河北省唐山遵化市2021-2022学年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。k1.若关于X的 不 等 式 有 正 整 数 解，则实数Z的最小值为（）A.9 B.8 C.7 D.62.德国数学家莱布尼兹（1646年-1716年）于1674年得到了第一个关于7r的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图（1692年-1765年）为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始,历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著 有 割圆密率捷法一书，为我国用级数计算开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式”计 算 的 近 似 值（其中P表示兀的近似值），若输入=1（）,则输出的结果是（A.C.n 1 1 1 1、尸=4(1 +-+)3 5 7 17c 1 1 1 1、尸=4(1一 一 +-+)3 5 7 21n 1 1 1、D.P=4(l-1-1-)3 5 7 213.已 知 向 量B夹角为30,4=(1,0)，忖=2,则|2 -q =()A.2C.273D.2不4,若复数z =(z +l)+(2 m)i(m c H)是纯虚数，则 =()ZA.3 B.5 C.V 5 D.3 也5.已知全集。=1 =；贝 i J(Q/)n B=()A.(1,+)B.(0,1)C.(0,+o o)D.1,+)6.“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1 的整数，如果”为偶数就除以2,如果是奇数，就将其乘3再 加 1,执行如图所示的程序框图，若输入=10,则输出i 的()(始)I gi I/瑜 人 A.6 B.7 C.8 D.92 27.设 6,8分 别 是 椭 圆+方=1(4 人0)的左、右焦点，过 B 的直线交椭圆于A,8两点，且 旃 离=(),晅=2 磔,则椭圆E的离心率为(32A.34 T 。.乎8,函数/(x)=s i n 3 x +)的部分图象如图所示，则“X)的单调递增区间为()A.4 4,kwZ B.-+2k7r,-+2k7r4 4,k e ZC.-?+%,+攵4 4,kG Z D.-+2k,-+2kL 4 4 J,kGZ9.已知平面向量b.Z满足：f l-h =0,|c|=1,|a-c|=|-c|=5,则r ra-b的最小值为（）A.5B.6 C.7 D.81 0.我国古代数学巨著 九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件,3 5若该女子共织布工3 1尺，则这位女子织布的天数是（）A.2B.3 C.1 D.121 1.已知复数Z 1 =l +ai（a eR）,z 2 =1 +2 i （i为虚数单位），若/为纯虚数，贝!1。=（）1 1A.-2 B.2 C.一一 D.-2 21 2 .中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课 顺 序 共 有（）种.A.408 B.120 C.156 D.240二、填空题：本 题共4小题，每小 题5分，共20分。13.（5分）如图是一个算法的流程图，若输出 y 的值是5,则输入x的值为.214.过 加（-2,0）且斜率为的直线/交抛物线C：y2=2px（p 0）于两点，/为。的焦点若AMEB的面积等于 M E 4的面积的2倍，则的值为.15.A A B C的三个内角4,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知28c os A =2c +&a，则N8=.16.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不熊浮绫固定相邻的2个 螺 栓.则 不 同 的 固 定 螺 栓 方 式 的 种 数 是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）在/A B C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c c osB=2a（I ）求N C的大小；一 1 一（U）若。C B =2,求 面 积 的 最 大 值.18.（12分）如图，在四棱锥P-A 5C。中，底面A 3。是边长为2的菱形，N A D C =60,尸AD为等边三角形,平面平面A BC。，M,N分别是线段产。和B C的中点.（1）求直线CM与平面R 18所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）试判断直线MN与平面R 18的位置关系，并给出证明.19.（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系5 中，方程。=a（l-sin。）（a0）表示的曲线G就是一条心形线，如图，以极轴O x所在的直线为x轴，极点。为坐标原点的直角坐标系x O y中.已知曲线的参数方程为X =1 +yfit 6 为参数）.y=-tV 3（1）求 曲 线 的 极 坐 标 方 程；（2）若曲线G与G相交于A、。、B 三 点,求线段AB的长.20.（12 分）已知函数/（8）=裙 一。（；/+，1（0,+8）.（1）讨论/（X）的单调性；（2）曲线“X）在点（2,/（2）处的切线斜率为3卜2-1）.（0 求 4；（）若（无一外/）2-（+i p,求整数攵的最大值.21.（12分）已知A A B C中，角A,8,C所对边的长分别为a,c,且ac os3=，Z?+c.2（1）求角A的大小；（2）求si/B+s山2。+5讥85山C的值.22.（10 分）已知函数x）=J,g（x）=2（x I nx）（I）当x 0时，证明/（x）g（x）；（D）已知点P（x，4（x）,点Q（T加,c osx）,设函数力（=期 ，当xe -1,|时，试判断M6的零点个数.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解 析】根据题意可 将(口 乙_L转 化 为 处2 T，令/(力=电 工 利用导数，判断其单调性即可得到实数攵的最小值.x j-27 x k x【详 解】因为不等式有正整数解，所 以x0,于 是(_L_L转 化 为 色 吆231n3,x=1显然不是不等式的解，当X1时,x)27 xI c,knx -一*、，Inx 3 In 3ln x 0,所 以-231n3可 变 形 为 -x x k令 司=地，贝|(力=匕”，X X.函 数/(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，而2 e 0 =（YO,1）,B =（0,+OO）,.他 力=1收）.故选：D.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.6.B【解析】模拟程序运行，观察变量值可得结论.【详解】循环前，=1,=1 0,循环时：=5,i=2,不满足条件=1；=16,i=3,不满足条件=1；=8,i=4,不满足条件=1;n=4,i=5,不满足条件=1；n=2,i=6,不满足条件=1；=l,i=7,满足条件=1,退出循环，输出i=7.故 选:B.【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论.7.C【解析】根 据 亚,=2号表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出。，c关系，求出离心率.【详解】.AF=2FB设 BF2=x,则 AF2=2x由椭圆的定义，可以得到4 6=2。-2乂8万=2。一 不 斯亚（）,AF11AF2在中，有（20-21）2+（3力j=（2一可，解得x=AF 2a 人 4。2=Y，A F=丁在Rt/XA/M 中，有（雪+用、（2）2整 理 得 二=2,e =且a2 9 a 3故选C项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构 造 出。关系，得到离心率.属于中档题.8.D【解析】由图象可以求出周期，得到，根据图象过点(之,-1)可求9,根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.4【详解】T 5 1由图象知=2 4 42万所以 T=2,o)=兀,2又图象过点(-1),437所以-l=sin(一+),43 7 1故 夕 可 取 一，437r所以/(%)=sin(x+)4._,万/37r,-,71.)令 2k兀 7ix H-W 2kji H，攵 w Z,2 4 2 2 k-x 2 k-,k&Z4 4所以函数的单调递增区间为一 +2攵,/2 m s i n j,当。=子 时，2加2有最小值为48-2及2，即l 5万 r 2m2=48-2V2m，m2+V2/n-24=0，解得机=3五所以当且仅当“=3/2,夕=彳 时a-b有最小值为J2x(3V2)2=6.本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.10.B【解析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列 ,中，公比4=2,前项和为S“，S5=5,S,=,求”的值.因 为&=4 0 _ 2）=5,解得 二 三 _31（1-2，）_ 3 5,解得加=3.故选B.5 1-2 31【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.1 1.c【解析】2把4=l+a i(a e H),Z 2=l+2 i代入一利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可.Z2【详解】4 =l+a i(a e H),z2=1 +2/,Z 1 _ 1 +a z _ (1 +a z)(l-2 z)_ 1 +2 a a-2 .*，-l +2 z-(l+2 z)(l-2 z)-5z,为纯虚数，Z2l+2 a =0 1s-八，解得 q=.a 2 工 0 2故选c.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题.1 2.A【解析】利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；【详解】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有4=7 2 0 (种)，当“乐”排在第一节有8=1 2()(种)，当“射”和“御”两门课程相邻时有用6=2 4 0 (种)，当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两 门 课 程 相 邻 时 有 片=4 8 (种)，则满足“乐”不排在第一节，“射 和 御 两门课程不相邻的排法有7 2 0 -1 2 0 -2 4 0+4 8 =4 0 8 (种)，故选：A.【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。13.0或 2【解 析】依 题 意，当XW1时，由5=y=2，+4,即2*=1，解 得x=0;当x l时，由5=y=x、l,去）.综 上，得x=0或2.14.2【解 析】联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.【详 解】如 图，设 A（X,M）,B，必），由 S.MFB=2S.MFA，则%=2%,y=-（x+2）,16由 3 可得 y2 3py+4 =0,由/0,则2 一，y2=2 p x 9,16所 以y+%=3p,y%=2p-=4 p,得P=2 .解 得x=2或x=2（舍故答案为：2【点 睛】此题考查了抛物线的性质，属于中档题.15.150【解 析】利用正弦定理边化角可得2 sin A cos B+V3sin A=0 从 而 可 得cos B一 走，进而求解.2【详 解】由 2 cos 4=2c+6 a，由正弦定理可得2sin B c o s A =2sinC+esin A,即 2 si n 3 c os A =2 si n（A +3）+G si n A ,整理可得 2 si n A cos B +V3 si n A =0，又因为s i n A H O,所以c osB =-走，2因为0 8 abT22、把纳=纥所 以 成W 8,当且仅当。=4 1=2时取等号.V 4 2 2此时S BC=g absmC=-ab 其最大值为2G.点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.1 8.(1)(2 )-(3)直线M N/平 面 证 明 见 解 析1 0 5【解析】取A 中点。，连接。C,则O CL A D,再由已知证明。尸，平面A B C O,以。为坐标原点，分别以OC,OD,O P所在直线为x,丁，z轴建立空间直角坐标系，求出平面R R的一个法向量鼠(1)求出6力 的坐标，由;与。M所成角的余弦值可得直线CM与平面a s所成角的正弦值；(2)求出平面P A D的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角O-A P-3的余弦值；(3)求 出 痴 的 坐 标，由 二 痴=o,结合平面Q 4 8,可得直线M N/平面【详解】底面A B C 7)是边长为2的菱形，ZA ZX 7 =6 0 ,.A 4 C 为等边三角形.取AO中点。，连接OC,则O C _L A,.A f A。为等边三角形，:.OP L A D,又平面B 4 Z)_L平面A B C。，且平面 小。0平面4 5。=5,:.OP 1 平面 A B C D.以。为坐标原点，分别以oc,o o,。尸所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则 A(0,-1,0),0(0,1,0),C(V3,0,0),B(6，-2,0),P(0,0,G),w（o,5，学，N（5-i,o）.=（0,1,拘，几=（后-1,0），设平面Q 4B 的一个法向量为；=（x,y,z）由n-AP=y+/3z=0 厂.n.A B X-y取:小 得,石，川（1）证明：设直线CM 与平面Q 46所成角为仇CM=2T T贝(J sin 0=|cos|=|tv CM|n-CM 石 x 2-10即直线CM与平面M B 所成角的正弦值为叵；10（2）设平面ZMP的一个法向量为蔡=（1,0,0）,r rn m1 75由 cos=r r 产 二 f|n|-|m|V5xl 5得二面角。A P-B 的余弦值为-立;52 2又 M V（Z 平面直线M V/平面B 4 3.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.7 71 9.(1)0=-(p e R)；(2)2a.6【解 析】(1)化简 得 到 直线方程为y=再利用极坐标公式计算得到答案.(2)联立 方 程 计 算 得到A计 算 得 到 答 案.【详 解】x=1 +/3 z（1）由 G 消，得，x 6y =（）即V =+/I 3C是过原点且倾斜角为冷的直线，.G的极坐标方程为e =2(p eR).6 60=-始（2）由 6 得,p -（l-s i n&）（1!3 a八 7万 p=6=2由 6 得夕=（1 -s i n。）0-.一 。3。一|AB|=H -=2cl.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.2 0.(1)在(l nL+)上 增;在(0,I na)上 减；(2)(0 1；()2【解 析】(1)求导求出了(X),对。分类讨论，求 出f(x)0,/(x)0,即在(O,+e)上增;当al 时，/(x)0,xlna,/f(x)0,0 x-(x+iy,即(x幻(e*-l)+x+l之0,即 g(x)=(x-6(e*-l)+x+l,只需 g(x)m in 2.g(x)=(x-左+l)e*当 上 时，g(x)0,g(x)在(0,+。)单调递增,所以g(x)g(0)=10满足题意；当左1 时，g(x)0,x k-,g(x)0,0 x(左一 1所以g(x)在(0,&-1)上 减,在(1,”)上增，g(x)min=g/一1)=一 e*T+k+120h(k)=-ek-+k+l,h(k)=l-ek-1.=0.hk)在(l,4w)单调递减，所以”)0,(2)=3 e0,=4-e2ccos A 得到 sin?8+sii?C+sin Bsin C=4【详解】解：（1）由已知，得sin A cos 3=sin B+sin C2又；sinC=sin（A+B）sin A cos B=sin B+sin A cos B+cos A sin B2二 cos Asin 6+gsinB=0,因为 8 e（0,;r）,sin 8 wO得 cosA=-g,0A 0;则 O(x)=。1 ：.易得 e-2x 0，x X0(l)=e-2 0.即可证明/(x)g(x)；(I I)/J(X)=O P-O Q=-j c s i nx+exc os x,分x e -,0 ,xG 0,当 代 仁 仁 时，讨论(x)的零点个数即可.【详解】解：(I )令(x)=,f (x)-g(x)=J-2(x-l nx),尤 ()；则,(x)=Q -叱 2 x).X令 G(x)=e*-2 x(x0),Gr(x)=-2(x0),易得G(x)在(0,/2)递减，在(/2,+刃)递增，:.G(x)G(l n2)=2-2 1 n2 0,e*-2 x 0 在(。，+0)恒成立.V(同在(0,1)递减，在(1，+8)递增.(x)2(l)=e-2 0.,/(x)g(x)；(n)V 点 P(x,#(x),点。(-s/欣,c os x),/?(J C)=OP O Q=-xs i nx+c os x,h(x)=-sinx xcosx+ecosx-esinx=(ex-xjcosx-e+i j s i nx.7t 当 x w -y ,0 时，可知e、2x x,/-x 0:.(e-x)c(?5 x0 ,ex+1)5Z7ZX0,jr,.（x）在-，0 上有一个零点，当时，cosxsim,ex*evc osxxsi nx,；0 在 10，7 恒成立，:./2（X）在/?（X）在（O?应 无 零 点.（3）当当乙,时，O vc osxvsi nx,14 2 14 2_hx）=ex（c osx-si nx）-（xc osx+si nx）0 .，.M%）在（0 号Mx）在 停 5单调递减，哈）冶0.小）在（0 号 存在一个零点.综上，（力的零点个数为L.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题.