概率论与数理统计课后习题答案2.pdf

、习 题 一1 .略.见教材习题参考答案.2.设儿B,C为三个事件,试用aB,C的运算关系式表示下列事件:(1)/发生,B,C都不发生；(2)4与5发生，C不发生：(3)A,B,。都发生；(4)A,B,C至少有一个发生；(5)A,B,C 都不发生；(6)4,B,C不都发生；(7)4,B,C至多有2 个发生；(8)A,B,C至少有2 个发生.【解】(1)ABC(2)ABC(3)A B C(4)AU BU C=AB C U A BC U A BC U A J?CUA B C U J 5 C UA B C=ABC ABC-A J B J C(6)ABC A B C U A B CJA B C u AB C U J BC u A BC uABC=ABC=A u B uC(S)ABUBCUCA=ABC UAB CU A BCUABC3 .略.见教材习题参考答案4 .设 A,B 为随机事件，且 P(4)=0.7,P(/l-5)=0.3,求 P(AB).【解】P(AB)=-P(/8)=-P(A -PA-B)=1-0.7-0.3 =0.65 .设4 8 是两事件,且产(A)=0.6,尸(8尸0.7,求：(1)在什么条件下尸(A B)取到最大值？(2)在什么条件下尸(4 8)取到最小值？【解】(1)当4 8=/时，P(A B)取到最大值为0 6(2)当N U B K 2 时,P(A B)取到最小值为0.3.6 .设 A,B,C 为三事件，且 P(力)=P(8)=1/4,P(C)=1/3 且 P(A B)=P(B C)=0,P(A C)=1/1 2,求 4 8,C 至少有一事件发生的概率.【解】P(J U B U C P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P(B C)-P(A C)+P(A B C)j_ j_ J_ 3=4*4*3-12=47 .从 5 2张扑克牌中任意取出1 3 张，问有5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？【解】Y 3 c 4/片8.对个五人学习小组考虑生日问题：(I)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率：3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】设小=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7$,有利事件仅1 个，故1 1P(,)=(-)5(亦可用独立性求解，75 7下同)(2)设色=(五个人生日都不在星期日,有利事件数为6 故65 6P(4)=7=(/75 7(3)设4 3=五个人的生u不都在星期I 1P(，3)=l-P(4)=l-(一)579.略.见教材习题参考答案.1 0 .一批产品共N件，其中M 件正品.从中随机地取出件(KN).试求其中恰有m件(小WM)正品(记为的概率.如果:(1)件是同时取出的：(2)件是无放回逐件取出的：(3)件是有放回逐件取出的.【解】P 3 yseN(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有Py种，n次抽取中有m次为正品的组合数为C：种.对丁固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取，件的排列数有P；种，从 N-A/件次品中取n-m件的排列数为P；：。利，故p n-mP NP.V由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P(A)可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为H种，次抽取中有m次为正品的组合数为C；种，对于固定的种正、次品的抽取次序，加次取得正品，都有“种取法，共有，W 种取法，次取得次品，每次都有N-M种取法，共 有（N-M）种取法，故P（A）=C；A T（N-M）n-m/Nn此题也可用贝努里概型，共做了 重贝努里试验，每次取得正品M的 概 率 为 一，则取得加件正品的概率为N1 1.略.见教材习题参考答案.12.5 0只加钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个抑钉强度太弱.每个部件用3只钾钉,若将3只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设/=发生一个部件强度太弱P（/）=G Q=表13.个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是口球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设 介 桧有，个白球（，=2,3）,显然曲 与 小 互斥.P(A1A2)=P(Al)P(A2)=0.7 X 0.8=0.56(2)P(A U 4)=0-7 +0.8-0.7 x 0.8=0.9 4(3)P(AZ U乱)=0.8X 0.3+0.2 X 0.7 =0.381 5.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率：（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.W”0=*）审;4 呜夕LP）-2 5/32 51 6.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投3次，求二人进球数相等的概率.【解】设4=甲进i球,/=O,1 2 3 M 乙进i球,E）,1 2 3则3P（U 4%）=（0.3）3（04）3+C；0.7X（0.3）2C；0.6X（0.4）2 4-i=02C；C；=1 8-35故2 2p（4 U4）=尸（4）+尸（4）=不1 4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设/尸 第i批种子中的一粒发芽,（/=1,2）（1）C；(0.7)2X0.3C；(0.6)2().4+(0.7)3(0.6)3=0.3207617.从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋了配成双的概率.解=1-/l1C：。1 32?1 8.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率：（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设力=下雨,8=下雪.P(4B)0.1 “(i)p B A)=-=0.21 P(A)0.5）p（A U 8）=尸+P（8）-P（/3）=0.3+0.5-0.1 =0.71 9.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设力=其中一个为女孩,8=至少有一个男孩,样本点总数为23=8,故(b)题2 1图题2 2图P(A B)P 6/8 67 7 8-7P(即)=或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.产（即）=42 0.已知5%的男人和0.25%的女人是色百，现随机地挑选人,此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设/=此人是男人,8=此人是色巨，则由贝叶斯公式?(“网=P(A B)P(B)P(A)P(B A)P(/)P(8M)+P(Z)P(8M)【解】设两人到达时刻为x,yM 0WxyW 60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于卜-）30.如图阴影部分所示.P鸣6 02 42 2.从（0,1）中随机地取两个数，求：6（1）两个数之和小于一的概率；51（2）两个数之积小于一的概率.4【解】设两数为卬，则o r产1.6（1）x+y .51 440.5x 0.0 5 2 0-0.5x 0.0 5+0.5x 0.0 0 2 52 1.两人约定上午9：0010：0 0在公园会面，求人要等另人半小时以上的概率.23.设尸（/）=0.3,P（8尸0.47（彳 B 尸0.5,求。（8 I/U 8 ）解P（巾 u 为1 P（/U8）P（A）+P（B）P（AB）0.7-0.5 _ 1-0.7 +0.6-0.5-424.在一个盒中装有1 5个乒乓球，其中有9个新球，在第次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设4=第一次取出的3个球中有i个新球,/=0 1 2 3.5=第二次取出的3球均为新球由全概率公式，有3P（5）=P（B|4-）P（4）（=0P(丽P(B)P（A）P（BA）P（Z）P（万+P（N）P（同 N）0.8x 0 10.8x 0.1 +0.2 x 0.94=0.30 7 71 3即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.7 7%.2 6.将两信息分别编码为/和8传递出来,接收站收到时,/被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2 ：I.若接收站收到的信息是4试问原发信息是4的概率是多少？【解】设/=原发信息是/，则=原发信息是阴C=收到信息是，则=收到信息是团由贝叶斯公式，得P(N|C)P(Z)P(C|,)_p(z)p(c +p(7)p(c|N)3 3 0 3_ 一-6-.-.-一-4-6-5-c3 C3 C3 C3J 5 153 0 2 I 3 2 /1 5 J及 在 旧 甘 两 梯 胸 箱 网 旃 放 白 球，然后任意取出-球，若发现3*0.010.9 9 4 9 2=0.08 9这球为白球，试求箱子中原有口球的概率（箱中原有什么球2 5.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有9 0%的可能考试及格，不努力学习的学生有9 0%的可能考试不及格.据调查，学生中有8 0%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设4=被调查学生是努力学习的,则/=被调查学生是不努力学习的.由题意知P（/）=0.8,P （A）=0.2,又设8=（被调查学生考试及格.由题意知P（B A）=0.9,P（B A ）=0.9,故由贝叶斯公式知是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设4=箱中原有i个白球 3=0,1,2）,由题设条件知P（4）1=一,A 0,1,2.又设A 抽出一球为白球.由贝叶斯公式知3尸（4=3=尸丁R 4）P 尸（3 尸（4）/=0_ 2/3X1/3_ _J _-l/3x l/3+2/3x l/3+l x l/3-328.某工厂生产的产品中9 6%是合格品，检查产品时，个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一 个 次 品被误认为是合格品的概率(1)隔=0 口加(即)_P(B)P(N)P(8 M)+P(/)PCBR)0.2 x 0,10.8 x 0.9 +0.2 x 0.1P(Z|8)=0.02 7 0237为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设4=产品确为合格品,从 产品被认为是合格品由贝叶斯公式得P(4B)P(Z)尸(8 P(B)P(A)P(BA)+P(A)P(BA)即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.7 02%0.9 6 x 0.9 80.9 6 x 0.9 8 +0.04 x 0.05=0.9 9 829.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为因此0.05,0.1 5和0.30；如果“谨慎的”被保险人占2 0%,“一般的”占5 0%,“冒失的”占3 0%,现知某被保险人在一年内出了事故，则P(AB)=尸 P(5)他 是“谨慎的”的概率是多少？故/与8相互独忆解】设4=该客户是“谨慎的 0 3=该客户是“一般的”,O 该客户是“冒失的”,3 该客户在 年内出了事故13 3.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为 一，513则由贝叶斯公式得P(AD)P(AD)P(A)P(DA)1-,求将此密码破译出的概率.4P(D)一 尸 P(Z)+P(B)P(D B)+P漫睢熔),则p(U 4)=1一尸(4 4 U)二 1 一 尸(4)尸(4)尸 区)/=!0.2 x 0.05=0.05 70.2 x 0.05 +0.5 x 0.1 5 +0.3x 0.33 0.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的4 2 3=1 x-x-=0.65 3 43 4.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是次品率分别为0.0 2,0.0 3,0.0 5,0.0 3,假定各道工序是相互独立的,0.4A 5,0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2：若有求加工出来的零件的次品率.两人击中，则 机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则 匕 机-【解】设4=第i道工序出次品 (2 1,2,3,4).定被击落，求：飞机被击落的概率.4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _尸(U 4)=i-尸4)；=1【解】设/=飞机被击落,3尸 恰有，人击中飞机,户0 1 2 3由全概率公式，得=I-PQJ P(4)P(4)P(4)3P(4)=ZP(/|即尸(即/=0=1-0.98 X 0.97 X 0.95 x 0.97 =0.1 2 431 .设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行次独立射击.1一(0.8)之 0.9即为(0.8)H 0.1故 心1 1至少必须进行U次独立射击.32 .证明：若尸(/I 8)=P(A I B),则4 8相互独立.(证】P(A 1 5)=P(A 1 5)即P(AB)_ P(AB)P(B)-P(B)亦即 P(AB)P(B)=P(AB)P(B)P(AB)1-P(B)=P(A)-P(AB)P(B)=(0.4 X 0.5 X 0.3+0,6 X 0.5 X 0 3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0 3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0 4 X0.5 X 0.7=0.45 835 .己知某种疾病患者的痊愈率为2 5%,为试脸一种新药是否有效，把它给1 0个病人服用，且规定若1 0个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到3 5%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.3【解】(1)p=Z e2(0.35)(0.6 5)吗=0.5 1 38=01 0(2)0?=Z C：o(O 2 5)”(0.7 5)|”=0.2 2 41k=436 .架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每层.试求下列事件的概率：(1)4=某指定的一层有两位乘客离开”；(2)8=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”：(3)C=恰有两位乘客在同一层离开”；(4)D=至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在1 0 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为1 0 1 种.C294(1)P(A)=6,也可由6重贝努里模型：1 061 O尸(2)6个人在十层中任意六层离开，故P6P(8)=T1 06(3)由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C；o种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有C；种高开方式.其余4 人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4 人中有3 个人在同一层离开，另一-人在其余8层中任一层离开，共有C；C：C；种可能结果：4人同时离开，有C；种可能结果：4 个人都不在同一层离开，有 P；种可能结果，故P(C)=C；C：(C C；+C；+P；)/l()6(4),故p6P(D)=1-P(B)=1-端37.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率：(3)如果个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.1【解】(1)P=-n 0 x a,0 y a,0 a-x yx-(a-x-y)yy +(a-x-,)x构成的图形，即0 x 20 y 2ax-y a1如图阴影部分所示，故所求概率为P=39 .某人有把钥匙，其中只有 如能开他的门他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开4 次(Q 1 2/)才能把门打开的概率与A 无关.pl 1【证】P=一,k=T,2,，HP,:40.把个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率尸(4)P A(BU C)=P(ABJAC)=P(AB)+P(AC)_ P(ABC)【解】设这:段长分别为W/T-y.则基本事件集为由N P(AB)+P(AC)P(BC)4 2.将 3 个球随机地放入4 个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1.2,3 的概率.【解】设%=杯中球的最大个数为i J=123.将 3 个球随机放入4 个杯子中，全部可能放法有4,种，杯中球的最大个数为1 时，每个杯中最多放球，故P(4)C：3!38而杯中球的最大个数为3,即-：个球全放入个杯中，故尸(4)=*C1116因3 1 9P(2)=I-P(4)-3)=I-=-o 16 16或此P(4)c；c；c；439164 3.符枚均匀硬币掷2次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷 2 次硬币，可能出现：4=正而次数多于反而次数,5=正面次数少了反面次数,。=正面次数等于反面次数,A,B,C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P(A)=P(8).所以尸 1-P(C2由2重贝努里试验中正面出现n次的概率为P =。*；)审故 尸 =4 4.掷次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设力=出现正面次数多于反面次数,8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知尸(/)=尸(5)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等.由尸(力+尸(B)=1 得 P(J)=P(8)=0.5(2)当为偶数时，由上题知1 已1P(A)=-i-c-y45 .设甲掷均匀硬币+1 次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲产甲掷出的正面次数，甲,尸甲掷出的反面次数.乙尸乙掷出的正面次数，乙 反=乙掷出的反面次数.显然有(甲正乙 正)=(甲正W乙正)=(+甲 反 w 乙 反)=(甲反21+乙反)=(甲 反 乙 反)由对称性知P (甲止 乙Q=P(甲/乙反)1因此P(甲正 乙,)=一246 .证明“确定的原则”(S u r e T hi ng)：若 P 3|C)P(B C),P(A C )P(B C),则尸(/)及P(B).【证】由尸(*C)2 P(8 Q,得P Q C)P(BC)P(C)-P(C)5即有 P(AC)P(BC)同理由 P(A C)P(B C 得 尸(/心)P(5 C),故P(A)=P(AC)+P(AC)P(BC)+P(BC)=P(B)4 7.一列火车共有节车厢,有用个旅客上火车并随意地选择车厢.求每节车厢内至少有个旅客的概率.【解】设4=第，节车厢是空的,(A 1,/)，则尸(4)=L(I与n n尸(4 4)=(i 一 与n尸(44 其中八,2,总 是 1，2,，中 的任77-1 个.显然节车厢全空的概率是零，于是，=f 尸(4)=(i)*=c：(1 J”/=in SL p(44X(i-yijn s,i=E p(44 4,)=；(一 3*I/j/2 0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则/迟早会出现的概率为1.【证】在前次试脸中，A至少出现一次的概率为1-（1-）f 1（.8）4 9 .袋中装有股只正品硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷厂次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设4=投掷硬币，次都得到国徽8=这只硬币为正品m-n由题知 P（B）=-,P（B）=-m-n+1 -P（*3）=p P（4|8）=1则由贝叶斯公式知P(BA)=P(AB)_ P(B)P(AB)P(A)P(B)P(AB)+P(B)P(AB)m 1_/%+2 _ mm 1 +I m+2rn z +2 m +5 0 .巴拿赫（B an ach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第次用完盒火柴时（不是发现空）而另盒恰有厂根的概率又有多少？【解】以B】、&记 火 柴 取 自 不 同 两 盒 的 事 件，则有P（BJ =P（B2）=；.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了 2 -r 次，设次取自以盒（已空），n-r次取自助盒，第 2 什1 次拿起S，发现已空。把取2T次火柴视作2 -尸重贝努里试验，则所求概率为式中2 反映出与历盒的对称性（即也可以是&盒先取空）.（2）前2 n-r-次取火柴，有n-次取自5,盒，次取自当盒，第 2-,次取自5盒，故概率为5 1 .求重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在次试验中力出现的概率为p.则由（PY=c%+Q p q z+c犷 广+c：p”q。=1（g-p）=C%1+C；的 T +C”产一+（_i）”c：p，z以上两式和减得所求概率为目 1武+治7+=夕1-（”=2 p）”若要求在重贝努里试验中/出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得2=g l +（l-2p）”.52.设4,5 是任意两个随机事件，求尸（4 +B）U+B）（Z+5 ）（A+B）的值.【解】因 为（/us）n（AUB）=ABU4B所(A UB)n(4 u B)=ABU AB求（舍去）2即尸（4）=一.3(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)55.随机地向半圆0）Y 2 a x -X2（。为正常数）内掷 点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的=(/5 Ul 8)n(48 +方)=0故所求值为0.连线与x轴的夹角小J-n /4的概率为多少？1【解】利用几何概率来求，图中半圆面枳为一兀/阴影部分面积为53.设两两相互独立的三事件,A,8和C满足条件:已知所取两件故 尸（/）=1或3,按题设p=1,2,33 7 5p（即4）=而P（4I4）=注 尸（即4）=不=)了故1 尸(4)=；故p(力)=|或?(4)二 g3 1 3 7 5 291 4)j=3 1 v I D N D W(2)q=P(BJB2)P B)P(BJP 0.1 0.3 0.6而 P(瓦)=2尸(瓦 I 4)P(4)/=11(工+色+型)=如3 10 15 25 90_ 3 _产(8出2)=ZP(8 0 I 4)P(4)1=12.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律：（2）X的分布函数并作图：（3）1 3 3pjr-9pi jr-9pix-,pijr0,P（*8）=1,试比较产与尸（彳）的大小.（2006研考）解：因 为P(A U 5)=P(4)+P(B)_ P(AB)P(AB)=P(B)P(AB)=P(B)所 以P(A U 8)=P(力)+P(B)一 P(B)=P(A).【解】X=0,l,2.(2)当 x0 时，F(x)=P(XWx)=0故X的分布律为。(丫=0)=导=P(X=1)=*c1P(X=2)=汗=22351_n-35-135,X 012P 22121353535习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X=3,4,5-353524-351-c3-cc-c22当 0Wxl 时，F(x)=P(X W x)=尸(*=0尸 3534当 1 Cr 2 时，F(x)=P(XWx)=P(X=Q)+P(X=)=35当 x22 时，F(x)=P(XWx)=1故X的分布函数0,x 022 0 ,0 x 1F(x)3534 1 -,1 x 2(3)故所求分布律为x345 由分布律的性质知3 3 34 34P(l -)=F(-)-F(l)=-=02 2 35 35N NI=ZP(X=A：)=Zk=k=a N3 3 1 2P(l -)=尸(X =l)+P(l -)=即 a =l.2 2 35 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求:34 1P(1 X 2)=F(2)-F(l)-P(X=2)=1-=0.(i)两人投中次数相等的概率；35 35(2)甲比乙投中次数多的概率.3.射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为0 8求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则*=0,I.2,3.P(X=0)=(0.2)3=0.008p(X =l)=C；0.8(0.2)2 =0.096P(X =2)=CJ(0.8)20.2 =0.384尸(X =3)=(0.8)3=0.512故X的分布律为X012 3P0.0080.0960.384 0.512分布函数r 0,x 00.008,0 x lR(x)=0.104,l x 20.488,2 x 3P(X 2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8964.(1)设随机变量X的分布律为P x=k=a ，k 其中后0,1,2,，4 0为常数，试确定常数a(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,k=,2,，N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知l =p(X=Q =a =ae k=0 k=0 k!【解】分别令X、y表示甲、乙投中次数,则先6(3,0.6),%仅3,0.7)(1)p(x =Y)=p(x=o,y =O)+P(X=i,y =i)+P(X=2,y尸(x =3,y =3)二(04)3(0.3)3+C；0.6(0.4)2C；0.7(0.3)2+C；(0.6)2().4C；(0.7)2 0.3+(0.6)3(0.7)3=0.32 07 6(2)尸(X 丫)=p(x=i,y =o)+p(x=2,y =o)+p(x=3,y尸(x =2,y =i)+p(x =3,y =i)+p(x=3,y =2)=C；0.6(0.4)2(0.3)3+C；(0.6)2 0.4(0.3)3+(0.6)3(03)3+C；(0.6)2().4C；0.7(0.3(0.6)3C；0.7(0.3)2+(0.6)3C 3(0.7)2C=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则人6(200,0.02),设机场需配备N条跑道，则有尸(X N)0.0 1故a 二 e即200Z c：0c(0.02)*(0.98严 从 N)X工 e44k (1000,0.0001)P(X 2)=1-P(X =0)-P(X =l)(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率._ 3【解】(1)P(X=0)=e 2 P(X21)=l-P(X =0)=l-”11.设尸X=A=C；p“(1 p)k,A=0,l,2p y 户C；p(l p)4 T ,1 2 3,45分别为随机变量K 丫的概率分布，如果已知尸Xl=一，试9求 PY21.5 4【解】因为P(X 21)=,故尸(X1)=.而P(X(i-p)4=c y(i-p)3故得即从故P23所P(X=4)=C(-)4-=5 3 3 243以9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,(1)进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率：(2)进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X表示5次独立试脸中X发生的次数，贝1J P6(5,0.3)(J P)2=,1P F尸(y 2 i)=i_ p(y=o)=i (i_ p)4而 0.802478112.某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册 数,则以6(2000,0.001).利用泊松近似计算，九=np=2000 xO.OOl=2得e225尸(X=5”一-=0.00185P(X 3)=Z C；(0 3)(0.7)=0.16308k=3(2)令y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y b Q 0.3)7P(Y 3)=Z G(0.3(0.7尸=0.35293k=310.某公安局在长度为/的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数 为(1/2)/的泊松分布，而。时间间隔起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率：3 113.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一 似X表示试4 4验首次成功所需试验的次数，试写出x的分布律，并计算x取偶数的概率.【解】X =1,2,儿 I 3P(X=k)=(-)k-4 4P(X=2)+P(X=4)+-+P(X=2k)+-1 4.有2 5 0 0 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.0 0 2,每个参加保险的人在1 月 1日须交1 2 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2 0 0 0 元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于1 0 0 0 0 元、2 0 0 0 0 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在 1 月 1 日，保险公司总收入为2 5 0 0 X1 2=3 0 0 0 0 元.设 1 年中死亡人数为X，则腔6(2 5 0 0,0.0 0 2),则所求概率为,1故A =.2(2)p(0 l)=!e-vd x =1(l-e-1)X 1 1(3)当0时,F(x)=evdx =evM 2 2当 X 2 0 时F(x)=-e-wdx =1-exdx +(；e-xdx=l-e-x2e,x 02故 F(x)=02P(2 0 0 0 X 3 0 0 0 0)=P(X 1 5)=1-P(X 1 5卜 1 一-X 0.0 0 0 0 6 9k=o k!数为1 0 0 x 1 0 0,x 1 0 0 0 0)=P(X 2 0 0 0 0)=P(X 5)(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率；(3)F(x).【解】d 5 0 1 0 0 1(1)P(X 1 5 0)3=(|)3=；2=吗守/(3)当 x 1 0 0 时产(x)=05 3一5 5 A-0.6 1 5 9 6 1金k!即保险公司获利不少于2 0 0 0 0 元的概率约为6 2%1 5.已知随机变量X 的密度函数为y(.r)=/ie-k l,-8 Vx 1 0 0X0,x 01=y 4 e-wdx =2 A e-d x =2 A1 7.在区间 0,司 上 任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在 0,g中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知x u o,0,密度函数为Y 6(5,e-2),即其分布律为/()=了N，Qxa其他故当x0时F(x)=0当0W X/a)=/c)d f=7(M当 时，F(X)=1即分布函数F(x)=0,X 1)=1-P(y=0)=1 -(1-e-2)5=0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N(40,102)：第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50,42).(1)若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路起卜.火车把握大些？【解】若走第一条路，星W(4 0,0)，则x71,0 x a18.设随机变量X在2,5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】人32,5 ,即P(X 60)=6：；。=必2)=0.97727若走第二条路，XN(50,42),则P(X 60)=p f 5 0 6 /。1=0(2.5)=0.9938_/(x)=3 0,2 x 3)=-d x =-故所求概率为+故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若 W V (40,IO?),则(X-4 0 45 40、P(X 45)=q -q-I =0(0.5)=0.6915若 XN(50,42),则小X-5 0 45-50)不/I c 八P(X 45)=Pl-I =0(-1.25)19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布 ().某顾客在窗口等待服务，若超过io分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出丫 的分布律，并求【解】依题意知XE(1),即其密度函数为=1-0(1.25)=0.1056故走第一条路乘上火车的把握大叫.21.设腔N(3,22),/()=1e 550,x0 x0(1)求 P 2 2,PX3(2)确定 c 使 PXc=PXWc.(解(1(2-3P(2 X 5)=P X-3 1该顾客未等到服务而离开的概率为产1 上P(X 10)=L e 5dx=e-2=0(1)-0=-1 +O00.8413-1+0.6915=0.5328P(-4 X i O)=P-4-3 X-3 1 0-3-o),x 3-.求分布密度/(x).P(|X 2)=P(X 2)+P(X +oO得 A =l im F(x)=l im F(x)5 =-1、x-0+x x-0 0-P(3)=1 /=1 一(1 一 e-3 2)=0.6 9 1 5 +1-0.9 9 3 8 =0.6 9 77(3)/(x)=F(x)=P(X 3)=P(上”22)=1-0(0)=0.52 5.设随机变量X的概率密度为加 弋x 00,x 0(2)c=32 2.由某机器生产的螺栓氏度(c m)*W(1 0.0 5,0.0 6 2),规定长度在10050.1 2内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.解X，2.x,0,0 x 1,1 x 0.1 2)=PX 1 0.0 50.0 60.1 2-0.0 6、求X的分布函数F (x).【解】当x0时 产(x)=07当0并画出/(x)及F (x).时=1-。+0(-2)=2 1-0(2)=0.0 4 5 6E(x)=/(/)山=f J )d/+1/山2 3.一工厂生产的电子管寿命X (小时)服从正态分布N (1 6 0,J),L x2n若要求产1 2 0法2 0 0 2 0.8,允许。最大不超过多少？解1当 l W x 2 时 打 工)=f f (t)d tJ-CO产(1 2 0 v X 2 0 0)=尸 0.8=-+2 x-22 2故b M=3 1.2 51.2 92 4.设随机变量X分布函数为-+2 x-l2当 Q2 时 下(%)=/(/)d Z=1故0,X22，E(x)=2+2 x 1,2,1,x 00 x l1 x 2即X的密度函数为X,/=4%0,0 x l1 x 0;bx,0 x 1,(2)z-,1 x 2,x0,其 他.试确定常数。力，并求其分布函数/(x).当.W 0 时 F (x)=0当(Xx l 时E(x)=/(x)d x =j f(x)d x+/(x)d rW x 2 时 F(x)=1故其分布函数为即 密 度 函 数 为金弋x 0八/*)=7；-e2 x x za)=0.0 1故其分布函数尸(X)=0 x 0(2)由1=(心=1版改+,x+g得x 00 x 1l x 2即1一0(2 )=0.0 1即。(2 )=0.0 9故za=2.3 3(2)由尸(X za)=0.0 0 3 得1-%)=0.0 0 3即娱)=09972P(Y=-1)=-P(Y=1)=-查表得 za=2.75由 P(X Z/2)=0.0015 得l 0(z0/2)=00015即。&/2)=09985查表得 za2=2.9628.设随机变量X的分布律为X-2-10 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/1 5 1 1/30求Y=X 的分布律.【解】y可取的值为0，1,4,9P(Y=0)=P(X=0)=|1 1 7p(y=l)=p(X=-l)+P(X=l)=+=6 15 30p(y=4)=P(X=-2)=Jp(y=9)=p(x =3)qV 1,当X取偶数时一 1,当X取奇数时.求随机变量x的函数y的分布律.【解】P（y=l）=P（X=2）+P（X=4）+P（X=2Z）+=（；）2 +（；）4 +（3，+30.设片N (0,1).(1)求片e*的概率密度：(2)求 人”+1