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公务员考试行政测试题公务员考试数学应用题精华1.数学运算的大致常考类型(-)数字推理(1)数字性质：奇偶数，质数合数，同余，特定组合表现的特定含义如11=3.14159 26,阶乘数列。(2)等差、等比数列，间隔差、间隔比数列。(3)分组及双数列规律(4)移动求运算数列(5)次 方 数 列(1、基于平方立方的数列2、基于2、次方数列3幕的2,3次方交替数列等为主体架构的数列)(6)周期对称数列(7)分数与根号数列(8)裂变数列(9)四则组合运算数列(10)图形数列(二)数学运算(1)数理性质基础知识。(2)代数基础知识。(3)抛物线及多项式的灵活运用(4)连续自然数求和和及变式运用(5)木 桶(短 板)效 应，(6)消去法运用(7)十字交叉法运用(特殊类型)(8)最小公倍数法的运用(与剩余定理的关系)(9)鸡兔同笼运用(10)容斥原理的运用(11)抽屉原理运用(12)排列组合与概率：(重点含特殊元素的排列组合，插板法已经变式，静止概率以 及 先【后】验概率)(13)年龄问题(14)几何图形求解思路(求阴影部分面积割补法为主)(15)方阵方体与队列问题(16)植树问题(直线和环形)(17)统筹与优化问题(18)牛吃草问题(19)周期与日期问题(20)页码问题(21)兑换酒瓶的问题(22)青蛙跳井(寻找临界点)问题(23)行程问题(相遇与追击，水流行程，环形追击相遇：变速行程，曲线(折返，高山，缓 行)行 程，多次相遇行程，多模型行程对比)2.数学公式终极总结容斥原理涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：一的个数十 二的个数一都含有的个数=总数一都不含有的个数【例3】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试 中 有2 6人及格，在第二次考试中 有2 4人及格，若两次考试中，都及格的有2 2人，那么两次考试都没有及格的人数是多少【国2 0 0 4 B-4 6 A.1 0 B.4 C.6 D.8应用公式 2 6+2 4-2 2=3 2-XX=4所以答案选B【例 9】某单位有青年员工8 5人，其 中 68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游 泳 的 有 1 2 人，则既会骑车又会游泳的有多少人。【山 东 2 0 0 4-1 3 A.57 B.7 3 C.1 3 0 D.6 9应用公式：6 8+6 2-X=8 5T 2 X=57 人抽屉原理：【例 1】在一个口袋里有1 0 个黑球，6个白球，4个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？【北京应届2 0 0 7-1 5A.1 4 B.1 5 C.1 7 D.1 8 4 9.采取总不利原则1 0+4+1=1 5这个没什么好说的剪绳问题核心公式一根绳连续对折N 次，从中M刀，则被剪成了（2 NX M+1）段【例 5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共 剪 6刀。问这样操作后，原来的绳子被剪成了几段？【浙江2 0 0 6-3 8 A.1 8 段 B.4 9 段 C.4 2 段 D.52 段 2*3*6+1=4 9方阵终极公式假设方阵最外层一边人数为N,则一、实心方阵人数=NX N二、最外层人数=（N-l）X 4 例 1 某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？【国 2 0 0 2 A-9】【国 2 0 0 2 B T 8】A.2 56 人 B.2 50 人 C.2 2 5 人 D.1 9 6 人（N-1）4=6 0 N=1 6 1 6*1 6=2 56 所以选 A 例 3 某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生：【浙江 2 0 0 3 T 8】A.6 0 0 人 B.6 1 5 人 C.6 2 5 人 D.6 4 0 人（N-1）4=9 6 N=2 5 N*N=6 2 5过河问题：来回数=（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）*2+1 次数=（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）+1【例 1】有 37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡完？【广 东 2 0 0 5-1 0 A.7 次 B.8 次 C.9 次 D.1 0 次3 7-1/5-1 所以是9次【例 2】4 9 名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮船，过一次河需3分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟？（）【北京 应 届 2 0 0 6-2 4 A.54 B.4 8 C.4 5 D.3 9（4 9-7）/6 2+1=1 5 1 5*3=4 5【例 4】有一只青蛙掉入一口深1 0 米的井中。每天白天这只青蛙 跳 上 4米晚上又滑下3米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出？A.7 B.8 C.9 D.1 0【(1 0-4)/I +1=7核心提示三角形内角和1 8 0 N 边形内角和为（N-2）1 8 0【例 1】三角形的内角和为1 8 0 度，问六边形的内角和是多少度？【国家2 0 0 2 B-1 2 A.7 2 0 度 B.6 0 0 度 C.4 8 0 度 D.3 6 0 度（6-2）1 8 0=7 2 0 盈亏问题：（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）+（两次每人分配数的差）=人数（2）两次都有盈：（大盈-小盈）+（两次每人分配数的差）=人数（3）两次都是亏：（大亏-小亏）4-（两次每人分配数的差）=人数（4）一次亏，一次刚好：亏小（两次每人分配数的差）=人数（5）一次盈，一次刚好：盈+（两次每人分配数的差）=人数例：“小朋友分桃子，每 人 1 0 个少9个，每 人 8个 多 7 个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”解（7+9）4-（1 0-8）=1 6+2=8 （个）.人数 1 0 X 8-9=8 0-9=7 1（个）.桃子还有那个排方阵，一排加三个人，剩 2 9 人的题，也可用盈亏公式解答。行程问题模块平均速度问题V=2 V 1V 2/V 1+V 2 例 1有一货车分别以时速40k m 和 60k m 往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均时速为多少？【国 家 1999-39】A.55k m B.50k m C.48k m D.45k m2*40*60/100二 48 例 2一辆汽车从A地 到 B地的速度为每小时3 0 千米，返回时速度为每小时2 0千米，则它的平均速度为多少千米/时？【浙 江 2 003-2 0A.2 4千 米/时 B.2 4.5 千米/时 C.2 5千米/时 D.2 5.5 千米/时2*30*2 0/30+2 0=2 4比例行程问题路程=速度X 时 间（1 21 2 12 5 丫 土 =或 或 或）路程比=速度比X 时间比，S 1/S 2=V 1/V 2=T 1/T 2运动时间相等，运动距离正比与运动速度运动速度相等，运动距离正比与运动时间运动距离相等，运动速度反比与运动时间【例 2】A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4 分钟走的路程等于乙火车5 分钟走的路程，乙火车上午8 时整从B站开往A站，开出一段时间后,甲火车从A站出发开往B站，上午9 时整两列火车相遇，相遇地点离A、B两站的距离比是15：16,那么，甲火车在什么时刻从A站出发开往B站。【国 2 007-53A.8 时 12 分 B.8 时 15分 C.8 时 2 4分 D.8 时 30分 速 度 比 是 4：5路程比是15：1615S：16S5V :4 V所以T 1:T 2=3:4也就是45分 钟 60-45=15所以答案是B在相遇追及问题中：凡有益于相对运动的用“加”，速 度 取“和”，包括相遇、背离等问题。凡阻碍相对运动的用“减”，速 度 取“差”，包括追及等问题。从队尾到对头的时间=队伍长度/速度差从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和 例 2 红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行6 0 米，队尾的王老师以每分钟步 行 150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共 用 1 0 分钟。求队伍的长度？（）【北京社招2 005-2 0A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米X/90+X/2 10=10 X=630某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用12 0秒，整列火车完全在桥上的时间80秒，则火车速度是？【北京 社 招 2 007-2 1A.10米/秒 B.10.7 米/秒 C.12.5 米/秒 D.500米/分 核心提示列车完全在桥上的时间=（桥长-车长）/列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）/列车速度1000+X=12 0V1000-X=80V 解得 10 米/秒为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨2.5 元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5 元，若该用户下个月用水12 吨，则应交水费多少钱？15顿 和 12 顿都是超额的，所 以 62.5 （3X5）例 1 某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为8 千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？A.5.5 小 时 B,5 小 时 C.4.5 小 时 D.4 小时假设有m个 人（或者m组人），速 度 v l,一个车，速 度 v 2。车只能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为S。T=(S/v2)*(2mT)v2+vl/v2+(2m-l)vl为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨2.5 元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5 元，若该用户下个月用水12吨，则应交水费多少钱？15顿 和 12顿都是超额的，所 以 62.5-(3X5)例 1某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为8 千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？A.5.5 小 时 B.5 小 时 C.4.5 小 时 D.4 小时假设有m个 人(或 者 m组 人)，速 度 vl,一个车，速 度 v2。车只能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为S。T=(S/v2)*(2mT)v2+vl/v2+(2m-l)vl分 类：“做一件事，完成它可以有 n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算最终完成.两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这 n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1.有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上.的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2 .有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含 与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3 .在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.*提 供 10 道习题供大家练习1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为(C)(A)25 个(B)26 个(C)3 6 个(D)3 7 个【解析】根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可见最大的边是11则两外两边之和不能超过2 2 因为当三边都为11时是两边之和最大的时候因此我们以-条边的长度开始分析如果为1 1,则另外一个边的长度是11,10,9,8,7,6,。1 如果为1 0 则另外一个边的长度是10,9,8。2,(不能为1否则两者之和会小于11,不能为11,因为第一种情况包含了 11,10的组合)如果为9则另外一个边的长度是9,8,7,。3(理 由 同 上，可见规律出现)规律出现总数是 11+9 +7 +。1=(1+11)X 6+2=3 62、(1)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？【解析】每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也 有3种可能性，直到第4封，所以分步属于乘法原则即3 X 3 X 3 X 3=3*4(2)3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？-【解析】跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系不够成分类关系。属于分步关系。如：我 们 先 安 排 第 个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系即4 X 4 X 4=4 3(3)8本不同的书，任 选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？【解析】分步来做第一步：我们先选出3本书即多少种可能性C8取3=5 6种 第 二 步：分配给3个同学。P 3 3=6种这里稍微介绍一下为什么是P 3 3 ,我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3 X 2 X 1这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是1,2,3,4四个数字可以组成多少4位数？也是满足这样的分步原则。用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步的压缩。所以该题结果是5 6 X 6=3 3 6 3、七个同学排成一横排照相.(1)某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？(3 6 0 0)-【解析】这个题目我们分2 步完成第一步：先给甲排应该排在中间的5个位置中的一个即C5 取 1=5第二步：剩下的6个人即满足P原 则 P 6 6=7 20所 以 总 数 是 7 20 X 5=3 6 0 0(2)某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？(14 4 0)【解析】第一步：确定乙在哪个位置排头排尾选其-C2取 1=2 第二步：剩下的6个人满足P原则 P 6 6=7 20则 总 数 是 7 20 X 2=14 4 0(3)甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？(3 120)-【解析】特殊情况先安排特殊第一种情况：甲不在排头排尾并且不在中间的情况去 除 3个 位 置 剩 下 4个位置供甲选择C 4 取 1=4,剩 下 6个位置先安中间位置即除了甲乙2人，其 他 5人 都 可 以 即 以 5开始，剩下的5个位置满足P 原 则 即 5 X P5 5=5 X 1 2 0=6 0 0 总数是 4 X 6 0 0=2 4 0 0第 2种情况：甲不在排头排尾，甲排在中间位置则 剩 下 的 6个位置满足P6 6=72 0因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和即2 4 0 0 +72 0=3 1 2 0(4)甲、乙必须相邻的排法有多少种？(1 4 4 0)【解析】相邻用捆绑原则2人变一人，7 个位置变成6个位置，即分步讨论第 1：选 位 置 C 6 取 1=6第 2：选出来的2个位置对甲乙在排即P22=2则安排甲乙符合情况的种数是2 义6 =1 2剩下的5 个人即满足P5 5 的规律=1 2 0则 最 后 结 果 是 1 2 0 X 1 2=1 4 4 0 (5)甲必须在乙的左边(不一定相邻)的不同排法有多少种？(2 5 2 0)-【解析】这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。所以我们不考虑左右问题则总数是P77=5 0 4 0，根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是5 0 4 0 4-2=2 5 2 04、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数.(1)能组成多少个四位数？(3 0 0)【解析】四位数从高位开始到低位高位特殊不能排0。则只有5种可能性接下来3个位置满足P5 3 原则=5X4X3=60即总数是6 0 X 5=3 0 0(2)能组成多少个自然数？(1 6 3 1)【解析】自然数是从个位数开始所有情况分情况1 位数：C 6 取 1=62 位数：C 5 取 2 X P2 2+C 5 取 1 X P1 1=2 53 位数：C 5 取 3 X P3 3+C 5 取 2 X P2 2 X 2 =1 0 04 位数：C 5 取 4 X P4 4+C 5 取 3 X P3 3 X 3 =3 0 05 位数：C 5 取 5 X P5 5+C 5 取 4 X P4 4 X 4=6 0 06 位数：5 X P 5 5=5 X 1 2 0 =6 0 0总数是1 6 3 1这里解释一下计算方式 比如说2 位数：C 5 取 2 X P 2 2+C 5 取 1 X P1 1=2 5先从不是0的 5个数字中取2个 排 列 即 C 5 取 2 X P 2 2 还有一种情况是从不是0的 5个数字中选一个和0搭配成2 位 数 即 C 5 取 1 X P 1 1 因为。不能作为最高位 所以最高位只有1 种可能(3)能组成多少个六位奇数？(2 8 8)【解析】高位不能为0个位为奇数1,3,5则先考虑低位，再考虑高位即3 X 4 X P4 4=1 2 X 2 4=2 8 8(4)能组成多少个能被2 5 整除的四位数？(2 1)【解析】能被2 5 整除的4位数有2种可能后 2位 是 2 5：3 X 3=9后 2 位是 5 0：P4 2=4 X 3 =1 2 共计 9 +1 2=2 1(5)能组成多少个比2 0 1 3 4 5 大的数？(4 79)【解析】从数字2 0 1 3 4 5 这 个 6 位数看是最高位为2的最小6位数所以我们看最高位大于等于2的 6位数是多少？4 X P 5 5=4 X 1 2 0=4 8 0 去掉 2 0 1 3 4 5 这个数 即比 2 0 1 3 4 5 大的有 4 8 0 1=4 79(6)求所有组成三位数的总和.(3 2 6 4 0)【解析】每个位置都来分析一下百位上的和:M l=1 0 0 X P5 2 (5+4+3+2+1)十位上的和:M 2=4 X 4 X 1 0(5+4+3+2+1)个位上的和：M 3=4 X 4(5+4+3+2+l)总和 M=M l+M 2+M 3=3 2 6 4 05、生产某种产品1 0 0 件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.(1)”其中恰有两件次品”的抽法有多少种？(1 5 2 0 9 6)【解析】也就是说被抽查的5件中有3 件 合 格 的，即是从9 8 件合格的取出来的所以 即 C 2 取 2 X C 9 8 取 3 =1 5 2 0 9 6(2)”其中恰有一件次品”的抽法有多少种？(72 2 4 5 6 0)【解析】同上述分析，先 从 2 件次品中挑1 个次品，再 从 9 8 件合格的产品中挑4个C 2 取 I X C 9 8 取 4=72 2 4 5 6 0(3)“其中没有次品”的抽法有多少种？(6 79 1 0 8 6 4)【解析】则即在9 8 个合格的中抽取5个 C 9 8 M X 5=6 79 1 0 8 6 4(4)”其中至少有一件次品”的抽法有多少种？(73 76 6 5 6)【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1 种 的 C 1 0 0 取 5-C 9 8 取5 =73 76 6 5 6(5)“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？(75 1 3 5 4 2 4)【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多 件次品情况的C 1 0 0 取 5-C 9 8 取 3=75 1 3 5 4 2 4 6、从 4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1 台，则不同的取法共有()(A)1 4 0 种(B)8 4 种 7 0 种(D)3 5 种【解析】根据条件我们可以分2 种情况第一种情况：2台甲+1 台乙 即 C 4 取 2 X C 5 取 1 =6 X5=30第二种情况：1 台甲+2台乙 即 C 4 取 1 X C 5 取 2=4 X 1 0=4 0 所以总数是3 0+4 0=7 0 种7、在 5 0 件产品中有.4件是次品，从中任抽5 件，至少有3 件是次品的抽法有 种.解析】至少有3件 则 说明是3件或4件3 件：C 4 取 3 X C 4 6 取 2=4 1 4 04 件：C 4 取 4 X C 4 6 取 1=4 6共计是 4 1 4 0+4 6=4 1 8 68、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1 人承担.从1 0 人中选派4人承担这三项任务，不同的选法 共 有(C )(A)1 2 6 0 种(B)2 0 2 5 种(C)2 5 2 0 种(D)5 0 4 0 种-【解析】分步完成第一步：先 从 1 0 人中挑选4人的方法有：C 1 0 取 4=2 1 0第二步：分配给甲乙并的工作是C 4 取 2 X C 2 取 1 X C 1 取 1=6 X 2 X 1 =1 2 种情况则根据分步 原 则 乘 法 关 系 2 1 0 X 1 2=2 5 2 09、1 2 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4人，则不同的分配方案共有一C(4,1 2)C (4,8)C(4,4)一 种【解析】每个路口都按次序考虑第一个路口是C 1 2 取 4第二个路口是C 8取 4第三个路口是C 4 取 4则结果是C 1 2 取 4 X C 8 取 4 X C 4 取 4可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要P 3 3 吗其实不是这样的在我们从1 2 人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。如果再 X P 3 3 则是重复考虑了如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则情况又不一样因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要 P3310、在一张节目表中原有8 个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？990【解析】这是排列组合的一种方法叫做2 次插空法直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9 个空位，有 P(9,l)种方法；再用另一个节目去插10个空位，有可(10,1)种方法；用最后一个节目去插11个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为P(9,l)X P(10,l)X P(ll,1)=990种。另解：先 在 11个位置中排上新添的三个节目有P(U,3)种，再在余下的8 个位置补上原有 的 8 个节目，只有一解，所以所有方法有P31IX 1=990种。4.【分享】排列组合新讲义作者：徐 克 猛(天 字 1 号)2009-2-19一、排列组合定义1、什么是C公式C 是指组合，从 N 个元素取R 个，不进行排列(即不排序)。例如：编 号 13 的盒子，我们找出2 个来使用，这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2 个盒子的组合。即 C(3,2)=32、什么是P 或 A公式P 是指排列，从 N个元素取R 个进行排列(即排序)。例如：13,我们取出2 个数字出来组成2 位数，可以是先取C(3,2)后排P 2 2,就构成了 C(3,2)XP(2,2)=A(3,2)3、A和 C 的关系事实上通过我们上面2 个对定义的分析，我们可以看出的是，A 比 C 多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。4、计算方式以及技巧要求组合：C(M,N)=M!-?(N!X(M-N)!)条件：N=M 排列：A(M,N)=M!+(M-N)!条件：N l),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为解：本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两步进行：先从2 n 个点中构成直径(即斜边)共有n种取法；再从余下的(2 n 2)个点中取一点作为直角顶点，有(2 n 2)种不同取法.故总共有n(2 n 2)=2 n(n 1)个直角三角形.故填2 n (n 1).例 2：从集合 0、1、2、3、5、7、1 1 中任取3个元素分别作为直线方程A x+B y+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点原直线共有一条(结果用数值来表示).解：因为直线过原点，所以C=0.从 1、2、3、5、7、1 1 这 6个数中任取2个作为A、B,两数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为P (6,2)=3 0.二 分类求解例 3四边体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和A在同一平面上，不同取法有()(A)3 0 种(B)3 3 种(0 3 6 种(D)3 9 种解：符合条件的取法可分三类：4个 点(含 A)在同一侧面上，有 3 =3 0 种；4个点(含 A)在侧棱与对棱中点的截面上，有 3种；由加法原理知不同取法有3 3 种，故 选 B.三排除法求解例 4从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()(A)8 种(B)1 2 种(C)1 6 种(D)2 0 种解：由六个任取3个面 共 有 C (6,3)=2 0 种，排除掉3个面都相邻的种数，即 8个角上 3 个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件共有2 0 8=1 2 种，故选(B).例 5正六边形的中心和顶点共7 个点，以其中3 个点为顶点的三角形共有()个？解：从 7个点中任取3 个点，共有C (7,3)=3 5个，排除掉不能构成三角形的情形.3 点在同一直线上有3 个，故符合条件的三角形共有35 3=3 2 个.四转化法求解例 6空间六个点，它们任何三点不共线，任何四点不共面，则过每两点的直线中有多少对异面直线？解：考虑到每一个三棱锥对应着3 对异面直线，问题就转化为能构成多少个三棱锥.由于这六个点可构成C (6,4)=15个三棱锥，故共有3X1 5 =4 5 对异面直线.例 7 一个圆的圆周上有1 0 个点，每两个点连接一条弦，求这些弦在圆内的交点个数最多有几个？解：考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点，则问题可转化为构成凸四边形的个 数.显 然 可 构 成 C (1 0,4)=2 1 0 个圆内接四边形，故 1 0 个点连成的点最多能在圆中交 点 21 0 个.6、染色问题：不涉及环形染色可以采用特殊区域优先处理的方法来分步解决。环形染色可采用如下公式解决：A n=(a l)、n+(a-l)X(-l)n n 表示被划分的个数，a 表示颜色种类原则：被染色部分编号，并按编号顺序进行染色，根据情况分类在所有被染色的区域，区分特殊和一般，特殊区域优先处理例 题 1：将 3 种作物种植在如图4所示的5 块试验田里，每块种植种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物。则有多少种种植方法？图 1例 题 2：用 5种不同颜色为图中A B C D E 五个部分染色，相邻部分不能同色，但同一种颜色可以反复使用，也可以不使用，则符合要求的不同染色方法有多少种？图 2例 题 3：将一个四棱锥的五个顶点染色，使同一条棱的2 个端点不同色，且只由五个颜色可以使用，有多少种染色方法？图 3例 题 4：一个地区分为如图4所示的五个行政区域，现在有4种颜色可供选择，给地图着色，要求相邻区域不同色，那么则有多少种染色方法？图 4例 题 5：某城市中心广场建造了一个花圃，分 6个 部 分(如 图 5)现在要栽种4种不同的颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能种同样颜色的花，则有多少种不同栽种方式？图 5：5.【分享】无私奉献天字一号的排列组合题(系列之二)上次发了天字一号的数字推理5 0道，大家反映良好，现在我把天字一号原创的几道排列组合奉献给大家.还是那句老话，如果觉得可以的话，看后要回帖！以表示对别人的尊重！-)1,2,3,4作成数字不同的三位数，试求其总和？但数字不重复。解析组 成 3 位数我们以其中一个位置(百位,十位,个位)为研究对象就会发现当某个位置固定 比 如 是 1,那么其他的2个位置上有多少种组合？这个大家都知道是剩下的3个数字的全 排 列 P3 2我们研究的位置上每个数字都会出现P3 2 次所以每个位置上的数字之和就可以求出来了个位是:P3 2*(l+2+3+4)=6 0十位是:P3 2*(1+2+3+4)*1 0=6 0 0百位是:P3 2*(1+2+3+4)*1 0 0=6 0 0 0所以总和是6 6 6 0(二)将“PR OB A B ILIT Y”1 1 个字母排成一列,排列数有 种,若 保 持 P,R,0次序，则排列数有 种。解析这个题目就是直线全排列出现相同元素的问题:在我的另外一个帖子里面有介绍：b b s.q z z n/r e a d-h t m-t i d-9 4 8 7 5 4 7.h t m l(1)我们首先把相同元素找出来,B有 2个，I 有 2个我们先看作都是不同的1 1 个元素全排列这样就简单的多是P1 1,1 1 然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可P1 1/(P2,2*P2,2)=9 9 7 9 2 0 0 o(2)第 2个小问题因要保持PR O的顺序，就将PR O视为相同元素(跟B,I 类似的性质)，则其排列数有1 1!/(2!X2!X3!)=1 6 6 3 2 0 种。(三)李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇共1 0 人围坐一圆桌聊天，试求下列各情形之排列数：(1)男女间隔而坐。(2)主人夫妇相对而坐。(3)每对夫妇相对而坐。(4)男女间隔且夫妇相邻。(5)夫妇相邻。(6)男的坐在一起，女的坐在一起。解析(1)这个问题也在 b b s.q z z n/r e a d-h t m-t i d-9 4 8 7 5 4 7.h t m l 介绍过先简单介绍一下环形排列的特征,环形排列相对于直线排列缺少的就是参照物.第一个坐下来的人是没有参照物的,所以无论做哪个位置都是一样的.所以从这里我们就可以看出环形排列的特征是第一个人是做参照物,不参与排列.下面就来解答6个小问题：(1)先 让 5 个男的或5 个女的先坐下来全排列应该是P4 4,空出来的位置他们的妻子(丈夫)，妻子(丈夫)的全排列这个时候有了参照物所以排列是P 5 5 答案就是P4 4*P5 5=2 8 8 0 种(2)先让主人夫妇找一组相对座位入座其排列就是P1 1 (记住不是P2 2 ),这个时候其他8个人再入座，就是P8 8,所以此题答案是P8 8(3)每对夫妇相对而坐,就是捆绑的问题.5组相对位置有一组位置是作为参照位置给第一个入座的夫妇的,剩下的4组位置就是P4 4,考虑到剩下来的4组位置夫妇可以互换位置即P4 4*2 4=3 8 4(4)夫妇相邻，且间隔而坐.我们先将每对夫妇捆绑 那么就是5个元素做环形全 排 列 即 P 4 4 这里在从性别上区分男女看作2 个元素可以互换位置即答案是P4 4*2=4 8 种(值得注意的是，这里不是*2-4 因为要互换位置，必须5 对夫妇都得换 要不然就不能保持男女间隔)(5)夫妇相邻这个问题显然比第4个问题简单多了，即看作捆绑答案就是P 4 4 但是这里却是每对夫妇呼唤位置都可以算一种方法的.即最后答案是P 4 4*2 5(6)先从大方向上确定男女分开座，那么我们可以通过性别确定为2个元素做环形全排列.即 P l,1 ,剩下的5个男生和5 个女生单独做直线全排列所以答案是P l,1 *P 5 5*P 5 5(四)在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？解析这个题目相信大家都见过就是我们这次2 0 0 8 年国家公务员考试的一道题目：这是排列组合的一种方法叫做2 次插空法或多次插空法直接解答较为麻烦，我们知道8个节目相对位置不动,前后共计9个间隔，故可先用一个节目去插9个空位，有 C9 取 1 种方法；这 样 9个节目就变成了 1 0 个间隔，再用另一个节目去插1 0 个空位，有 C1 0 取 1 种方法；同理用最后一个节目去插1 0 个节目形成的1 1 个间隔中的一个，有 C1 1 取 1 方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为9*1 0*1 1=9 9 0种。方法2:我们先安排1 1 个位置,把8个节目按照相对顺序放进去,在放另外3个节目，1 1个位置选3个出来进行全排列 那就是P 1 1,3=1 1*1 0*9=9 9 0（五）0,1,2,3,4,5五个数字能组成多少个被2 5 整除的四位数?解析这里考察了 个常识性的问题即什么样数才能被2 5 整除即这个数的后2位必须是2 5 或 者 5 0,或者7 5 或 者 0 0 方可.后两位是2 5 的情况有:千位只有3个数字可选（0不能）百位也是3个 可 选 即 3*3=9 种后两位是5 0 的情况有:剩下的4个数字进行选2 位 排 列 P 4,2=1 2 种7 5 不可能，因为数字中没有70 0 也不可能，因为数字不能重复共计9+1 2=2 1 种6.【分享】“插板法”的条件模式隐藏运用分析在说这2道 关 于“插板法”的排列组合题目之前，我们需要弄懂一个问题：插板法排列组合是需要什么条件下才可以使用？这个问题清楚了，我们在以后的答题中就可以尽量的变化题目使其满足这个条件。这个条件就是：分组或者分班等等至少分得一个元素。注意条件是至少分得1 个元素！好我们先来看题目，例 题 1：某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出1 8个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种？【解析】这个题目是Q友出的题目，题目中是不考虑节目的不同性 你可以视为1 8个相同的节目不区分！发 现 3个年级都是需要至少4个节目以上！跟插板法的条件有出入，插板法的条件是至 少 1 个，这个时候对比一下，我们就有了这样的思路，为什么我们不把1 8个节目中分别给这3个年级各分配3个节目。这样这3个班级就都少1 个，从而满足至少1 个的情况了3X3=9还剩下1 89=9个剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。9 个节目排成一排共计8 个间隔。分别选取其中任意2个间隔就可以分成3 份（班级）！C 8取 2=2 8练习题目：有1 0个相同的小球。分别放到编号为1,2,3的盒子里要使得每个盒子的小球个数不小于其编号数。那么有多少种放法？【解析】还是同样的原理。每个盒子至少的要求和插板法有出入那么我们第一步就是想办法满足插板法的要求。编 号1的盒子是满足的至少需要1个，编 号2至少需要2个，那么我们先给它1个，这样就差1个 编 号3至少需要3个，那么我们先给它2个，这样就差1个现在三个盒子都满足插板法的要求了我们看还剩下几个小球？1 0-1-2 =77个小球6个间隔再按照插板法来做C 6,2 =1 5种！7.【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？（）A.9 B.1 2 C.1 8 D.2 4-很多教材给出的答案是1 8这里我更正以下：请大家注意红色字体“相同”如果一个显示3,一个显示1,交 换 以 下 是1,3是否是2种呢？显 然 不 是 是1种这是这个题目存在的