三角形中的范围与最值问题（解析版）.pdf

专题1 5 三角形中的范围与最值问题【方法技巧与总结】1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值：(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【题型归纳目录】题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆问题题型H:两边夹问题题型十二：与正切有关的最值问题题型十三：最大角问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理第 1 页 共 103页【典例例题】题型一：周长问题例1.(2022云南昆明市第三中学高一期 中)设 的 内 角4,B,C的对边分别为a,b,c,设asinC-cco s(A-).6 求4(2)从三个条件：8 C的面积为相；6=6；a=6中任选一个作为已知条件，求A/8 C周长的取值范围.【答案】(1)/=。；(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)由正弦定理及已知有sin4=c o s-专)，应用差角余弦公式化简求得ta n/=6,即可确定工的大小.(2)根据所选的条件，应用正余弦定理、三角恒等变换及基本不等式、三角函数的范围求A/8 C周长的取值范围.(1)a c 7 在45C中，由-=-得：csin4=s in C,又asinC=ccos 4一7，sin A sinC 6 J/.sin A=cosf A-,即 sin A=cosf 1 =cos Jcos+sin Jsin =cos/1+sin A,I 6 J V 6 j 6 6 2 2.tan4=J J，又力(,乃)，,冗A .3选择：I大I为 Z=。，则/“Be=gcsin/=,得bc=4,由余弦定理得/=+c?-6c=(6+。2 -3 6c=(6+。2 -12,即 AABC的周长/=a+6+c=J(b+c-12+b+c 第2页 共1 0 3页2由正弦定理得a =,V 3 si n C 瓜m/d)3 c o s8 ,6 ,2 由 si n B si n B 2 si n B 2即“8C的周长:a+gc=一 +2巨+地=3(1 +38)+遗=2 si n B 2 si n 8 22 si n 8,iB6 c o s _ _ _ _ _ _ _ _ 2_A .B B4 si n c o s 2 23 3 M2 t a n”2223石+-=2因为 8 w(0,-,则故0 t a n?2 t a n 22近，即 的 周 长 的 取 值 范 围 是(2省,+).选择：a=5/3 b因为力=,a y/3,由正弦定理得s i n B s i n C s i n A=2,即 ABC的周长/=a +b +c =2s i n 6 +2s i n C+V i =2s i n 8 +2s i n 248 +百=3 s i n B+6 c os B+6=2 6 s i n(5+专卜/因为B e。,?,所以38+，则/3 s i n x+c os x=2s i n(x+),第 3 页 共 103页由 xe 0,兀 得x+?e ，s i n(x+g)e -,1 ,L J 6 1 6 6 J 6 L 2 J所以/(x)=2s i n(x+今 在 0,可上的值域为 T 2.6由/=2s i n(/+g)=2 得,s i n(/+生)=1,八(0,兀)，则有/+=&,解 得/=工，6 6 6 2 3在/BC中，由余弦定理得，=a2=Z?2 4-c2-2h c c o s A =h2+c2-h e=(h-c)2-3h c (Z 4-c)2-3(工 (竺。).,4 4当且仅当b =c =l 时取=，即有0=l,则l b +c 4 2,因i H s 2 b +c +K3 ,所以8C 的周长的取值范围为(2,3 .例 3.(2022浙江高三专题练习)锐角A/8C的内切圆的圆心为。，内角A,B,C 所对的边分别为。，b,c.若Rc=伊+c 2-t a n/,且“8C 的外接圆半径为1,则ABOC周长的取值范围为.【答案】(2石,2+6【解析】【分析】由余弦定理变形可求得A 角，再由正弦定理求得。，在ABOC中利用余弦定理表示出08,。的关系，并由基本不等式得出O8 +O C 的一个范围，结合三角形的性质求得08 +0 C 的范围，从而可得结论.【详解】解：由 余 弦 定 理,y/3b c -2b c c os A ta n A f 即 s i n N=且，2因为0/(+)，第4页 共1 0 3页解得 O 8 +O C M 2,乂 O B +OC BC,所以G 0,若实数为,2满足|/(再)-/仁)1 =2时-，|阳-%I的最小值为%-(1)求0的值及/(X)的对称中心；(2)在A/BC中，a,b,c分别是角4 B,C的对边，若/(/)=l,a =JL求A/8C周长的取值范围.【答案】(1)0=1,对称中心(-A +g,。),e Z ；(2石,2+行|【解析】【分析】(1)先由倍角公式及辅助角公式化简得f(x)=s i n(20 x+7)再结合己知求得周期即可求出0,由正弦函数的对称性即可求得对称t1心；(2)先求出4=与，再由正弦定理求得“2s i n 8,c =2s i n C,再借助三角恒等变换及三角函数的值域即可求得周长的取值范围.(1)f(x)=A/3 s i n r u r c os t u r-s i n 2a w+=s i n 2r a r-!%=-s i n 2(y x+c os 2x=s i n l(o x+,2 2 2 2 2 2 6 )显然f M的最大值为1,最小值为-1.则|/()|=2时，卜-X 1的最小值等于白则/，则 去 万，69=1 ;令2 x +g=R肛wZ,解得x =-=+竺，4e Z,则/(x)的 对 称 中 心 为+”,0),%eZ；6 1 2 2 V 1 2 2 )(2)第5页 共1 0 3页/(4)=s i n(2/+3=-l ,2A +-=-+2k,keZ.,又/e(O/),则工=，6 6 2 3a _ b _ c _6由正弦定理得 s i n力 s i nB s i nC 则 b =2 s i n4,c =2 s i nC,T则周长为 a +力+。=班 +2 s i n 8+2 s i n C =y p 3+2 s i n 8+2 s i=6 +s i n3 +石 c os 8=6 +2 s i n(8+生)，又0 8 工，则工 8 +工 纭，3 3 3 3 3则JJ2)s i n J,整理得：a2+b2-c2=ab,由余弦定理得：c os C=+.Jj.,l a b 2I T又0(7 a b,当且仅当。=4,6=2 时等号成立,2 4所以M W 8,又6 0,当且仅当。=4力=2 时等号成立,所以 面积 S=；absin C=曰 ab e(0,2 6 .例 8.（2022江苏省天一中学高一期中）在 ZBC中，角 次 氏 C 所 对 应 的 边 分 别 为 若b=2,cosC=y-.A/8 C 是锐角三角形，则A/8C 面积的取值范围是,【答案】【解析】【分析】1 4根据题意和余弦定理，求得4=/+。2 一 4，再结合余弦定理求得cos8=：，再由正弦定理可得a=F S in 427384c=，sinC,71化简ac=；sin 2 4-g +：,根据AZBC是 锐 角 三 角 形 求 得 4 ,得到33 6 3/3 6 622sin一，6即 小2 tI，4,结合面积公式，即可求解.【详解】由余弦定理可得cosC=a2+4-c2 a4a2 4整理得 4=/+c2-ac又yy 由i cos 5D =-4-=-12a c 2因为5 （0,乃），所以3=_h_ _ _ 2 4 A_ _ _ A由正弦定理可知：sin8-,所以a=7sin”,2c=j i n C,6故1616 sin sinC=sinyisin 化乃-4333I 34修22第9页 共103页3、，3(2 2 2 J 3 V 6 J 30 A -因为A/8C是锐角三角形，1:,解得 /1,八 24”6 20 C=-A 1,所 以 V3 V 3 解得1-一,m -3 z 4,m 即7的取值范围是（1,4）.例 10.（2022 河南模拟预测（文）在“5 C 中，角A,B,C 的对边分别为。，b,c.2cos2 c =2-6 s in 2c，c=4r。+6=2瓶.求 色力 sc；（2）求的取值范围.a b【答案】（1）2 6（2）4 4【解析】【分析】T T（1）先求出C=g,利用余弦定理求出M=8,即可求出S“3C；（2）先求出a-b =2&，即 可 求 出 的 取 值 范 围.a b（1）因为2cos2c=2-瓜 亩 2（7,所以2sin（2C+：）=l,所以sin（2C+|=g.因为C e（O,万），所以2 C+S=学，所以C=.6 6 3因为 c=4,a+b=2V10,由余弦定理/=/+/一 勿 6cosc 得：16=（2 ）3ab,解得：4b=8.所以 S/Bc 二tzftsinC 1 创8-=25/3.由（1）可知：ab=8.而 a+/=2 何，所以（a-b）2=（a+b）2-4M=40-32=8,所以 0-6=及 应，第1 1页 共1 0 3页所以工_!=丝 也=土 也.a b a b 8 4故，-1的取值范围为，:a b 4 4例11.(2 02 2 江苏高三专题练习)已知 力 3。内角力，B,C的对边分别为a,b,c,A +C =2B,B C的面积s=3”.4求边c；(2)若A/B C为锐角三角形，求 a的取值范围.【答案】(1)1加【解析】【分析】(1)根据N +C =2B,结合三角形内角和定理求得5=1,由三角形面积公式结合s =3a,求得答案；3 4(2)由正弦定理表示a =1 +3一,由 三 角 形 为 锐 角 三 角 形 确 定 即 可 求 得 答 案.2 2 ta n C (6 2)(1)因为/+C =2 8,A +B+C =n,所以8 =1；因为S =I q c s in 8 =，所以c =l2 4 4(2)H C在 4 8。中，由正弦定理一；=；，s in A s in C以1 V 3由(1)知8 =.c =l,代入上式得：s in Z 叫C +J -s in C +-yC O s C ,6,3a -=-=-=-s in C s in C s in C 2 2 ta n C因为“8C为锐角三角形，则力+C =,/=与-C苦，所以八 信 3所以ta n C ep-r K|1 J 3WT 以 a =H-2 2 ta n C例12.(2 02 2 陕西宝鸡中学模拟预测(文)已知d =(c o&r,c o s x),5=(岳 in r,-c o s x fx)=a b ,求/(x)的单调递增区间;第1 2页 共1 0 3页 设“8C的内角48,C所对的边分别为a,6,c,若/（N）=g,且“=#,求 的 取 值 范 围.T T 7 T【答案】（1）-J +kn,三+kn ,k e Z(3,6【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示及三角函数恒等变换的应用可求/（X）,利用正弦函数的单调性即可求解.（2）由已知可求s in（24-3）=l,求得A,利用余弦定理，基本不等式可求历43,可得/+/46,根据b2+c2 3,即可得解.解：因为=(COS Y,COS T),B =(7J s i m ，-COS Y)且/(x)=,Z,所以 f(x)=a b=/3s nx c o s x-c o s X百1ir.,、G i ,i .心吟 i=s i n 2x(1 +c o s 2x)=s i n 2x c o s 2x =s i n 2x-即/(x)=s i n 2x-?卜;，令-F 2k 冗 W 2x K+2k 兀,k JZ、解得-F kTt、x、k7t H ,k w Z .2 6 2 6 3所以函数/(X)的单调递增区间为-3 +k小三+k兀,k G Z,6 3(2)解：因为/(/)=s i n(2/-?)_ g =g ,所以s i n|2 4-乡因为4w（0,%）,所以2 4-丁e（w-，所以24 二=工，所 以/=；,6 3,第 1 3 页 共 103页所以3/+/46,即+c%(3,6.例 1 3.(2022江苏南京模拟预测)请在向量工=(P，s i n e ,彳=U,s i n N ，且 列 入 标=2c s i n A+这两个条件中任选一个填入横线上并解答.在锐角三角形N 8 C 中，已知角A,B,C 的对边分别为。，b,c,.(1)求角C;(2)若A/8 C的面积为2 6，求2a+6 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(l)C=g(8,1 0)【解析】【分析】(1)选：根据平面共线向量的坐标表示和正弦定理可得c 2=a 2+y-a b,结合余弦定理即可求出C:选：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算可得b c o s C=s i n C，结合特殊角的正切值即可求出C；Q(2)由三角形的面积公式可得2a+6=2a +-=/(a),法 ：利用余弦定理解得2 4 ：法二：由正弦定理a可得2 a/3s i n S =s i n Cs i n J+/3 s i n C c o s A-第1 4页 共1 0 3页X s i n 5 =s i n (4 +C)=s i n A c o s C+c o s 力 s i n C ,所以 J J s i n 4 c o s C=s i n C s i n A 因为 s i n 40,所以 c o s C =s i n C 又C 为锐角，所以t a n C=6，C=。.因为 S 4 A Be=；s i n C=乎 功=2 5Q所以 o b =8,则 2。+方=2。+.a(法一)由余弦定理得，c2=a2+b2-2a b c o s C =a2+b2-8.因为 力 8 c 为锐角三角形，所以c o s J 0,即4c o s 8 0,b2+c2-a2 0,a2+c2-b2 0.将代入上式可得吁:即a 4,小解得2 9a2 4,令/。则 小)=2-9勺。，所以/(a)在2 a 4 上单调递增，所以/(2)/(a)/(4),即8 a)1 0,即2a +6 的取值范围为(&1 0).(法二)由正弦定理得q =迎 4=，访,+)=；s i n B +?c o s 8 =1 +正 Jh s i n B s i n B s i n B 2 2 t a n 8a _ a _ a2又 广 亘a所哗3与高八 .2 7 1 c T t0 A =-B 一,因为 力 8 c为锐角三角形，所以 33 2 解得7 17 rA D7 1 6 20 B 所以 0 -/3,H -2，3 t a n 8 2 2 2 t a n 5即J L M.2,解得2 a 4.2 8令/(a)=24 +，2 a 0,所以在2 a 4 上单调递增，所以 2)。)4),第1 5页 共1 0 3页即8 /(a)1 0,即2a+6 的取值范围为(8,1 0).例 1 4.(2022全国模拟预测)在“BC 中，内角4 8,C的对边分别为a也 c,且a s in A=c(s in C-2 s in 8)+6(s in C +s in 8).求角A ；(2)若A/8 C为锐角三角形，求G(-c)的取值范围.2a【答案】(1)/=2;【解析】【分析】(1)角换边，在利用余弦定理求解；(2)边换角，将待求表达式表示成关于8的三角函数，利用锐角三角形条件求出5的范围，最后再求表达式的范围即可.(1)因为o s in Z=c(s in C-2 s in 8)+6(s in C +s in 8),所以由正弦定理得/=c(c-2 b)+b(c+6),整理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得co s 4=+f-二.因为0/，所以“=.2b c 2 3(2)由正弦定理得 也 也 0=立.包史二包=s in 8-s in C=s in B-s in f3 =s in fS2a 2 s in A 3 J 3)0 S -,7因为A/8 C为锐角三角形，所以、E 0 兀 门 兀.71 c 71 71解得一 B 一,所以 一 B -,6 2 6 3 6所以-；s in 8 -()；,故凤 口)的取值范围为(2a k 2 2)例 1 5.(2 0 2 2 辽宁 抚顺市第二中学三模)在(Z c-si nCHN+4-a,co s)C-co s 4 co s c=：,二=t an/+t an B 这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中,2 4 b c o s A问题：在A/IBC中，a,b,c 分别为角力,B,C所对的边，6 =2 内，.第1 6页 共1 0 3页求角B;(2)求2 a-c 的范围.【答案】(1)任选一条件，都有8=2(2)(-273,473)【解析】【分析】(1)若选由正弦定理可得2 c-a=2 bcos4,再由余弦定理可得c2+/-=a c,结合余弦定理可得答案；若选由余弦的二倍角公式结合余弦的差角公式可得出答案;若选由正弦定理结合切化弦可得行s in C =s in C ,从而得到t皿 8=6,得出答案.sin 8 cos 力 cos A cos B(2)由正弦定理可得a=4sin4c=4sinC,即2 a-c=8sinZ-4sinC,结合C=孑-4,利用正弦的差角公式和辅助角公式化简结合角的范围可得答案.(1)选择：,:(2c-a)sinC =(从+0,所以tan8=J J，因为0 8 乃，所以3=2.b =2J i =4在 8 C 中，由（1）及 sin5 sin/sinC 百 ，T故。=4sin4,c=4sinC,2a-c=8sin/-4sin C=8sin/-4sin（与 一 N）=8 sin A-2y/5 cos J -2 sin A=6 sin N-2-73 cos A=4 0 sin（1-f因为0 4 经，则-三“一 2 3 6 6 2一；sin（N-1,-2百 4iAsin（4 一 1）2a c +a c,即如 2 1 2,当且仅当 a=c 时取等号，二的最小值为为1 2.故答案为：1 2.例 1 7.（2 0 2 2 安徽黄山二模（文）在/8 C 中，角A,B,C的对边分别为a,b ,c,a=,A =,4若 劝+c 有最大值，则实数2的 取 值 范 围 是.【答案】专 历/【解析】【分析】由正弦定理可得=邑=艰，根据目标式结合正弦定理的边角互化，易得s in B s m C助+C =-1）2 +1 .S in（8 +。）且 t an0=可知4 +c 存在最大值即 8 +9 =g,进而可求义的范围.【详解】,6 =c=1=石*/a=1 ,A =,由正弦定理得：s in B s in C y 2，24b +c =V 2 (%s in 8 +s in C)=V 2 2 s in B+6 s in=(旧 1)s in 8 +co s 8 =J(0-+1 .s in(8 +8)，其中 t an 6=Q/,又Be 。,?).4+c 存在最大值,即8 +e=三有 解,即 Oe2解得几,，又哥=1，解得202+/,再 按c “和 空。放 缩 咋 外，转 化 为 上的函数得解.【详 解】A/8 C的三边长分别为。，b,c,且 角B是钝角，则当 c a 时，令 =/1,b2 a2+c：()2+1/+1 一1了 +2-1)+2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 0，/在(0,1上单调递增，(r +1)(/+1)/(O)/(O /(I),即-1 有 0,综 上 得_ 1 幺浮与1,所 以 专 6 的取值范围是(7,咛1).故答案为：例19.(2022黑龙江 哈尔滨三中模拟预测(文)在ANBC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c =3 b s i n N ,则 丝 虫 的 取 值 范 围 是()A.3,5 B.4,6 C.4,2+713D.4,2+炳【答 案】C【解 析】【分 析】第2 0页 共103页山均俏不等式可得出 鱼 血 的最小值，由余弦定理可得 丝 萼=弁+2?3 0+2,再由正弦定理结合条ab ab ab件可化为2+2cosC+3sin C,由辅助角公式可得最大值.【详解】=立 工+2=2+人+22 2、匕/2=4(当且仅当a=6 时取等号)ab ab a b V。b由 c=3bsnA,可得sinC=3sin3sin/(a+by a2+b2 c2+2ab cos C。-=-h2=-F2ab ab abr sin 之 C=2+J 2 c o s c =2+2cosCab sin/sin B,20=2+-1-+2cosC=2+2cosC+3sinCsinC33 2=2+J i?sin(C+*)4 2+JT,其中。050=下 了 119=丁，当且仅当C+e =g 时取得等号，A/13 A/13 2所以4 4 )(siw4 siaB)=(c-b)sinC,所以(a+6)(a-b)=(c-6)c,a2=b2+c2-b e.第21页 共103页因为/=从+2-26co,所以cos/=2因为所以Z=q.(2)由(1)知 cos8-cosC=cos8 cos(8 1=cos5+cos5-sia8=c o sS-sirifi=V3cosf5+2 2 2 2 V 6八 2 八 40 -B 因为 3 2,所以9B5，八力)6 20B 2因为所以+,3 6 3 I 6八 2所以 cos8-cosC GL也回2 2 J 7、即cosB-cosC的取值范围是_ 昱回2 2 7例 21.(2022广东茂名模拟预 测)已知A/8 C的内角A、B、C 的对边分别为。、b、c,且a-6 =c(c o s8-co s/).(1)判断A/8 C的形状并给出证明；(2)若a b ,求s in/+sin8+sinC 的取值范围.【答案】(1)AZ B C为等腰三角形或直角三角形，证明见解析(2)(2,+1)【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出COSCsin8-s in/)=0，可得出sin4=sinB或cosC=0,TT可得出。=6 或C=,即可得出结论；分 析 可 得 8=且/(0,今 卜 33 利用诱导公式以及辅助角公式可得出sinN+sin8+sinC=H in,+?)+1,利用正弦型函数的基本性质可求得sin/+sin8+sinC 的取值范围.(1)解：A/8 c 为等腰三角形或直角三角形，证明如下：第2 2页 共1 0 3页由 a-人=c(cosB-cosX)及正弦定理得，sin 4-sin 3=sinC(cosB-c o s,即 sin(5+C)-sin(/I+C)=sin C(cos S-cos/4),即 sin B cos C+cos BsinC-sin A cos C-cos/sin C=sin C cos B-sinC cos A,整理得sin5cosc-sin4cosc=0,所 以cosC（sinB-sin4）=0,故 sin 4=sin B 或 CO S C=0 T T又A、B、C为的内角，所 以a=6或C=,因 此 为 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形.解：由（1）及/方知A/8 C为直角三角形口不是等腰三角形，口 /r*乃 乃 ,冗 A 口 /乃.A+B=,7 故 8 =-力，且 力士一，2 2 2 4所以 sin N+sin B+sin C=sin 4+sin 8+1 =sin N+cos A+l=近sinf Z+?)+l,因 为/0/卜得sin卜+（卜n兀UfV22-,1,所 以0 s in A(4+()+l 2,亚+1),n n1故?因 此sin/+sinB+sinC的 取 值 范 围 为+.例22.（2022浙江温州三模）在A/18 c中，角4,B,C所对的 边 分 别 是a,b,c.已知a=l,b=J L7 F 若4=“求 角”的大小;(2)求cos 4 cos /+弓J的取值范围.【答 案】？6也-1行4 T【解 析】【分 析】（1）已知两边和其中一边的对角，运用正弦定理可以求另外一个角;（2）由三角恒等变换公式或积化和差公式进行化简，转 化 成y=/sin（ox+s）+8的形式，根据三角函数进行求解即可.(1)第2 3页 共1 0 3页,十5,曰 .彳 a s m B 1由正弦定理得：sin/=-=一,b 20 A TI A =或，6 6iL 4=H 兀,所以/舍去，所以4=.6 6-sin A2l+cos24）-;sin24(或者用积化和差公式一步得到-cosf24+3)21 6)4：a b,：.A B,所以/为锐角，又sin/二 竺 独 兴,b 2所以公 卜 用，所以24 3(一?曰，14.3 1 3 6.所 以 2 T卜 卜 羽所 以 cos A cos（N +看）e例 23.(2021 河北沧县中学高三阶段练习)己知函数/(x)=3sii?x+4sinxcosx-cos2 x.(1)求函数/(x)的最大值；已 知 在 锐 角 中，角N,8,C 所对的边分别是a,6,c,且满足/(丝 产)=/3,求sin/-sin8-sinC的取值范围.【答案】(1)2近+1【解析】【分析】(1)利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得;(2)依题意可得sinB+cosB=,再由正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得到A,在根据三角形a第 2 4 页 共 103页内角和定理得到sin8-sinC=；sin(2 8-5)+,根据三角形为锐角三角形求出8 的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；(1)解：f()=3sin2 x+4sinxcosx-cos2 x=4sin2 x-l+4sinxcosx=2(1-cos 2x)-1 +2sin 2x=1 -2 cos 2x+2 sin 2x=2亚 s i n一?1 +1,，/(x)mx=2&+1,ibbBt 2x+2k7r,左 w Z,即工=红+左 乃，左 e Z：m ax 4 2 8(2)解压 力 ：由/I -28-+-)11 =2_ V/T2 si.nlr 5n +TV1 +i1 =-2-c-+-a-=2c +1.,C cin C/.sin5+cos5=-,由正弦定理及已知可得sin 8+cosB=，a sin A整理得 sin/sin 5+cos 8 sin/=sin(力 +B),即 sin J sin 5=cos 4 sin 8,由 Bw（O,乃）,则sin B w O,所以sin力=cos力，则5”因 为 北（0”所以“/B+C 与，.入 球 考由 sin 5 sin C=sinB sin(3冗I 4 一 _Bl=sinB cos5+sin 2B=sin2+41-cos 25)=sinf 2B-7 1|+由o c ,即o(红2 4-5 r所以冗 n 37c B 4,所以Be71 7 1492,所以28f7t 3万7 T2224变.4，4贝 I sin(28 J b y-,1则 sin 3 sinCw 与令,sin-sin 5-sin C G,-U 4sin 4 sin 8 sin C 的取值范围为?生.（2 4 J例 24.（2022山西模拟预测（理）已知“3 C 的内角A,B,C 的 对 边 分 别 为 例 c,且。=2（。-6cosC）.求 B；第2 5页 共1 0 3页（2）若A/8 C 为锐角三角形，求sin?4+sir？C 的取值范围.【答案】。2七，化简得2a c21JIc o s B=,又 0 6 兀，:.B=.2 3(2)由(1)可得sin2 4+sin2 c =(l-cos2J)+(1 cos2C)2 2二1 一;(cos 2/4+cos 2c)=1 -;cos 2A+cos 一 4)=1 一；(；cos24-sin24)=1 一;cos(24+?)“8 C 为锐角三角形，:.0 A-Q C=-A ,J ,2 3 2 6 22 、A 兀 4/.24+一 .3 3 3 A 1 .5 1 （浦 3I 3）2 4 2 I 3J 2（5 3故sin?力+（?的取值范围为 匕,5.例 25.（2022安徽省舒城中学模拟预测（理）锐角/B C 的内角4 民。所对的边是。也。，且a =l,b c o s A-c o s B=lf若 4 8 变化时，sin B-2441?4 存在最大值，则正数4 的取值范围是【答案】（0,4）【解析】第2 6页 共1 0 3页【分析】利用a =l 化已知等式为边的齐次式，然后由正弦定理化边为角，结合三角函数恒等变换求得48关系，并求得A角 范 恒 引入函数/(工)=5 抽2 4-”$出 2 4 利用导数求其最大值，则最大值的存在性得出4与A的关系，从而得范围.【详解】因为。=1 ,所以6 c o s 4-c o s 8 =l 化为b c o s/-“c o s 8 =a ,由正弦定理得s i n 8c o s /-s i n/c o s 3 =s i n/,即 s i n(8-4)=s i n N ,所以8-4 =/或 8-/+/=兀，即5 =2 4 或5 =万(舍去)，/8 C 是锐角三角形，0 A -2 0 2 A -,所以生/工，2 6 4 A +2 A n2s i n 5-2 2 s i n2 A=s i n 2/4-2 2 s i n2 A，令 f (A)=s i n2A-2A s i n2 Af 贝 1/(力)=2(：0 5 2/4/1 5 由力(：0 5/=2(：0$2%2 4 5 由2 4=2 4(：0 5 2 4(；-1 2 1 1 2/)当 t a n2/0,/(A)单调递增，当 t a n2,时，f(A)Q,/(A)单调递减，所以t a n2/=；时，/(A)取得最大值，A,因 为;=t a n 2/e(+8),所以义(0,立).X 3故答案为：(0,4).例 2 6.(2 0 2 2 江西 南昌十中模拟预测(理)锐角“8(，/=，角力的角平分线交8c于点M,AM=2 J则5A/CN的取值范围为.【答案】*2)【解析】【分析】1 CM=!-=_!_ CM=_!_根据正弦定理表示出8 朋 二 七 s i n C .z2n必，一 .，2 兀 八，从而表示出,根据s i n/j s i n(-B)s m(-B)第2 7页 共1 0 3页角的范围结合三角恒等变换求得答案.【详 解】由已知得，NB4M=NC4M6y4A/sin Z.BAM 1在中，由止弦定理得,BMAMsin ZB AM sin B,BM=sin Bsin B同理可得CM=s in C s i n(y-)1,BM CM=-5-sin S sin(y-5),而 sin B sin(弓 -B)二手 J 7sin 28+sin?8=sin 28-co s2 S +-244 4=-sin(2 5-)+-,2 6 4因为锐角 力8 C中,2兀 兀兀 T lC=-B,B ,3 2 6 21 1 1 (c n 兀)1,1,sm 28+e2 2 I 6 j 4._ 7 T ,7 T 5兀、故安叫则 sin(2 8-G12n614234乩 BM C M =故sin B sin-B故答案为:p2李例27.（2022辽宁高一期 中）在 B C中，内角A,B,。所 对 的 边 分 别 为b,。，已知 =6tan4,且3为钝角，贝二【答 案】兀2 2sin 4+sin C的取值范围是【解 析】【分 析】先通过正弦定理进行边化角，进而结合诱导公式求得8-Z；再将sin4+sinC化 为sin+sin（4+3）,然后展开并结合二倍角公式求出答案.【详 解】由 已 知,sin A=sin Stan J ,sin A cos=sin 5 sin A,*.*sin 0,(47 1)T C 几/.cos 4=sin 8 n sin 4+=sin5,A 兀,一 B ,在88小,由正弦定理得皿=焉无”呜=2拒s i n?一。在A8C中，由正弦定理得BE =s i n 4BE C.ns i n =62&s i n f y-0贝 l B O +8 E =2&17T-Tj+-s i n t/+c o s I 2 2G ,A c o s，+s mt/2 24 V 2(V 3 +l)(s i n 0+c o s 0)y/3+4 s i n 6 c o s 6令，=s i n。+c o s 8 6 1,/2 ,则 s i n 6 c o s 0=y 则 8 +B E =/(f)=4 7 2(7 3+i y =4 限Q+1)2”-(2-拘 2t-(2-43)易知分母g =2以 我 。且是一个单调递增的函数,则/（，）是一个单调递减的函数,当 仁 正 时，/。）有最小值，/（，）m“=华等=8（6-1）.2 +Y 3故答案为：；8（-73 1）.6例2 9.（2 0 2 1浙江舟山中学高三阶段练习）如图，在“8 C中，Z A B C =90,A C =2C B=2向,P是“BC内一动点，N BP C =120 ,则 的 夕 卜 接 圆 半 径r=,4 P的最小值为.【答案】旧 713-11【解析】第3 0页 共1 0 3页【分 析】A C第 一 空，在 C中，由正弦定理，-=2 r,即得解;第二空，设NPBC=8,在AP8C中，由正弦定理可得PC=2s0冶，在ACPZ中,AP?=PC?+A -2x PC x AC cos 9=14-2 而 0 0+1 4-2 行，即得解【详 解】在 A/8C 中，4 8 c =90。，AC=2CB=2y/i由正弦定理,ACsin Z.ABC2r=2 r=设 4PBe=,ZACP+4BCP=60,ZPBC+ZBCP=60,.ZACP=ZPBC=0在A P3c中，由正弦定理，得BC 陋、PC-=-2.-sin/BPC si讨 20-sinABPCPC=IsinO,在 LCPA 中，AP2=PC2+AC2-2X PCX ACcos0，AP2=4sin2 0+2-Sy/3sin0cos0=14-2仅 瓜 山20+cos2e)=1 4-2 g s i(2e+9),其中 tan/=j =去，0 0 6 0,.从 而0 2(9 V?3-1.例30.（2022 湖北 武汉二中模拟预测）在 锐 角A/8 C中，a2-b2=h c,则 角8的范围是f-二+6sinZ的取值范围为tan B tan A【答 案】口 质 i）【解 析】【分 析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得A,8的关系，结合锐角三角形条件可求A,B的范围，然后结合对勾函数的单调性可求.【详 解】解：因 为 不 一=6c 及a?=6?+/一 多。cos4,所以 c-2bcos4=6,由正弦定理得sin C-2 sin 8 co s/=sin8,第3 1页 共1 0 3页所以sin(4+8)-2sin8cos4=sin8,整理得 sin/cos 8-sin 8cos 4;sin 8,即 sin(y4-B)=sinB,所以一3=5,即Z=2B,又/B C 为锐角三角形，所以7 10 B -20 2 5 ,解得工 6 ,2 6 4710 7r-3B -2故卫 4 巴，sin 苧，/(华 卜 2疝故/(f)e2而,11)，即.故答案为：.0,利用均值不等b cos A cos A式便可求得其最小值.【详解】