2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)23 数列的基本知识与概念.pdf

专题2 3数列的基本知识与概念【考点预测】1.数列的概念(1)数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数叫做这个数列的项.(2)数 列 与 函 数 的 关 系:从 函 数 观 点 看,数 列 可 以 看 成 以 正 整 数 集N*(或 它 的 有 限 子 集 1,2,)为定义域的函数为=/()当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数 列 有 三 种 表 示 法,它 们 分 别 是 列 表 法、图象法和通项公式法.2.数列的分类(1)按照项数有限和无限分：(2)按单调性来分:递增数列：arl+l a,递减数列：an+lan常数列：“向=q=。(常数)摆动数列3.数列的两种常用的表示方法(1)通 项 公 式:如 果 数 列 4的 第 项 与 序 号W之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列 4“的 第1项(或 前 几 项),且 从 第 二 项(或 某 一 项)开 始 的 任 一 项 与它的前一项(或 前 几 项)间 的 关 系 可 以 用 一 个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.【方法技巧与总结】(1)若 数 列 凡 的 前 项 和 为s”,通项公式为,则 =(.s-S,n2,n 注 意：根 据S,求 时,不 要 忽 视 对 =1的验证.(2)在数列伍“中,若 见 最 大，则T ,若。”最 小,则 卜 .a,a,l lan l【题 型归纳目录】题 型 一:数 列 的 周 期 性题 型 二:数 列 的 单 调 性题型三:数 列 的 最 大(小)项题 型 四:数 列 中 的 规 律 问 题题 型 五:数 列 的 最 值 问 题【典例例题】题 型 :数 列 的 周 期 性例1.已知无穷数列%满 足%+2=1%-%I(X e N*),且4=1,生=X(X C Z),若 数 列 4的 前2 0 2 0项中有1 0 0项 是(),则 下 列 哪 个 不 能 是X的 取 值()A.1147B.1148C.-1142D.-1143【答案】B【分析】当x 0 时,分别令x=l,2,3,L,可求出数列 的前2020项中的个数,进而得出规律,可求出满足题意的X的取值;当x 0 时，分别令x=T,-2,-3,L ,可求出数列 4 的前2020项中的个数,进而得出规律,可求出满足题意的X的取值.【详解】当x 0 时,若X=,则数列 的各项为1,0,1,1,0,1,1,0,1,L,此时数列 4 为周期数列,周期为3,由2020=3 x 673+1,可知数列 4 的前2020项中有673项为0；若 =I,则数列%的各项为 1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,此时数列 叫 为周期数列，周期为3,由2020=3 x 673+1,可知数列 an的前2020项中有673项为0：若x=2,则数列 可 的各项为 1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,此时数列%从第3 项开始为周期数列,周期为3,山2020=2+2018=2+3x672+2,可知数列 q 的前2020项中有672项为;若 x=3,则数列 4 的各项为 1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,此时数列 从第4 项开始为周期数列,周期为3,由2020=3+2017=3+3x672+1 ,可知数列 4 的前2020项中有672项为;若x=4,则数列“的各项为 1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,此时数列 q 从第6 项开始为周期数列,周期为3,由2020=5+2015=5+3x 671+2,可知数列 q 的前2020项中有6项为;L 依次类推，可知当x=2(673-100)=1 1 4 6,或 X=II47时，数列 4 的前2020项中有100项是0；当 0 时，若X=-1,则数列 叫 的各项为 1,-1,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,此时数列,从第7 项开始为周期数列,周期为3,由2020=6+2014=6+3x671+1,可知数列 的前2020项中有671项为;若x=-2,则数列 4,J 的各项为 1,一 2,3,5,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,此时数列 从第9 项开始为周期数列,周期为3,由2020=8+2012=8+3670+2,可知数列 q 的前2020项中有670项为0：若x=-3,则数列%的各项为 1,-3,4,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,此时数列%从 第 10项开始为周期数列,周期为3,山2020=9+2011=9+3X670+1,可知数列 凡 的前2020项中有670项为;若 =T,则数列 为 的各项为 1,T,5,9,4,5,1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,此时数列%从 第 12项开始为周期数列,周期为3,2020=11+2009=11+3669+2,可知数列 的前2020项中有669项为0;L 依次类推,可知当X=-2(671-IOo)=T l 4 2,或X=T l 43时,数列 的前2020项中有100项是0.综上所述,若数列 q 的前2020项中有100项是,则 X 可取的值有!146,1147,-1142,-1143.故 选:B.【点睛】本题考查无穷数列,解题的关键是通过条件q+2=|/+L 4|(xeN*)探究数列 4 的性质,利用赋值法分别令x=l,2,3,L 和X=-1,-2,-3,L,可分别求出数列 q 的前2020项中。的个数，进而得出规律.考查学生的推理能力与计算求解能力,属于难题.9例 2.若 田 表示不超过X的最大整数(如2.5=2,4=4,-2.5=-3),已知=叫，bl=a,thn=a,w an (M Nn 2)则 9=()A.2 B.5 C.7 D.8【答案】B【分析】求出 ,b2,b3,b5,b6判断出 2 是一个以周期为6 的周期数列，求出即可.【详解】解:凡=叫.bl=al,4=4 T 0%5 N,n 2),=y=2=l,的=尸28，4=28-IOx 2=8,同理可得:=2 8 5,4=5；4=2857,4=7；%=28571,4=1.4=285714,=4；%=2857142,由=2.6=.故也,是一个以周期为6 的周期数列,则%I9=%3363=4=5故 选:B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.例3.数列 满足4=2,”向=L,其前”项积为7”,则 几 等 于()IA.B.C.6 D.6【答案】D【分析】依次代入n=1,2,3,4可得 是以4为周期的周期数列，由 川 =1可推导得到结果.【详解】+a.1 +1 1 +Q 1当=1 时,a2=-=-3;当=2时,=-=;当=3时,a4-=彳;当=4时,l-a2 2 1 一。3 3%=1=2；，.数列 凡 是以4为周期的周期数列,4-%=2 X(-3)X X g=1 (e N)/.7J0=T&-aa0-ala2=2(-3)=-6 .故 选:D.例4.若数列 满足=2%=2,且“=”,5-a,，则 凡 的 前100项和为()A.67 B.68 C.134 D.167【答案】B【分析】由题意得4=2,%=1,根据q,+2=向可|,列举数列的项,得到数列从第2项起,3项个循环求解.【详解】因为4=2%=2,所以“=2,2=1,因为県=Ia向 4,1，所以数列的项依次为2,1,1,0,1,1,所以从笫2项 起,3项一个循环,所以%的 前100项的和为2+33(l+l+0)=68,故 选:B.例5.数列 勺 满足。用2an,O an 2 若4=,则以等于()2a,-,-an 1）,若4 （2,3）且记数列 叫 的前项和为S,若S,=2 0 1 9,则S9的 值 为（）【答案】C【分析】根据递推公式可逐个代入计算,得出数列 凡 的周期为4,再根据鼠=2019与前两项的范围可求得=二,再分组求和求解S2o 9即可.【详解】设 4=(2 V V 3),由 an 2+_ (2),_C :、(e M,1),得,=-2 e(/)，=3-,=5-a (2,3),3-4I(%,2)a4=ez3-2=3-(O,l),5=3-4=(2,3).故数列 ,的周期为4,即可得an+4=an,al+a2+a3+a4=.Sm=4 +/+f=3366+3=2019,又。=a(2 a 1时,=1一 一-,则 小 =（）A.B.-C.5 D.4 5 5【答案】B【解析】由题意得:=1丄=5,4=1 丄=%=I 丄=-;，则数列 的周期为3,则4県=県3=丹=故 选:B.例8.（2022河北沧县中学高三阶段练习）已知数列 中,4 1=,+l（n2）,a,=2,则人等于（)A.B.-C.-1 D.22 2【答案】D【解析】解:；4 =2,n.=n,-1+l(n 2),.=1一-(2),an-=1-=p ai=-2=-,a4=l-(-l)=2,l-=.数列 是以3为周期的周期数列,10=3x3+1,=，故选：D.题 型 二:数列的单调性例9.（2022 四川达州二模（理）已知单调递增数列 满足m-9,n 0=（2利 八 ,，则实数，的取值范围是（）+1 21,1m 1【解析】为单调递增数列,2m W+10,即 ,解 得:m m-+9-2I I 9丿故 选:B.例 10.(2022河南温县第一高级中学高三阶段练习(文)己知函数 X)=若数列 叫满足,=乂eN)且 是递增数列,则实数”的取值范围是()件 3 川 C.(2,3)D.2,3)【答 案】C【解 析】因为数列 q 是单调递增数列,则函数，(x)=优 6在(7,y)上为增函数,可得1,函数X)=(3-)x-3 在1,7)上为增函数,可得3-0,可得 3,且有7%,即7(3 3=18 7。0,解得a 2.综 上 所 述,2a3.故 选:C.例 11.(2022浙江高三专题练习)已知数列%的首项为q=l,=。，且。e+。=2九+1(2 1 AT),若数列 勺 单调递增,则 的取值范围为()A.a2 B.2a335 1 3C.a D.a 2 2 2 2【答 案】C【解 析】当 2,N 时,。,川+。“=2+),因此有+2+%=2+3(2),(2)-得:,2。=2,说明该数列从第2 项起,偶数项和奇数项都成等差数列,目.它们的公差都是2,由。+1+“=2 +1可 得:。3 =5-,q =。+2,因为数列%单调递增,所以有 /4 ,即 IV aV 5 QVa+2,解 得:-a 0,所以 n ,3 3因为 N*,所以3-1,故 选:C.I c i J z?+2,71 8/例13.(2022全国高三专题练习(理)已知数列%满足(3丿 (e N*),若对于任意e N,8都有”,角,则 实 数。的 取 值 范 围 是()厶。(0W)B-H)，加 D品)【答案】C。1【解析】由条件可得，g-a。”+1，Q 1所以,;0,解得g 0,从而有6-2-1恒成立,由WN一 可求得的取值范围.【详解】由数列 J 是单调递增数列,所以an+i-all0.即(+1)?+(+1)一 =2+l+Z?0,BPZ?2n 1 (H N+)恒成立,又数列-(2+1)是单调递减数列，所以当 =1时,-(2+1)取得最大值3,所以-3.故 选:C.【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3 种方法题型三:数列的最大(小)项作差比较法根据+1%的符号判断数列%是递增数列、递减数列或是常数列作商比较法根 据 (4/0 或。-n a,=nn+1所以 nan=叫?一(4 T+(q_ 一(2)q.2-,-2a2 q+alE,、(1+-1)(H-1)n(n-则=(-1)+(-2)+l+l=-+1 =-+1当且仅当=&时等号成立,因为N+,故取或2最 小,又 q=%=l,所以的最小值为1故 选:B【点睛】思路点睛:本题通过累加法求数列通项公式,根据均值不等式及 N+,求得最值.例 1 6.已知数列 q 满足4=10，42,则%的最小值为（）A.2i-1 B.C.D.2 3 4【答案】C【分析】先根据累加法得=“+1 0,进而得生=+W-I,再结合函 数/（X）=X+W-I的单调性即可得当 =3n n X时，-2 的最小值为.【详解】解:由外”一 =2 得4 =2,所以4,_q,T=2（1）,n_1-an_2=2（H-2）,n_2-_3=2（-3）,，a3-a2=22,a2-at=21 累加上述式子得:q 4=2 （1）+（2）+（3）+2+1=（1）,所以。“=-+10,（n 2）,检验已知=1时,cn=-+10满足.故。=+10,-=n+-1,由于函数X）=+l 在区间（。,婀上单调递减,在（屈 词 上 单调递增,又因为 XeN*,当 =3 时，=3+孚-1 =学,j =4 时,-=4+-1 =-y-,所 以&的最小值 为 n 3故 选:C.例 1 7.已知数列%的前项和S”,且 S-”“=（l）2,S,则数列也 的最小项为（）A.第 3 项 8.第 4 项 C.第 5 项 .第 6 项【答案】A【分析】由S“与%的关系q =Stt 1）化简即可求出Sn及,可得以,分析单调性即可求解.【详解】.,=S,-S*”l),Sn-an=S,则 S,=(-1)?,即 S“=5 e N),an=n2 (/7 I)2=2 n-l.易知或 0,2-1 2“+1K =3 奇.冬 =J =(乌)4 当 叵 1 时,n2+l,h,(+庁+1 +1.当 1 3 时,bnbn+l,当 3 时,bnbn+l,一,，1 ,32又=K&=,2 81.当”=3 时,有最小值.故选:A 例 1 8.已知数 列 的前n项和5,=22-12n,数列 I凡1 的 前 项 和&则 的最小值_n【答案】5【分析】山5”和 S,I的关系求出数列“的通项公式,再根据正负表示出数列 眸“的通项公式为,.fl4-4 ,l 3 T T=，求出(,并表不出 ,再分别求出l 3 和 2 4 时的最小值,即可判断的最4-l4,“4 n n小值.【详解】由题意,数列意“的前n项和Sn=2 12 (e N*),所以4=，=2-12=-10,当 2 时，=5-5,.1=2n2-12H-2(1-l)2-12(H-l)=4-14,当=1 时,4x1-14=TO=q,所以 =4 14,当1 3 时,凡 。,.fl4-4 ,l 3所 以 =/,1 1 4n-14,A24数列 4,l 的前项和7“，r e l -2+1 2 n,l n 3l,2n2-12/7+36,n 4 当1 4 3时,”=-2”+1 2,当=3时,的 最小值为6；n n当4时-，”=2+更12,由对勾函数的性质，当=4时，”有最小值5；综上所述,的最小值为5故答案为:5【点睛】本题主要考查由S“求数列通项公式的求法、等差数列前 项和公式、对勾函数的应用,是一道综合性很强的题目,考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题.例1 9.数列 9，=1，2,中 的 最 小 项 的 值 为.【答案】七【分析】构造函数f(X)=(,利用函数单调性分析最大值,得出数列 栃 的最大项，即可得解.【详解】考虑函 数/(X)=今,(=等,当OxO当x e时-，r(x)=0,所以，(x)=手在(),e)单调递增,在(e,物)单调递减，即司=I n/=I n正在(。,e)单调递增,在(e,+)单调递减,所以y=eM好=正在(0,e)单调递增,在(e,+)单调递减，89,1 9;次 或可 。时 L 1,则可+j,则数列 J 是递增数列,所 以 数 列 0 的 最 小 项 为 6=/(l);若 有%+L a“=/(+1)一A)时 L1,则a,l+t 0时,y =t+i+6由双勾函数的知识可得 在（）,2）上单调递增,在（2,物）上单调递减t所以当，二2即=3时,y 取得最大值,所以此数列的最大项是%,最小项为4=0故 选:B.例 26.（2022 河南高三阶段 练 习（理）在数列%中，al=l,-.l=（N+,2）,则 号的最小值是（）A.-B-C.1 D.2 4 2【答案】C【解析】由题意可得 =（J）+（%啞）+（%-2 +4 =誓!+1 =萼，当=1 时,4=1 满 足 上 式,则=汗=:（+1）+-1 -+1 2（+l）2 _ +1 _因为,所 以 +12,所以（+1）+-3,则（+1）+-12,故J 5X2=1,当且仅当=1时,等号成立.故 选:C例 27.（2022辽宁 高 三 阶段练习）若数列 q 满 足 =2一,7；=4/%,则1 的最小值为（）A.2一 9B.21C.2D.T-【答案】B【解析】因为,=2 j 0,所以!g2 Tn=1g2 aI +Iog2%+lg2 a,=Iog2 an=n2-4n.若（有最小值,则Iogz（有最小值,令4 0,则0 “4,所以当=3 或 =4 时,刀,的最小值为2-故 选:B例 28.（2022全国 高 三 专题练习）若数列 满足4=1 3,+=,则&的 最 小 值 为（）a2314 T TC.26-D.132【答案】A【解析】由 题 意 可 知,=4 +（生 ）J-（cin_x）=13+1 +2H F（1）=1 3 -n（n 1）,la,1 13 1则一心=_ +-,n 2 n 2又y=g +?-g 在（。,后）上递减，在（后,）上递增,且5 26 ,2 n 2 2 6 2 3 5故 选:A.例 29.（2022 全国高三专题练习）设为=-2+13 1 6,则数列%中最大项的值为（）4.丁 8.5【答案】B【解析】解:=-2(马2-16=一2(马+?,.仁仁,.当 =3时,应取到最大值5.故 选:B.例30.(2022.浙江高三专题练习)已知数列 4 的通项公式为=11 +0,牝是数列 叫的最小项,n则实数。的 取 值 范 围 是()A.Y0,-25 B.T0,0C.-25,25 D.-25,0【答案】D【解析】解:由题意可得-1E +325-55+=,n5整理得(5)(-6)空 二,当 4时,不等式化简为5(-6)恒成立,所以42-25,当 6时,不等式化简为51(”-6)恒成立，所以0,综 上,-250,所以实数。的取值范围是-25,0,故 选:D【过关测试】、单选题1.(2022陕西交大附中模拟预测(理)函数/(X)定义如下表,数歹(！%(N)满 足 =2,且对任意的自然数 均有X+l=/(七)则2022=()A.1 B.2 C.4 D.5X12345/(x)51342【答案】B【解析】由已知可得=/(2)=1,x2=/(l)=5,x,=/(5)=2,X4=(2)=1,L,以此类推可知,对任意的N*,茗,+3=x.，V2022=3673+3,所以，当0 2 2 =W=2.故选:B.2.(2022内蒙古赤峰模拟预测(理)大衍数列来源于 乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,其中一列数如下:0,2,4,8,12,18,24,32,4 0,50.按此规律得到的数列记为 q ,其前”项和为S”,给岀以下结论:,=22;182是数列 4中 的 项;=210；当为偶数 时,S+2-2S+,+S=H+2（HN）,其中正确的序号是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】数列 4的偶数项分别为2,8,18,32,50,L,通过观察可知”=2，同理可得出 _|=22,为奇数所以2 ，l为偶数2因为%=&/=2 2 0,所以正确，错误;由-=182 解得=/3 6 5,由=I 8 2,解得=又因为Z wN*,所以方程都无正整数解,所以182不是 4中的项,故错误.当 n 为偶数时,S,+2-25rt+1+5,=（“一“）-（Se一 S,）“4 =回 一 戈 二!=+2,故正2 2确.故 选:C.3.（2022河南模拟预测（理）观察数组（2,2）,（3,4）,（4,8）,（5,16）,（6,32）,根据规律,可得第8个数组为（）A.（9,128）B.（10,128）C.（9,256）D.（10,256）【答案】C【解析】由题可知数组的第一个数成等差数列，且首项为2,公差为1；数组的第二个数成等比数列,且首项为2,公比为2.因此第8个数组为（2+7,2,即（9,256）.故 选:C.4.（2022吉林长春模拟预测（理）已知数列 叫 满足（q+（+1）+2=0,=-则数列%的前2022项 积 为（）A.B.-C.6 D.一632【答案】A【解析】由 题 意,4=；,（生一1）（4+1）=-2,%=-;,（生-1）（生+1）=-2,%=-2,=3,牝=g,.q 是周期为4 的循环数列,在个周期内的积为:4 R y q=I ,2022=4x505+2,前 2022项之积为505个周期之积XqX生,BP2=l505 M =-l ；2 I 3丿 6故 选:A.5.（2022江西临川一中模拟预测（理）已知数列 叫 满足=2,%“=或二）,则生?=（）A.-B.1 C.2 D.一32【答案】A【解析】因为4=2,4 川=戸 1（），2凡1,所以数列 叫 是以周期为2 的数列,即生。竺=生=:故 选:A6.（2022.全国高三专题练习）己知数列%的通项公式为凡=+色,贝广生 4”是“数列也 单调递增”的（）A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C,充分必要条件 D,既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解:数 列 应 单调递增=。M,可 得:“+1 +后 ”+化 为:arr+n.a 2.由“生4”可 得:2+=l+”,可 得:a2.“生 是“数列%单调递增”的充要条件,故选:C.,-n+2tn,w 5,n N,7.（2022 全 国 高 三 专题练习）已知数列 4 满足=且数列 是单调递增数 歹 则 的取值范围是（）A(I$B.e,+00)C.(5,+)D.(1,4【答案】Ar-0,【解析】由题意可得”解得:-5225r,故 选:A.8.(2022全国高三专题练习)若数列 的前项和S =/10 S N*),则数列 加 中数值最小的项是()A,第 2 项 B,第 3 项C,第 4 项 D 第 5 项【答案】B【解析】:5 =10,.当 2 时,an=SnSn/=2 -II；当=1时、/=S/=9 也适合上式.an=2 n I l(N*).t己 )=(2 11)=2 2 Hn9此函数图象的对称轴为直线=?,但N*,.当”=3 时,)取最小值.数 列 q)中数值最小的项是第3 项.故 选:B9.(2022上海普陀 二 模)数列,J 的前项的和S”满足S向+S,=5 e N),则 下 列 选 项 中 正 确 的 是()A.数列。,用+可 是常数列B.若q g,则%是递增数列C.若=1 ,则 2022=1。13D.若=1,则 q 的最小项的值为T【答案】D【解析】当=1时,52 51=26I+6r2=1 ,当 2 时,S +S“T=1,则。“+=1,而4+=1不一定成立,故 用+可 不一定是常数列,A 错误;由+an=an+an-=。3 +2 =1，显然%+1=1 =4 3 =且 =2=。“-4=，即。不单调，B 错误;若。=-1,则a2=3,a3=-2 t 故 2,%偶数项为3,奇数项为2,而$2022=弓 +（出+%）+（“4+5）+（“2 0 2 0 +“2021）+“2022=1+1010+3=1012,C 错误:若q=l,则=-1,色=2,故N2,%偶数项为 1,奇数项为2,故 4 的最小项的值为 1,D 正确.故 选:D10.（2022北京四中三模）已知数列%的通项为“=2力2,则“（）”是 V”c N*,。向 *的（）A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C,充要条件 D,既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意,数列%的通项为=2加，则 an+an=（+1）2-2（+1）-n2+2 n=2 +1 2 0,即 =+:,对XN 恒成立,当=1时,n+;取得最小值;，所以I；,所以“（）”是 VeN,%的充分不必要条件.故 选:A.二、多选题11.（2022.河北衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列,来源于 乾坤谱 中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每项，都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是（），2,4,8,12,18,24,32,40,5 0,.,则下列说法正确的 是（）A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项 是 180C.此数列偶数项的通项公式为见“=2 D,此数列的前 项和为S,=（-l）【答案】ABC【解析】观察此数列,偶数项通项公式为%,=2，奇数项是后项减去后项的项数,a2 n=a2 n-2 n,故 C 正确:由此可得.=2 x 0=2 0 0,故 A 正 确;=2-2O=18O 故 B 正确;$,=”（1）=是 个等差数列的前 项，而题中数列不是等差数列,不可能有S,=（1）,故 D 错误.故 选:ABC.12.（2022,全国,高三专题练习）若数列 q 满足,川2。“,硼”吗=4,则数列 中的项的值可能2 an-,-an 为（）1 2A.B.2 C.3 3【答案】AC【解析】由题意可得的=2 q=,C 1 13=2 -l=-）C 2%=2%=1，所以数列 凡 是周期为2 的数列,所以数列 中的项的值可能为:，故 选:AC.13.（2022 全 国 高 三 专题练习）下列四个选项中,不正确的是（D-?)A.数列:,冶,的一个通项公式是4=J3 4 5 6 +1B.数列的图象是一群孤立的点C.数 列 1,-1,1,-1,与数列1,1,-1,1,是同一数列D.数列1,1，-,，-是递增数列2 4 In【答案】ACD【解析】对于A,当通项公式为见=J 时,=（,不符合题意,故选项A 错误;对于B,由数列的通项公式以及“e N 可知,数列的图象是一群孤立的点,故选项B 正确;对于C,由于两个数列中的数排列的次序不同,因此不是同一数列，故选项C 错误:对于D,数 列!,!，-,丄 是递减数列,故选项D 错 误.故 选:ACD.2 4 2/214.（2022全国高三专题练习）已知S“是 叫 的前“项和,4=2,=1一 一 一（2）,则下列选项错误的an-是（）A.0 2 1 =2 B.S202=1012C.,n+1,+2=l D.q 是以3 为周期的周期数列【答案】AC 解析因为q=2,=1-（2 2）,则=I 丄=J,%=1-丄=-1,a4=l-=2=al,-q 2 a2 a3以此类推可知,对任意的e N*,an=an,D 选项正确;2021=“3x673+2=“2 =，A 选项错误;S2 =673（q+生+0,）+4+%=6 7 3 x|+2+；=1012,B 选项正确;4.,%,+県=2l=-l,C 选项错误.故 选:AC.15.（2022 全国 高三专题练习）若数列 助 满足。用4=：,则数列 中的项的值可J(1-9能A.1-B.64D.3-【答案】BC【解析】数列%满足用=,依次取=1,2,3代入计算得,4 =2,-=i ,6 61-3Cq =2=;,4=Z=1 =q,因此继续下去会循环;数列 4 是周期为3 的周期数歹,所有可能取值为g 1,故 选:BC.16.（2022全国 高三专题练习）已知数列 4 满足=J,则下列各数是%的项的有（）2 一”A.-2 B.；C.-D.3【答案】BD3 2【解析】因为数列 all满足,=-p。的=,2 7.数列 风 是周期为3 的数列,且前3 项为 g,I，3；故 选:BD.17.（2022 全国 高三专题练习（文）南宋杨辉在他126I年所著的 详解九章算术书中记录了一种三角形数表,称之为“开方作法本源”图,即现在著名的“杨辉三角 .如图是一种变异的杨辉三角,它是将数列 4 各项按照上小下大,左小右大的原则写成的,其中 叫 是集合 2+2 s r,且s,fe z 中所有的数从小到大排列的数列，即q=3,=5,4=6,4=9,5=10.则下列结论正确的是()3A.第四行的数是 17,18,20,24 B.)=32 9 10 12 2C.6+)“一?+I D.00=16640【答案】ABD【解析】利用(s,。来表示每项，由题可知:第 一 行:3(0,I)；第二行:5(0,2),6(1,2)：第三行:9(0,3),10(1,3),12(2,3)；第四行：17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4),故 A 正确.t 则 表示第 行的第项,则 坦=2 I+2=3Z,故 B 正确.由e 動+1表示第W行的第1项,贝f l M=2+2=1+2 ,故 C 错误.又。表示第14行的第9 项,所以l00=2li+24=16640,故 D 正确.故选：ABD18.(2022全国高三专题练习)如图所示的数表中,第1 行是从1 开始的正奇数,从第2 行开始每个数是它肩上两个数之和.则下列说法正确的是()1 3 5 7 9 11.4 8 12 16 20 A,第 6 行 第 1 个数为19212 20 28 36 B.第 10行的数从左到右构成公差为21的等差数列C.第 10行 前 10个数的和为95x29D.数表中第2021行第2021个数为60612220【答案】ABD【解析】数表中,每行是等差数列,且第一行的首项是1,公差为2,第二行的首项是4,公差为4,第三行的首项是1 2,公差为8,每行的第一个数满足数列4 =x 2 ,每行的公差构成一个以2 为首项，公比为 2 的等比数列,公差满足数列d,=2.对于选项A：由题可知,每行第一个数满足下列关系:=x 2 ,所以笫6 行 第 1 个数为4 =6 x 2-=192,故A 正确:对于选项B:每行的公差构成一个以2 为首项,公比为2 的等比数列,故第10行的数从左到右构成公差为2,的等差数列,选项B 正确;对于选项C第 10行的第一个数为即,=10 x2H W=IoX2,公差为,所以前10个数的和为:1O1O29+-2 O=19O29,故 C 错误;2对于选项:数表中第2021行中第一个数为402=2021x2202i=2021x2?，第 2021 行的公差为29 故数表中第 2021 行第 2021 2021 22020+（2021-1）22021=6061 22020,选项正确.故 选:ABD.19.（2022河北石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列,来源于 乾坤谱中对易传“大衍之数五十 的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是,2,4,8,12,18,24,32,40,5 0,.,则下列说法正确的是（）A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项 是 182C.此数列偶数项的通项公式为“=2 D,此数列的前,项和为S,=小（1）【答案】A C【解析】观察此数列，偶数项通项公式为%,=2,奇数项是后项减去后项的项数,生”-1 =。2”-2,由止匕可得=2x10=2。，A 正确;19=-20=180,B 错误;C 正确;S1 1=n（n-）=n2-n是个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列,不可能有S“=（1）,D 错.故 选:AC.20.（2022.福建漳州.三模）已知数歹%的前项和为S,=1 1 -/,则下列说法正确的是（）.A.叫 是递增数列 B.%是递减数列C.%=12-2 D,数列 S,的最大项为5$和【答案】BCD【解析】解:因 为 s,=11=-（打+巴 所以数列 的最大项为Ss和Se,故 D 正确;当=1 时，=10,当2 2 时，由 S“=11,得S,=11（”一 1）一（-1）?,两式相减得:=-2n+12,又q=1 0,适合上式，所以0“=-2 +1 2,故 C 正确;因为4,-4T=-2 0,所以 凡 是递减数列,故A 错 误,B 正确;故 选:BCD21.(2022 湖 南 长沙一中高三阶段练习)对于正整数,姒)是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数。()以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如(9)=6(1,2,4,5,7,8 与 9 互质),则()A.若为质数,则以)=-l B,数列細()单调递增C.数 列 荷 的前5 项和等于1 D.数列加(3”)为等比数列【答案】AD【解析】因为为质数,故小于或等于的正整数中与“互质的数的数目为“-1,故此时()=T,故 A 正确.因为(6)=1,9(5)=4,所以(6)，故 C 错误.小于等于3的正整数中与3 互质的数的数为1,2,4,5,3-2,3-1,其数目为 3-3T=23T,故3)=2.3 1,而 =3,故数列加(3)为等比数列,故 D 正确.故 选:AD.三、填空题22.(2022北京人大附中模拟预测)能说明命题“若无穷数列 叫 满 足 i t l(=l,2,3,),则%为递增an数列”为假命题的数列 的通项公式可以为.【答案】【解析】因无穷数列 叫 满足%L1(=L2,3L),当01 0 时,all+lan,数列 4 为递增数列,给定命an题是真命题,当4 0 时，向 1,+=-（n+）-n=an,an-n n所以=-.故答案为:一 23.（2022.陕西宝鸡中学模拟预测）写出个符合下列要求的数列 的通项公式:%是无穷数列:凡 是单调递减数列;-2 0.这 个 数 列 的 通 项 可 以 是.【答案】,=-2 +丄,答案不唯一.【解析】因为函 数%=-2+丄的定义域为N*,且=-2+丄在N.上单调递减,-2 -2 +丄 0,所以满足3n n n个条件的数列的通项公式可以是;an=-2+-.故答案为;q=-2+丄,答案不唯一.24.（2022海南模拟预测）写出一个同时具有下列性质的数列 的通项公式;=.田。;数列 寓1 是单调递减数列;数列 2%是个等比数列.【答案】（丄 丫 ,（答案不唯一）【解析】由可知,学员=4（为非零常数），即 =;人 可得 4 为等比数列,2 an 由可知,q 0,由可知1,“1,贝 :l l,则:1,则一 l 4 0,1,I 2 2 2所以,=(g q j,其中一 l gq O.故答案为;（答案不唯一）.25.（2022江西临川一中模拟预测（文）已 知 =3+,若。“4 2”对于任意 eN 恒成立,则实数的取值范围是【答案】j,+【解析】因 为%=3/+,且a,2”寸于任意”N 恒成立,所以Q 对于任意 e N*恒成立，即（号 与n m，令 =3n2+n2n,则g-d =3(+I)2+5 +1)3n2+n-3+5+42因为打二 ,仇=j,A=-:,L -=一 3 +5n+42n+0 对于任意 3恒成立,所以V&,即(警i.所以次数的取值范围是?，+8)故 答 案 为:，+8)26.(2022天津市新华中学高三期末)在数列 q 中,=(+1)(g,则数列%中的最大项的n=【答案】6 或7【解析】=(+1)(0,令曲an6 +2)(犷 +2/7+12解得A76,8即 6 时,an+an,当九 6 时,。“+0,q 短=向%(N”),则 0,贝 外022=。6=。3=l-f，又由于/(),故%)22=1-,l).28.(2022四川成都三模(理)己知数列 满足4=3,anan+l+2 =2 an则味的值为,_ _ _ _ _.【答案】y【解析】由题设。,则。同=2,而。I=3,所以2=，。4=-2,C l5=3 f.故 是周期为4的数列且4=3,2=p ,=l,%=-2,所以 a2 O 2 2 =4x505+2=故答案为:29.(2022全国.模拟预测)在数列 q 中,q=l,。川 司 为偶数,则q+出+%+=一.【答3n+l,”为奇数案】4716【解析】由。+1=，2为偶数,4=1,可得%=3+1=4,/=&=2,%=&=1.30,+l,%为奇数 2 2.可得凡,3=.所以数列%的周期为3.4+021=673(q+a2+03)+1+=673(l4+2)+l+4=4716.故答案为:4716.