线性代数_习题参考答案.pdf

习题解答习 题 一(A)1.用消元法解下列线性方程组：为 +2X2+3X3=4,(1)3 x,+5X2+7X3=9,2x1+3X2+4X3=5.解由原方程组得同解方程组VX +2X2+3X3=4,x2+2X3=3,得方程组的解为“一 七一2,令3=c,得方程组的通解为=-2工3+3.xl=c-2,x2=-2c+3,x3=c,其中。为任意常数.(2)X-2X2+工3+X4=LX-2X2+X3+=-LX j-2X2+x3+5 x4=5.解 山原方程组得同解方程组5x-2X2+工3+x4=1,4X4=4,0=-2,所以方程组无解.X j-x2 4-2X3=1,(3)X,-2X2-X3=2,3 X j-2X2+5X3=3,X)+5X3=0.解由原方程组得同解方程组X j-x2+2x3=1,x2-x3=0,一 4X 3 =1,得方程组的解为玉=(,X 2 =-；,当4-1-2xl-2X2+x4=-3,(4)i2项 +3X2 4-X3-3X4=-6,3 x)+4X2-x3+2X4=0,+3X2+x3-x4=2.解 由原方程组得同解方程组x1+3X2+x3-x4=2,3X2+X3+X4=10,3X3-X4=9,=3,得方程组的解为 =-2,X2=1,X3=4,X4=3 .2.用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵:12 2、(1)2 1 -23-2 1,r122)(12 2)fl 0】解21-20120 10,得-2100、0 01J白2 2、1 0 0、行阶梯形：0 1 2（不唯一）；行最简形：0 1 0 0 0 1,、0 0 1,32 1 1、(2)1 2-3 2、4 4-2 3,_、21 0 3 2 1 1、1 2-3 2、解1 2-3 20 Y 10 5;4 4-2 3)0 0 0 0 J2520 10 00 07125-4025_-2OO1O1 2-32)Z1行阶梯形：0-410-5（不唯一）；行最简形：00 000;0-2-1111n1111n解20-3 21432662025014V行阶梯形:1111、02501007 00W000（不唯一）；行最简形:3.用初等行变换解下列线性方程组:%+3X2+3X3=5,(1)2|一x2+4X3=11,x2+x3-3.13 35、解B2-14：110-113 J得方程组的解为00070000,0000000101000/100012100l _201000001p20I2000,得1000100:0：1237929）-3-2 7 20再=.芍=一 ，%3=-x2+4X3+3X4=1,(2)方程组有无穷多解，且解为X|=-%2 x3+1.令/=。|,七=。2，得方程组的通解为X 1-C -C2+,X2-CVX3-c2,其中 C ,C 2 为任意常数3.（联合收入问题）已知三家公司A、B、C具有如下图所示的股份关系，即 A公司掌握C公司50%的股份，C公司掌握A公司3 0%的股份，而 A公司7 0%的股份不受另外两家公司控制等等.0.2现设A、B和 C公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上其它公司的股份按比例的提成收入.试确定各公司的联合收入及实际收入.解 A公司的联合收入为3 093 90.8 6 元，实际收入为216 57 3.6 0元；B公司的联合收入为13 7 3 09.6 4元，实际收入为27 46 1.93 元；-5-C公司的联合收入为186548.22元，实际收入为55964.47元.习 题 二(A)1.利用对角线法则计算下列行列式：cos。一sin6(1).sin 0 cos 0解原式=1.解原式=孙(歹一工).1 2 3(3)3 1 2.2 3 1解原式=18.a b c(4)0 a b.0 0 a解原式=0 0 Q(5)0 a b.a b c解原式=4.2.按定义计算下列行列式：0 0 a 06 0 0 0(1),/00c0 d 0 e6 0 00 c解 原 式=。(一1)“3 /.o c=(-1)1+,=-abcd.d e-6-0 10 0(2)L L0 00 L 02 L 0L L L0 L n-0 0 L 01 0+l0 2解原式=(-1).00(一1严!.0 0 n-3.利用行列式的性质,计算下列行列式:(1)abhdbfac-cdcf-ciedeef解原式=ahcdef11-11-11-111=ahcdef1-20=一 4abedef.1001221111-2 2 2 2(2)-3-3 3 3-4-4-4 4111110解原式=（4。+x）aa+xaa+xa=(4a+x)ax0000 x0000=(4o+x)x3.aaa+xax-7-2 31(4)02310 00 15 185 10 15 41 2 0 12 3解原式=一0 310 05 185 10 15 41 2 0 10-1 10-20 3 5 180 0 15-11 2 0 10-1 10-20 0 35 120 0 15-11 2 350-1 1512-1=-215.1 1 1 L 11 a,0 L(5)1 0 a2 LM M M L00M其中q.H0,i=1,2,L,n.1 0 0 L 4 7 解原式1113 1二a)040000a20000aWA)1n解 原式=Q +a22x+Q 3 3 X；+2。|2玉 工2 +2 3再1 3 +22 3工2工3 .T 0 3、5.已知矩阵力=0 2 1、0 0 1,1 0 0、8=0 2 1.求:、3 0 1,(1)AB 与 B4；(2)(N +8)(4 8)与2一8 2.解，1 0(1)AB 3,30 3、4 3o L 1 05/4=0 43 031 0-18-，-9(2)(A+B)(A-B)=-66(a H O)可交换的所有矩阵.0 6、0 0 6、0 0,A2-B2=-3 0 00 9；、一6 0 0,106.求与矩阵Z =解 设与2可交换的矩阵8=Xi/、W X4.由 AB=BA,得%+ax3=x,x2+ax4=ax1+x2,-=2 1 (13 3 (14 6、A2=0 1 2 ,/=0 1 3,A4=0 1 4k0 0 1 J 1 k 0 0 1 J oo、k C f贝 i j Z*=0 1 k .、0 0 1,8.已知矩阵0=(1 2 3),=(i 1 令A =aT B解 An=aT(/3aTp =(p aT(aT/3)=3n-,(aT/3)1 5 1 0、4=0 1 5 ,、0 0 1,求 其 中 为 正 整 数.=3T 2 1 =23”T33 3 3 -1 1I 2 J V9.若/为”阶对称矩阵，P为阶矩阵,证 因 为(P Z P)T =尸7丁(尸7)”=1 0.利用公式法求下列矩阵的逆矩阵：解阂=78,贝 懒*=6=一上1 8.(1)设尸=证明&=P P.(2)设AP=PB,且尸=1 0 0、2-103 1 ,B00-11 00000,求 N 与片。”证 Bk=(p-AP)k=P-A(PP-)A(PP-)L(PP-)AP=p-AkP.(2)1AP=PB,得4=B P-,且工2。”=必2 力-1 .又所以4 =2,6，1240 0 1 0 0、0 ,B,201100-1,A2D=PBPT=A.0、0100000-1=B,1 9 .利用分块矩阵计算下列矩阵的乘积:102(1)10200、11000-200-1330010132、0013人007解将矩阵进行如下分块:-23-20 10 0、0 01 0 1 03 0、则原式=4 8 1 +4o(02110 3勺停B4人。B2）102Y 3队244、f-2+E、4,o0102-2E B(0 00 3)4月+层、又3、3,(5 1(2Q J，%311V-02%3、-4 9、0 9,0所以原式=0、02 5 r1 2 20-4 90 0 9,(2)a01W0 1a 00 b1 0oYo1 c0 d队000d,解将矩阵进行如下分块：%0 ：10、0 f l :0 11 0 :z 0、0 1 :0%E、E 0、cbE y,a,000d,C、ME,则原式=aEEbE）%C+dE、C+bdE)2 0.利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵:1 3 0、(1)-1 2 0、0 0 5,解将矩阵进行如下分块:d acyac dbd cc bd)-24-(5 5 ；(13 ：0、/=-1 2；0 40、.,.卜。(0 0 ；5,23、则 A-=Z j o、Al.又4 T=(1 3 V,k-i V =5-5，勾=二T=3所以-05 5(2)2113000000340、032,解将矩阵进行如下分块:21A01 :0 0 3 ；0 0 0:3 30 ；4 2,0、4 又355-525 (1 1 13 =322)2 _ J _、3 -2所以/T=3 5 -5 _ 2-5 50 00 00 00 03 22 3 2,-25-2 0 0 00 12 0(3)0 1 3 00 0 0 20051 k 0 0 0 -2-1 J解将矩阵进行如下分块:A=则/t=dia g(4，42；00：000 :12：000 ；13：000 ;00：250 :00；-2-11,夕）.又7、A4,f l000_-840 0、0 01 2、2 1,解将矩阵进行如下分块：0A =0、0 一 =(321 T/3-2、.(2C .，,4 =T厂，4二、-824 0 3-20 -1 1所以/T=0 0 00 0 0T 10 121.设 矩 阵 4=0 00 00005824 利用分块矩阵计算44.1 :0 0 1:0 0=diag(4,4,),0 ：1 20:21,-26-则 Z”=成 a g（/：，G）.又(=4)=741,404041、,所以72 2.设矩阵2100530000212A4=0、012,解将矩阵进行如下分块:21A=0贝=lx(-8)=-823.(1)设 Z =OCBO、7且(2)证(2)设矩阵/=（1）因为10004100004140004041、7,利用分块矩阵计算,2。号.5300002120、012成qg（4,4）,所以|0 2卜卜r 2 =82012，且m阶矩阵8和阶矩阵C均可逆，试证明AO C-o700M0q0M000a2M00LLLLOCBO、7oB-Lo,A-1将矩阵进行如下分块:0、0M%0),其中外,生1 为非零常数，求/IBB-OO C CO C-B-O1 7、17E O、0E)E,所以Z可逆,-27-则A-1又B-i 0q000a20A=000、凡0007 O B、0 L、0 ,d i a g a a),C=(a；1),所以f 00 0婷、r0 00A-=0a-0024.利用矩阵的初等行变换判断F列矩阵是否可逆；如可逆，求其逆矩阵.1 3 0、(1)3 -1 2、4 -3 3,解(/1 3 0 0 0、E)=3 -1 2:0 1 0k4 -3 3 :0 0、001703 .315 ,1 0H)0J _15T o-ioi30 00 ；22因 为0 1 -工H E,所以不可逆.50 0 0I 72 2、(2)2 1-2.3-2 1,-28-、2-92-9OO22O1221/(179-92-9OOOOIOO-2-2幻解7OO所以/可逆，且1 29 92 J_9 92 _25-92、92-919)3-2 0-1、0 2 2 1(3)1-2-3-21 2 1,1-1-1-1-1-1I1 2 1 T T1 1-2-4、0 10-1-1-1 3 62 1-6-10?1 1-2-4、0 10-1-1-1 3 62 1-6-10,1(4)/=1(1解（/）=1-1U-11 1-1-1-1-1-1-110 0 0、0 10 00 0 100 0 0 1,-29-/10 0 0200 10 00 0 11,0 0 0 00J _2_2 _20 02 _2000 0-1所以4不可逆.25.利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程:勺2(1)3 23-1-3 (1-4 X=1 0U 11。-3 0、2 77 8,rl 2-3 ；1 -3 0、解 3 2 T -0 2 7k2-1 0 :1 0 7 8,4j 00 0:610:20 1 ；34 5、1 2=(E X),3 3,6 4 5、所以X=2 1 2、3 3 3,，5 3 1、(2)XI-3 -252 1 ,-8 3-5 9、一 2 1 50、0o 5 1解将方程两边转置，得3 -3J -2-5、2%r=f-8-5 -2)391 5.山、00,5 1 -53-3 2J -2 12 3、得 丫=4 5 6.、7 8 9,26.求下列矩阵的秩:10 0)p0 1 0 00 0 1 J (001004 7、0 ；2 5 8=(X)一 3 6 9,1 -5 6 -2、(1)2-1 3 -2、一 1 -4 3 0 ,-30-解A=2、一1-5 6 -2、-1 3 -2-4 3 0,1 -5j 0 9、0 06 -2、-9 2,所以火(，)=2.0 0 ,2-1(2)4 -23-13 -2 4、5 1 71 8 2,3 -2 4、1 -5 1=R(4)=2.0 0 0,(2-1 3 -2 4)(2-1解A =4-2 5 1 70 0、2-1 1 8 2,1 0 0(3 -1 -2、1 1 一4 3 5(3 -1解 A =23 2U-4213-2、3100、03-700-1400-2、7=火(4)=2.3 -1 3 2 5、1 7-51 417 3-13 25-3-5 0-7、解A =5-3 23 40491 1 3n 火(4)=31-3-5 0-7000 01-51 41;00 00;127.设矩阵/=22-1%、5 2-1,且火()=3,求；I的值.1 -6 1 0,解/=212-1 4、5-11 -6 1 0,1 1 -6 1 0 、-0 1 5 A-1 0、0 0 2-3 -3(3),由/(4)=3,得-31-1 -2 3k、28.设矩阵/=-1 2k-3，问左取何值时，使得5-2 3,(1)R(A)=1 ；(2)R(A)=2；(3)R(A)=3 .解A=-1,k-2 3k、2k-3口-2j 0 2(1)、0 03(1),有一3(左一1)6 +2),当左力1且女工一2时，R(4)=3；当人=1时,R(4)=l；当左=一2 时，R(A)=2.1 0 1、29 .设4是4 x3矩阵，且/的 秩 为2,而8=-1 1 1,求R(Z 8).1 1 -2-3,解 忸|=2/0,则R(N8)=火(/)=2.3 0 .设4 为阶矩阵，满足Z 2+5/+6 E =O,证明：R(A +2E)+R(A +3E)=.证 由 Z 2+5 Z +6 E =O,得(2+2E)(/+3 E)=O,所以R(4+2,E)+R(A +3E)R(E)=n ,所以 R(4 +2K)+R(4 +3 E)=.1 13 1 .设三阶矩阵N=-2-1、T -2-2,试求R(与(/).1 1 0、解 A=-2-1 -2、1 -2 2,T-o1 0、1 -2 0 R(A)=2.0 0 ,因为 7?(J)=2=3 1 n R(4*)=1.3 2.求解下列线性方程组：再+x2-4X3=0,(1)2j q+9X2+6/=0,3 X +5X2+2X3=0.-32-解方程组的系数矩阵 1 14=2 93 56 0J 1。1 -4、1 2因为火(4)=3,所以方程组只有零解.%+2X2-x3-1,(2)2x,-x2+x3=3,X +2x,+=7.解方程组的增广矩阵T 2-1B=(A )=2-1 1、-1 2 31、37,qj 0e0 01 00 1ni2,所以方程组的解为芭=l,x2=l,x3=2.(3)2%+3X2 x3 7X4=0,3 X +2X3-7X4=0,4 x,+x2-3X3+6X4-0,%-2x,+5X3-5X4=0.解方程组的系数矩阵 2 3 -1 -7、3 1 2-7A 4 1-36、1 -2 5 -5,/1 0 00 1 00 0 1、0 0 01、27*2527得方程组的解为令=2 c,得方程组的通解X=c(-l,7,5,2)r,其中c为任意常数.-33-%+x2+x4=0,(4)100011001-3501-35002-75因为火()=3。火(5)=4,所以方程组无解.(5)2xt-+5 X 3 =1 5,%+3X2 x3=4,X 1 4X2+6 x3 =1 1,3 X +2X2+4X3=1 9.解方程组的增广矩阵B=(A7(2-1 51 5 0 271 3-1401-1-11-4 61 100 00241 9；0 00得方程组的解为令S=C,得方程组的通解X =c(一2,1,1)，+(7,-1,0)r,其中 c 为任意常数.x-x2 4-3X3+2X4=1,(6)X j +%2 2/+*4 =2,2工1-2X2+7X3+7X4=1,2xl-2X2+8/+1 0 x4=0.解方程组的增广矩阵r 16 =(/B)=2,2-13 21 -2 1-2 7 7-2 8 1 0-21 1 -1 0 -70 0 130 0 0 0、0 0 0 0-10得方程组的解为-3 4-x=x2+7X4+4,X 3=3匕一1 令=q,%=。2，得方程组的通解为X=G(1,1,0,0)7+G(7,0,-3,l)r+(4,0,-1,0/,其中 q,c2 为任意常数.3 3.试问4取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解.(1+4).+x2+x3=1,(1 )1 i0;0：因为R(Z)=1 H R(B)=2,所以方程组无解.当；1=一3时,1 ；1 ；-2：、B=(A-21J1-211-321-30-2302-507100、7因为火(Z)=R(8)=2 3,所以方程组有无穷多解.(2 A)X|+2X2 2工3 =1,(2)v 2石+(5 A)X2 4xj=2,-2%4%2+(5 4)X3=4 1.解方程组的系数行列式2-4 2A=2 5-A 2 4r3+r22-72025-A-K-2-41 zl=-(10-A)(l-A)2.当|旬。0,即4 H l且4 H 10时，方程组有唯一解.-35-当4 =1 0时,B=(4 B)-82、一22-5-4-2；1、-4 ：2-5 :-1 1?-510-410200：2、：1因为火()=2，火(8)=3,所以方程组无解.当4 =1时,B=(4)=12-2:1:0：02-2；1 1 2-24 ；20 0 0-4 4 ：-2；1 0 0 07因为火(Z)=R(8)=1 3,所以方程组有无穷多解.3 4.试问几取何值时，非齐次线性方程组X 1 +x3=44 X +%2+2/=4+2,有解,并求解.6%+9 +4X3=24 +3解方程组的增广矩阵A、勺B=(A。)=4、62：2+24 :24 +3,1-20A、2-3 21 0111100010当;1 =1时,100010B=(A6-1-201-107有/?(4)=火(8)=2 3,则方程组有无穷多解，且解为令3=。，得方程组的通解为X=c(1,2,1)+其中c为任意常数.3 5.求平面上三点(X,，凹),。2,外)，(鼻，外)共线的充分必要条件解设直线方程为a x+c =0.则-3 6-xa+y2b+c=（,平面上三点（西,必）,（2）2），（七，8）共线=,x2a+y2b+c=Q,有非零解x3a+y3b+c =0X 乂q z y2X 3%1 11 =0,即国1 乂1 1x2 x3=0.%先(B)1.选择题：(1)设48为阶矩阵，以下结论正确的是().(A)若/、8是对称矩阵，则N8也是对称矩阵.(-8)(/+8)=/-8 2.若 4 B =O,且力可逆，则6 =0.(D)若幺与8等价，则4与8相等.解选(C).(2)设和8均为X矩阵，则 必 有().(A)X +8|=M +W|.(C)以卸=忸4 (D)(Z +8)T =k+人.解选(C).(3)设为5?2)阶矩阵，4*是/的伴随矩阵，左为常数，贝().(A)/*.(B)/cA*.(C)V-|Z.(D)V Z.解由伴随矩阵的定义，知 选(C).(4)设和8均为阶非零矩阵，且/8 =。，则/和8的 秩().(A)必有一个等于零.(B)一个等于，一个小于.(C)都等于.(D)都小于.解 由 N 3 =O,得 R(/)+R(8)W .又 A于 O,B 丰O,知/?(4)2 1,火(3)2 1.所以R(A),R(B)n ,故 选(D).(5)对 于 非 齐 次 线 性 方 程 组=刈，若及(/)=尸，则().。)当r =加时，Am x nXn x l=限 有解 当厂=时，4 x,X x i =力网有唯一解(C)当加=时，4也北刈=自闲有唯一解(D)当r 5417.设矩阵/=21且矩阵X满足4K=2X+,试求矩阵X.解 由 4Y=2X+,得 Q-2 E)X =0 .(注意|4 2 同=0)又-1(A-2 E)=2122-120 1-2:10 0 0 5 00:00:0-2；1得 方 程 组 的 解 为 卜=%+万 令w=c,得丫=2%3+1.(c+22c+l为任意常数.1 a La 1 L8.设(2 3)阶矩阵力=M Ma L，试 求/的 秩R(Z).M当aw l且aH L时，/为非奇异矩阵，所以R(Z)=；77-1-39-1 1 1、1 1 1当 a=1 时，/=.I .Ik1 1 v 1 1 1、0 0 0.:,则 R(N)=1；0 0,当。=一一1一时，4的-1阶子式n-1 a aa a D,I=.=l +(w-2)(1-r20而|H=0,所以火(4)=-l.9.试求p,夕取何值时，齐次线性方程组，$+x2-2X3+3X4=0,2x.1+/一+4XA=0,2 3 4 有非零解，并求通解.3 x j +2X2+p x3+qx4=0,2x+x2+x4=0解方程组的系数矩阵(1 1 -2 3)p 1 -2 3 2 1-640 1 2 2/=3 2Pq0 0 2 -1U 1 0 1 J0 0 p +2 q-6.当p +2 q=6时，R(A)=3 4 ,方程组有非零解，且(1 0 0 -1 10 10 310 0 1 20 0 0 0 )得方程组的解为%,=七，%2=-3X4,1%3=/.令=2 c,得方程组的通解为X=c(2,-6,1,2尸，其中c为任意常数.-40-2 玉 +%-工3 =1，1 0.试求。取何值时，非齐次线性方程组(。玉-吃+刍=2,无解、有唯一解或无穷多解,4 X j +5X2 =-1并在有无穷多解时求方程组的通解.解方程组的系数行列式2 aA=a-1 1 =(Q-1)(5Q+4).4 5-54当a w l且QW-一 时，方程组有唯一解.当。=1时，(2B=(A 1、41-1:2-1 1 ；-15-5:0 10 00 1 -1、0 0 0因为火(N)=H(8)=2 1）阶方阵，证明：（E 4 =E一一 A.n-证（E A）（E一 A）E-A +A2.又么2=/,故n-n-n-所以（4）T=_ _ L /n-16.设阶矩阵/与8等价，且M HO,证明忸|W O.证 A与B 等 价,则存在 阶可逆矩阵尸与0,使得8 =尸/。，有同=陷。=|40.注：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性.17 .设/为阶方阵，且 4 2=力，证明R（N）+R（N ）=.证 因为 E）=/2-/=O,所以火（/）+/?（/E）.又R（A）+R（4 E）=R（A）+R（-A +E）N R（E）=n,所以正（4）+正（/-切=18 .设/是 x/力矩阵，3是加x 矩阵，其中.若 A B =E ,其中E 为阶单位矩-42-阵.证明方程组BX=。只有零解.证 由 =得火(N 8)=.又 n N R(B)N R(A B)=n ,得 R(B)=n,所以方程组 8 X=O只有零解.习 题 四(A)1.设匕=(1,1,0),匕=(0,1,1),匕=(3,4,0)1求匕一匕和3 匕+2 匕一匕解 匕一匕=(1，1)，S v,+2%匕=(1，2).2.求解下列向量方程：(1)3 X +a =夕，其中 a=(l,O,l)T,=(l,l,l)T.解 X=；(a)=；(O,l,2),.(2)2 X +3 a =3 X +夕，其中 a =(2,0,l)r,1=(3,1,I),.解 X=3 a =(3,1,4)。3 .试 问 向 量/可 否 由 向 量 组%,%线性表示？若能，求出力由线性表示的表达式.1 曾 (1 c 2 1 1(1)1=吗=,4 =，?=I 0解设网名+x2a2+x3a3+x4a4=0.由,11111 1 1 1(a,a2,a3,a4l)=1-1 1-1J -1-1 11、1-1-1%=1-1-b1J.5 )10 0 0:-41101 0 0:-Zr410010:-1400 0 1:14J得/?(%,。2，。3，%)=砥%，。2，。3，。4 1)=4,所以可由向量组名，4，。3，色 线性表示，-43-且X 1 1 1 1c 1 1 1 0(,见0，16)=j j 0 0J 0 0 0-1、12一2,p0002010000010-bt o001得火(4,)=R(G，04 I )=4，所以可由向量组%,见，04线性表示，且斗=l,x,=1,毛=2,X4=-2,得表达式 B=-%+a,+2a 3 -2a 4.4.讨论下列向量组的线性相关性:(D a,3、=2,a 2=-15J-1、3 ,。4 =-3、1 ,。5-V(-2、=-32、解向量组所含向量个数大于向量的维数，所以该向量组线性相关.(2)axybx,4=町、by,(X3其中a,b,c,x,y,z全不为零.ex Jhz0 =解 名,见对应的分量成比例，则%,4线性相关，所以该向量组线性相关.12-1-12-42p-1301100o j；002、310,解(,。2，%)=因为/?(,%&3)=3,所以该向量组线性无关.-44-因为尺(%,。2，%。4)=3 4,所以该向量组线性相关.5.(1)设ae/r,证明：a线性相关当且仅当a =0.(2)设a”证明：a”4线性相关当且仅当它们对应的分量成比例.证(1)a线性相关o=w 0 q a =0.(2)线性相关 左 乌+A 2a 2 =，其中勺,人2不全为零.不妨设勺。0，则%,火 线性相关0 a l =(-幺)a,=1%,即 对 应 的 分 量 成 比 例.k 6.任取名,12，%，&4 e R ，又 记 方=%+%,四=%+%，3 =13 +4,四=4+%，证明月,4,四，A必线性相关.证显然4+用=/+a 2+%+%=4 +4，即5+(-1)夕2 +夕3 +(-DA=0,所以四,四,女,4必线性相关.7 .若向量组 1,A，/7 3山向量组四。2，火线性表示为=a,-a2+a3,邛1=a,+a2-a3,+(X2+cty.试将向量组四,4，%由向量组4，夕2，A表示-45-4=a,-a2+a,%=381+3 区,由（4=%+。2-%解得，=-a,+%+%a2=/4+5%&3=5g+438 .设a,a 2，L 为一组非零向量，按所给的顺序，每一4 a=1,2,S）都不能由它前面的1-1个向量线性表示，证明向量组%,%，L ,4 线性无关.证 用数学归纳法证明.s =l 时，则%线 性 无 关.设 5=加 时 成 立，即%,仁 2,线 性 无 关.当 5=加+1时,若%小，,a,”，4+1 线性相关，则 4+1 可由%,火,a,“线性表示，矛盾，所以向量组，圆 线性无关.9 .设非零向量/可山向量组4,4,L,4 线性表示，证明：表示法唯当且仅当向量组a，a 2，L ,4.线性无关.证可由向量组ax,a2,L ,as线性表示表示法唯一-=X i%+x2a2 H-F xsax-/3 有唯一解=火（%,叼 一,4）=尺（乌/.，*/?）=5?（,a2,-,as）=5 a,a2,L ,4 线性无关.10.设%,火 1 ,a,e R,证明：向量组4,a 2,L ,a“线性无关当且仅当任一 维向量均可由名,。2，1 ,a“线性表示.证 必要性：a，%L,a“线性无关，任取QeR,则%a?,L ,a“,/7 线性相关，所以/?可由a i，a 2,L ,a,线性表示.充分性：任 一 维向 量 均 可 由,a”线性表示，则单位坐标向量q,e 2，L，与可由a，a 2,L ,%线性表示，有-46-n=R(et,e2,L,en)?(at,a2,L ,),所以?（四,%,L ,%）=，即%a 21,a”线性无关.H.求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.(D a,r1 ,a20、2,%oj(0,00、0所以我（四，。2，%，%）=2，ocy,a2为一个极大无关组,119590094900且31000010-1-110q3,170解（,%。3）=1 200131、701001002、7、7a3=3a+a2,a5=-a-a2+a4.-47-1 2 .设，生 和8：片,L，丹 为两个同维向量组，秩分别为八和；向量组C =ZU8的秩为 r3.证明：max%,r2 r3 +r2.证 先证max 0？W G.显然N组与8组分别可由C组线性表示，则外，且r2 r3,所以max,弓 W 弓.次证q W八+&.设%,L 为A组的一个极大无关组，片,L，凡为B组的一个极大无关组，则。组 可 由%,L ,%,四,L ,力线性表示，有r3 火,Bn j)4+R,1 3 .设3为“阶可逆阵，4与C均为a X矩阵，且45 =C.试证明火(Z)=R(C).证 由N 8 =C,知C的列向量组可由4的列向量组线性表示，则R(C)R(N).因 为8可 逆，则/=。8一1,知 力 的 列 向 量 组 可 由。的列向量组线性表示，则R(A)R(C).所以火(N)=R(C).1 4.设4为唐x矩阵，证明：4=。当且仅当呢4)=0.证 必要性显然，下证充分性：R(4)=0 =/=。.设a为/的任一列向量，则R(a)WR(4)=0,所以火(a)=0 =a =0 .由a的任意性知/=。.1 5 .设%=(1,1,1)=(1,5.(1)求山向量组四,4,生成的向量空间的一组基与维数；(2)求向量在此组基下的坐标.1 0 1解 由(GR R 1 0=1 2 3J 5 61 仆015 0 1 11 1 J 10001、2 ,得0,(1)为由向量组%,已2，4生成的向量空间的一组基，且维数为2；(2)向量在此组基下的坐标为(1,2).1 6 .设1=(2,1,3尸,%=(1,0,1尸0=(2,5,1)。证 明 向 量 组 名,%。3是外 的一-48-组基，并求向量4=(2,6,3),在这组基下的坐标.7-2 -1 -2 :2 1 0 0:2证由(%。314)=1 0-5:6 0 1 0 :-81 3 1-1:3)0 0 1；-I 27 1得名,是后的一组基，且P在这组基下的坐标为(5 ,-8,-万).1 7.在7?3 中取两组基:a =(1,2,=(2,3,3 y,=(3,7,1)7；4 =(3,1,4/,A=(5,儿 四=(M-6)r.(1 )求由基冈,，%到 基 口，尾，4的过渡矩阵.(2)若向量7在基片，夕2,4下的坐标为(1,1,1)，求向量7在 基%下 的 坐 标 解设3，%四)=(,%生)。.由(12 3:3 51 (%,七,。3邛，四 周=2 3 7；1 21 13 1；4 1一 6)poo；-2 7-7 1 -41 0 1 0:92 0 9 =(E I P),(0 0 1；41 2 8 )-2 7 -7 1 -41、得(1)由基到基4的过渡矩阵P=9 2 0 9 .、4 1 2 8 ,(2)7在 基 卜 的 坐 标 为-2 7 -7 1 -41 V1 (一1 3 9、X =P Y=9 2 0 9 1 =3 8 .=(5,3,2,1)/=(6,6,l,3)r-49-下有相同的坐标.解由7=(%&3，。4/=入，7=(夕 ,夕2，A 3，&/，得7=(夕 ,夕2，夕3血)7,即KB、,4 区，BJ E)y=O.y=(X,X 2，X 3，X 4).由电,即用，心 E11-11021053116、612,100,0010000101110-X =-x4,得，取=1，得 7 =(-1,-1,-1,1)/.退=一%1 9.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及通解.(1)4X 1 +x2+x3-0,x,+x3-0,X +2X2+2X3-0.、解由工 0、10,$=0,%=一 七1 1 10 1 11 2 27100010,得令 鼻=1,得方程组的一个基础解系4=(0,-1,1)7,通解为X=cJ,其中C为任意常数.x+x2-x3+x4=0,(2)%,x,+2X3 X4=0,3%+x2+x4=0.U 1 -1解由 工=1 -1 2、3 1 00101021_ 31,得玉=-x3,2300W=-X3-X47令X j。0、J得方程组的一个基础解系4=(-1,3,2,0尸，$=(0，T，0，D 通解为X=c +C 2乙，其中6，。2为任意常数.-50-X j 2%2 -X 3 5=0，(3)2xt-4X2+5X3+3X4=0,4X -8X2 4-17X3+1 l x4=0.解 1 -2 -1 -f由 工=2-45 3、4-8 1 7 1 1?1-000 0 0仅、得方程组的个基础解系。=(2,1,0,0 尸，$=(2,0,-5,7)7,通解 为 入=。需+。25，其中5，。2 为任意常数(4)2x+x2-x3-x4+x5=0,X j-x2+x3+x4-2X5=0,3 X j+3X2-3X3-3X4+4X5=0,4X j+5X2-5X3-5X4+7X5=0.(2 11 -1解由4=3 3、4 51)00、00 01 -10 00 00 00 0X =1 Xs,35x2=x3+x4-x5.J)0 0、1O 0、0 ,得方程组的一个基础解系S。=(0,1,1 0,0)7 ,=(0,1,0 ，。)5=(1,-5,0,0,31,通解为X+。2&+。3,，其中。,。2，。3 为任意常数.2 0.判断卜列非齐次线性方程组是否有解，若有解，并求其解(在有无穷多解的情况下，用基础解系表示全部解).-5 1 -2x1 4x2 x3=4,-X 2X2-x4 4,3X2+x3+2X4=1,3%+x2+2X4=-3.14 13 4且解为X=(-(百 ，解方程组的增广矩阵000141(2-4-104、5B )=-1-20-1401001303121545b102-3;001 00014)因为火(N)=R(8)=4,所以方程组有唯解,%+x2+七+x4+x5=1,(2),3%+2X2+x3+x4-3X5=-5,x2+2X3+2X4+6X5=2,5X 1+4X2+3X3+3*4-x5-7.解方程组的增广矩阵B=(4 0)=130512141 1 11 1 -32 2 63 3-10-1-1-5-501226200000-V0000-3、20因 为&(N)=R(6)=2 5,所以方程组有无穷多解，且X=演+%4+5工53,%2 2xj-2X4 6 x5 +2.令X 3 =。1,*4=。2，七=。3 ,得通解为X=(-3,2,0,0,0/+q 0,0)7+q(l,-2,0,l,0)r+c3(5,-6,0,0,1/其中华。2，。3为任意常数2%1+3x?-%5%4=2,(3)%i+2X2 七+X 4=-2,X 1 +x2+x3+x4=5,3玉 +x2+2X3+3X4=4.解方程组的增广矩阵-5 2-B =(4 B)=；、33-12-11 11 2-5113一2、fl 0 0-2 0 1 05 0 0 14)10 0 00001-3、35因为火(Z)=R(8)=4,所以方程组有唯一解，且解为X=(3,3,5,。了.21.设 三 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 矩 阵4的秩为2,且7=(1,2,2)%=(3,2,是方程组的两个特解，试求此方程组的全部解.解 由已知得导出组的基础解系含-R(N)=3-2=1个解向量，设 为 则 可 取&=(2,0,-1/.所以方程组的通解为X=c