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第一讲椭圆i f 示纲解读1 .掌握椭圆的定义，会利用定义解题。2 .熟记椭圆的标准方程及其简单的儿何性质，能熟练掌握基本量a、b、c、e间的关系。3 .掌握求椭圆标准方程的基本步骤：（1）定 型（确定它是椭圆）；（2）定 位（判断它的中心在原点、焦点在哪条坐标轴上）；（3）定 量（建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量a,、b的值）。只概览3 ,范例精讲3.1”专 题 一 集 合 中 的 元 素3.1.1X 4讲课导引：.1，要点精第一节：椭圆及其标准：1、椭圆的定义：平面内与两个定点为F,.F 2 的距离的和等于常数（大于怛述2 口的 轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离椭圆的焦距。特别地，当常数等于阳见 时，轨迹是线段F g,当常数小于恒尸 2 1 时，无轨迹。2、椭圆的标准方程：标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。2 2当焦点在x 轴上时标准方程为：二+鼻=1 （a b 0）,焦点F （土C,0）,当焦点在y轴a b2 2上时，标准方程为二+=1（a b 0），焦 点 F （0,土c）说明：（1）方程中的两个参C T b 数与，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。（2）焦点口，F 2 的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型。（3）常数a,b,c 都大于零，其中a 最大且a 2=b?+c 22 23、椭圆焦点三角形：（1）设 P为椭圆0 +2=1,上任意一点，F,F?为焦点且N F|P F2a b 2b=，则 4 A B C 为焦点三角形，（2 设 P F 1 ,P F,=r,则6 =a r c c o s（-1）,当一K，方 2 _ 2 0即 P为短轴端点时，。最大且6 m,x =a r c c o s 乙 ，（3）它的面积公式为：S=b2t a n-a 2=c|y 0|，当|%J=b 时，P为短轴端点时，S m a x 的最大值为b e。（4）焦点三角形为锐角三角形时，b c.4、方程A x 2 +6），2 =c表示椭圆的充要条件是：A BCW0,且 A,B,C同号，AWB。AB时，焦点在y 轴上，A b 0）的准线方程为x=M,a1 b2 c.2 椭圆的范围和对称性：x2 +y-27 =1 （a b 0）中a W x W a,-b W y W b,对称中心是原点，a对称轴是坐标轴。3、离心率e=,0 e b 0)上 点，F】为左焦点，F,为右焦点,a hP F】=a+e x0,P F7=a-e x02 b25、弦长公式：(1)通径：通过焦点且垂直于长轴的弦长：|P Q|=子，P,Q为弦与椭圆的交点。2 2(2)过土y +%=l (a b 0)的焦点 F|(或 F?)的弦长：P Q=2 a+e(x,+x2)(或从同=2 a-e(Xj+x2),x,x 2 分别 P，Q 为的横坐标。(3)一般的弦长公式：X2 分别为弦PQ的横坐标，弦 PQ所在直线方程为y=kx+b,代入椭圆方程整 理 得 A x 2+B x+C=O,则|P 0 =y j l +k2 xt-引=CTI7亚宁廷,若y,y2分别为弦PQ的纵坐标，则|P Q|=J 1+却1-为|，b，x6、以 P(X o，y()为中点的弦A (x i%),B(x2,y2)所在直线的斜率k=-二 2，直线A Ba y0的方程为：y-y0=-l (x-x0).AB 的中垂线方程为y-y o =#(x-x )ab x07、直线与椭圆的位置关系：设直线1的方程为：A x+By+C=O,椭圆+二=1 (a b 0),a2 h2消去y(或x)利用判别式的符号来确定。8、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点P(X ,y)Q(X 2，y 2)，中点M(x(),y o)，把 P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得力+奈=。(椭圆内不含端点的线段)2 29、设 P (x0,y0)是椭圆0 +4 =1(a b 0)上一点，则 过 P 点的切线方程是：a b.+9=1a2 b2(利用导数求出斜率或利用判别式求斜率)10、椭圆的第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线1的距离之比等于常数e(0e b 0)的关系：(1)点 P(xo,y。)在椭圆外=与+与a h a b2 2 2 2 1,点 P(Xo，y()在椭圆上O 与+斗=0,点 P(Xo，yo)在 椭 圆 内=乌+与a b a b b 0)b 0)按-=(x(X X)2(v-V Y0,y0)平移得?+口=1(它a h a h的中心、对称轴、焦点、准线方程都按3=(x0,y0)作了相应的平移。第三节：双曲线及其标准方程：1、双曲线的定义：平面内与两定点F ,F?的距离的差的绝对值等于定长2a(小于|F F 2)的点的轨迹叫双曲线，BPI IPF)|-|P F2|=2a(2aiF1F2|o 此定义中，“绝对值”与 2 a IFF?I，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。2 22、双曲线的标准方程：中心在原点，(1)焦点在x 轴上：=一二=1(2)焦点在y 轴上:a h2r-=1 (a 0,b 0)与判断椭圆方程中焦点位置不同的是，双曲线不是通过比较a bx 2,y 2系数的大小，而 是 看x 2,y 2的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”与椭圆另一个区别在于：的关系是c 2=a?+b2(而不是c2=a2-b2)(3、与 椭 圆 类 似 对 于 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 有：(1)9=arccos 12b2(2 )丑2S=；八”皿6=62 8或第四节：双曲线的简单的几何性质：对于双曲线:-三=1(。M0/A 0)a b 1、它的顶点为(-a,0),(a,0),取值范围:x W-a 或 x a,y G R,焦点 F 1(-C,0),F2(C,0),对称轴是坐标轴，对称中心是原点。2、准线方程：x=C3、离心率：e=l,e 越大，开口越大，e 越小，开口越小。a2 2 14、渐近线：二一勺=。(或 y =-x或 )=0 )a2 b2 a a b5、共飘双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共扼双曲线。=1 与=-=1 互为共飘双曲线，它们有相同的渐近线。a2 b b2 a26、等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线，表示为 勺=1(或 一 一/=A,k e R),Pcr er为等轴双曲线上一点，则怛用 归闾=o p f，等轴双曲线的渐近线为y=X,离心率e=V27、焦半径公式：P F 1|二 e x+a,P F 2 I=e x-a(左加右减)8、弦长公式：(1)通径长：|A B|=,(2)过焦点的弦长：|A B|=|e(X +x 2)l,一a般的弦长公式：类似于椭圆，X ,X 2分别为弦PQ的横坐标，弦 PQ所在直线方程为y=k x+b,代入双曲线方程整理得 A x 2+Bx+C=0,则|P Q|=+一 I=,|A|若 力 2分别为弦PQ的纵坐标,9、双曲线：一 匚=1 按1=(x0,y0)平移得_4 _2)-=1 (它的中心、a2 b-a2 b2对称轴、焦点、准线方程都按a=(x0,y0)作了相应的平移。1 0、双曲线的第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线1 的距离的比是常数e(e l)的动点的轨迹叫双曲线。2 2I I、过双曲线*=1 上一点P（x0,y0）的切线方程是a b a2 h2i（与椭圆类似）1 2、过双曲线0-4=1外一点P（x o，y0）的直线与双曲线只有个公共点的情况如下:a b（1）P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条。（2）P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条。（3）P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线。（4）P 为原点时不存在这样的直线。1 3、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦P Q的端点P（X 1,yJ Q（X 2，y2），中点M C x0,y0）,把 P,Q 的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得=-=0（当|k|a h2时，p,Q各在一支上，此 时 M的轨迹两条不含端点的射线，当|k|0)F (g p,O)1x=-p2-y =-2 p x (p 0)F (-p,0)1x=p2x =2 p y(p 0)F (0,；p)1y=-p-x =-2 p y(p 0)F (0,-；p)1y=-p3、抛物线标准方程中P 的几何意义是：焦点到准线的距离，故 P 04、抛物线的标准方程中，次项的变量决定对称轴，-次项的符号决定开口方向。第六节：抛物线简单的儿何性质：以标准方程是y=2 p x （p 0）为例1、范围：x 2 0,对称性：关 于 x轴对称，无其它对称轴和对称中心，顶点是原点，离心率为 1,准线方程：x=-222、焦半径公式：|PF|=x 0 +5,X。为 P 点的横坐标。3、弦长公式：(1)通径：2 p,是过焦点的所有弦中最短的弦过焦点F(,0)的弦长：X|,2x 2 分别为弦AB的端点的横坐标，y”y 2 分别为弦AB的端点的纵坐标，弦 I AB|=x1+x 2112 2+P，府+闻2=-P(3)一般的弦长公式：类似于椭圆，X ,X 2 分别为弦P Q 的横坐标，丫 1，丫 2 分别为弦P Q 的纵 坐 标 弦 P Q所 在 直 线 方 程 为 y=k x+b,代入抛物线方程整理得Ax 2+Bx+C=o,则|尸。|=川+/园 司=J 1 +Y 虫;2江,若、，丫 2 分 别 为 弦PQ的纵坐标，则|PQ|=4、斜率为k的弦的中点的轨迹方程是：y=K，一条平行于x 轴且不包括端点在抛物线内部k的射线。5、与焦点弦有关的一些几何图形的性质：(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切，(2)设 AB为焦点弦，端点在准线上的射影为A B M 为准线与x 轴的交点，则/A M F=NBMF,(3)若 P 为 A*1 的中点，则 PALPB,(4)若 A 0 的延长线交准线于C,则 BC 平行于 x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C点，则 A,0,C三点共线。过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。讲上2,重点难点1、球椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和轨迹方程法。2、直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解得组数来确定。通常用消元后的关于X(Y)的一元二次方程的判别式来判定，则有 0 0 直线与椭圆相交；c,离心率e 确定椭圆的形状,焦点到对应准线的距离P确定椭圆的大小。3、注意焦点分别在X轴和Y轴上对应的椭圆的区别和联系。3.1.2 例题选讲3.1.2.例 题 I（题目+解析）变式拓展技巧点拨4“旧 练 习 巩 固/A，1 夯实基础类riJ4.2 跟进拔高类*II 4.3挑战极限类2X224.4 体验高考类2009年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题Y21.(2 009全国卷I 理)设双曲线二a则该双曲线的离心率等于(C )(A)V 3(B)2y2(a0,b 0)的渐近线与抛物线y=x2+l相切,(C)V 5 (D)V 6解：设切点P(x 0,%),则切线的斜率为、1,=2%.由 题 意 有&=2x0又 y 0 =+1%解得：x02=,:.=2,e=Jl +()2=/5 .2.(20 0 9全国卷I 理)已知椭圆C:+y 2=1的右焦点为尸，右准线为/，点A e/,线段2 A F交C于点B ,若 成=3 而，则1 宿=(A).V 2(B).2(C).V 3(D).3解:过点B作于M,并设右准线/与X 轴的交点为N,易知FN=1.由 题 意 直=3 而,故1 8 M 1=.又由椭圆的第二定义，得1=2=J .4/1=J5.故选A3 2 3 32 23.(20 0 9浙江理)过双曲线=-4 =1(。0/0)的右顶点从作斜率为-1 的直线，该直a b-线与双曲线的两条渐近线的交点分别为8,C .若 获=1前，则双曲线的离心率是()2A.V 2 B.V 3 C.V 5 D.M答案：C【解析】对于A(a,0),则直线方程为x+y-a =0,直线与两渐近线的交点为B,C,小二,0 ,C(,_g),M 有(Q+匕 a+bJ a-b a-b前=（学2，-学 乂），通=，也,也1，因2而=前，.4/=/,.丁 =氐a2-b2 a2-b2 I a+b a+b）2 24.（2009浙江文）已知椭圆二+2 =1（。匕0）的左焦点为E,右顶点为A,点B在椭a b“圆上，且轴，直线4 8交y轴于点P.若 丽=2而，则椭圆的离心率是（）V3 V2 1 1A.B.C.D.一2 2 3 25.D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇,也体现了数形结合的巧妙应用.【解析】对于椭圆，因 为 而=2而，则O4=2 0 f,;.a =2c,;.e=L26.（2009北京理）点P在直线/:y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=/于两点，且PA=AB,则 称 点P为“）点”，那 么 下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A.直线/上的所有点都是“力 点”B.直 线/上 仅 有 有 限 个 点 是 点”C.直 线/上 的 所 有 点 都 不 是 点”D.直线/上有无穷多个点（点不是所有的点）是“，嫉点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图,设24（加,九），。（工,工 一1）,则 B（2m-x.2n-x-2,*/A,3在y=一上,（2.n=m.V2n-x+1=（2m x）2（第8题解答图）消去”，整理得关于X的方程x2-（4/n-l）x +2 m 2-1 =0(1)A=（4 m -1）2-4（2机2-1）=8,n2-8,n+5 0 恒成立,二方程（1）恒有实数解，应选A.2 27.（20 0 9山东卷理）设双曲线与%=1的一条渐近线与抛物线y=x?+l只有一个公共点,a h 则双曲线的离心率为（5A.-B.54).c旦1 2【解析】：双曲线0-与=1的一条渐近线为ya2 b2=x,由 方 程 组|=y =x2+l，消 去 y,得/-2%+1 =0 有唯一解，所以=(24 =(),a a所以2 =2,e=J X+/=J l+(2)2=6,故选 Da a a a答案:D.【命题立意】：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.8.（20 0 9 山东卷文）设斜率为2 的直线/过抛物线V =仅工0）的焦点F,且和y轴交于点A,若 O AF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（）.A.y 2=4 x B.y2=8 x C.y2=4 x D.y =8x【解析】：抛 物 线 丁=姓 （aK 0）的焦点F坐标为（3,0）,则直线/的方程为y =2（x-q）,4 4它与y轴的交点为A（0,9，所以A OA F的面积为:I：I 弓 1=4，解得a =8.所以抛物线方程为y 2=8 x,故选8答案:B.【命题立意】：本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想，其中还隐含着分类讨论的思想，因参数。的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况，这里加绝对值号可以做到合二为一.9.(20 0 9 全国卷n文)双 曲 线-一！一=1 的渐近线与圆(x 3)2+/=户。0)相切，6 3则 r=(A)V3 (B)2(C)3 (D)6答案：A解析:本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r,可求r=g1 0.(20 0 9 全国卷n文)已知直线y =M x+2)(A0)与抛物线C：y 2=8 尤相交人、B 两点,F 为 C 的焦点。若|E 4|=2|F B|Ji J k=1 V2 2 2V2(A)-(B)(Q-(D)3 3 3 3答案：D解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2,0),由|阿=2 怛及第二定义知4+2=2(4 +2)联立方程用根与系数关系可求k=当。A 3K 4-2y-l=O B 3bc+2y4-7=02(A)-2l =i (B)=(C)2 4 4 2 4 6r A n.r i,而 汨/3 b2 3 b2 1 解析 山6 =得一7 =一/7 =，7 =一，选 B2 a2 2 a2 2 a2 21 2.(20 0 9 安徽卷文)下列曲线中离心率为2的是W.e =l 4上=1 士.士A.2 4 B.4 2 C.4 62 2【解析】依据双曲线0 -与=1 的离心率e =可判断得.e=a h a【答案】B1 3.(20 0 9 安徽卷文)直线 过点(-1,2)且与直线垂直，则-=i（D）=|4 10=1-1D.4 10亚选B。a 2 的方程是1 1.(20 0 9 安徽卷理)下列曲线中离心率为逅的是c 2 x-3y 4-5=0 D 2x-3y+8=03 3【解析】可得/斜率为一/.力：y-2 =-2。+1）即3 8+2-1 =0,选 A。【答案】A2 21 4.（20 0 9 江西卷文）设的和招为双曲线5 4=1（。0 2 0）的两个焦点，若片，尺,a h P（0,2。）是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为3 c 5A.-B.2 C.-D.32 2答案：B【解析】由 t a n 工=且 有 3 c 2=4/=4（c2-a2）Mi e=-=2，故选 B.6 2b 3 a2 21 5.（20 0 9 江西卷理）过椭圆餐+=1（4 8 0）的左焦点6作x轴的垂线交椭圆于点bP ,B 为右焦点，若/P5=6 0。，则椭圆的离心率为V2 V3 人 1 12 3 2 3答案：B【解析】因为P（c,忙），再由/片P E,=6 0有 生=2 a,从而可得e =且，故选Ba a a 32 216.（2 009天津卷文）设双曲线夫一二=1（。0/0）的虚轴长为2,焦距为2 百，则c T b双曲线的渐近线方程为（）A y -V2 x B y -+2x C y =-x D y =x【答案】C【解析】由已知得到匕=l,c =J 5,a=J c 2 =啦,因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为y =-x =x【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。17.(2 009湖北卷理)已知双曲线二 一 二=1 的 准 线过椭圆三+与=1 的焦点，则直线2 2y =履+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是_ _2 5 2A.K eB.K eD.K e【答案】A【解析】易得准线方程是所以 2=/一。2=4 一 匕 2=1 即/=3所 以 方 程 是 上+汇=1联立y =f c v +2 可得 3 x 2+(4k?+16 k)x +4=0 由 A 4 O 可解得 A2 218.(2 009四 川 卷 文)已 知 双 曲 线 彳=13 0)的左、右焦点分别是片、F2,其一条渐近线方程为丫=工，点P(g,y 0)在 双 曲 线 上 则 所 所=A.-12 B.-2 C.0 D.4【答案】C【解析】由渐近线方程为y =x知双曲线是等轴双曲线，.双 曲 线 方 程 是=2,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且P(巧,1)或 P(仁1).不妨去P(行,1),则丽=(-2-百,-1),而=(2-6,-1).丽 丽=(-2 -V 3-1)(2 -V 3,-1)=_(2 +7 3)(2 -扬 +1 =019.(2 009全国卷H 理)已知直线 y =M 尤 +2)小 0)与抛物线C：y 2=8 x 相交于A、B两点，尸为。的焦点，若I E 4 I=2 I E B I,则女=16 2 2 cA.-B.-C.-D.-3 3 3 3解：设抛物线C：y 2=8 x 的准线为/:x =2直 线 y =Mx+2)(k 0)恒过定点P(2,0).如 图 过 A、8分 别 作 AM J J 于 M ,BN J J 于 N,由 I E 4 1=21 EB I,则I AM 1=2 1 BN I,点 B 为 AP 的中点.连结。8,则 I。8 1=I AFI,r.l OBIT BE I 点 B 的2横坐标为1 ,故点8的 坐 标 为c rr.2 2 0 2-/2.(1,2y 2)k=-=-,故选 D1-(-2)320.（2009全国卷H理）已知双曲线C：/=1（。0/0）的右焦点为尸，过 F 且斜率 1 -5 6又.4F=4F B.31 凡B I=-IF B k.e =-故选 Ae 2 52 1.(2 009湖南卷文)抛物线y=-8 x 的焦点坐标是B A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)解：由V =8 x，易 知 焦 点 坐 标 是 0)=(-2,0),故选B.2 2.(2 009辽宁卷文)已知圆C与直线x-y=0 及 x-y 4=0 都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为(A)(x +l)2+(y-l)2=2 (B)(x-l)2+(y +l)2=2(0(尤-I p+(y-1-=2 (D)(x +l)2+(y +l)2=2【解析】圆心在x+y=0 上，排 除 C、D,再结合图象，或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径、即可.【答案】B2 22 3.(2 009宁夏海南卷理)双曲 线 土-=1 的焦点到渐近线的距离为4 12(A)243(B)2 (C)6 (D)1V2 V2 L|V3X4-0|L解析：双 曲 线 二-=1 的焦点(4,0)到渐近线卜=瓜 的 距 离 为-=2瓜选4 12 2A2 4.(2 009宁夏海南卷理)设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(l,0),直线1 与抛物线C相交于A,B两点。若 AB的中 点 为(2,2),则直线/的方程为.解 析：抛 物 线 的 方 程 为 y 2=4 x ,(y 2 4(X,必),8(方,力),则有为*2，；一两 式 相 减 得，才 一 学=4(王一),；.江 笺=一=1玉一+y2 直 线 1 的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x2 5.(2 0 0 9陕西卷文)过原点且倾斜角为60。的直线被圆V+y 2 4)，=0所截得的弦长为(A)V 3 (B)2 (C)V 6(D)2 月答案:D.解 析：直 线 方 程 y=6 x,圆的标准方程/+(y-2 产=4 ,圆 心(0,2)到 直 线 的 距 离|V 3 x 0-2|7(V 3)2+(-l)2由垂径定理知所求弦长为d*=2 3 2 2-1 2 =2 由 故选D.2 6.(2 0 0 9陕西卷文)“机 0 ”是“方程机工 2 +盯 2 =1 ”表示焦点在y 轴上的椭圆”的(A)充分而不必要条件(C)充要条件答案:C.(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:将方程机Y+y 2 =l 转化为 f+f=1,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须m n满足一0,0,所以一 ，故 选 C.m n n m2 7.(2 0 0 9四 川 卷 文)已 知 双 曲 线 与 巳=1 3 0)的左、右焦点分别是6、F2,其一条渐近线方程为了=彳，点P(g,y 0)在 双 曲 线 上 则 丽 丽=A.-1 2 B.-2 C.0 D.4【答案】C【解析】由渐近线方程为y =x知双曲线是等轴双曲线，.双 曲 线 方 程 是=2,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且 P(百,1)或 P(仁1).不妨去P(行,1),则丽=(-2-百,-1),而=(2-6,-1).丽 丽=(-2 -V3-1)(2 -V3-1)=-(2 +73)(2 -扬 +1 =02 22 8.(2 0 0 9全国卷I 文)设双曲线*一点=l(a 0,b 0)的渐近线与抛物线y =x?+l 相切，则该双曲线的离心率等于(A)V 3 (B)2 (C)V 5 (D)V 6【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率,基础题。解：由 题 双 曲 线,一%=1(。0,b 0)的条渐近线方程为y =B，代入抛物线方程整 理 得 ax?一 必+。=0,因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切，所 以从一 4a2=o,即c1=5a2=e=A/5,故选择 C 2 9.(2 0 0 9全国卷I 文)已知椭圆C:+)2=1的右焦点为E右准线/,点A e/,线段AF交 C于点B。若 成=3 而，则|衣 卜(A)V 2 (B)2 (C)V 3 (D)3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解:过点B作于M,并设右准线/与X 轴的交点为N,易知F N=1.由 题 意 两=3 而，故1 8 M l=.又由椭圆的第二定义，得I 1=-=门A F 1=J5.故选A3 2 3 33 0.(2 0 0 9湖北卷文)已知双曲线-/=1 的准线经过椭圆兰+W =1 (b 0)的焦点，则2 2 4 b2b=A.3 B.石 C.V 3 D.V 2【答案】C2_【解析】可得双曲线的准线为x =1,又因为椭圆焦点为(庐,0)所以有C,4-6=1 .即 b2=3 故 b=6 .故 C.3 1.(2 0 0 9天津卷理)设抛物线y 2=2 x 的焦点为E 过点M(百，0)的直线与抛物线相交于 A,B两点，与抛物线的准线相交于C,忸日=2,则A BCF与A A CF的面积之比隆亚=S MC F、4、2 4 1(A)-(B)-(C)-(D)-5 3 7 2【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。解析：由 题 知 压=空=S 战CF A。X.+,1-2XAA +14 2 3又 I BF=x/i+=2=x/i=yB=V3由 A、B,M 三点共线有-M _ PA=y”/BXM -XA XM X B0 _0+V3即 1=-=-XA V 3-32故心=2,S 2X N+1 3+1 4,3=&=-=,故选择A。S M C F 2盯 +1 4+1 5尤2 V232.（2009四川卷理）已知双曲线一一与=1（。0）的左右焦点分别为，居，其一条渐近2 b2线方程为卜=彳，点尸（6,打）在该双曲线上，则 丽 丽=A.-1 2 B.-2 C.0 D.4【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）解析:由题知/=2,故3=/三=1,凡（一 2,0）,尸2（2,0），.西 而=（-2 6,士 1）（2-石,1）=3 4+1 =0,故选择 C。2 2解 析 2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程土-匕=1,则左、右焦点坐标分别为2 2片（-2,0）,尸 2（2,0），再将点尸（6,%）代入方程可求出尸（6,1）,则 可 得 丽 电=0,故选c。3 3.(2 0 0 9 四川卷理)已知直线4：4 x 3 y +6 =0和直线/z：x =1,抛物线V=4x上一动点P到直线4 和直线4的距离之和的最小值是A.2B.33 7D.1 6【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线：x =-l 为抛物线2=4 元的准线，由抛物线的定义知，P到右的距离等于P到抛物线的焦点尸(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2=4 x上找一个点P使得P到点尸(1,0)和直线/2的距离之和最小，最小值为尸(1,0)到直线4 :4 x -3 y +6 =0的距离，即min，=2 故选择A。解析2：如下图，由题意可知413x1-0+61V 32+4223 4.(2 0 0 9 宁 夏 海 南 卷 文)已知圆G：(x +l)2+(y-l)2=l,圆 G 与 圆 G 关于直线x y 1 =0 对称，则圆G 的方程为(A)(x+2)+(y 2)=1(B)(尤 一2)2+(y+2)2=1(C)(x+2)2+(y+2)2=l(D)(x-2)+(y 2)=1【答案】B式上-1 =0【解析】设圆G 的圆心为b),则依题意，有2b-a+Ta=2b=-22,解得：对称圆的半径不变，为 1,故选B。.x23 5.(2 0 0 9 福建卷文)若双曲线一一ay2=l(a o)的离心率为2,则a等于A.2B,也32D.1解 析 解 析 由=-二=1 可 知 虚 轴b=J ,而 禺 心 率 e=-=2,解得a=l或a=3,a-3 a a参照选项知而应选D.3 6.（2 0 0 9 重庆卷理）直线y =x +l与圆V+y=i 的位置关系为（）A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离【答案】B【解析】圆心（0,0）为到直线y =x +l,I 匹即 X y +l =0的距离d =7 =而V 2 20 -选 B。23 7.（2 0 0 9 重庆卷理）已知以T =4为周期的函数/（x）=0。,x e(l,3 若方程3/（x）=x 恰有5个实数解，则加的取值范围为（）A.（半，1）B.（?诉 C（g,|）D.（|,V 7）【答案】B【解析】因为当xe（-1,1 时，将函数化为方程/+2为=1（,2 0）,实质上为一个半m椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当X 6（1,3 得图像，再根据周期性作出函数其Y它部分的图像，由 图 易 知 直 线 与 第 二 个椭圆。4）2+1=1（2 0）相交，而与第三个 半 椭 圆（一4）2+二=1 日 2 0）无公共点m时，方程恰有5个实数解，将 =土 代 入（x 4f+J =l（yN0）得3m(9 m2+l)x2-7 2 m2 x+1 3 5 m2=0,令 f =9疗(f 0)则(t +l)x2-8 及+1 5/=0由 A =（8 1）2-4x 15 t（t+1）0,得f 1 5,由9/1 5,旦?0得?3xv2同样由y =一与第二个椭圆（X-8）2 +j =l（y 2 0）由 0可计算得m 2=5与。2：。一机）2 +2=2 0（加氏）相交于人、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。解 析：由 题 知。（0,0）,。2（，0），且 痣 1 m I 2 =4与圆 2 +/2+2町-6 =0（a 0）的公共弦的长为2 V L则 a=o【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。解析：由知x2+y2+2 a y-6 0的半径为6 +a2,由 图 可 知6 +。2 一(_“一1)2 =(痣/解之得 a =i4.(2 0 0 9湖北卷文)过原点O 作圆x2+y2-6 x-8 y+2 0=0 的两条切线，设切点分别为P、Q,则线段P Q 的长为.【答案】4【解析】可得圆方程是(*-3)2+(y-4)2 =5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得|P0=42 7X V5 .(2009 重庆卷文)已知椭圆=+彳=(ab 0)的左、右焦点分别为片(c,0),8(c,0)，a b若 椭 圆 上 存 在 一 点 P 使-=-一，则 该 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围sin PFXF2 sin P F2F为.【答案】(后-1,1)解 法 1,因为在AP/K 中，由正弦定理得P F?sin P FF2sin P F F 则由已知,即 aP F =CPF2设 点(升,先)由 焦 点 半 径 公 式，得P F=a +ex0,P F2=a-e x0则a(a+ex0)-c(a-ex0)记得x0=处二 由椭圆的几何性质知x0 -a 则 吆 心 a，整理得e(c-a)e(e +l)e(e +l)e 2+2e l 0,解 得 e一加一1或e 夜 一 1,又e e(0,l),故 椭 圆 的 离 心 率e e(V 2-l,l)解法2 由解析1 知 的=p居由椭圆的定义知ac2a2尸耳+P K=2 则一。工+工二2即 工=,由 椭 圆 的 儿 何 性 质 知a c +aQ 2PF2 Q+C,则 0）的 左、右 焦 点 分 别 为耳（-c,0）,居（c,0）,若 双 曲 线 上 存 在 一 点 尸 使 理 竺 退=人,则该双曲线的离心率的取值sin PF2FX C范围是,解 法1,因为在中，由正弦定理得 P区snPFF2PFsin PF2Fl则由已知，得 一上，B P aPFt=CPF2,P 且 知 点P在双曲线的右支上,设点（玉）,九）由 焦 点 半 径 公式，得 PF】=a+ex0,PF2=ex0-a 则a(a+ex0)=c(ex0-a)解得a(c+a)ae+)e(c-a)e(e l)由双曲线的几何性质知X o a则 幽 土D a,整理得e（e-l）e?2e 1 0,解 得 后+l c a,则 卫-c 既/2ac/(),所 以 22e 1 0）的四个顶点，户为其右焦点，直线A B 2与直线8/相 交 于 点T,线a b-段O T与椭圆的交点M恰为线段O T的中点，则 该 椭 圆 的 离 心 率 为.【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线4丛 的方程为：二+工=1；-a b直线87的方程为：二+上=1。二者联立解得：T（/（a +C）,c -b a-c a-c则 M（-）在椭圆-v +2T=1（。60）上，a-c 2（q-c）a hc2(a +c)2(a-c)2 4(a -c)2=1,c +1 0 a c 3c i=0,2+1 0 e-3 =0,解得：e =2 j 7 51 1.（2 0 0 9全国卷H文）已知圆O：/+y 2 =5和点A（,2）,则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 2 5答案：一4解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=-L（x），即x+2 y-5=0,从而求出在两坐标轴上2的截距分别是5和*,所以所求面积为工x9 x5 =。2 2 2 41 2.（2 0 0 9广 东 卷 理）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离 心 率 为 走，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为A2 2【解析】e =,2 a =1 2,a=6,b =3 ,则所求椭圆方程为二+-=1.23 6 91 3.（2 0 0 9 年广东卷文）以点（2,-1）为圆心且与直线x+y =6 相 切 的 圆 的 方 程 是.【答案】（x-2）2 +（+杼=5572【解析】将直线x+y =6 化为无+丁一6 =0,圆的半径=1 2-1 -6 1V1+T，所以圆的方程为7 5（x-2）2+（y +l）2=y1 4.（2 0 0 9 天津卷文）若 圆/+/=4与 圆/+/+2”一6 =0（”0）的公共弦长为2vL 则 2=.【答案】1【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y=-，利用圆心（0,a1-1 ,-牛 为 S _ 忖0）到直线的距离d =1,解得a=l【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。1 5.（2 0 0 9 四川卷文）抛物线V=4 x 的焦点到准线的距离是.【答案】2【解析】焦点F（1,0）,准线方程x=-1,.焦点到准线的距离是22 21 6.（2 0 0 9 湖南卷文）过双曲线C：=一 =1 （a 0,b 0）的一个焦点作圆x2 +y2=/a b-的两条切线,切点分别为4,B,若 44。8 =1 2 0 （O是坐标原点），则双曲线线C的 离 心 率 为 2 .解：；4。6 =1 2 0 =4。/=6 0=/1/:。=3 0=。=2。，.、=2.a1 7.（2 0 0 9 福建卷理）过抛物线y 2=2 p x（p0）的焦点F作倾斜角为4 5 的直线交抛物线于 A、B两点，若线段A B的长为8,则=【答案】:2又 网=J(l+1 2)j(3 p)2 _ 4 x =8 n p =2。解 析：由 题 意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为y =x-g,联 立 有y2=2 p x b 0）的两个焦点，Pa b为椭圆C 上一点，且 所，而.若 月 尸 会 的