2022届北京市顺义区、通州区高三第一次调研测试数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21.已知椭圆5 +/=1（。6 0）的左、右焦点分别为、F”过耳的直线交椭圆于A,B两点，交y轴于点M,若、M是 线 段 的 三 等 分 点，则椭圆的离心率为（）A 1 n 石 r 2/5 n V5A.B.C.D.2 2 5 52.在棱长均相等的正三棱柱ABC=4 g G中，。为8月的中点，尸在AG上，且。尸，A 0,则下述结论：A G L 8 C；AF=F G；平面D 4G，平面A CG A：异面直线A 6与C。所成角为60。其中正确命题的3.已知定点A,8都在平面a内，定点P史，。是a内异于A 3的动点，且PC _L A C,那么动点C在平面a内的轨迹是（）A.圆，但要去掉两个点 B.椭圆，但要去掉两个点C.双曲线，但要去掉两个点 D.抛物线，但要去掉两个点20204.著名的斐波那契数列 4,：1,1,2,3,5,8,，满足=出=1，。“+2=6用+%，eN”,若 为=Z%i，M=1贝（1人=（）A.2020B.4038C.4039D.4040 x-y +40,5.若x,y满足约束条件 x 20）的焦点为尸，M J,%）为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C的准线相切于点A,Z A M F n O0,则抛物线方程为（）A.y=2 xB.y=4xC.y=6xD./=8 x1 0 .已知双曲线G 三 一 马=1（o,6 0）的焦距为8,一条渐近线方程为y =J i x,则（7为（）16 4848 161 1 .执行如图所示的程序框图，则输出的5=（7W2O19231 2 .已知数列 4的首项囚=。（。7 0）,且 为+|=也+乙 其 中 攵，t e R,n e N ,下列叙述正确的是（）A.若 4是等差数列，则一定有左=1 B.若 4是等比数列，则一定有r =OC.若 q不是等差数列，则一定有 k o i D.若 4不是等比数列，则一定有1*0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3 .3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖.甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是1 4 .若随机变量J的分布列如表所示，则 原4）=,。（纥-1）=.1 5.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则 甲 不 输 的 概 率 是.1 6.如图，在平行四边形A B C。中，A B =2,A D =1,则 前.而的值为.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2分)如 图，三棱柱A B C A4G中，A A B C与 均 为 等 腰 直 角 三 角 形，Z R 4 C =N8 41c =9 0。，侧面BA44是菱形.(1)证明：平面平面4BC；(2)求二面角A BGC的余弦值.1 8.(1 2 分)如 图，在四棱锥PABCD中，底面 A B C。，A D L A B,A B/D C,A D =D C =A P =2,A B =1,点E为棱PC的中点.(1)证明：B E 1D C：(2)求直线与平面尸切所成角的正弦值;(3)若尸为棱PC上一点，满足3R_LAC,求二面角/一 A B P的余弦值.Y、/3 c c s ci,(a 为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正y =s i n a半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为夕s i n(6 +：)=2&.(I)写出G 的普通方程和C 2 的直角坐标方程；(2)设点P在 G 上，点。在上，求|P Q|的最小值以及此时P的直角坐标.2 0.(1 2 分)设 椭 圆 C：5+=。0)的左、右焦点分别为K，F2,下顶点为A,椭圆C的 离 心 率 是 日，4 4 打工的面积是6.(1)求椭圆C的标准方程.(2)直线/与椭圆C交于B,。两 点(异 于 A点)，若直线AB与直线AO的斜率之和为1,证明：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.2 1.(1 2 分)已知抛物线。:尸=2 吠:(0)的焦点为尸，点 P(2,)(0)在抛物线C上，|P F|=3,直线/过点F,且与抛物线C交于A,B两点.(1)求抛物线C的方程及点P的坐标；(2)求 羽.丽 的 最 大 值 1x =、/6 c o s (y-是参数)，以原点。为极点，工轴的正半y =s i n a轴为极轴建立极坐标系,直线/的极坐标方程为夕s i n (e -=夜.(1)求直线/与曲线C的普通方程，并求出直线的倾斜角；(2)记直线/与y轴的交点为。,M 是曲线C上的动点，求点M,。的最大距离.参考答案一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据题意，求得A M,8的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，M点为A”中点，耳为期0中点，故可得/：+%=2XM=0,故可得x,=c；代入椭圆方程可得/二+4v2=1,解得y =b幺2，不妨取=b幺2，a b a a（b2故可得A点 的 坐 标 为c,I a）,尸_ 1面4。6 4，平面OA G，平面A C GA，正确;以4为坐标原点，平面4 4 G上过4点垂直于4 G的直线为*轴，4 G所在的直线为了轴，4 A所在的直线为z轴,建立如图所示的直角坐标系；A(0,0,0),5,(V3,l,o),C,(0,2,0),4(0,0,2),C(0,2,2),D(V3,1,1);Aq=(0,2,-2),C D =(73,-1,-1)；异面直线4 G与 8所成角为。，cos 6=ACCDAC；CD=0,故。=9 0 .不正确.本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力.3.A【解析】根据题意可得AC _L 3 C,即知C在以A B为直径的圆上.【详解】,/P B A.a,A C u a,:.P B L A C,又PC_LAC,P B c P C =P,A C平面P B C,又B Cu平面P B CA C I B C,故C在以A B为直径的圆上，又C是a内异于A B的动点,所 以C的轨迹是圆，但要去掉两 个 点45故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.4.D【解 析】计 算a,+a3=4,代 入等 式，根 据。“+2=%+i+4化简得到答案.【详 解】=1,。3=2 ,。4=3 ,故 4 +，202()“2-1=+。4039=%+/+。4039=4+“4039=。4040，故2=4 0 4().故选：D.【点 睛】本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.A【解 析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判 断。的范围即可.【详 解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为z =6+的最大值为2 a +6,所 以z =+)，在 点4(2,6)处取得最大值,则 一a W 1,即。之一1.故选：A【点 睛】本题主要考查线性规划的应用，利 用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.6.C【解析】根 据 口 公+加卜忖+即两边平方|2+申=归+可，化简得2茄=一3(;，再利用数量积定义得到2 a b c o s (a,=-3 (a)求解.【详解】因 为 平 面 向 量 满 足 同=g，W=l,且N+q=|+4，所以|2 +田=归+田，所以2 5 =3(分，所以 2 a 5 c o s (a,5)=-3 (a),所以c o s(a,B)=-；,所以Z与B的夹角为2胃7r.故选：c【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.7.A【解析】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算.【详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2,底面为等腰直角三角形，斜边长为2 0，如图：.AAB C的外接圆的圆心为斜边A C的中点。，0D 1 A C,且O 0U平面SAC,.S4=AC=2,.SC的中点。为外接球的球心,二 半 径R=#，夕卜接球表面积S=4 X3=12TT.故选：A【点 睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.8.C【解 析】从 21开始，输出的数是除以3 余 2,除以5 余 3,满足条件的是2 3,故选C.9.C【解 析】根据抛物线方程求得M点的坐标，根 据MA/X轴、NAMr=120。列方程，解 方 程 求 得。的值.【详 解】不 妨 设M在第一象限，由 于M在 抛物线上，所以由于以M为圆 心 的 圆 与C的准线相切于点A,根据抛物线的定义可知，|幽=画|、M 4/x轴，且.由于NAMb=120。，所 以 直 线ME的倾斜角a为 w，所 以 MF=tanl2（T=平=-6,解得=3,或p=?（由于:一故舍去）.所以抛物线的方程-3 2 22 2为/=6x.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.1 0.A【解析】由题意求得C与2的值，结合隐含条件列式求得足，加，则答案可求.a【详解】由题意，2 c=8,则c=4,又2 =且。2+力2 =02,a解得。2 =4,5 2=1 2.2 2双曲线C的方程为土-2=1.4 1 2故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.1 1.B【解析】运行程序，依次进行循环，结合判断框，可得输出值.【详解】起始阶段有i =l,S =3,第一次循环后5=工=-2，i =2,1-3 2c 1 2第二次循环后 1+1 3,1 =3,20 1 OS-=3第三次循环后 2 i =4,1-3第四次循环后S =-g,i =5,1-3 2所有后面的循环具有周期性，周期为3,当1 =2 01 9时，再次循环输出的S =3,i =2 02 0,此时2 02 0 2 0 1 9,循环结束，输出S =3,故选：B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.1 2.C【解析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A：当A=O,f =。时，an+l=a,显然符合 6,是等差数列，但是此时k=1不成立，故本说法不正确；B：当人=0 =a时，all+l=a,显然符合 a“是等比数列，但是此时/=0不成立，故本说法不正确；C：当=1时，因此有也+-%=/=常 数，因此 4 是等差数列，因此当 4 不是等差数列时，一定有 k H l,故本说法正确；D：当时，若 =()时，显然数列%是等比数列，故本说法不正确.故选：C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。11 3.一3【解析】利用排列组合公式进行计算，再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可.【详解】解：3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，则两人同时抽取两张共有：C；&=6种排法排除特等奖外两人选两张共有：C；A；=2种排法.2 1故两人都未抽得特等奖的概率是：P=7=6 3故答案为：!【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，是基础题.1 1 11 4.一 4 4【解析】首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得。(&)的值，由方差的性质计算。(2-1)的值即可.【详 解】1 3 1由题意可知a +/=1,解 得。=（舍 去）或 =.4 2 2则。（孑）=O+/IV+1-2XJy41-4由方差的计算性质得。（2 4-1）=4。信）=+.【点 睛】本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21 5.-3【解 析】用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.【详 解】由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共 有9种情况,其 中 甲 不 输 有6种可能，故 概 率 为g =9 3【点 睛】本题考查随机事件的概率,是基础题.甲乙1 6.-3【解 析】根 据A5C。是 平 行 四 边 形 可 得 出 前.而=荀2 一42,然 后 代 入48=2,4 0=1即 可 求 出 恁.而 的 值.【详 解】：AB=2,AD=,：.AC BD=（A B+A D）（a 4+BC）=（而+码（而-砌-2-2=A D -A B=1-4故答案为：-1.【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)见 解 析(2)拽21 1【解析】(1)取3c中点O,连接A。，4。，通过证明AAQ4,勺，得4。，4。，结合4。，可证线面垂直，继而可证面面垂直.(2)设3 c =2,建立空间直角坐标系，求出平面A B G和平面B C G的法向量，继而可求二面角的余弦值.【详解】解析：(1)取B C中点。，连接AO,A。，由已知可得A.O L B C,A O =A,O=B C =O B,V 侧面 BAA,B是菱形，A A B =A At,：.三 A O B,Z A O B =ZAOA,=90 ,即 A 0 L A O,AOn 3 C=O,A0_ L平面 ABC,.平面 ABC_ L平面RBC.（2）设B C =2,则4。=4。=8。=。=1,建立如图所示空间直角坐标系。一孙z,则A（1,O,O）,4（0,0,1）,5（0,1,0）,C（O,-1,O）,A4；=cq=（-1,0,1）,B q =（-1,-2,1）,4=（1,-1,0）,设平面A B G的法向量为机=(x,y,z),-%2 y+z=0 ,则 *_ ,令x=l得m=(1,1,3).x-y =O同理可求得平面B C G的法向量n=(1,0,1)，：.cos -丁=上 叵.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.18.(1)证 明 见 解 析(2)旦(3)亚3 10【解析】(1)根据题意以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出炉，反，由空间向量数量积运算即可证明BE _L DC.(2)先求得平面/8。的法向量，即可求得直线8E与平面法向量夹角的余弦值，即为直线砥与平面/8。所成角的正弦值；(3)由E点在棱PC上，设 方=2而，再 由 丽=前+瓯，结合B b_LA C,由空间向量垂直的坐标关系求得2的值.即可表示出丽.求得平面EB4和平面AB尸的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角尸-A B-P的余弦值.【详解】(1)证明：；2 4,底面 ABC。，A D A B,以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，V AD=DC=AP=2,45=1,点 E为棱 PC的中点.A 1,0,0),C(2,2,0),0(0 2 0),P(0,0,2),E(l,l,l),BE=(0,1,1),Z)C=(2,0,0),/BE-DC=0:.BEL DC.(2)丽=(-1,2,0),丽=(1,0,-2),设平面P%)的法向量为机=(x,y,z).BD 比=0则 一 一 八，代入可得P屏丽=0-x+2y=0 x2z=0令y=l解得X =2,z=l,即而=(2,1,1),设直线3E与平面/曲/)所成角为a,由直线与平面夹角可知sin a=cos=J _L =Ini.BE_=7|V6xV2-32所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 昱.3(3)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),由 F 点在棱 PC上，设。升=/1方=(-2/1,-22,22),(02l),故 丽=阮+齐=(1-2九2-2九2几)(0 Z 0)的焦点，P(2,j o)是抛物线上一点，|PF|=3,：.2+=3,2解得：p=2,二抛物线C 的方程为V=4x,T点P(2,)(n 0)在抛物线C 上，.n2=4x2=8,由 0,得 =2&,：.P(2,2 7 2).(2)V F(1,0),.设直线/的方程为：x+my-1=0,代入，2=4X,整理得，j2+4/nj-4=0设 A(Xl,Jl),B(X2,”)，则 Ji,丁 2是丁2+4/町-4=0 的两个不同实根，41+也=-4m,JU2=-4,Xi+X2=(1-myi)+(1-my2)=2-m(ji+j2)=2+4/n2,xjX2=(1-myi)(1-myi)=1-m(J1+J2)+/n2jij2=l+4m2-4/n2=LP A=(%-2,y1-2/2 PB=(%2-2,y2-272),丽.丽=(x i -2)(X2-2)+(y-2及)(%一2血)=X1X2-2(X 1+X 2)+4+%必 一2夜(y+%)+8=1-4-8m2+4-4+8 叵/n+8=-8/n2+8 5/2 z+5=-8 Cm-)2+l.2.当m=也 时，西.而 取 最 大 值1.2【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.Y?J T22.(1)+/=1,y =x +2,直线/的倾斜角为一6 -4(八 37305【解析】x =pcosO(1)由公式5山2+85 2。=1消去参数得普通方程，由公式.八可得直角坐标方程后可得倾斜角；y=Q s i n”(2)求出直线/与y轴交点。，用参数表示“点坐标，求 出|阿，利用三角函数的性质可得最大值.【详解】(1)由 卜=辰 S%,消去夕得。的普通方程是：+/=y =s i n a,6由 p s i n。一/)=血，得0s i n 6-/9c o s =2,x=pcosO将.八代入上式，化简得y =x+2y=psm3T T直线/的倾斜角为一4（2）在曲线C上任 取 一 点c o s a,s i n。），直线/与轴的交点。的坐标为（0,2）则|MQ、=Q（娓c o s a-o j +（2-s i n a=7-5 s i n2 a _ 4s i n a +10当且仅当s i n a =1时，取 最 大 值 笠【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题.求两点间距离的最值时,用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题.