2022-2023学年九年级上学期数学同步精讲精练（北师大版）1.3正方形的性质与判定.pdf

1.3正方形的性质与判定同步教材划重点知识点0 1 正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.【点石成金】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.知识点0 2 正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边一一四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角一一四个角都是直角；3.对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.【点石成金】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.知识点0 3 正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.知识点0 4 特殊平行四边形之间的关系菱形或者可表示为:知识点04顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.【点石成金】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.(1)若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.(2)若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.(3)若原四边形的对角线垂直旦相等，则新四边形是正方形.【典例分析】【典例1】己知：如图，在正方形AB C D中，点E在边C D上，AQ 1.B E于点Q,D P J L AQ于点P.(1)求 证:AP=B Q；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于P Q的长.【变式1】如图四边形AB C D是正方形，点E、K分别在B C,AB上，点G在B A的延长线上，且C E=B K=AG.以线段D E、D G为边作口D E F G.求 证:D E=D G,且D E上D G.(2)连接K F,猜想四边形C E F K是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想.G.【变式1-2】已知：如图，E为正方形AB C D 的边B C 延长线上的点，F是 C D 边上一点，且四边形AB C D 是边长为2的正方形，点 G是 B C延长线上一点，连接A G,点 E、F分别在AG 上，连接B E、D F,Z 1 =Z 2,Z 3=Z 4.(1)证明：AB E g Z D AF；(2)若N AG B=3 0 ,求 E F 的长.DR C G【变 式 2-1 如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2 B C,分别以AB,B C 为边做正方形AB E F 和正方形B C M N 连接F N,E C.求证：F N=E C.EA R C【变 式 2-2 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，0 八 0 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是【典例3】如图，在 R S A B C 中，N B AC=9 0。，AD=C D,点 E 是边A C 的中点，连 接 D E,D E的延长线与边B C 相交于点F,AG II B C,交 D E 于点G,连接AF、C G.(1)求证：AF=B F；(2)如果AB=AC,求证：四边形AF C G 是正方形.【变式3；】如图所示，在 R t AB C 中，/C =9 0 ,Z B AC.N A B C 的平分线相交于点D,且 D E L B C 于点E,D F L AC 于点F,那么四边形C E D F 是点 0是线段AB 上的一点，O A=O C,0 D 平分N A 0 C 交AC 于点 D,O F 平分/C O B,C F _ L O F 于点 F.(1)求证：四边形C D O F 是矩形；(2)当N A 0 C 多少度时，四边形C D O F 是正方形？并说明的三个顶点E,D C=8,菱形 E F G HG,H分别在矩形AB C D 的边AB,C D,D A 上，AH=2,连结C F.(1)若 D G=2,求证：四边形E F G H 为正方形;(2)若 D G=6,求小F C G 的面积.E B F=4 5 .(1)求证：AE+C F=E F.（2）若 E点、F点分别是边D A、C D 的延长线上的点，结 论（1）仍成立吗？若成立，请证明,若不成立，写出正确结论并加以证明.【变 式 4 如图，在平面直角坐标系x o y 中，边长为a（a 为大于0的常数）的正方形AB C D的对角线AC、B D 相交于点P,顶点A 在 x轴正半轴上运动，顶点B 在 y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点0）,顶点C、D都在第一象限.（1）当N B A0=4 5 时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A 在无轴正半轴上、点 B在 y轴正半轴上怎样运动，点 P都在/A O B 的平分线上；【跟踪训练】1 .正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角 D.对角线相等2 .如图，正方形A B C D 的边长为4 c 根，则图中阴影部分的面积为（）c v 2.A.6B.8C.1 6 D.不能确定3 .顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形4 .如图，在边长为2的正方形A B C D 中，M 为边A D 的中点，延长MD 至点E,使 M E=M C,以D E 为边作正方形D E F G,点 G在边C D 上，则 D G 的 长 为（）A.5/3 -1 B.3 -y/5 C.y/5+1 D.5/5 -1正方形A B C D 中，对角线A C,B D 相交于点0,则图中的等腰三角使顶点D落在B C7.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若 两 个 小 正 方 形 的 面 积 分 别 为 S2,C.1 8D.1 9则Si+S2 的值为（）点 E 是正方形A B C D 的边D C 上一点，把4 A D E 绕点A顺时针旋转9 0 到A A B F 的位置。若四边形A E C F 的面积为2 5,D E=2,则 A E 的 长 为（）A.5 B.7 2 3 C.7 D.A/299.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为AD,B C的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）ABB.DEC.BDD.AF1.3正方形的性质与判定同步教材划重点知识点0 1 正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.【点石成金】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.知识点0 2 正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边一一四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角一一四个角都是直角；3.对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.【点石成金】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.知识点0 3 正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.知识点0 4 特殊平行四边形之间的关系菱形或者可表示为:知识点04顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.【点石成金】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直旦相等，则新四边形是正方形.【典例分析】【典 例1】己知：如 图，在 正 方 形A B C D中，点E在 边C D上，A Q _ L B E于 点Q,D P_ L A Q于点P.(1)求 证:A P=B Q；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短Z B A Q=Z A D P,再根据已知条件得到NA Q B=ND PA,判定 A Q B Z D PA并得出结论；（2）根 据A Q -A P=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析.【解 析】解：.正 方 形A B C D.*.A D=B A,Z B A D=9 0 ,即 NB A Q+ND A P=9 0 VD P1 A Q,.Z A D P+Z D A P=9 0，Z B A Q=Z A D PA Q _ L B E 于点 Q,D P_ L A Q 于点 P.NA Q B=ND PA=9 0.A Q B A D PA (A A S).A P=B Q(2)A Q -A P=PQA Q -B Q=PQD P-A P=PQ应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等.【变式1】如图四边形A B C D 是正方形，点 E、K分别在B C,A B 上，点 G在 B A 的延长线上,且 C E=B K=A G.以线段D E、D G 为边作口D E F G.(1)求 证:D E=D G,且 D E _ L D G.(2)连接K F,猜想四边形C E F K 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想.证明：(1)；四边形A B C D 是正方形,D C=D A,Z D C E=Z D A G=9 0 .又,:C E=A G,A D C E A D A G,Z E D C=Z G I)A,D E=D G.又:Z A D E+Z E D C=9 0 ,Z A D E+Z G D A=9 0 ，D E D G.(2)四边形C E F K 为平行四边形.证明：设 C K,D E 相交于M 点，,/四边形A B C D 和四边形D E F G 都是正方形，A B C D,A B=C D,E F=D G,E F Z/D G；B K=A G,，K G=A B=C D.四边形C K G D 为平行四边形.C K=D G=E F,C K D G E F/.四边形C E F K 为平行四边形.【变式1-2】已知：如图，E为正方形A B C D 的边B C 延长线上的点，F是 C D 边上一点，且C E=C F,连接 D E,B F.求证：D E=B F.A D证明：；四边形A B C D 是正方形，.B C=D C,Z B C D=9 0 为 B C 延长线上的点,.,.Z D C E=9 0 ,.*.Z B C D=Z D C E.在4 B C F 和4 D C E 中，B C =D C Z B C F =Z.DCE,A B C F A D C E (SA S),C F =C E，B F=D E.【典例2】如图，四边形A B C D 是边长为2的正方形，点 G是 B C 延长线上一点，连接A G,点E、F 分别在 A G 上，连接 B E、D F,Z 1 =Z 2,Z 3=Z 4.(1)证明：Z XA B E 丝z D A F；(2)若NA G B=3 0 ，求 E F 的长.DR C.G【点拨】要证明ABEg/XDAF,已知N1=N2,Z 3=Z 4,只要证一条边对应相等即可.要求EF的长，需要求出AF和 AE的长.【解析】(1)证明：,四边形ABCD是正方形，AAD=AB,V Z 1 =Z2,Z 3=Z 4,.DAFAABE.(2)解：,四边形ABCD是正方形,ZAGB=30,，ADBC,A Z 1 =ZAGB=3O,V Z 1 +Z4=ZDAB=9O,V Z 3=Z 4,N1+N3=9O,Z.ZAFD=180-(Z1+Z3)=90,.DFAG,.*.D F=4AO =12.*.AF=73VAABEADAE,.*.AE=DF=1,.EF=A/3-1【总结】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法.而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供条件.【变式2 7 如图，A、B、C 三点在同一条直线上，AB=2BC,分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,E C.求证：FN=EC.EF证明：在正方形ABEF中和正方形BCM N中,AB=BE=EF,BC=BN,Z FEN=Z EBC=90 ,V A B=2 B C,即 B C=B =L A 62：.W=-B E,即 N 为 BE 的中点，2；.EN=NB=BC,.,.FNE AECB,【变式2-2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，0 八Oz 是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是一提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.【典例3】如图，在 R t AABC中，Z BAC=90,AD=CD,点 E 是边A C 的中点，连接DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AGII B C,交 D E 于点G,连接AF、CG.(1)求证：AF=BF；(2)如果AB=AC,求证：四边形AFCG是正方形.【点拨】(1)根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF,再根据等角的余角相等可得Z B=Z BAF,所以 AF=BF.(2)由A AS可证AAEG合 C E F,所以A G=C F.由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形.【解析】证明：(1)A D=C D,点E是边A C的中点，DEAC.即得D E是线段A C的垂直平分线.AF=CF.Z FAC=Z ACB.在 心 ABC 中，由 N BAC=90,得N B+Z ACB=90,Z FAC+Z BAF=90.Z B=Z BAF.AF=BF.(2)-AGII CF,Z AGE=Z CFE.又,点E是边A C的中点，.I AE=CE.在小AEG和乙CEF中，fZ AGE=Z CFE NAEG=NCEF，AE=CEAEG合 CEF(AAS).AG=CF.X v AG II CF.四边形AFCG是平行四边形.1,AF=CF,J.四边形 AFCG 是菱形.在 RtA ABC 中,由 AF=CF,A F=B F,得 BF=CF.即得点F是边BC的中点.又AB=AC,A F X B C.即得N AFC=90。.四边形AFCG是正方形.【总结】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质.【变 式3-1】如图所示，在R tZA B C中，Z C=9 0 ,ZBAC,N A B C的平分线相交于点D,且D ELB C于点E,D FLA C于点F,那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由.4【解析】解：是正方形，理由如下:作 DGAB于点G.AD 平分NBAC,DFAC,DG1 AB,DF=DG.同理可得：DG=DE.DF=DE.DFAC,DEBC,Z C=90 ,四边形CEDF是矩形.DF=DE.四边形CEDF是正方形.【总结】（1）本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形.（2）证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一 个直角或四个角都是直角来证明正方形.【变式3-2】如图，点 0是线段AB上的一点，OA=OC,0 D平分N A O C 交 AC于点D,OF平分Z COB,CF_ L OF 于点 F.（1）求证：四边形CDOF是矩形;（2）当/A O C 多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理【答案】（1）证 明:T O D 平分NAOC,OF平分NCOB（己知），A Z A0 C=2 Z C0 D,Z C0 B=2 Z C0 F,V Z A0 C+Z B0 C=1 80 ,.,.2 Z C0 D+2 Z C0 F=1 80 ,Z C0 D+Z C0 F=90 ,A Z D0 F=90 ；V OA=OC,()D 平分/AOC(已 知)，AODIAC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的 性 质)，A Z CD0=90 ,V CFOF,Z CF0=90 四边形CDOF是矩形；(2)当NA0 C=90 时，四边形CDOF是正方形；理由如下：V Z A0 C=90 ,AD=DC,A 0 1)=DC：又 由(1)知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当NA0 C=90 时，四边形CDOF是正方形.【变式3-3 如图，矩形ABCD中，AD=6,DC=8,菱形EFGH 的三个顶点E,G,H分别在矩形 ABCD 的边 AB,CD,DA,AH=2,连结 CF.(1)若 DG=2,求证：四边形EFGH 为正方形；(2)若 DG=6,求4 FCG的面积【答 案】(1)证明：四边形EFGH 为菱形,H G=EH,AH=2,DG=2,DG=AH,在 R t A DH G 和4 AEH 中,HG=EHDG=AHR t A DH G空 A AEH,Z DH G=Z AEH,Z AEH+Z AHG=90,Z DHG+Z AHG=90,Z GHE=90,四边形EFGH为菱形，四边形EFGH为正方形；(2)解：作FQ_LCD于Q,连结G E,如图，1,四边形ABCD为矩形，ABH CD,Z AEG=Z Q G E,即N AEH+Z HEG=Z QGF+Z FGE,四边形EFGH为菱形,HE=GF,HEII GF,Z HEG=Z FGE,Z AEH=Z QGF,在4 AEH和4 QGF中/A=NQ/3-1 B.3-J5 C.y/s+1 D.y5-1【答案】D；【解析】利用勾股定理求出C M=b，即M E的长，有D M=D E,所以可以求出D E=6 1 ,进而得到D G的长.5.如图，正方形ABCD中，对角线AC,B D相交于点0,则图中的等腰三角 形 有（）A.4个B.6个C.8个D.10 个6.如图，正方形AB C D的边长为9,将正方形折叠，使顶点D落在B C边上的点E处，折痕为G H.若B E：E C=2：1,则线段C H的 长 是（）B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由题意设C H=x c m,则D H=E H=（9-x）c m,V B E：E C=2：1,C E=B C=3c m3.,.在 R t Z X E C H 中，E 1I2=E C2+C i r,即（9-x）M2+x 解得：x=4,即 C H=4c m.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的 面 积 分 别 为S 1,则 百+S 2的值为（）A.16B.17C.18D.19【答案】B；【解析】设正方形S 2的边长为X,根据等腰直角三角形的性质知，AC=J5X,X=6C D,；.AC=2C D,C D=：=2.EC=2&,S?=8,；S 1 的边长为 3,的面积为 3X 3=9,S,+S2=8+9 =17.8.如图，点 E 是正方形AB C D 的边D C 上一点，把 A D E 绕点A 顺时针旋转90到4 A B F 的位置。若四边形AE C F 的面积为25,D E=2,则 A E 的 长 为（）A.5 B.C.7 D.V 29【答案】D.【分析】由旋转性知四边形AE C F 的面积与正方形的面积相等，从而得到正方形的面积等于2 5,边长为5,于是在直角三角形A D E 中由勾股定理可求出A E 的长。【解析】:AD E 绕点A 顺时针旋转90到4AB F.AD E AAB FS正方形ABC。=S四边形AECF,正方形的边长AD=C D=5.,.在 R T Z AD E 中，AE=-JA D1+D E2-yj52+22=7 29.故选D【知识点】正方形的性质及面积公式,旋转的性质即旋转前后图形的形状大小相等面枳相等。9.如图，在正方形AB C D 中，E,F 分别为AD,B C 的中点，P 为对角线B D 上的一个动点，则下列线段的长等于AP+E P最小值的是（）【答案】DA.ABB.D EC.B DD.AF【解析】分析：本题考查正方形的性质，轴对称的性质，取C D中点E 连结A E、P E，根据正方形是轴对称图形，可得EP=E P,AF=AE,结合图形由线段公理可得A E 为AP+EP最小值，进而可得结果.解：取C D中点E 连结A E、PE由正方形的轴对称性质，可知EP=E P,AF=AE；.AP+EP=AP+E P,；.AP+EP最小值是A E,即AP+EP最小值是AF.故选D【知识点】正方形的性质；轴对称：线段公理