【4份试卷合集】衡水市名校2019-2020学年数学高二下期末考试模拟试题.pdf

2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意）1.若复数z=（-8 +i）i 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】分析：根据复数的乘法运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论.详解：Vz=（-8+i）i=-8i+i2=-1-8i,对应的点的坐标为（-1,-8）,位于第三象限，故选C.点睛：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算先化简是解决本题的关键，属于基础题.（1Y2.12.已知 a=log3%b=-,c=logj-,则 a,b,c 的大小关系为（）6A.abc B.bcaC.cab D.bac【答案】B【解析】【分析】L1 2得出lo g j=log3 6 log3 4,log3 6 log.4,log3 6 c a,故 选 B.【点睛】本题主要考查了对数的换底公式，以及对数的单调性、指数的运算的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.若点心（小,%）在椭圆x2 y2靛+后=1（。0）内，则被4 所平分的弦所在的直线方程是2 22+晔=与+与，通过类比的方法，可求得：被 所 平 分 的 双 曲 线 二-）,2=1的弦所在的直线b cr b 4方 程 是（）A.x 4y+3=0B.x+4 y-5 =0C.x-4 y-5 =0 D.x +4 y +3 =0【答案】A【解析】【分析】2 2通过类比的方法得到直线方程是警-理=乌-乌，代入数据得到答案.a2 b2 a2 b2【详解】2 24所平分的弦所在的直线方程 是 苦+等=今+张，通过类比的方法，2 2可求得双曲线的兄所平分的弦所在的直线方程是华-岑=与-乌a b-a by 1代入数据 P(l/)，得到：-y =-l=x-4 y +3 =0故答案选A【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.4.已知g|=2,a+b =,则下列说法正确是()A.a-b=-2 B(a+Z?)C.W与 W 的夹角为g D.a-b=y/7【答案】D【解析】【分析】根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案.【详解】|a +/?=(a +b)=a +2 a-b+b=y/?,故 a.b=-1，故 A 错误；2 2 小,(a b)-(a-b)=a -b=一3。0，故3错误；=|-|/?|c o s 6 =-l,故c o s 6 =-；,故6 =夸，错误；a-b-a -2 a-b+b=7 故a-b=-fj，。正确故选：D.【点睛】本题考查了向量数量积，向量夹角，向量模，意在考查学生的计算能力.5.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且 当%0时，都 有八)-1%)0成立,设X -x2a =/(t a n?b=f l o g 1 3 ,。=/(暖)，则a,h,c的大小关系为()A.a bc B.c ab C.b c a D.b a 0可判断函数在x 0上为增函数,再利用增函数的性质即可得到a,b,C的大小Xy-X2关系.【详解】/(X.)/(x2),、由 于 当 赴 0时，都 有匕二2 0成 立,故/(可 在x0上为增函数，a =/f t a n =/(l),b=f l o g,3 =/(l o g 2 3)下l o g 2 3 l ，所以I V 2 /(l o g23)/(l)/(1)故答案为 B.【点睛】本题主要考查函数的性质，利用函数性质判断函数值大小，意在考查学生的转化能力，分析能力和计算能力，难度中等.6.从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是()A.70 B.140 C.420 D.840【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：先分组：I个男2个女”或 I个女2个男”，第一种方法数有C：C；=3(),第二种方法数有C；C=4 0.然后派到西部不同的地区，方法数有(3 0+4 0)x&=4 2 0种.考点：排列组合.7.已知直线/的倾斜角为4 5，直线/与双曲线C：W-g=l(a 0,6 0)的左、右两支分别交于M,N两点，且都垂直于X轴(其 中 耳 分 别 为 双 曲 线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为A.陋B.V5c.V5-1，理【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 题 意 设 点M(-C,y),N(c,-y),贝!5|=|明|=|4 又 由 直 线/的 倾 斜 角 为4 5。，得5|=H”,结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详 解】直 线/与 双 曲 线的 左、右 两 支 分 别 交 于M、N两 点，且 巾、N 4都 垂 直 于x轴,根据双曲线的对称性，设 点M(c,y),N(c,-y),2 2 2 2则0 与=1,即3=X 1，且周=|N周=N，a b-a又 直 线/的 倾 斜 角 为4 5。，直 线/过 坐 标 原 点，|=c,=c,MWc2-a c-2=0.即e 2 e l=0,解方程得e=(舍)a 2 2故 选D.【点 睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于。、。的齐次方程，解出仁根 据 题 设 条 件(主 要 用 到：方 程 思 想，余 弦定理，平面几何相似，直 角 三 角 形 性 质 等)借 助4、氏C之间的关系，得 到 关 于e的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解 出e.根据题设条件，借助/h 表 示 曲 线 某 点 坐 标，代入曲线方程转化成关于，的一元方程，从而解得离心率.8.某研究机构对儿童记忆能力x和 识 图 能 力)进行统计分析，得到如下数据：记 忆 能 力X46810识 图 能 力y3568B.9.5D.10_ 4+6+8+1 0X=-3 +5 +6 +8 11114 r 人人 1-=x/+a:.a=-414由表中数据，求得线性回归方程为，$=+若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（）A.9.2【答案】B【解析】试题分析：当 x =1 2 时 y =9.5考点：回归方程9.（4一5,的展开式中有理项的项数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】求得二项式展开式的通项公式，由此判断出有理项的项数.【详解】1 1 2 7-5 A（J 彳=）的展开式通项为（+1=6（卢）9-。（一1）一（玄），=（1），.G“丁，当r =3或r =9时，为有理项，所以有理项共有2项.故选：B【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.10.在 正 方 体A B C D-4 4 G。中，与平面A C R所成角的正弦值为（）.垂 a 0 3 n 2A.B.C.D.2 3 5 5【答案】B【解析】【分析】证明B B,与平面AC2所成角为/DD0,再利用边的关系得到正弦值.【详解】如图所示：连接3。与 A C 交于点。，连接。0,过点。作。B B与平面A C D所成角等于D D,与平面ACD、所成角正方体 A B C D ABGA nAClD8,AClD n AC1 平面。ACLDED E DQ=Z）E，平面 A C RDR与平面A C 所成角为N DDQ设正方体边长为1在 R t A D D Q 中 s i n ZDD0=黑=33=下2WT故答案选B【点睛】本题考查了线面夹角，判断8月与平面A C 所成角为/。口0是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.1 1.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为刍，则（）A.E当E3 D媒 D星 B.E4I=E42,C.E&=E a,%E&2,DQ ID星【答案】B【解析】【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】。可能的取值为0,1,2；刍可能的取值为0,1，P(*O)J*=2)4 尸=I Z2 2 4 2 1 12 4 4 4故 E.=,D.=0 x I-2-x I-1 x-=1 3 1 9 9 9 9 9-0)=言=:，P(4 2=l)=J X乙 32 x 1 x 2 _ 23x 2 37 1?4?故 E4=，D 2=O2XA +I2X=一,2 3 2 3 3 9 9故 E*E 虞,故选B.【点 睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.1 2 .下 列 不 等 式 成 立 的 是（）A.1.22 1.23 B.1.2-3 lo g,2 3 D.lo g0 22 1时，函数是增函数，所 以1.2 2 1.2 3不正确，1.2-3 lo g L2 3不正确；对 数 函 数/（X）=lo g o/是减函数，所 以lo g o A =一2,z=l.z=21U U U可知平面AG/芯的一个法向量为=(2,-2,1),又CD=(-2,0,2).1 11UU _/r 席、-2 V2cos(n,CD.)=-r=-产=-/n-CD 3x2&6 1因此，直线C。与平面4G FE所成角的正弦值为2,故答案为也.6 6【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题利用空间向量法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.1 4.已知A 5是过抛物线C：y=2 p x（p0）的焦点/的直线与抛物线的交点，。是坐标原点，且满足AB=3FB，S&OAB=AB，贝的值为.9【答案】-2【解析】【分析】先由题意得到直线A8的斜率存在，不 妨 设 直 线 的 斜 率 攵 (),过点A,8作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C,。，过点3作B E _ L AC于点E,根据题中条件求出抛物线方程，联立直线与抛物线方程,结合韦达定理与题中条件，求出交点横坐标，再由弦长公式，即可求出结果.【详解】由题意，易知直线AB的斜率存在，则由抛物线的对称性，不妨设直线A B的斜率20,过点A5作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C,。，过点8作BE，AC于点E,则由4 8 =3在8，可得A F =2 E B，即,目=2,石，则|人。=2忸。|,所以点E为AC的中点，贝!|A E|=所 以 忸=y）ABf-AEf=平|4回，则 S*QAB=S2Ap+SAOBF=BE-OF=/p-AB=A B，解得=2,则直线A8的方程为y=A(x-D,由，T 7 1）得 2-2（M +2）x +攵2=0,则2 r+44+4=R44=1由 A F =2 E 5，得/一1 =2（1 /），即 乙=3 -2 8,结合攵 0,解得9故答案为54=21“5%=2&9,贝（1 1 A =X.+4+2 =/【点睛】本题主要考查抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的性质，以及直线与抛物线位置关系即可，属于常考题型.1 5.已知点P（0,1）,椭 圆 土+y2=m（ml）上两点A,B满足A P=2P 8，则 当 m=时，点 B横4坐标的绝对值最大.【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设4%,乂）,5（%2，%），由 A P =2 P B得 F =2私1-乂 =2（%T），f =2%-3,r2因为A,B在椭圆上,所以上+弁4 1加，与+=机,-4-X22 +(/C2%-c3、)2=加,.7X,2 +(.%-53)、2 m2 2 与 今+=?对应相减 得%=7，%=一；（加2 T o根+9）44,当且仅当m=5时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.1 6.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:单价X（元）456789销量y（件）908483807568由表中数据，求得线性回归方程为y =Tx+a，则实数。=.【答案】106【解析】【分析】求出样本中心坐标，代入回归方程即可求出。值.【详解】-1 n 解：%=一(4+5+6+7+8+9)=，y=-(90+84+83+80+75+68)=80,6 2 6将(葭,80)代入回归方程得80=-4 x +a,解得a=106.故答案为：106.【点睛】本题考查回归方程问题，属于基础题.三、解答题(本题包括6个小题，共70分)1 7.已知函数 f(x)=ln(l+x).(1)证明：广X;(2)已知 a1=1,a“+i=an+ea,2=a 一 In ，证明：bn+bn.【答案】(I)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)g(x)=/(x)-x,于是证明g(x)()即可，左边可由所证得到；(2)即 证&厂bn 1 I 人g(X)在(-1,0)上单调递增，在(o,+O O)上单调递减.Wg(0)=0,即/(x)=ln(x+l)1 时，-=1H-11+X 1+尤由可得.一之卜一七gpln|=n I n)j+1 n+1nbn+,-b=I -In 3 ln(n+l)当=1时，U y =l ln 2,结论成立；假设=女时，结论成立，即 为ln(左+1)；当及=%+1 时，4+=4 +ea设/z(x)=x+e 7,其中x 0,则“(x)=l-eT 0二(力在(0,+纪)上单调递增又a“+a,=e-0,数列 a“单调递增，故4 0由归纳假设和(1)中结论4+i=ak+”%In(左+1)+/*)=ln(3+1)+-女+1、女+1,ln(A:+l)+ln 1ln(A+2)，=%+1时结论成立，即a”ln(+l)结合可得2M-2 1 一一1-/呵 叫一二=0,+1 +1即4+1 0=x 2,f(x)x 0,与/(%)在(,一3)上单调递减矛盾，所以不存在满足题意的实数a.(3)/(0)=0=-1,记g(x)=(x+l)(e*-l)-(e-l)ln x-2 e x+2.g x)=(x +2)e*-l-2 e,又g(x)在上单调递增，且g =0知g(x)在x e L+0 0)上单调递增，故g(x)2 g(l)=o.因此(x+l)(e*-l)N(e -l)ln x+2 e x-2 N H n x+2 e x-2 ,得证.【点睛】本题主要考查利用导函数工具解决极值问题，单调性问题，不等式恒成立问题等，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力及计算能力，综合性强.2 1.已知函数/(x)=s i n 2 x 4 +c o s 2%H|+Z s i n x c o&x,x e R.(1)求函数/(x)的最小正周期;(2)求函数/(X)的对称中心和单调递增区间.【答案】T=*(2)(-1-,0),k Z ；-k k兀,-PAT T,k E Z.6 2 1 2 1 2【解析】分析：(1)分别利用两角和的正弦、余弦公式及二倍角正弦公式化简函数式，然后利用用公式求周期即可;(2)根据正弦函数的图象与性质，求出函数f (x)的对称中心与单调增区间./TC、/、式 I 1 式详解：(1)V fyx)-s inlx cos +cos lx s in +cos lx cos-s in2 x s in+s in2 x=6cos 2 x +s ir ilx-2 s in 2 x +I 3 T=7 T.(2)令 s i n(2 x +)=0 得：工=一看+与，k Z所以对称中心为：(/+一，一，；k e ZTT 7T 7T令 +2 版 2x+-0,0 0)的性质(1)%”=4+区 yn=A-B.(2)周期丁=臼.CD兀(3)由 a)x +(p =3 +kji(k Z)求对称轴T T 7T 37t(4)由一万+2 人 兀 cox +S 3 +2 kn1k Z)求增区间;由,+2E GX+0 W;-+2&兀(&e Z)求减区间.2 2.已知函数f (x)=x ex(1)求函数f (x)的极值.(2)若 f (x)-I n x -m x l 恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)极小值-1.无极大值；(2)，(Y O,1【解析】【分析】(1)利用导数可得函数/(X)=x e 在(-8,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，即可得到函数的极值；(2)由题意得x e -l n x-/n r 2 1 恒成立，即-恒成立，设 g(x)=e -,求得函数XX X Xg(x)的导数，得到函数g(x)在(：,1)有唯一零点,进而得到函数g(龙)最小值，得到/的取值范围.【详解】由题意，函 数/(司=m的定义域为(-00,+00),则/(*)=3+胎 =(*+1 户因为 x e(r o,-l)，r(x)。所以，函 数 k=屁 在(F,-1)上单调递减，在(-1,位)上单调递增；函数“X)在 x =T 处取得极小值T.无极大值由题意知x ev nx m x 1 恒成立即 z W e”一生二 一 工(x 0)恒成立X X设 g(x)=ex-I-n-x-1 ,则 g(,x/)、=-x-V-4-l-n-xX X X设(x)=d/+i n x,易知(X)在(0,+8)单调递增，又以f=e-_ 1 ，所以A)在,1 有唯一零点与 .即X f/e*+l n无o=o,且x e(0,x(),g (x)0,g(x)单调递增，x I n%1所以 g(x)而n =g(X o)=e -,由x 02 e&+l n/=0得，即/(X o)=/(l n x )x0 e f 1,l j,-l n xo e(O,l)由 的单调性知，-l n/=%),=e 所以 g *)m i n =e一 用 一;=1，xo o即实数机的取值范围为m e(-8【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括12个小题，每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.已知函数/()=/U-3),【答案】B【解析】【分析】根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果.【详解】2)=/(2-3)=T=2T=：本题正确选项：B【点睛】本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题.2.已知二项式(x+2)n a o +q C x +D +q a+l)?+a“(x+l),且4=6,则q+/+a“=()A.12 8 B.12 7 C.9 6 D.63【答案】D【解析】【分析】把二项式(x+2)化为 l +(x+l)r，求得其展开式的通项为(+i=C,；(x +l)，求得=6,再令x =0,求得4+4+4+q=6 4,进而即可求解.【详解】由题意，二项式(x+2)=l+(x+l)展开式的通项为4M=C：(x+D ，令 r =l,可得=C：(x+l)i,即 C=6,解得=6,所以二项式为(X+2)6=1+(X+1)F，则 4 =C=1,令x+l =l,即x =0,则4 +4+4+。“=2 6=64,所以q+4 +an=63.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中把二项式(x+2)=l +(x+l)r，利用二项式通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.角 a 的终边上一点尸（。,2）（。wO）,则 2 sin a-co sa=（c.手 或 告3百 寸3石-莫-【答 案】D【解 析】【分 析】根据三角函数的定义求出co sa,sin a,注 意 讨 论。的正负.【详 解】a的 终 边 上 一 点P（a,2a）（a。0）,则 cos a=刑 M+(2a彳sma=J，+Qa)2 A/5|所以 2sina costz=%对任意 e N*成立是 4 1 的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，由充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】因为 an是公比为q的等比数列,若4田 对 任 意“GN成立，则对任意,ZGN”成立，若%。，则4 1；若 0,则0 q 可对任意n e N*成立 不能推出4 1若41,%0,则%/(a 4-,即4+|1不能推出。间 4对任意eN*成立;因此，an对任意n e N*成立 是q i的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.8.袋中有6个不同红球、4个不同白球，从袋中任取3个球，则至少有两个白球的概率是().9 2 11A.一 B.-C.一 D.一5 3 6 3【答案】D【解析】【分析】事 件“至少有两个白球”包 含“两个白球一个红球”和“三个都是白球”，然后利用古典概型的概率的计算公式可求出所求事件的概率.【详解】事 件“至少有两个白球”包 含“两个白球一个红球”和“三个都是白球”，C2c 3由古典概型的概率公式知，事 件“两个白球一个红球”的 概 率 为-二 百，Cqn 1Uc3事 件“三个都是白球”的概率 为 方do1303 1 1因此，事 件“至少有两个球是白球”的概率为记+4=，故选D-【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，结合概率的加法公式进行计算，考查分类讨论数学思想，属于中等题.9.已知直线以+y-1 =0是 圆 炉+9一12%一14丁 +60=0的对称轴，则实数。=()A.-2 B.-1【答案】BC.1D.2【解析】【分析】由于直线是圆的对称轴，可知此直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程中可求出。的值【详解】解：圆/+产 _12%1 h+60=0的圆心为(6,7),因为直线办+y-1 =0是圆f +y i2 x 14y+60=0的对称轴，所 以 直 线 +-1 =0过圆心(6,7),所以6a+7 1 =0,解得。=一1,故选：B【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解，属于基础题i o.在一项调查中有两个变量和y,下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于的回归方程的函数类型是()y580-.,560-*540-*520-500)-3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 54 5.6 xA.y=a+bx B.y=c+d y/xC.y=m+nx2 D.y=p +qc*(0)【答案】B【解析】【分析】根据散点图的趋势，选定正确的选项.【详解】散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D,故选B.【点睛】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题.1 1.设命题 p:V x w R*,x-1 I n x,贝 -为()A.3x0 e R,JQ)-l ln jQ,B.3x0 e R,x0-l ln x0C.3x0 e 7?*,J C0-1 ln x0 D.VJQ,e R,x-1 0,b0),P为 x 轴上一动点，经 过 P 的直线y=2x+m(mw0)与双曲线2 2y 冗C有且只有一个交点，则双曲线C的离心率为.【答案】B2【解析】即双曲线的渐近线与直线y=2x+m 平行，即=2,所求的离心率e=J 1+便)=互b a 7 216.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,8,C 三个城市时，甲说:我没去过。城市；乙说:我去过的城市比甲多，但没去过3 城市；丙说:我们三人去过同一城市，由 此 可 判 断 甲 去 过 的 城 市 为.【答案】A【解析】分析：一般利用假设分析法，找到甲去过的城市.详解：假设甲去过的城市为A,则乙去过的城市为A,C,丙去过A 城市.假设甲去过的城市为B 时,则乙说的不正确，所以甲去过城市不能为B.故答案为：A.点睛：(1)本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和推理能力.(2)类似本题的题目，一般都是利用假设分析推理法找到答案.三、解答题(本题包括6 个小题，共 70分)17.如图，三棱柱 ABC A14 G 中，AC=C B,A B =A A,/瓦 用=60(1)证明：AB1 A.C；(2)若平面ABC _L平面4 4,4 3,A B =C B =2,求点A 到平面8 4 G。的距离.【答案】（1）见 解 析（2）=2姮5【解析】试题分析：利用题意首先证得AB 平 面 出。，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；（2）建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线与平面BBC所成角的正弦值 是 强.5试题解析：（1）证明：如图所示，取AB的中点0,连接0 C,。4,，AB.因为C4=CB,所以。C_L A3.由于 A 8=例，ZBAA,=60,故44,8为等边三角形，所以。4,因为O C cQ 4,=O,所以AB_L平 面。41c.又4。之 平 面。A。，故AB_LAC（2）由（1）知。CJ.A 3,Q4,J_A B,又平面ABCJ_ 平面交线为 AB,所以OCJ平面4 A 4 B,故。两两相互垂直.以。为坐标原点，OA的方向为X轴的正方向，为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系 Oxyz.由题设知 A（l,0,0），A（0,V3,0）,C（0,0,V3）,B（-l,0,0）,则BC=（l,0,间,叫=A4,=（1,6,0）,年=（0,_后 有）.设=(x,y,z)是平面34GC的法向量,n-BC=0,即nBB1=0,则X +V 3 z =0,/r n-AxC /K）.可取=（百,1,一 1）,故C Q S,4 c =|.x+而=0.|A q 5所以AC与平面BBC所成角的正弦值为半1 8.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4 x +3 y -2 9 =0相切.(1)求圆的标准方程；(2)设直线依y+5 =0(a 0)与圆相交于A,B两点,求实数。的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在实数。，使得弦AB的垂直平分线/过点(-2,4).5 3【答案】(I)(x-l)2+r=2 5 (I I)a (I I I)存在实数a【解析】【分析】【详解】本试题主要考查圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的运用.解：(I)设圆心为(加，0)eZ).由于圆与直线4 x +3 y-2 9 =0相切，且半径为5,所以*“J,即|4加一2 9|=2 5.因为机为整数，故机=1.故所求圆的方程为(x-1)2+/=25.4分(2)把直线a x-y+5=0,即y=a x+5代入圆的方程，消去y整理，的(2+l)x2+2(5 a-l)x+l=0由于直线o r-y+5=0,交圆与A,B两 点，故A=1 2 a2-5 a 0 a 0,解得 a|所以实数。的 范 围 是(-,+o o)9分1 2(m)设符合条件的实数a存在，直线/的斜率为-1a/的方程为 y =(x +2)+4,即 x+a y +2 4 a =a由于/垂直平分弦A B,故圆心M(l,0)必在/上，3 3(5、3所以1 +0 +2-4。=0,解得4 =：.由于G，+8 ,故存在实数4 4 1 1 2 J 4使得过点P(-2,4)的直线I垂直平分弦A B.1 4分1 9.已知关于x的不等式|x-3|+|x-2|a.(1)当4=3时，解不等式；(2)如果不等式的解集为空集，求实数”的取值范围.【答案】(1)x|lx4;(2)al.【解析】试题分析：当a=3时，不等式上一3|+卜一斗。变为,-2|+卜一3|3。由绝对值的意义，按绝对值号内的 3,x 2的正负，分三种情况讨论：当x 2时，不等式变为2-X+3-当2 4 x 4 3时，不等式变为x-2+3 x 3；.l 3,恒成立，所以2 4 x 4 3符合不等式；当x3时，不等式变为x 2+x-3 3；.2x 53.x 4,3 x 与y=l重合，3)正负去掉绝对值可得，y=|x-2|+|x-3|=1(24x43),求每一段函数的值域，可得函数的最小值5 2x(x 2)|x-2|+|x-3|m|n=i,a小于等于函数的最小值1.解法三，由不等式I a|+1 以a 一例可得|x一2|+|x 3|2 x+3|=1,当且仅当(2)(x 3)V0时，上式取等号，.试题解析：解：原不等式变为k一2|+|x 3|3.当x 2时，原不等式化为5-2x l,1尤2当2 4 x 4 3时，原不等式化为13,/.2 x 3时，原不等式化为2x 53,m x 4,.,.3x4.综上，原不等式解集为k|1%=,一2|+卜一3|与 卜=。的图象.若使卜一2|+打一3|与y=l重合，A a 3)解法二：y =|x-2|+|x-3|=l(2 x 3),5-2x(x l9当2 W%3时，y=l9当尤i9综上y z l,原问题等价于。./、(、4 57r【答案】(1)0,-u O J|_ O71；(2)3-272,3+272.【解析】试题分析：(1)将极坐标方程和参数方程转化为普通方程，再利用直线与圆的位置关系进行求解；(2)利用三角换元法及三角恒等变换进行求解.试题解析：(I)将曲线C的极坐标方程夕26夕以8+5=0化为直角坐标方程为/+：/一6+5=0直x =-1+r c o s y =f s i n ex =1+/C O S。/、，八线的参数方程为 s i n，(访 参 数)将 代入产+y 2-6%+5=0整理得/一8，c o s 6 +I 2=0直线I与曲线C有公共点,A =6 4 c o s2 0-4 8 0/.c o s 日 或c o s。*.冗 3万/.6的取值范围是0,u O O715万6(I I)曲线C的方程f+y 2 6 x+5=0可化为(x 3)2+y 2=4其参数方程为；=2sin6 为 参 数）M（x,y）为曲线上任意一点,.x+y=3+2cose+2sin9=3+2sin 8+*x+y的取值范围是3 28,3+2 0 .考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化.21.2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查，从该校二年级学生中抽取了 90人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占40%,而男生有12人表示对足球运动没有兴趣.（1）完成2x 2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没有兴趣合计男50女合计（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名学生中对足球有兴趣的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.附：p g k)0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828nad-bcy(a+0)(c+d)(a+c)(0+d)9【答案】（1）有；（2）y.【解析】分析：（1）根据已知数据完成2x2列联表，计算K?，判断有99.9%的把握认为“对足球有兴趣与性别有3关”.（2）先求得从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是不，再利用二项分布求X的分布列和数学期望.详解：（1）根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没有兴趣合计男381250女162440合计543690根据列联表中的数据，得到K2=90（38 1 0 82 8,50 x40 x54x36所以有99.9%的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.3（2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是不，将频率视为概率,3即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是y,有题意知 X 8卜,1,X=0,1,2,3,p（x=i）=G（升|唱,点睛：（1）本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水从而X的分布列为X0123P81253612 554T2527125E（X）=3 x|V平和分析推理计算能力.（2）若J 5（,p）,则E 4=np.2 2.已知x,y,z是正实数，且满足x+2y+3z=l.Ill _求一+一+一的最小值；x y z（2）求证：x2+y2+z2 14【答案】（1）见 解 析（2）见解析【解析】分析：利 用“乘1法”，根 据 基 本 不 等 式 可 求 的 最 小 值;x y z(2)由柯西不等式即可得证.详解：(l)Vx,y,z是正实数，且满足x+2y+3z=l,W+H S C+H O(x+2y+3z)=6+乎+：+*/当 6+2 也+2 5+2&，JL X 7 a z当 且 仅 当 誓 沮 且 半 招 时取等号.(2)由柯西不等式可得l=(x+2y+3z)2-j点睛：本题考查基本不等式及柯西不等式，属基础题.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共60分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知原命题：已知，山 0,若a b,则 则 其 逆 命 题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题a b中真命题的个数为（）A.0B.2 C.3 D.42.已知函数“力=,d-2 r,.1X 1当 W 9时，%一%则a的取值范围是（）log.X H ,3111 1111111A.0,B.-c.0,D.1 3j3 2l 2j4 3J1 23.已知 m 0,n 0,向量a=（偌,1）,。=（1,1）,且。则一+一 的最小值是（）m nA.2V2 B.2 C.3+2&D.4+2V24.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A.甲可以知道四人的成绩C.甲、丁可以知道对方的成绩B.丁可以知道四人的成绩D.甲、丁可以知道自己的成绩5.函数/（X）在其定义域内可导，y=/（x）的图象如图所示，则导函数丁=/（幻 的 图 象 为（）6.设随机变量J服从正态分布N G,。?），若2（4 则(%+。工)+(a0+见)+(a0+a2oi9)=()A.2017B.2018C.2019D.20209.一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）正视图侧视图俯视图-31B.-2211C.6D.1 0.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A.152B.126C.90D.54211661 1.已知复数.（，是虚数单位）,z=1-1则-的虚部为4B.D.112.一个盒子里有6支好晶体管，5支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管时，则第二支也是好晶体管的概率为（）B.7D-；二、填 空 题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13.执行如图所示的流程图，则输出k的值为.型“I0S-0/输 中*/姑荣1 4 .复数i(l +i)(i 是 虚 数 单 位)的 虚 部 为.4 1 ,1 5 .若2 0,n 0 ,m+n-,且 的最小值是.m n1 6 .在长方体A B C。-A 4G。中，A B =B C =4,裕=2,则直线3G与 平 面 所 成 角 的 正弦值为.三、解答题(本题包括6 个小题，共 7 0 分)1 7 .已知函数/(力=ex+a x+K a eR).若 x =0是/(x)的极值点.求“X)在 2,1 上的最小值；若不等式kf(x)0都成立，其中k为整数，/(x)为“X)的函数，求 k的最大值.1 8 .某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学