2022年中考数学复习之小题狂练（解答题）：三角形.pdf

2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：三角形（10题）一.解 答 题（共10小题）1.（2 02 1 云南模拟）如图，已知点B是 线 段 上 的 一 点，E B L A D 于点B,A F L O E于点F,AF 交 EB 于点 C,且 BC=BD.（1）求证：A A B C 空A E B D；（2）若 BC=3,B E=5,求线段A O的长.2.（2 02 1新昌县模拟）如图，在R t Z AB C中，/AC B=90.点。为边A C上一点，D E_L 4 8于点E,点G为8。上一点.连接C G并延长与A 8相交于点凡 连接E G.己知N1 =Z 2.（1）若 8。平分/A B C,求证：DBCQ4DBE.（2）若 B D=4,求CG的长.（3）若N EGF=8 0,求/A的度数.3.（2 02 1 温州模拟）如图，在 AB C中，AB=AC,AD1,BD,A E 1 E C,垂足分别为点Q,E,且(1)求证：A A B D A A C f；(2)设 BD,C E相交于点O,Z B O C=1 40 ,求N O B C的度数.EOD-4.（2021五华区二模）如图所示，ACLBC,D C 1 E C,垂足均为点C,且 AC=BC,E C=D C.求证：AE=BD.5.（2021 威海）（1）己知ABC,AOE如图摆放，点 8,C,。在同一条直线上，ZBAC=ZDAE=90 ,Z A B C=ZADE=45 .连接 B E,过点 A 作 AF_L8。，垂足为点F,直线A F交 BE于点G.求证：BG=EG.（2）已知ABC,AOE如图摆放，NB4C=/O4E=90,/4 C B=/A Z）E=30.连6.（2021凉山州）如图，在四边形ABCD中，NAZ）C=/B=90,过点。作于E,若 DE=BE.（1）求证：D A=D C；(2)连接4 c交3 E于点凡 若N A E=3 0,4 0=6,求。尸的长.7.(2 02 1 湖北)已知 AB C和 O EC都为等腰三角形，A8=AC,DE=DC,ZBA C ZEDC=n.(1)当”=6 0 时，如图1,当点。在A C上时，请直接写出B E与AZ)的数量关系：；如图2,当点。不在A C上时，判断线段B E与 的 数 量 关 系，并说明理由；(2)当=90 时，如图3,探究线段8 E与A O的数量关系，并说明理由；(2)BE/AC,AB=3尬,A O=1时，请直接写出。C的长.8.(2 02 1营口)如图，Z X AB C和 都 是 等 腰 直 角 三 角 形，AB=AC,N B AC=90,DE=DF,NEDF=90 ,。为3 c边中点，连接4 F,且A、F、E三点恰好在一条直线上，E F 交B C 于点、H,连接B F,CE.(1)求证：AF=CE；(2)猜 想C E,BF,B C之间的数量关系，并证明；(3)若C H=2,A H=4,请直接写出线段AC,A E的长.BHDE9.(2021 淮安)【知识再现】学 完 全等三角形一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等(简 称 定 理)”是判定直角三角形全等的特有方法.【简单应用】如 图(1),在AA B C 中，N8AC=90,A B=A C,点。、E分别在边AC.A B上.若C E=B D,则线段AE和线段4。的数量关系是.【拓展延伸】在ABC 中，Z B A C=a(90 a180),A B=A C=m,点。在边 AC 上.(1)若点E 在边4 8 上，且 C E=B D,如 图(2)所示，则线段AE与线段4 0 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.(2)若点E 在 BA的延长线上，且试探究线段AE与 线 段 的 数 量 关 系(用含有a、m 的式子表示)，并说明理由.10.(2021 郴州)如 图 1,在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90,点 E,尸分别为4B,AC的中点，H 为线段EF上一动点(不与点E,F 重合)，将线段AH绕点A 逆时针方向旋转9 0 得到A G,连接GC,HB.(1)证明：X A H B 空X A G C；(2)如图2,连接GF,HG,H G 交 A F 于点Q.证明：在点”的运动过程中，总有NHFG=90；若A B=A C=4,当 EH的长度为多少时4AOG为等腰三角形？2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：三角形（10题）参考答案与试题解析解 答 题（共 10小题）1.（2 02 1云南模拟）如图，已知点B是线段4。上的一点，于点8,A E L O E于点F,AF 交 EB 于点、C,K BC=BD.（1）求证：A A B C%A E B D；（2）若8 c=3,B E=5,求 线 段 的 长.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】图形的全等；推理能力.【分析】（1）证出=根据4 4 s可证明AB C四EB O；（2）由 全 等 三 角 形 的 性 质 可 得 出 可 求 出A8,8。的长，则可得出答案.【解答】（1）证明：:./ABC=/EBD=90 ,.,.Z D+Z E=90 ,：FA IDE,：.Z AFD=90,./A+/D=90,Z A=Z ,在AB C和 EB O中，Z A=Z E Z AB C=Z EB D）B C=B D:.ABCQ2EBD(A4 S)；解：ABC9XEBD,：.AB=BE,：BE=5,：.AB=5,:BC=BD,BC=3,：.BD=3,：.AD=AB+BD8.【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明 A B C d E B D.2.（2 02 1 新昌县模拟）如图，在 R t A B C 中，N AC B=90 .点。为边A C上一点，D E于点E,点 G 为 20 上一点.连接CG 并延长与4 2相交于点F,连接E G.已知/1 =/2.（I）若 8。平分 N A B C,求证：D B C S D B E.（2）若 B D=4,求 CG 的长.（3）若/EGF=8 0 ,求NA 的度数.【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】（1）利用角平分线的定义及A A S 定理证明三角形全等：（2）根据等腰三角形的判定与性质及直角三角形的性质求解即可;（3）利用圆周角定理求解即可.【解答】（1）证明：DEAB,：.Z D E B=9 0Q,V Z A C B=9 0 ,：.Z D E B=Z A C B,Y B。平分/A B C,，NABD=NCBD,在QBC和QBE中，Z D C B=Z D E B=9 0 Z C B D=Z A B D ，B D=B D：./D BC/D BE(AAS)；(2),:NDEB=90,A ZDBE+Z 1=90,Z2+ZBG=90,V Z 1-Z 2,NDBE=ZBE G,：.EG=BG,；N l=/2,：.DG=EG,：.DG=BG,在 Rt/YDBC 中，ZDCB=90,BD=4,:.C G=D=2；2(3),;DG=EG=BG=CG,.点C,D,E,B 在以G 为圆心，OG为半径的圆上，；NEG尸=80,：.ZA B C=ZE G C=-(180-NEGF)=50,2 2A ZA=90-ZABC=40.【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理是解题的关键.3.(2021 温州模拟)如图，在4BC中，AB=AC,AD1BD,A E E C,垂足分别为点。,E,且(1)求证：ABO丝ACE；(2)设BD,CE相交于点。，/8O C=140,求NOBC的度数.EOD-【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】(1)由 A 4S 可证(2)由全等三角形的性质可得NABO=N A C E,由全等三角形的性质可得NA8C=/A C B,即可求解.【解答】(1)证明：/8A E=/C 4 O,：.Z B A D=Z C A E,在AB。和ACE中，Z B A D=Z C A EA B=A C：./ABD/ACE(.AAS)；(2)V/ABD/ACE,：.N A B D=N A C E,；A8=AC,N A B C=ZACH,：.N O B C=NOCB,：NBOC=140,/.ZOBC=20.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.4.(2021五华区二模)如图所示，ACYBC,D C L E C,垂足均为点C,且 AC=8C,E C=D C.求证：AE=BD.EB【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.【专题】图形的全等；推理能力.【分析】证明ACEgABCZ）即可得出AE=BD.【解答】证明：ACBC,DCLEC,：.Z A C B=ZECD=90 ,N A C B+N B C E=Z E CD+ZBCE,：./A C E=/BCD,在ACE和8C。中，AC=BC ZACE=ZBCD-EC=DC/ACE/BCD（SAS）,：.AE=BD.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的条件是解决问题的关键.5.（2021威海）（1）已知ABC,AOE如图摆放，点 8,C,D 在同一条直线上，ZBAC=ND4E=90,/A 8C=/AO E=45.连接 8 E,过点 A 作 AF_L8O,垂足为点F,直线A/交 BE于点G.求证：BG=EG.（2）已知ABC,AOE 如图摆放，NBAC=NOAE=90,NACB=NAQE=30.连接 BE,C D,过点A 作垂足为点F,直线A F交。于点G.求理的值.CGEE【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；含3 0度角的直角三角形.【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力.【分析】（1）连接E C,根据题意易推出从而证明B A O四 C A E,得到AF/CE,再利用平行线分线段成比例的性质求解即可.（2）作相关辅助线构造直角三角形 O G M和 C G N,先由角之间的互余关系推出/I=/2,Z 3 =Z 4,再根据等角的正弦值相等得出边之间的关系D M=C N,从而证明D G M m A C G N,利用全等三角形的性质求解即可.【解答】（1）证明：如图，图连接EC,Z B A C=Z D A E=9 0Q,Z A B C=ZADE=45 ,二A B C和M A D E为等腰直角三角形，：.AB=AC,AD=AE,Z B A C+Z C A D Z D A E+Z C A D,即在5 4。与a C A E中，A B=A C Z B A D=Z C A E)A D=A E.,B A D A C A E (S A S),，N4BD=NACE=45,A ZACB+ZACE=90,则 CE_LB。,：AFLBD,：.AF/CE,BF=FC,.B G =B F =1,而 F C ；.BG=EG.(2)解：如图，过点。作。M L 4G,垂足为点M,过点C 作CN_LAG,交AG的延长线于点M在ABC 和AE。中，/BAC=NDAE=90,ZACB ZADE=30,设 AE=a,A B=b,则 4。=小，A C=,：Zl+ZEAF=90,N2+NE4F=90,/.Z1=Z2,AsinZl=sinZ2,.吼a即叫孙运=y,A D A E A F A E a同理可证N 3=N 4,型=返？=,A F b D M=C N*A F A F)：.DM=CN,在OGM和ACGN中，有：rZ D G M=Z C G ND M=C N:.4DGM冬/XCGN(A4S),：.DG=CG,.DG_.1 CG【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及含30度角的直角三角形，可以从目标线段出发去作辅助线，通过辅助线构造直角三角形或全等三角形，利用其性质进行求解.6.(2021凉山州)如图，在四边形A8CZ)中，/AZ)C=/B=90,过点。作。凡LAB于E,若 DE=BE.(1)求证：DA=DC；(2)连接AC交。E于点F,若/AOE=30,A D=6,求。F的长.【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理.【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩 形 菱 形 正 方 形；运算能力；推理能力；应用意识.【分析】(1)作。G_LBC,交8 c的延长线于点G,然后即可得得到四边形。EBG的形状，再根据题目中的条件，可以证明AOE和ACCG全等，然后即可得到结论成立；(2)根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可 以 得 到 的 长，然后根据OE的长，即可得到。尸的长.【解答】(1)证明：作。G_L8C,交8 c的延长线于点G,如右图所示，：DElA/i,NB=90,DGA.BC,:./DEB=NB=NBGD=90,四边形DEBG是矩形，又 YDE=BE,四边形DEBG是正方形，：.DG=BE,NEDG=90,：.DG=DE,NEDC+NCDG=9Q,V ZADC=90,:.NEDC+NADE=90,/A D E=/C D G,在和CDG 中，Z A D E=Z C D G+/CB=60,NDCE=NBCE+NDCB=60,:.NACD=NBCE,在ACO和BCE中，fAC=B CD C=E CA AACDABCE(SAS),：.AD=BE；(2)理由如下：当”=9 0 时，在等腰直角三角形。E C 中：B 2=sin45。E C 2在等腰直角三角形A B C中：3 =s in4 5。=返，B C 2V ZA C B ZACE+ZECB=45,/Z)C E=/AC E+/O C 4=45,NECB=ZDCA在OCA和ECB中，D C =AC 二料 BE2=y2又,：BEH AC,.NEBF=NCAF=90,而:.EFBsCFA,EF _BF _BE _ V2 1CF AF AC/2 3.A F=3B F,而 AB=BF+AF=3&,二嗯*哂=乎在 R B F 也 J （a）2+（平）2=乎,又,：CF=3EF=3 X包 巨=至 叵4 4：.EC=EF+CF=5V +15V 2=5（或 EC=4EF=5 亚），在等腰直角三角形。EC 中，C=ECcos45=5&X 返=5.2当点。在ABC内部时，过点。作 O/7LAC于，E：A C=3 ,AD=,ND4 c=45。，AH=Q，=返，CH=AC-A=5 M,2 2A8=出 口 2 何2=（券）2+（产后,综上所述，满足条件的CD 的值为5 或 万.【点评】本题属于三角形综合大题，考查三角形基本性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关键.8.（2021营口）如图，4A B C 和 都 是 等 腰 直 角 三 角 形，AB=AC,NBAC=90,DE=DF,NEDF=9Q,。为B C 边中点，连接A凡 且A、尸、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H,连接B F,CE.(1)求证：AFCE-,(2)猜想C E,BF,B C 之间的数量关系，并证明；(3)若C”=2,A H=4,请直接写出线段AC,A E 的长.【考点】三角形综合题.【专题】几何综合题；推理能力.【分析】(1)连接A。，证明AO F 丝(；(S AS),可得AF=C E.(2)结论：利用全等三角形的性质证明BF=AE,再证明N AE C=9 0 ,2可得结论.(3)设 EH=m.证明可得包_=1 H=&1=_ 1=2,推出 DH=2m,CE EH CH 2推出 A O=C O=2 机+2,EC=m+,在 R t Z C E”中，CH2=EH2+CE2,构建方程求出m 即可解决问题.【解答】(1)证明：连接A D：AB=AC,N B 4 C=9 0 ,BD=CD,：.ADCB,AD=DB=DC.：ZADC=ZEDF=90,：.ZADF=ZCDE,:DF=DE,：./ADFCDE(S AS),：.AF=CE.(2)结论：CE2+BF2=ABC2.2理由：ABC,OE尸都是等腰直角三角形，：.AC=BC,NDFE=NDEF=45,2:XADF/XCDE(SAS),./AFD=/QEC=135,ZDAFZDCE,VZBAD=ZACD=45,ZBAD+ZDAF=ZACD+ZDCE,：.NBAF=ZACE,：AB=CA,AF=CE,：./BAFACE(SAS),：.BF=AE,V ZAEC=ZDEC-ZDF=135-45=90,：.AE1+CE1=AC2,:.BF2+CE2-=BC2.2(3)解：设 E4=m.:NADH=NCEH=90,ZAHD=ZCHE,：.ADHsCEH,.AD =D H=_ W=2),C E E H C H?，：.DH=2m,，AO=CD=2 机+2 f,.EC=m+,在 RtZCE中，C3=E+C声,/.22=/n2+(2+1)2,；2m2+2/n-3=0,.机=士 互 或 士 近(舍 弃)，2 2，AE=AH+EH=工 包 工,2:.AD=I+F，.,.AC=VS4O-V2+Vl4.【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明ADF畛(7)，BAFAACE,ADH/CEH.9.(2021 淮安)【知识再现】学 完 全等三角形一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等(简 称 定 理)”是判定直角三角形全等的特有方法.【简单应用】如 图(1),在aA B C 中，ZBAC=90,A B=A C,点D、E分别在边AC、A B上.若C E=B D,则线段A E和线段A D的数量关系是.在ABC 中，N B A C=a(90 aa2,所 以c a,同理c b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.6.等腰直角三角形(1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.(2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是4 5。，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径凡而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为4 5 ,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等)；(3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则 外 接 圆 的 半 径/?=扬 1,所 以 r：R=l：&+L7.三角形综合题三角形综合题.