线段CD上，如图4:K（？，0）,L（2+/H,-6）连接A C交KL于点H图4 _ _ 1 S&ACD=S N边的 ADLK=-S 肉形 ABCD,*S2AHK=SxCHL*：A K/L C：.A H K s A C H Lq.AAHK一 sACHL(AH?,K H、2-=(-)-I CHJ H L：.A H=C H,K H=H L,即点，为AC中点，也是KL中点：.H(4,-3)m+2+m,二-=42抛物线平移的距离为3个单位长度.【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式.易错的地方有第（1）题对点。、C、8坐标位置的准确说明，第（3）题在点。左侧不存在满足的尸在点力左侧的讨论，第（4）题 对KL必过矩形中心的证明.6.如图，在直角坐标系中，直线y=-；x+3与轴，丫轴分别交于点8,点C，对称轴为x=l的抛物线过5,C两点，且交x轴于另一点A,连接AC.（1）直接写出点A,点8,点。的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点。除外），使以点Q,A,8为顶点的三角形与A48C相似？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)尸 一;x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=6,故点8、C的坐标分别为：(6,0)、(0,3),即可求解；(2)PH=PG cos a=x2+x +3 +x-3，即可求解：5 (8 4 2 )(3)分点Q在x轴上方、点。在x轴下方两种情况，分别求解.【详解】(D y =-；x +3,令 x =0,则 y =3,令 y =0,则 x =6,故点6 c的坐标分别为(6,0)、(0,3),抛物线的对称轴为x =I,则点A(-4,0),则抛物线的表达式为：y =a(x 6)(x+4)=a(x2 2x 2 4),即 2 4。=3,解得：a=一一，81 9 1故抛物线的表达式为：y =一一x-+-X +38 4(2)过点P作y轴 的 平 行 线 交 于 点G ,作PHLBC于点”，将点B,C坐标代入一次函数表达式并解得：直线8 c的表达式为：y =-g x +3,O C 1则/H P G =Z.C B A -a,t a n ZC B A -=t a n a ,则 c o s a=OB 2设点。(左一!/+，x +3),则点G(x,-1 x +3),8 4 2则 P H =P G c o s a =(-x2+X+3+X-3)=-X2+-X5 8 4 2 2 0 1 0*；_ 且 0,故PH有最小值，此时x =3,2 02 1则点 P(3,)；8(3)当点。在X轴上方时，则点Q,A B为顶点的三角形与 A B C全等，此时点。与点。关于函数对称轴对称,则点。(2,3)；当点。在x轴下方时，Q,A,B为顶点的三角形与A A B C相似，则Z A C B =Z Q A B ,当 N A 8 C =N A B Q 时，直线B C表达式的k值为-；，则直线B Q表达式的女值为:，设直线B Q表达式为：y=x+b,将点B的坐标代入上式并解得：直线8 Q 的表达式为：y =g x -3，联立并解得：x =6或-8(舍去6),故点。(。.)坐标为(一8,-7)(舍去)；当 N A B C =N A B Q 时，3 9同理可得：直线3。的表达式为：y =，联立并解得：x =6或-1 0 (舍去6),故点Q(。)坐标为(T O，-12),由点的对称性，另外一个点Q的坐标为(1 2,。2)；综上，点。的坐标 为:(2,3)或(1 2,-1 2)或(-1 0,-1 2).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其 中(3),要注意分类求解，避免遗漏.7.如图，在平面在角坐标系中，抛物线产-2%-3 与 x 轴交与点A,B （点 A在点8的左侧）交 y轴于点C,点。为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E.（1）连结点M 是线段8。上一动点（点 M 不与端点8,。重合），过点”作 交 抛 物 线 于 点N （点 N 在对称轴的右侧），过点N 作 N HLx 轴，垂足为H,交 8。于点F,点 P是线段0C上一动点，当M N 取得最大值时，求 4 F+F P+g p C 的最小值；（2）在（1）中，当 取 得 最 大 值 H F+F P+1/3 P C 取得小值时，把点P向上平移个注单位得到点Q,连2结 AQ,把a A。绕点。瓶时针旋转一定的角度Q （0 a 应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半取42的中点G,连接。G,则。G=GQ=!AQ=好，此时，/A Q O=N G O Q,把A A O。绕点。顺时针旋转-一定的角度2 2a(0 E F =-e+3 e=-(e-)+-,3 9二当6 =彳 时，四边形C E O尸的面枳最大，最大值为二.2 4 由(1)可知 N O A C =N O C A =4 5。由 X P C Q s AC 4 P 可得 N Q C P =Z O A C=4 5 Z Q C P =ZOC A,:.Z A C P =N B C O ,由仇一 1,0),C(),3)可得 t an N B C O =-3/.t an Z A C P =,3作 P”_LAC于“点，设P(m,0),则 A P =3 a,万 x/2*.P H =A H =,C/7=(3+m).2 2V2.*V 2 I;而(3+7/z)M*,即胃J3解得加=彳23二 P(-,O).,3 /：y=-x H.2【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键.39.如图，已知抛物线y=a(x+2)(x 6)与x轴相交于A、B 两 点,与N轴交于C点，且sNCA5=J.设抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N.(1)求抛物线的解析式；(2)P为抛物线的对称轴上一点，。(,0)为龙轴上一点，且PQPC.当点P在线段M N(含端点)上运动时，求及的变化范围；当n取最大值时，求点p到线段C Q的距离；当取最大值时，将线度C。向上平移，个单位长度，使得缱尊CQ与抛物线有两个交点，求/的取值范围.1 7 4 9【答案】y =-：(x+2)(x-6)；(2);；2 3 4,4 8 1 6C O 3【分析】(1)由解析式可知点A(-2,0),点 B (6,0)根据N C 4 B =t a n N C A O =一，可得。C=3,A O 2即点C (0,3),代入解析式即可求a.(2)由解析式求得顶点M(2,4),设。点坐标为(2,n?)(其中0 9 E 4),利用勾股定理将P C、PQ.CQ用含?，的式子表示，再利用A P C Q 为直角三角形，可利用勾股定理得将含?，的式子代入整理可得一个关于?，n的二次函数，且 通 过 二 次 函 数 增 减 性 可 求 得 取 值 范 围.当取最大值4时，m=4,可得点P (2,4),Q(4,0),故可求得。=逐，。=2 6，C Q=5,利用直角三角形等面积法可求得点P到线段C。距离由题意求得线段CQ的解析式为：y =-=x+3,故可设线段CQ向上平移/个单位长度后的解析式为：43y=-x +3+t,当线段CQ向上平移，使点。恰好在抛物线上时;线段CQ与抛物线有两个交点，此时4可求对应的点。的纵坐标为，进而求得此时t 值，当线段C Q 继续向上平移，线段C Q 与抛物线只有一个交点时，联解抛物线与C Q，的解析式并化简得一元二次方程，有一个交点可知由A =0,得此时，值，即可解题.【详解】解：(1)根据题意得:A(2,0),8(6,0),在R t A O C中c o 3t a n N C 4 O =,且 0 4 =2、A O 2Z.CO=3,C(o,3),将。点坐标代入 y =a(x +2)(x-6)得：a=-4故抛物线解析式为：y=-；(x+2)(x 6)；(2)由(1)知，抛物线的对称轴为：4 2,顶点M(2,4),设尸点坐标为(2,m)(其中0刍 4),则 PC2=22+(?M-3)2,PQ?=?2+(2尸，C02=32+n2,：PQPCf在放APCQ中中，由勾股定理得：尸不+尸。2=C。?，即 22+(电3)2+苏+(-2)2=32+2,整理得：n=(m2-3/n+4)=f 7 7 2 +(04),2 ，2(2)83 7J当机=一时，取得最小值为一；当机=4H寸，取得最大值为4,2 87则 PQ=2 旧,CQ=5,设点P到线段CQ距离为，由 S w=g c Q/=；P C P。，得：h=PCPQ)-二2CQ故点P到线段CQ距离为2；由可知：当取最大值4时，Q(4,0),线段C Q的解析式为：y =-1 x+3,43设线段C Q向上平移t个单位长度后的解析式为：y =x +3+t,4当线段C Q向上平移，使点。恰好在抛物线上时，线段C Q与抛物线有两个交点此时对应的点。的纵坐标为：一!(4+2)(4 -6)=3,43将。(4,3)代入 y =-=x +3 +f 得：t=3,4当线段C Q继续向上平移，线段C Q与抛物线只有一个交点时，,=_ 工。+2)(尤6)联解 ；y=-x+3+t1 3得：一一(x +2)(x-6)=一一x +3+t,化简得：4 4x2-7x+4 r=0 4 9由A =4 9 1 6f =0,得/=一，1 64 9当线段C。与抛物线有两个交点时，3 r+b,cik+=a2 2a+3得，,k+b=。解得，k=a-3,b=a +3,（。3）x+a+3当x=0时，y=a +3,:.N（O,a+3）,如图2,S g PM-S g p N S四边形B AfiV。S1 MQ N，5Aom-Si B O-S四边形8A如0，9 81由二次函数的性质知，当。=一三时;Sw w-Sw w有最大值二,8 32 B M P和b EM N的面积分别为m、n,Q 1加一的最大值为二.求极值等，解题关键是能够设出点P坐标，求出含参数的直线总的解析式，进一步表示出点N坐标.1 1.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A(l,4),与坐标轴交于8、C、。三点，且 8点的坐标为(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M 的左侧，过 M、N作 x轴的垂线交 x轴于点G、”两点，当四边形M M 7G为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形M NHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P,使APNC的面积是矩形M NHG面【分析】(1)二次函数表达式为：y =a(x-l)2+4,将点8的坐标代入上式，即可求解；(2)矩形 M N H G 的周长 C =2A/N +2 GM =2(2x 2)+2(厂+2 x+3)=2尸+8 x+2,即可求解:(3)S A P N,=*=xPKxCO=x P H x s i n 4 5 x 3&，解得：P H=-=H G,即可求解8 2 2 4【详解】(1)二次函数表达式为：y =a(x-l)2+4,将点8的坐标代入上式得：0 =4。+4,解得：a=-l,故函数表达式为：y =Y+2 x+3；(2)设点 M 的坐标为(x,V+2x+3),则点 N(2 X,X2+2X+3),则“V =x-2 +x=2x-2,GM=-x2+2%+3，矩形 MNHG 的周长 C=2MN+2GM-2(2x 2)+2(+2x+3)=2x?+8x+2,V-2 (-3,-2 7 3)；(2)证明见解析；(3)点 P的 横 坐 标 为 一-1 1,3 7-y,点P共有3个.【分析】(1)令)=0,可得关于x的方程，解方程求得x的值即可求得4 8两点的坐标，对解析式配方可得顶点D的坐标；(2)由C f =C4,C O 1 A F,可得。尸 =0 4=1,如图2,易得A DR F A C O F,由此可得OC =g,继而证明A 4 C F为等边三角形，推导可得E C/A B F,再由E C=Z)C=6,BF=6,可得E C 8/，问题得证；(n Q/0 7 c、(3)设点尸的坐 标 为x,gf+V _x一,分三种情况：点尸在B点左侧，点P在A点右侧，点尸I 8 4 8 J在A3之间，分别讨论即可得；由的结果即可得.【详解】(1)令苴/+殛 逋=0，8 4 8解得x =l或-7,故 4(1,0),8(-7,0),配方得 y =1(x+3)2 26，故。卜3,-2月)；8(2)V CF=CA,COLAF,：.0尸=。4=1,D、D COFDOFnn 2百_82 1：.o c=6-,.CF=OC2+OF2=2,：.CA=CF=FA=2,即A 4 C F为等边三角形,:./4FC=/ACF=60,；ZECF=ZACF,：.ZAFC=ZECF,ECHBF,CF：DF=OF：FDi=l：2,：.DF=4,：.CD=6,乂 ,：EC=DC=6,BF=6,：.EC/JBF,四边形BFCE是平行四边形:、(3)设点P 的坐标为，和+乎一述8 J(i)当点P 在 8 点左侧时,因为APAM与ADD,A相似,PM MA石2 3后 773BPTX23 4x,.%=1（舍），PM MA2）-=-AD DD即 至x+7二 工二1-x,4 2G37王 1 （舍），x2=(ii)当点P 在 A 点右侧时,因为APAM与AD。A相似,币 ,3 0 7G即 丁+丁 a 丁，2百 4；.西=1（舍），&=一3（舍）；PM MA4）-=-AD DDjg ,36 773即 丁+丁一丁_1，4 273.%=1（舍），*2=-7（舍）；3：APAM 与 ARA 相似,PM MA则,瓦=不，(G 2 3g 7A/T即 I 8 4 8 J=-x，4二芯=1(舍)，=-3(舍)；PM _ MA6,函一函(上2 3上 7 0即 I 8 4 8 J=1-x，4-2 /5,人 5.%=1 (舍)，x2=；5 3 7综上所述，点P的横坐标为 ，一1 1,-；3 3由可得这样的点P共有3个.【点睛】本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键.1 3.如 图1,AAO B的三个顶点A、0、8分别落在抛物线Q：旷=一/+一%的图象上，点A的横坐标为-3 3-4,点2的纵坐标为-2.(点A在点B的左侧)(1)求点A、B的坐标；将M OB绕点。逆时针旋转9 0。得到“。斤，抛物线尸2：y =o?+b x+4经过A、9两点，已知点M为抛物线尸2的对称轴上一定点，且点A 恰好在以0M为直径的圆上，连接O M、A M,求 O H M的面积；(3)如图2,延长。交抛物线尸2于点C,连接AC,在坐标轴上是否存在点。，使得以A、。、。为顶点的三角形与A O A C相似.若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.图1图2【答案】点A坐标为(-4,-4),点B坐标为(-1,-2)；(2)&办”=8；点。坐标为(4,0)、(8,0)、(0,4)或(0,8)时，以A、。、。为顶点的三角形与O A C 相似.【分析】(1)把 x=-4 代入解析式，求得点A的坐标，把产-2 代入解析式，根据点8与点A的位置关系即可求得点B的坐标；如 图 1,过点B作轴于点E,过点8 作 BCL r轴于点G,先求出点4、8 的坐标，OA =OA =斤百=4 夜，然后利用待定系数法求得抛物线用解析式为：y=1x2-3 x +4,对称轴为直线：x =6,设 M(6,/),表示出OM2,A M2,进而根据。4，#“2 =0 例 得到(4逝尸+/+8，+2 0=3 6+/，求得，=-2,继而求得AM=2夜，再根据通过计算即可得；(3)在坐标轴上存在点力,使得以4、0、。为顶点的三角形与 O 4C 相似,先求得宜线04 与x轴夹角为45。，再分点。在x轴负半轴或)，轴负半轴时，N A O Q=4 5。，此时A A O。不可能与AOAC相似，点。在 x轴正半轴或y轴正半轴时，N A O D=N O 4 C=1 3 5。(如图2、图 3),此时再分A/)。4s两种情况分别讨论即可得.【详解】(1)当 x=-4 时，y =1 x(-4)-+-x(-4)=-4,二点A坐标为(-4,-4),1 ,7当 y=-2 时，X H-X =-2 ,3 3解得：X 1 =-1,%2=-6,.点A在点8的左侧，二点8坐标为(-1,-2)；(2)如 图 1,过点8作B E L x轴于点E,过点8 作B G r x轴于点G,：.ZB E O=ZOG B =90,OE=,B E=2,将AAOB绕点。逆时针旋转9 0。得到“,。死：.OB=OB ,/B O B =9 0,/.Z B O E+Z B O G=N B O E+N O B E=9 Q。,，N B O G