初一数学竞赛讲座(一).pdf

初一数学竞赛讲座(一)白然数的有关性质初嗷学竞赛系列训练1 自然数的有关性质初一数学竞赛系列训练2 特殊的i E 整数初数学竞赛系列训练3数字、数位及数谜问题初数学竞赛系列训练4 有理数的有关知识初数学竞赛系列训练(5)整式初数学竞赛系列训练(6)整式初数学竞赛系列训练(7)整式初数学竞赛系列训练(8)解方程初一数学竞赛系列讲座(9)应用题(一)初嗷学竞赛系列讲座(1 1)应用题(三)初数学竞赛系列训练(1 3)初数学竞赛系列训练(1 4)初一数学竞赛系列训练(1 5)2 004 A M C 1 2 试题初一数学竞赛讲座(一)自然数的有关性质、知识要点1、最大公约数定义1 如果a l,a 2,a n 和d 都是正整数，且d I a l,c l I a 2,d I a n ,那么d叫做a l,a 2,a n 的公约数。公约数中最大的叫做a l,a 2,a n 的最大公约数，记作(a l,a 2,a n).如对于4、8、1 2 这一组数，显然 1、2、4 都是它们的公约数，但 4 是这些公约数中最大的，所以4 是它们的最大公约数，记作(4,8,1 2)=4.2、最小公倍数定义2 如果a l,a 2,，a n 和m 都是正整数，且a l I m,a 2 I m,a n I m,那么m叫做a l,a 2,a n 的公倍数。公倍数中最小的数叫做a l,a 2,a n 的最小公倍数，记作 a l,a 2,a n.如对于4、8、1 2 这一组数，显然2 4、48、96 都是它们的公倍数，但 2 4是这些公倍数中最小的，所以2 4是它们的最小公倍数，记作 4,8,1 2=2 4.3、最大公约数和最小公倍数的性质性质 1 若 a I b,则(a,b)=a.性质2若(a,b)=d，且 n为正整数，则(n a,n b)=n d.(a b =(a 力)性质 3 若 n|a,n|b,则.性质 4 若 2 4 口+(0W r b),则(a,b)=(b,r).性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。性质 5 若 b|a,则 a,b=a.性质6 若 a,b =m,且 n为正整数，则 n a,n b =n m.a h _ ajj性质7 若 n I a,n i b/八 n.4、数的整除性定义3 对于整数a和不为零的整数b,如果存在整数q,使得a=b q成立，则就称b 整除a 或 a被 b整除，记作b I a,若 b|a,我们也称a是 b倍数；若 b不能整除a,记作b a5、数的整除性的性质性 质 1若 a I b,b|c,则 a|c性质 2 若 c|a,c|b,则 c|(a b)性质3若 b|a,n为整数，则 b|n a6、同余定义4设 m是大于1 的整数，如果整数a,b的差被m整除，我们就说a,b关于模m同余，记 作 a 三b(m od m)7、同余的性质性质 1 如果 a 三b(m od m),c 三d(m od m),那么 a 土c 三b d(m odm),a c=b d(m od m)性质2如果a 三b (m od m),那么对任意整数k 有 k a 三k b (m od m)性质3如果a 三b(m od m),那么对任意正整数k 有 a k 三b k(m odm)性 质 4 如 果 a 三b(m od m),d 是 a,b 的公约数，那么二、例题精讲例 1设 m和 n为大于0 的整数，且 3 m+2 n=2 2 5.如果m和 n的最大公约数为1 5,求 m+n 的值(第1 1 届“希望杯”初一试题)解：(1)因 为(m,n)=1 5,故可设 m=1 5 a,n=1 5 b,且(a,b)=l因为 3 m+2 n=2 2 5,所以 3 a+2 b=1 5因 为 a,b 是正整数，所以可得a=l,b=6 或 a=b=3,但(a,b)=L 所以 a=l,b=6从而 m+n=1 5(a+b)=1 5x 7=1 05评注：1、遇到这类问题常设m=1 5 a,n=1 5 b,且遇,b)=L 这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。这是一种常用方法。2、思考一下，如果将m和 n的最大公约数为1 5,改成m和 n的最小公倍数为4 5,问题如何解决?例 2 有若干苹果，两个一堆多个，3 个堆多个，4 个 堆 多 个，5个堆多个，6个 堆 多 个，问这堆苹果最少有多少个？分析：将问题转化为最小公倍数来解决。解 设这堆苹果最少有x个，依题意得x-2%+1x-1=2%x=3%+11=3%x=4,+1 即，x-=4%x=5g4+11=5%x=6 a,所以1995 +。是整数,从而1995 x19951995 +。是整数因 为 1995 x 1995=32 x 5 2 x 72 x 192,所以它的因数1995+a 可以通过检验的方法定出。注 意 到 l Wa W1995,所以1995 即 a 除以 1 3,所得余数是8例 8 n 是正偶数,a l,a 2,an 除以n,所得的余数互不相同：bl,b2,b n 除 以 n,所得的余数也互不相同。证 明 al+bl,a2+b2,，an+bn除以n,所得的余数必有相同的。-1)_ n 证 明 n 是正偶数，所以n-1 为奇数，2 2不是 n 的倍数，Vai,a2,a n 除 以 n,所得的余数互不相同，所以这n个 余 数恰好是0,1,，n T.从 而 al+a2+an三0+1+(T-；+(0-1)=2 0(mod n)(一1)”.同样 bl+b2+bn三 2 0(mod n)但(al+bl)+(a2+b2)+,+(an+bn)=(al+a2+an)+(bl+b2+bn)(n-l+(n-l=(n_1 三 2 2=0(mod n)所 以 al+bl,a2+b2,，an+bn除以n,所得的余数必有相同的。例 9卜进制中，44444444的数字和为A,A 的数字和为B,B的数字和为3求 C分析：由 于 10=1(mod 9),所以对整数a0,al,a2,an有an-10/,+“_+6 J 0 +a。三a”+an_x+.+q +a0(mod 9它表明卜进制中，一个数与它的各位数字和模9 同余。根据上述结论有 C三B A三44444444(mod 9).所以只要估计出C 的大小，就不难确定C解：4444=7(mod 9),而 73三(-2)3=-8三 1(mod 9),所以 44444444三74444=73x1481+1 三7(mod 9),所以 C三B 三A三44444444三7(mod 9),另一方面，44444444(105)4444=1022220,所以 4M44444的位数不多于22220从而A9x22220=199980，即A至多是6 位数。所以B 20,又 c3,所以 a+b+c20+12+3=35若 c 含有因数5,则*1 5,又a“，所以a+b+c*+12+15=31取 a=4,b=12,c=1 5,能构成三角形(2)若 b=6 0,则 a+b+c6031故a+b+c的最小值为31。3、在自然数1,2,3,，100中，能被2 整除的数有50个:既能被2 整除又能被3 整除,即能被6 整除的数有6,12,18,，96共 16个，所以能被2 整除但不能被3 整除的数有50-16=34个，选 B4、七位数各位数字之和为3 2,不能被3 整除，任意改变七位数末四位数字的顺序得到的所有七位数均不能被3 整除，故选D5、1995除以6 的余数是3,且 a三1995(mod 6),所以a 除以6的余数也是3,故选C6、由 19n+14三 10n+3(mod 8 3)知 19n+14-10n+3)=0(mod83)8 3 1 1 ,2 k-2:.9n+11=0(mod 83)，n=-=9k A-当 k=l时，n 取最小值8。故选B7、由题意得n+1是 3、4、5 的公倍 数,最小的n=3x4x5 l=598、“整除6 又整除1 5,y 整除3,所以尸1,3.代入可得：(6,1,15),(2,3,5),(2,3,15),(6,3,5),(6,3,15)五组解。9、被 4 整除的最大三位数是996,所 求 四 位 数 可 表 示 成 砺，9|996x,x=3,于是所求的末位数是3。10 x2 I 10,3 I 102,4|1020,5 I 10200,6 I 102000,7 I 1020005,8 I 10200056,9 I 102000564,10 I 1020005640,11 I 10200056405,于是最小 11 位数是 1020005640511.V3 2n+8=9 n+8.,.3 2n+8三 V+o(m o d 8)=i(m od 8)/.32n+8被 8 除的余数是11 2 设自然数N的末位数是a,则N三a(mod 1 0),从而N4三a4(mo 所以a.b；=120 。：-29%+120=0,则(2 9-)=1 2 0,把1 2 0 分 解 质 因 数，可 得：=5,从而群=24。所以a=23x5=115,b=23x24=552(3)若d=2 9,则有a+b =23a,b=29ai,b|=29*ai,b,所以a ！)=，=120d a：23%+120=0,则6(23%)=1 2 0,把1 2 0 分 解 质 因 数，可 得 a 1=8,从而矫=15。所以a=29x8=232,b=29x 15=435综上所得,本题有两组解：115,552或 232,43514、设 这 两 个 数 为 x,y,则 x+y=40,且(x,y)+x,yj=56,由于(x,y)xx,y=xy,所 以&y=设(x,y)=d，贝 ij x=da，y=db，且(a,b)=1,于是可得方程组a+b=+ab=由于(40,56)=8,所以d=l,2,4,8 当 d=l,2,4时方程组无整数解，所以d=8(a+h=5d=8时，方程组变为 ,可得a=2,b=3或 a=3,b=2,ab=6所 以 x=16或 24,y=24或 1 6,从而所求的两个数为16和2415、由于五位数4H97H 能 被 1 2 整除，而 12=3x4,且 3,4互质,所以 3 I 4H97H 且 4 I 4H97H A3 I (4+H+9+7+H),即 3 I (2H+20),经试算H可取2、5 或 8,又因为6|而，所以2 1 7H,故H 为偶数，所以H 取 2 或 8,又因为4 I 4H97H,所以4|7H,所以H 取 2,所以这个五位数为42972。16、.a,b,c,d是互不相等的整数，则 x-a,x-b,x-c,x-d也是互不相等的整数。*.*(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9,所以 x-a,x-b,x-c,x-d 均为 9 的约数，而 9=(-l)x(+l)X(-3)x(+3),RiJ(x-a)+(x-b)+(x-c)+(x-d)=(-1)+(+1)+(-3)+(+3)=0即 a+b+c+d=4x,所以 4 I (a+b+c+d)17、V99=32X 1|,98=72X2,97=97,96=2SX3 96是 2 X33X52X 7 的最大的两位约数。1 8、2、=32三 一 l(mod 11),20三(T)?三 1(mod 1 1),2,00=(2,0),0=l，,0=l(mod 11)即 2颉被 11除，余数是119、3198。+4的=(32)叫 0981=9叫 981三产+(-1 严=l+(T)=0(mod5)所以33叫4“被 5 整除初一数学竞赛系列训练2特殊的正整数一、选择题1、在整数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，设质数的个数为 x,偶数的个数为y,完全平方数的个数为z,合数的个数为u,则 x+y+z+u的值是（）A、1 7 B、1 5 C、1 3 D、1 12、设 n为大于1 的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是（）A、3 n 2-3 n+3 B、5 n2-5 n-5 C、9 n2-9 n+9 D、l l n2-l l n-l l3、有 3 个数，一个是最小的奇质数，个是小于5 0 的的最大质数，一个是大于6 0 的最小质数,则这3 个数的和是（）A、1 0 1 B、1 1 0 C、1 1 1 D、1 1 34、两个质数的和是4 9,则这两个质数的倒数和是（）9 4 C 4 9 -86 八 4 5A、B、C、D、4 9 9 4 4 5 8 65、a、b为正整数，且 5 6 a+3 9 2 b 为完全平方数，则 a+b 的最小值等于（）A、6 B、7 C、8 D、96、3 个质数p、q、r 满足等式p+q=r,且 p q n 2，且:一=7 9 ,则n i=.也=_ _三、解答题1 5、a、b、c、d 都是质数，且 1 0 c vd d 的值17、求一个三位数，使它等于I?,并且各位数字之枳为n-1.1 8、设n 、n 2 是任意两个大于3的质数，M=：-1,N=：-1,M 与N的最大公约数至少为多少？1 9、证明有无穷多个n,使多项式i?+n+4 1 表示合数。2 0、已知p 和 8 P 2+1 都是质数,求证:8 P L p+2 也是质数。初一数学竞赛系列训练2答案I、x=4,y=5,z=4,u=4,故 x+y+z+u=17 选 A2、当n=2时,3n2-3n+3是3的平方，当n=3时，5n2-5n-5是5的平方，当n=4时，l l E l l n-l l是I I的平方，所以选C3、最小的奇质数3,小于50的的最大质数是4 7,大于60的最小质数是 61,3+47+61=111故选C4、49是奇数，故两个质数中必有一个是偶数2,从而另一个是4 7,所 以 +-=竺2 47 94故选B5、V56a+392b=23*7(a+7b)，a+7b含因子 2 和 7;要 求a+b取最小值，取a=7,于是l+b=2,b=l,a+b的最小值为86、除2以外的质数都是奇数，从而r是奇质数，于是p和q必是一奇一偶，又pq故p=2,选A7、848、设这个正整数为a,由题意得a-54=m2 a+35=n2，-得,仿+m=8 9八，n-m=89(n+m)(n-m)=89 2、n E 2都是整数，而7 9是-,个质 数，由 质 数 的 性 质，同 时 注 意 到ni+n2n-n2所以有ni+112=79nn2=l，解得5=4 0,3=3913、设N=abc 4-bca+cab=(100a+10b+c)+(100b+l 0c+a)+(100c+l 0a+b)=111(a+b+c)=3X 37(a+b+c)要 使N是个完全平方数，只有a+b+c至少含有3和37这两个因数，由于a、b、c只能取0,1,2,，9(a#0),所以a+b+cW27 b、c、d都是质数,且10cd20,于是c可 取11、13、1 7,而d可 取13、17、1 9,又T c-a是大于2的质数，所以a=2,注意到cd,则c=13(1)若d=l7,则 l7L132=8b(2+b),BPb2+2b-15=0；b=3若b=-5(不合，舍去)。(2)若d=19,W J 192-132=8b(2+b),H|lb24-2b-24=0/.b=4若b=-6(都不合，舍去)。，a=2,b=3,c=13,d=171 6、由 4 m=4(ab+cd)2-(a2+b2-c2-d2)=(2 ab+2 cd+a2+b2-c2-d2)(2 ab+2 cd-a2-b2+c2+d2)=(a+b)2-(c-d)2(c+d)2-(a-b)2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)注意到式最后四个因式都是偶数，所以4 m 是 1 6的倍数，所以阿必是4的倍数，所以帆是合数。1 7、设三位数为A=1 0 0 a+1 0 b+c,其中a,b,c为 0,1,2,9 的整数,且 aW O由题意 1 0 0 a+1 0 b+c=n2,abc=n-1,显然c H O,否则n=l,A=1 不是三位数若c为偶数,M abc=n-1 也为偶 数,则n为奇数,从而1?为奇数，但个位数为偶数，所以这不可能。若 c 为奇数，由于A是完全平方数，则 c 只能是1,9,5又由 1 0 0 n2 3,则 可 设 p=3 k l,则 8 P 4 1=8 (3 k l)2+l=3(2 4 k2l 6k+3),由k 为止整数可知2 4 k21 6k+3 l于是8 P 2 十|是合数，所以p 只能是2或 3若p=2,8 p2+l=3 3 是合数，于是尸2,若p=3,8 P 2+1=7 3 是质数，所以p=3当p=3 时，8 p2-p+2=7 1,因为7 1 是质数，于是本题得证。初一数学竞赛系列训练3数字、数位及数谜问题一、选择题1、两个十位数1111111111和9999999999和乘积的数字中有奇数（）A、7 个 B、8 个 C、9 个 D、10 个2、若自然数n使得作竖式加法n+（n+l）+（n+2）时均不产生进位现象，便称n为“连绵数”。如因为12+13+14不产生进位现象，所 以12是“连绵数”：但13+14+15产生进位现象，所以13不 是“连绵数”，则不超过100的“连绵数”共有（）个A、9 B、11 C、12 D、153、有 列 数：2,22,222,2 2 2 2,把它们的前27个数相加，则它们的和的十位数字是（）A、9 B、7 C、5 D、34、的末位数字是（）A、6 B、4 C、5 D、35、设有密码38/DFOR=4 FORB ID,其中每个字母表示一个十进制数字，则将这个密码破译成数字的形式是6、八位数呆2843是99的倍数，则亲=,=_二、填空题7、若a xx不=丽，其中a、b都 是1到9的数字，则a=,b=8、在三位数中，百位比十位小，并且卜位比个位小的数共有 个。9、在六位数25x），52中x,y皆是大了 7的数码，这个六位数 被11整除，那么，四位数1盯5=_ o10,43的末位数字是I I、2 m*2。叫2 m（m是自然数）的末位数字是12、要使等式！=+成立，*处 填入的适当的自然数8*是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _三、解答题13、有 个5位正奇数x,将x中的所有2都换成5,所有的5都换成2,其他数字不变，得到个新的五.位数，记作y。若x和y满足等式y=2（x+1）,求x14、有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数之和为10879,求原数。15、求出所有满足如下要求的两位数：分别乘以2,3,4,5,6,7,8,9时，它的数字和不变。16、求 +22+32+4?+1234567892的末位数17、求符合下面算式的四位 数 笳abedx 9deba18、设a?%是,个 三 位 数，a3ai,由。3“2%减去得一个三位数4%4，证明：b3b2bl+bb2b3=108919、对于自然数n,如果能找到自然数a和b,使得n=a+b+ab,那么n就称为“好数”。如3=l+l+lx l,所以3是“好数”。在1到100这100个自然数中,有多少个“好数”？20、AOMEN和MACAO分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别代表两个5位数，其中不同的字母代表从1到9中不同的数字，相同字母代表相同的数字，而且它们的和仍 是 个5位数，求这个和可能的最大值是多少？初一-数学竞赛系列训练3 答案1、.,1111111111 x9999999999=1111111111x(10000000000-1)=11111111110000000000-1111111111=11111111108888888889,乘积的数字中有奇数10个2、n+(n+l)+(n+2)=3(n+l),要使作竖式加法时各位均不产生进位现象，则自然数n的各位数字都不超过3。若n为一位数，则 连绵数”有1、2两个：若n为二位数，则“连绵数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32 共 9 个：若 n 为三位数，则“连绵数”只 有100这一个。故不超过100的“连绵数”共有 2+9+1=12 个。选 C3、前27个数中，个位数字之和是2x个=5数 十 位数字之和是2x26=52,故前27个数相加，和的十位数字是5+2=7,选B4、1993.2的末位数字和19932的末位数字相同，是919952做 的末位数字和19952的末位数字相同，是5所 以gs9z+iggs?00?的末位数字是4,选B5、设 3/D=x,FOR=y，则有 3(1000 x+y)=4(1000y+x),整理得2996x=3997y化简得：428x=57ly,由于x、y都是三位数，且428与571互质，故得x=571,y=428,所 以 密 码 破 译 成 数 字 的 形 式 是3571428=44285716、设“X,“y 则 由 于 呆2 8 2是9 9的倍数，所以141*28/3 被 9x11 整除。贝ij l+4+1+x+2+8+y+3 是 9 的倍数，(l+l+2+y)-(4+x+8+3)是11的倍数，即x+y+1是9的倍数，y-x是11的倍数。因 为-9W y-xW 9,所以 y-x=0,即 y=x又lW x+y+l=2x+lW 19,所以要使x+y+1是9的倍数,必须 2x+l=x+y+l=9 或 18但2 x+1是奇数，所 以2 x+I=9,从而y=x=4,即条=4,=47 x V bbb=b x 111,x x/?=Z?x 1 1 1,即axa/?=l l l于是，可 将111分解成一个一位数与一个两位数的枳，显然111=3x37满足条件,且111只有这种分解法，故a=3,b=78、按百位数字分类讨论：百位数字是8,9时不存在，个数0；百 位 数 字 是7,只有789,1个；百 位 数 字 是6,只有679,678,6 8 9,共3个；百位数字是 5,有 567,568,569,578,579,5 8 9,共 6个；百位数字是 4,有 456,457,458,459,467,468,469,478,479,489 共 10 个;百 位 数 字 是3时,共15个：百 位 数 字 是2时，共21个：百位数字是是1时，共28个。总计，共 1+3+6+10+15+21+28=80 个。9、设 =25孙52,则n-250052+1。3工+胎？其中几丁为8或 9,因为 250052,103,1()2被1 1除 的 余 数 分 别 为0,1,1,可 设250052=1K,103X=112-X,102y=lU3+y,k2k3为正整数，故可得工=y,所以所求四位数是1885或1995.10、4343=434OX433=(434),0X43,.的末位数字与3,的末位数字相同，43的末位数字是1,从而(434严的末位数字也是1；433的末位数字与33的末位数字相同，是7工4343的末位数字是7H、2 m+20(M)-2 m=2 m(2 2000-1),爪?0 0 0的末位数字与 24的末位数字相同为6,.2 2 期-的末位数字是5,乂2 是偶数,二2 -(2 S1)的末位数字是01 2、设1=1 +,因为m、n 是自然数，所以1，8 m n 8 m 8 n则 8 m,8 a i，所以可得：b i=(1 0+a i)-a 3 b2=(1 0+a 2-l)-a 2=9 b 3=(a 3-l)-a)黝 得：也+b3=9b3b2bl+b1b2b3=1 0 0(b|+b?)+1 0 (b a +6 2)+(b i+b3)=1 0 0 x9+2 0 x9+9=1 0 8 91 9、对 于 好数n,n+l=a+b+a b+l=(a+l)(b+1)即n+1是合数。反过来n+l是合数，n是“好数”在 2 到 1 0 1 中有 2 6 个质数 2,3,5,7,1 1,1 3,1 7,1 9,2 3,2 9,3 1,3 7,4 1,4 3,4 7,5 3,5 9,6 1,6 7,7 1,7 3,7 9,8 3,8 9,9 7,1 0 1则有7 4个合数，即1到1 0 0中有7 4个“好数”2 0、可以利用竖式 A O M E N+M A CA O?问题即确定和S=?的最大值最大值是9 9 7 8 2,一方面有：1 7 8 6 5+8 1 9 1 79 9 7 8 2另一方面，可以证明和SW 9 9 7 8 2,理由如下：首先，A+M是一位数，为使S最大，A+M可能为9也可能为8 o若 A+M=8 ,贝 ij A W 7 ,O+A W 9+7=1 6 ,而M E N+CA O 1 0 0 0+1 0 0 0=2 0 0 0所以和 S 8 0 0 0 0+1 6 0 0 0+2 0 0 0=9 8 0 0 0,所以 A+M=9于 是O+A是一位数(不进位)，并 且O+A W A+M,所以为使S最 大，O+A可 能 为8也 可 能 为7,若O+A=7,则8 9 7 0 0 0+2 0 0 0=9 9 0 0 0,所以 O+A=8M+C应当尽可能大。但M、C不同，所以M+C=1 7或1 6。若 M+C=1 6,因为 O+A=8,所以 A W 7,SW 9 9 6 0 0+9 8+7 6 D、49 94 45 865 设丫=2乂+6乂+。乂-5 e、b、c为常数），已知当x=7时，y=7,则x=-7时，y的值等于（）A、-7 B、-17 C、17 D、不确定6、若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,则a+b+c+d的最大值是（）A、-I B、0 C、1 D、-5二、填空题8、a、b是数轴上两个点，且满足a Wb。点x到a的距离是x到b的距离的2倍，则x=9、若|a +6|与 3）2互为相反数，则优”=10 计 算：1 1 1 1-+-+-+,+-=1 +2 1 +2+3 1 +2+3 1 +2+3+10011、若a是有理数，则（-。）+|1 a|）的最小值是.12、有理数凡加c在数轴上的位置如图所示，化简a+b-b-a-c-c=三、解答题13、化简：卜 +5|+|2犬一3|14、15、已知（2白一1）2+|/?+1|=0,求|若a b c WO,求;+g+*的所有可能的值H H k l16、X是有理数，求|X-1 221+1 x+券|的最小值。17、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1,求 a+b+x 2-c dx 的值。18、求满足|回+|a+b|=l 的所有整数对(a,b),19、若2工+|4-5 目+|1-3.+6 的值恒为常数，求 x 的取值范围及此常数的值.20、已知方程|x|=ax+1有一个负根而没有正根，求 a 的取值范围。初一数学竞赛系列训练4 答案1、选 c2、,一 2|+k 一3|=1表示x 到 2 与 3 的距离和等于1,可见x在这两点之间(包括这两点)，所以方程的解是2W xW 3的所有数，故应选E3、既然只有零和它的相反数相同，所以不正确，是正确的，另 外 1 与一1 都等于其倒数，因此不正确，是正确的。所以选择B.4、两 个 质 数 的 和 是 4 9,则 这 两 个 质 数 必 是 2 和 47,LL竺选B2 47 945、;x=7 H*t，y=7,.*.a-7,54-b7,3+c-7n-5=7,.*.a-7l5+b-7l3+c-7,l=12则 x=-7 时，y=a(-7),5+b(-7),3+c(-7)H-5=-(a-715+b-7l3+c-7,)-5=-12-5=-1 7,选B6、V a+b=c,c+d=a b=c-a,d=a-c.*.d=bV b+c=d,.*.c=d-b=-2b,由 c+d=a,.*.a=-3b.a+b+c+d=a+c=-3b-2b=-5b,.2 是 1E整数，.W b 的最大值是-5,选 D7、Va0 p r=1,A x -l,同则|x+1|x 2|=(x+1)-(2-x)=-x 1 2+x=38、由题意得：,一 汗 二2上一耳，所以x-a=2(x-b)或x-a=-2(x-b)解得：x=2 b-或x=十 39、与(加3)2互为相反数，h +6 (7 3)2=0,则 a+6=0 jl.m-3=0 a=-6,m=3,a,n=(-6)3=-216，0 Jj U t=(l+2)x2+(l+3)x3+(1+100)x1002 2 22 2 2-F+,42x3 3 x 4-100 x101(1 1)2 _ 99【2 I01J 101 101IK 若a 2 0,则(一)+|a|+1 -a|+(-1 I)=0若 a 0.所以(a)+1 a|+1 a|+(-1 a I)的最小值是 0.12、由图可见,a 0,伙0 n a+伙0,=|a+方|=-(a+6),又以 0 l n b -l 0 n|b -l|=_ _ l)：a 0 c=a-c 0=a-c=-(a -c)由图可知 c l n l-c 0 n|l c|二l c.所以：a+b -b-a-c -c =-(a +/?)-(/-1)-(a-(?)-(13、|：ll x+5=0 得 x=-5,由 2x-3=0 得 x=3/2所以，当 x-5 时,原式=(x+5)-(2x-3)=-3x23当一5 X V xv-5 时,原式=(x+5)-(2x-3)=-x+82当 x N 3 时，原式=(x+5)+(2x-3)=3x+22即原式=-3x-2,(x -5)3-x +8,(-5 J V !)14、由题意得:2a-l=0 且 b+l=O,所以 a=l/2,b=-1明W=22+(-l 严=4 +1 =515、V abcOi.a、b、c 均不等于0。若 a、b、c 均为正，则；+M +&=+2+=3冏 b|q a b c 若 a、b、c 中 仅 有 个为正，不妨设a0,b0,c 0,b0,c0,则a b c a b c.i-1 =-1-=1|b c a b-c 若 a、b、c 均为负，则a b c a b c.L +FT+=+一 =3a|/?|c|-a -b -c+M +5 有四种可能的不同取值：1，3a b Id16、分三种情况讨论：当畸时,口-翳田一河/1 10 00 0、/9 95 5 r 5、/小/9 5、5-(X-)+-(X 4-)=-2x4-)(-2)-(-)4-2 22 21 1 2 22 2 221 221 221当/C,TI+|X+当221 221 221 221/100、/9 5、195 15=-(x-)+(x+)=.221 221 221 17 当 x)-时，221,100,9 5 100、/9 5、。5 6 100 5x-+x+-=(X-)+(x H-)=2x-)2 x-221 221 221 221 221 221 221综 合(1),(2),(3),可得，最小值是一.1717.Va.b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值为1/.a+b=O cd=l x=l:.当 x=1 时，原式=0+1 -1 x 1 =0当 x=l 时,原式=0+1-1x(-1)=218、闻 2 0,卜+.-0,且 a,b 为整数，.|羽=0 且|。+4=1，或|闻=1 且|+4=0,=0由得b=l或。=0b=7或八。或a=16=0a=-由得 =1 I或 晨=1 1b=-1 6 =1所以，满足条件的所有整数对是(0,1)、(0,-1)、(1,0)、(-1,0)、(1,-1)、(-1,1).19、要使2 1+|4-5 乂 +|1-3 M+6的值恒为常数，必须使得2x+|4-5 x|+|l-3x|+6的值与x 无关，即要使得去掉绝对值后的x 项相互合并为0,所以应该有1 44-5 x，0,l-3x0,A-x -,此时3 52x+4-5 x|+1 1 -3x|+6 =2x+4-5 x+3x-1+6=920、,方程有一个负根，则 有-x=a x+l,即(a+l)x=-l，有 X=-a l。+1假设方程有正根，则 有 x=a x+l,即(a-1)x=-1.有X=-0,从而方程没有正根应a-1所以方程国=o x+l 有 个负根而没有正根时，a的取值范围为a 21初一数学竞赛系列训练(5)整式一、选择题1、若代数式2y?+3y+7的值是2,则代数式4y的值是()A、1 B、-19 C、-9 D、92、在代数式xy2中，x与y的值各减少2 5%,则代数式的值()37A、减少50%B、减少75%C、减少其值的一6427D、减少其值的巴643、个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去2,仍得原数，这个两位数是()A、26 B、28 C、36 D、384、在式子|x+l|+k +2|+k +3|+k +4|中,用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是()A、1 B、2 C、3 D、45、实数 a、b、c 满足 a+b+c=0,且 abc=l 则的a b c值()A、是整数 B、是零 C、是负数 D、正、负不定度为u,则此人上、下山的平均速度是,.1 1 1 1 .6、如果1 1 =-=1,那么下列说法正确的x y z x+y+z是()A、x、y、z中至少有 个 为1B、X、y z 都等于1C、x、y、z都不等于1D、以上说法都不对二、填空题7、某人上山、下山的路程都是S,上山速度为V,下山速8、已知(公2)2+卜一3|=0,贝IJ代数式x+产xY-y5 1的值是9、设a、b、c、d都是整数，Hm=a2+b2 n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x、y有=则(11*12)*(19*31)=x-yI I、如果2x2-3x-l与a(x-l尸+b(x-l)+c是同个多项式的不同形式，那 么 空 辿=_ _ _ _ _c12、如果(x-a)(x4)-l能够分解成两个多项式x+b、x+c的乘积，且b、c均为整数，则a=三、解答题13已知(2x-1)5=aQ+axx+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，a i+a2+a3+a4+a514、a、b、c 互不相等，化 简2 a-b-c 2b-c-a 2 c-a-b(a-b a -c)(b-c b-a)(c-a c-b)15、已知x-2y=2,求3+匕 的值。4x y _ 86、若 abc=l 求-4-+-的值ah+a+1 be+h+ca+c+17、已 知 a+b+c=O,求+3的值。18、已知1-1 =3,求 2 x +3 x)2 y 的值x y x-2xy-y19、已知ax+by=7,ax2+by2=49,ax3+by3=I33,ax4+by4=406.7求 1999(x+y)+6xy-(+b)的值20、一个四位数，这个四位数与它的各项数字之和是1999,求这个四位数。初一数学竞赛系列训练(5)答案I、*/2y2+3y+7=2/.2y2+3y=-5A 4y2+6y-9=2(2y2+3y)-9=2 x(-5)-9=-19 故选 B3(3 Y 272、V x(l-25%)y(l-25%)2=-x-y =-x y24 1 4)64 27 37 代数式的值减少1-=故选C64 643、设两位数为 10 x+y,则 10 x+y=3(x+y)2 得 7x=2(y l),:x、y 只能取0,1,2,，9(x 0)由上式知x 只能取偶数 x=2、4、6、8,经验证得x=2,y=8 J 这个两位数为284、式子卜+1|+卜+2|+|x+3|+|x+4|的值的几何意义是数轴上的点到定点-1、-2、-3、4 的距离和，由此得最小值为4 选D5、Vabc=l1 1 1 ahc ahc ahc.,.+=-+-+-=be+ac+aba b c a b c又*/a+b+c=O 两边平方得 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0/.ab+bc+ca=-(a+/?+c k 0,即 l-1 a(x-1 )2+b(x-1 )+c=ax2+(b-2a)x+a-b+c,二由 题意得 a=2,b-2a=-3,a-b+c=-1从而解得 a=2,b=l,c=-2 a+=-c 21 2、由 题 意，(x-a)(x-4)-1=(x+b)(x+c),则 x2-(a+4)x+4a-1 =x2+(b+c)x+bc/.b+c=-(a+4)bc=4a-l 由得 a=-(b+c)-4代入得bc=-4(b+c)-17,b