2022届福建省莆田市高三第二次诊断性检测数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知抛物线C:V=6 x的 焦 点 为/，准线为/,A是/上一点，B是直线A F与抛物线C的一个交点，若 西=3而，则|8可=（）7 5A.-B.3 C.-D.22 22 .已知（1 +x）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）.A.21 2 B.2 C.21 0 D.293 .设。P 0.则不等式1/(为一(1 +2为3/(1 +2%)0的解集为().A.x -3%1 C.x|x -1 B.x|-l x 一大 D.x|x -9.已知函数y =2 s i n 1 2 x+苧0 1 0)/(x+6),(x 1 0)B.11下列命题为真命题的个数是(C.，则/(5)=()C.12)(其 中)，e为无理数)D.T C613O O O 五,二；出 乃 L b c ,则 l o g,a l o g,a；命题口 3 x()(0,+o o),使得 2%-2.则不等式X-1)=3 E D =3 j L(1)求证：P B/平面A C E；(2)当R 1的长为何值时，A C与平面P C D所成的角为3 0。？2 2.(1 0分)在平面直角坐标系X。中，已知直线/的参数方程为1X 一 手,a为参数)，在以坐标原点。为极点，*轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是夕=4&s i n?(1)求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线/与曲线C相交于两点A,B,求线段A3的长.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据抛物线的定义求得|AF|=6,由此求得忸目的长.【详解】过3作8C，/,垂足为C,设/与x轴的交点为。.根据抛物线的定义可知忸q=|3C|.由 于 苏=3而，所以A B =2 B C,所以NC48=2,所以|Aq=2|FD|=6,所以忸百=m 4可=2.本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.2.D【解析】因为（1 +尤）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C：=C：,解得n=10,所以二项式（1 +为1中奇数项的二项式系数和为2x2i=2，2考点：二项式系数，二项式系数和.3.C工)内的单调性即可.【解 析】E C)=(T)x g(l-p)+/=|p _ g,0=&铲)-2和 判 断 其 在g,【详 解】1 1?1(2 3、解：根 据 题 意 修)二(一1)：(1 _)+0./.3s i n B=V 3c o s B 得 t a n 8=,.0 B 7 r,B =.3 6由余弦定理得 1=J，+S=-(2+6)2 4=3 2,因此总的体积V=16+32=48.2考点：三视图和几何体的体积.6.C【解析】化简复数为。+初 5、8穴)的形式，可以确定Z对应的点位于的象限.【详解】解：复数2=芋=3?=-)=_ 一万故复数二 对应的坐标为(-1,-2)位于第三象限故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题.7.A【解析】利用复数的除法运算化简2,求得Z对应的坐标，由此判断对应点所在象限.【详解】：2=口=商区俞=1+；.对应的点的坐标为)，位于第一象限故选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.8.D【解析】先通过+/(%)0得到原函数g(x)=乜 区 为 增 函 数 且 为 偶 函 数，再利用到)轴距离求解不等式即可.3 3【详解】构造函数g(x)=D,由题可知|/(X)+/(%)0,所以g(X)=警在X 0时为增函数；由V为奇函数，/(%)为奇函数，所以g(x)=Z区 为 偶 函 数；又 x3/U)-0 +2 x)3/(I +2处 o ,即 x3f(x)(1+2 x)3/(I +2幻即 g(x)g(l +2 x)又g(尤)为开口向上的偶函数所以|幻|1+2幻，解得 一1或X；故选：D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.9.A【解析】画出函数y =2 s i n(2 x+今的图像，函数对称轴方程为=一?+耳，由图可得网与/关于=三对称，即得解.【详解】函数y =2 s i n(2 x +?(0 x的图像如图，y37r 7t对称轴方程为2 x+=+kMk G Z),4 2n k兀 八x=-1-(k G Z)8 2又 =/4 83万由图可得与超关于=对称,O37cT故选：A【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.10.B【解析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求X N 10内的函数值，代入即可求出其值.【详解】无 一 2(x 2 10)/(x+6)(x 0,利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到了()/(e),即可判定是错误的；对于中，构造新函数f(x)e l n x-x,x 0,利用导数求得函数的最大值为/(e)=0,进而得到/(3)2.2 5,根据不等式的性质，可得&成立，所以是正2 4 2确的；9 I对于中，设函数/(x)=ln x-,x 0,则/(x)=0,所以函数为单调递增函数，因为万 e,则/(乃)/(e)2?1 2又由e)=lne =所以/(乃)0,即In万一，所以不正确；对于中，设函数/(x)=elnx-x,x0,贝！|/(%)=1 =,当xe(0,e)时，/(x)0,函数x)单调递增，当xe(e,+8)时，r(x)0,函数/(x)单调递减，所以当x=e时，函数取得最大值，最大值为/(e)=elne e=0,所以/(3)=e ln 3-3 0,即e ln 3 3,即ln3l,b c ,所以0108/-即命题plog b log c log c log加为真命题；画出函数y=2 和y=log3X图象，知命题g为假命题，所以p A(丑)为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解 题 的 关 键 是 判 断 出 命 题 的 真 假，难度较易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.(0,1)【解析】构造函数g(x)=x-l)-d(3-2 1 n x)-3(l-2 x),利用导数判断出函数y=g(x)的单调性，再将所求不等式变形为g(x)g。)，利用函数y=g(x)的单调性即可得解.【详解】设 g(x)=(3-2 1 n x)_ 3 0 _ 2 x),则 g(x)=/(x-l)+4 x l n x-4 x+6,设(x)=4 x l n x-4 x+6,则(x)=4 1 n x.当0 x l时，/(力 l时，/?(x)0,此时函数)，=(x)单调递增.所以，函数y=/?(x)在x =l处取得极小值，也是最小值，即 ()加=2,/?(x)2,/./,(x-l)+/?(x)0,即g 0,所以，函数y=g(x)在(0,+纥)上为增函数，函数y=/(x)为R上的奇函数，则/(0)=0,/g =/(0)-3 +3 =0,则不等式-1)炉(3-2 1 1 1力+3(1 -2 x)等价于g(x)g,又0,解得O v x v l.因此，不等式/(x-l)-i-7-，I i-q i-qS$S3=%+%+%=2,+24+2,=56.故答案为：56.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15.-8【解析】先根据定积分求出的值，再用二项展开式公式即可求解.所以“=4(x+1)4的通项公式为Tr+l=C；x L .r=Cxr当 r=2时，n =C%2=6%2当 r=3 时，7；=C%3=4X3故-2(x+1)展开式中x2的系数为4+(-2)x6=-8故答案为：-8【点睛】此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.【详解】16.30【解析】先将问题转化为二项式(l+x)6的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第+1项，令X的指数分别等于2,4,求出特定项的系数.【详解】由题可得：(I+4(1 +x)6展开式中X2的系数等于二项式(1+x)6展开式中X的指数为2和4时的系数之和，1 X J由于二项式(1+尤)6的通项公式为,令r=2,得(l+x)6展开式的1 的系数为C：=15,令厂=4,得(l+x)6展开式的小 的系数为C；=15,所 以1 +=(1 +才 展 开 式 中/的系数15+15=30,1 X)故答案为30.【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题,三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.见解析【解析】试题分析：把不等式的左边写成。+。)+(1+冲+(1+c)+(1+)(等式即证.(2,2试题解析：证明：(l+a)+(l+Z?)+(l+c)+(l+d)+8+71+a?二+V+b 1 b+J +c c+J +./)、Jl+a+b Jl+c+d J-(二 COSB=d +C?二*=交.2ac 2ac 23万0*0 JB 7 T ,*B=-4.C o s 1-A =衣 cosA+交 sinA=旦 乂 巫+显 乂 叵=还.(4 J 2 2 2 10 2 10 52+p2,.p o，c),.CDnAB=O,.PD_L平面ABC,又P u平面Q4B,平 面 弘8 _L平面A8C；(2)由于。是底面直角三角形ABC的斜边AB的中点，所以点。是AABC的外心，由(1)知P)J_平面A B C,所以三棱锥。一 ABC的外接球的球心。在PZ)上.在 用APDC中，PC的垂直平分线与尸。的交点即为球心。，记PC的中点为点E,则QELPC.P E PD由R M E O与HAPOC相似可得=，P O P C P E P C 0 x 2 0 2屈P D a 3所以三棱锥P A6C外接球的体积为V=&万x j侦=竺 也 行.3 3 27本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21.(1)证明见解析；(2)当 帖=几 时，AC与平面尸。所成的角为30。.【解析】(1)连接BD交AC于。，由 相 似 三 角形可得丝=：,结 合 匹 得 出O E/P B,故而P B/平面ACE；0B 2 EP 2(2)过A作可证AF_L平面PC。，根据NAC下=30计算A/,得出NAD尸的大小，再计算B4的长.【详解】(1)证明：连 接8。交AC于点O,连 接OE,Q CD/AB,DO CD 1 DEOBB2EP:.OEHPB又 O E u平面ACE,平面ACE,.1PB/平面 ACE.(2)-.-CD1AD,CDLPA,A D P A A CD人平面PAD作A F L P D,尸为垂足，连 接CF CD _L平面 四。，A F u平面：.C D A F,有 AF1.PD,CDpPD=D,：.CF 上 平 面 PCDZACF就是AC与平面PCD所成的角，ZACF=30,AC=y/AD2+CD2=422 AF=舞sinZADF=,cosZADF=V1-sin2 ZADF=-AD 6 6PA2=AD2+DP2-2 AD-DP cos ZADP=6,7.PA=指PA=指 时，AC与平面PCD所成的角为30。.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题.22.(1)Z：&一 y+2=0,Ct(x-2)2+(y-2)2=8；(2)245【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(2)由(1)可得曲线C是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得A3的长.【详解】(1)由题意可得直线/：y/3x-y+2=0,由2=4&si n(q +“，得夕？=4 pcos6 +4 0 sine,即x2+y2=4 x +4 y,所以曲线 C：(x-2)2+(y-2)2=8.(2)由(1)知，圆C(2,2),半径r=2&.二圆心到直线/的距离为：d=M-2 +耳=6.2：A B =2 2一/=2 /8 3 =2 7 5【点睛】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题.