最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）练习题（解析版）.pdf

专题2 6最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅锤距离)参考答案与试题解析一.选 择 题(共6小题)1.设二次函数/*)=(-2)/+3ox+2在R上有最大值，最 大 值 为 加(a),当(a)取最小值时，=()A.0 B.1 C.-D.722【解答】解：=+3ox+2在R上有最大值？(a),.。一20 且？(a)=2-=-(2-)+-7,.2A k -7 =2,4(。-2)4 2-67 V 4 2-a.当 空 二 =旦 时，即。=0时，m(a)有最小值2,4 2 。故选：A.2.(2021春绍兴期末)已知函数/。)=次+。|+*+切，xe0,1,设/(x)的最大值为M,若M的最小值为1时，则。的值可以是()A.B.0 C.D.12 2【解答】解：因为/*=1,而函数/(幻=|*+4|+|/+切，xe0,1,因为/(X)Kx+al+lY+b L/f+x +a+bl,xe0,1,且 fM =x-a+x2+b.x2-X-a+b9 x0,1,贝lj =?依|。+人|,|a+/?+2|,b-a 9 h-a-,4由题意可得：存在。，对于任意的人，使得M的最小值为1,由于在数轴上的点-。-2,和点-。之间的距离恰好为2,因此要使M的最小值为1,贝IJ必有a 2,a,S.a+-a,4解得。一1 ,一 o故选：A.3.(2021济南模拟)已知函数x)=|土2-ax-加，若对任意的实数a,总存在2J,使得x+2/(X。).，“成立，则实数，的取值范围是()A.(一 吟B.(-00,gC.(-8,12jD.,1【解答】解：,存在2,使得/(%).成立，1,对任意的实数a,b,B J(x),皿，：加；Y 2 x-2|三-如 勿=|工;一(6+力|可看作横坐标相同时，x+2 x+2函数8(幻=三 与 函 数 力。)=+人图象上点的纵向距离，则问题等价于求函数g(x)=2二2与函数(X)=ar+。图象上点的纵向距离的最大值中的最小值;x+2如图，记A(-l,-3),8(2,0),连接43,则图中直线AB的斜率为kA B=1 ,1 -2.直线右的方程为y=x-2,设直线L,与直线4平行，且与函数g(x)=相 切 于 点C(x。，%),又 g(x)=2)=/，令 g(x)=-=1，解得 =0，(x+2)(x+2)(x+2)二.切点C(0,-l),则切线右的方程为y=x 1,当直线“。)与直线乙，4平行且与两直线距离相等时,即恰好处于两直线正中间的位置时，函数g(x)=三 与函数6(x)=+匕图象上点的纵向距离能取得最大值中的最小值,x+2此时（x）=x-3,此时，max ）H-1 +1=,2 7 融 2 x +2 2 2 21ttt.-.2故选：B.法二：记 函 数 幻=|三-依-加 的 最 大 值 为M（a,。），由题意可知，图,M（“,。）对任意。，b w R恒成立，所以列,(。力)而“，依题意，M(a,x e -l,2,分别令x =-l,0,2,可得(a,6)(-1)|-3+。-6|,M(a,份(0)R T-勿，M a,b.f(2)=-2a-b,所以 2 M(a,力+3M(a,b)+M(a,b)f-6 +2a-2b +3+3b +-2a-b -6 +2a-2b+3+3b-2a-b=3,i 3所以M(a,份，当且仅当 3+a 6 =1+=2 a A,即a=l,6 =-巳时等号成立，2 2所以耀，M(a,与“血=g .故选：B.24.设函数/(x)=|ax-h a,h&R),若对任意的正实数。和实数b ,总存在%e l,2,使得/(%),X则实数，的取值范围是()A.(o，0 B.(-c o ,C.(-0 0 ,1 D.,2 2【解答】解：设“幻 的 最 大 值 为(b),令(工)=*一分一人，x当2 时，函数(x)单调递减，.1 一加一成W(x)2-a-h.,:a Q y:A 2a b .由 2,。时,2-a-b|=|,-6x2+9x-(9-a)x-b,设 g(x)=x，-6/+9x,贝l g(x)=3(x-l)(x-3),令g，(x)0,解得：x3或x l,令g，(x)0,解得；lx 0,.,.函数x(x)在 口，4 单调递减，x (功皿=(1)=4-a,u(x)tnbl=u(4)=l-4a.a.4 时,O.4-a l-4a,则/(旦皿=a-4.O .4 。1 时，4-a 0 l-4 a,4 一。+1-4。=5-5。v O ,贝|J/(幻侬=4。-1 .！0 1 4a,4-a +l 4Q=5-5Q.O,则 f(x)tlUL X=4 一 a.3 .4 0 -4 a 0,贝 U/(%=4 -a .综上可得：，出 3.，实数机的取值范围为(-8,3 .故选：D.二.填 空 题(共 2 0 小题)7.(2 02 1浙江月考)设函数/(幻=|/+4|+切(4 力/?),当了-2,2 时,记/。)的最大值为(a,6),2 5则 M(a,力的最小值为 胃.一 8 一【解答】解：由去绝对值可得f(x)在 -2,2 的最大值为/(-2),/(2),/(-；),/(；)中之一，由题意可得M(a ,b).f(-2)=4+a +-2+b,(2)=4+a +2+b,M a,份.J(；)=|；+a|+|:+A|,M(a,)./(_；)=l(+a I+|_g +b|,上面四个式子相加可得4M(a,Z?).2(|4 +|+|+(。/R)在区间 1 ,4 上的最大值为，当M取到最x小值时，贝1 4 +/=一.一4 一【解答】解：由条件有M.J(1)=|a +b +4|，M.J(4)=|4 a +b +l|，M.f(2)=|2 a +A +2|；故答案为：去由7 1X-+X +3 3得g 2 a 2b 8.+|+|-3 3 3a b 1 .+-+-3 3 3一,一,2a 2b 8、,4a b 1、，一,一、，.+2a+b+2(+-)+(+-+-)-(2 a +/+2)=1 3 3 3 3 3 3+b+4二1-2。+8 +4 =-21a=1=8 54所以M 1,当且仅当!|,上述函数可理解为当横坐标相同时，函数g(x)=d-4 x,xeO,4与函数/?(x)=-(a+4)x-b,xefO,4图象上点的纵向距离，则用即为函数g(x)=x?-4x与函数(x)=-m+4)x-A 图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，由图象可知，当函数。)的图象刚好为y=-2 时，用取得最小值为2,此时-伽+4)=0,且-6=-2,即”=-4b=2,故。+。=2.故答案为：2,-2.11.(2021 浙江模拟)已知函数/(x)=|&-a|+2|x-b|(a e R S w R),当 xe0,4时，/(x)的最大值为M(a,b),则 M(a,b)的 最 小 值 为 5.【解答】解：令 f=,xe0,4 ,贝2,则 J(x)=g(f)=t-a +2 r-2 b,由去绝对值可得g 在 0,2的最大值为g(0),g(2)中之一，由题意可得M3,母.g(0)=|+|26，M(a,b).g(2)=12-a+8-2 b,2M(a,b)!a+2-a +2h+S-2h 2+8=10,故 M 3,。).5,故答案为：5.12.(2021 杭州模拟)已知函数f(x)血炉-a|+|3x-b|(a,bw R).当xe0,2,/”)的最大值为M（a,方），则M 3,。）的最小值为上 ,./(O)=a+h,【解答】解：依题意，L八 二 J,Al,则(M(a,b).f(2)=|8-a|+|6-/?|2M(a,b)Ja+b+8-a+6-b a+8-a+b+6-b=4,:.M(a,b).7,当且仅当旗女8且喷B 6时取等号.取a=8,6=0,则/(x)=8-J+3 x,r(x)=-3，-l),当xe(O,l)时，f(x)0,f(x)单调递增，当xe(l 时,f(x)0,f(x)单调递减,fMinax=f(1)=10;取a=l,b6贝 打 ）=0,g(x)单调递增;x所以 G(x),，mrG(1),G(e),K P max+a+b,+e+a+b;令 h(Q=ln x-x,N lJ hx)=-1,当 e时，hx)|l+a+b|+|l+e+a+6|(1+a+b)(1+e+a+b)|=e,所以 M(a,b).,2由 Q)得 2M(a,/?).1 +a Z?|+|1-e +a Z?|(1 +a /?)(1 e+a /?)|=e-2,所以.：-,2综上所述，M(a,b).2故答案为：!.21 4.已知函数f(x)=+fev-c,xel,2 ,记 的 最 大 值 为 M,若对于任意的正实数a,b,c,MX的最小值为，则 M 取最小值时，c=3五+“-4-4【解答】解：由题意得:M.f(1)a+b-c，且 M./(2)|=|+26 c|,又。、6 为正实数，Xl,2 ,由基本不等式得：/（尤）.2而-，（当且仅当工=号时等号成立）,：.M.2ah-c.,由得4M a+b-c +2b-c+2 2ab-c|a+b-c +2 b-c-2(2ab-c)|=|+3/-4ab?3/2fab-4/ab=1，2 2 2此时_ 1 _ 3/2+43 a-4 2,得 痣=屈=同=也 上3 2a=3b,2从而解得：什号M=3+2日此时，a+b-c2Jab-c=c-(3y/2+4)=-,4得，c=3 f2+.4故答案为：W 2+-.415.(2 02 1 春浙江期中)已知 a,b q R ,设函数/(x)=2|c o sx +a|+|-2 c o sZ +c o sx +l +A I 的最大值为4 9M(a,b),则 M 3)的最小值为16【解 答】解：/=c o sx ,-掇小 1 ,(/)=2|/+a|+|-2/2+t+b+=max-2r+3t+2a+b+,2r+t+2a-b-,当 M(a,b)=|-2*+3 f +2 a +b +l|时,3记 g(f)=|-2/+3 f +2 a +b +l|,1,函数 y =-2 r+3 f +2a +b +l ,f e 1,1 的对称轴为 f =1,4l g(Dl +l g(1)l 2a+b-4 +2a-b+庞-=-乙2 241 74 +_ _ _L24 97?当 M(力)二|2/+/+2。一 一 1 ,函数=2r+1 +2。一。一 1 的对称轴为/=!,4l g(-1)l +l g(l)l 2a-b-+2a-b+2|-1-2|M(a,。)鹿-=-=,2 2 2 1 6故答案为：子.1 61 6.(2021 浙 江 模 拟)已 知 叫b w R,设函数/(x T a n x+a l +l s i n x c o s x+M 。，李上的最大值3为,则M(a,b)的最小值为-一 4【解答】解:/(%)=|t a n x +0|+1 s i n x c o s x +力|=|t a n x +a|+1 s i n 2x +力|,V X GLOTT|R,e 0,1,7 =-Si n 2x e 0,-,jr I故 M(q,b)./(O)=a-b9 M(a,b).f(-)=l+a +-+h,1 1 3故 2M(a,份鹿|a|+闻+H+a|+|+0l l+-=-,2 2 23故:，43故答案为：-1 7.(2021春 西 湖 区 校 级 期 中)已 知 函 数/(彳)=9+(+/曲，掇咚 熄 停记M(a,b)为g(x)=l f(x)F的最大值，则 峥 向 的 最 小 值 为【解答】解：f(x)=x2+x-a(x+lwc),定义域是(0,+o o),可知/(x)在 乌，0上单调递减，/(x)在 明 费 上单调递增,又/)一/(今=一1(z一9。2-。-)、+(3-a-Q)、-a/a +InS)、=a(八-ln3)、0八2 4 4 2 2所 以/吟)0为常数)且存在实数“，b,使得“取最小值2,则“+b +c=2【解答】解：函数 =/+o r +b是二次函数，函数/(x)=|/+6+切在区间 0,c 内的最大值为M在端点处或x =-胃处取得.若在x =0处取得，则6 =1 2,2若在x =-；处取得，则|6-二|=2,2 4若在x =c处取得，则|m,则实数m的取值范围是(T o,?8【解答】解：设/食)的最大值为M(a),令(x)=1 -2办-3 3 a 0,X当X E1,4 时，函数(%)单调递减，可得，一8。一3磁人。)-2a-3b,由 a 0,可得8。-3b 83.W 当-84-3 b +l-2a-3 6 -,24可得M1 3 3(a)=8a +3 b 3 +一；4 8 8当8a-3 b +l-2。-3 6 0 时,4,5-40ab 3a+-;8 8综上可得，当a 0时，M(a)3所以明，?38-3故答案为：(-8,1.O920.(2021 浙江月考)设函数/(幻=|*+以+切，若对任意的实数a和实数人,总存在3,使得Xf(X0).m,则实数？的最大值是_七 芋 _.【解答】解：原问题等价于血,)皿的,2 2构造函数 g(x)=*+/U,且 g (1)=g(3),则 2+几=：+3几，x 32解得4 =；,/(X)=1 士2 +三2r+(4-2+勿，则函数f M可理解为函数g(x)=22+2Wr 与函数h(x)=一3-2-b在横坐x 3 3 x 3 3标相等时，两纵坐标的竖直距离，作示意图如下，由图显然，当函数力(X)位于直线乙与直线乙正中间时，函数幻取得最大值中的最小值,易知，直 线 的 方 程 为 y=g 6 =g(3)=g,又 g，(x)=W +2,令 g，(x)=O,解 得=。或了=-百(舍去)，则直线L,的方程为)，=g(G)=坐，x 338 _ 4-73，（初皿,“加=2 34-2733故答案为:4-273321.(2021春诸暨市校级期中)设函数/(x)=|x+2-以-勿，若对任意的实数。，。，总存在X0 2,x2使得则实数桁的取值范围为【解答】解：由题意，机,2 ”.,，函数/(x)=|x+L-切可理解为函数g(x)=x+L 与函数X XMx)=ar+b 在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离,作函数g(x)=x+，如下图所示,X由图可知，当（X）位于直线匕与直线4正中间时，函数“X）取得最大值中的最小值,显然，直线右的方程为y=g（；）=g（2）=g,又 9（幻=1-4,令 g，（x）=O,解得玉,=1,则直线右的方程为y=g（1）=2,故答案为：（-8 4 .42 2.（2 02 1 包河区校级期末）设函数A XHf+qx +b i,对于任意的实数%6,总存在xe 0,4 ,使得 了（%）./成立，则实数r的取值范围是_ f,2 _.【解答】解：对于任意的实数。，6，总存在与e 0,4 ,使得/（X。）.成立，设/1）的最大值为，可得了（0）,M,f（2）M,f（4）M,即有|6|,M ,|4+2+勿”M ,16 +4a+b M ,x2 可得|8 +4 a +2 川,2 M ,+可得|加+|1 6+4 0+勿,2 M ,即有|1 6+4 +|毅 。|+|1 6+4 +6|2 M ,+可得|8 +4 a +|+|1 6+4 a +2|,4 M ,由8=|8 +4 a +2 Z 1 64 a-2勿,，|8 +4 +2 Z H +|1 6+4 a +2 Z?|,可得M.2,可得f,2,故答案为：t2.2 3.(2 02 1 呼和浩特期中)设函数f(x)=|6-a r-，a ,.若对任意实数“冷，总存在实数x e 0,4 使得不等式/(%).加成立，则实数”?的 取 值 范 围 是(-o o l .4 .【解答】解：设“X)的最大值为M(b),令 u(x)=_ a x _ b ,贝=在工 。，4 ,当/(x).O 时，即 小；时，(x)单调递增，此时一磴”(%)2-4a-b,当儿1 一加 时，M(b)=2-4 一当 b l 2 a 时，M(b)=b,从 而 当 1 时，力=1 2。时，M(b)取最小值，M(b)mi n=1 2 -,24a 8 a 8。4对任意实数，b,总存在实数与日0,4 使得不等式/(%).机成立等价于也J(x)3 恒成立，14故答案为：(-00,2 4.(2 02 1 一卷模拟)设函数f(x)=|1-6乂 2+，若对任意的实数。和。，总存在修 0,3 ,使得fkx0).m,则实数，的 最 大 值 为 2【解 答】解：考 虑 问 题 的 反 面：存 在 实 数。和力，对 任 意 的 xw 0,3 J ,使 得/。)相 成 立，即|x3-6x2+9 x+(a-9)x+b =|丁-6 2+9 +(4-9)+加可理解为函数8。)=;?-6/+9*与直线 =(4 一 9 口一人在横坐标相同时,纵坐标的竖直距离,由图可知，存在实数。和万，对任意的xeO,3 ,使得/(x)2,故对任意的实数a和人 总存在xn6 0,3 ,使得f(x0).m的m的取值范围为n,2,则实数m的最大值为2.故答案为：2.2 5.(2 02 1 下城区校级月考)设函数/。)=加+次 +。，g M=ax+b,a 0,xe -l,1 时，I f(x)|”1,且g(x)的最大值为2,则a -A=2【解答】解：由已知得g(x)在【-1,1 上是增函数，则g(x),m.=g (1)=a +b =2,-(y)=a+b+c-1 期(0)=c 1-3 M -喷。11,可得I解得c-1；再由一1颗(-1)=4-。+1,可得面山一b 2,结合a+b=2,黜 2,/(x)=ax2+(2-d)x-1,V X 6-1 ,1 时,|/(X)|l,(K xi h r2+(2 -a)x 2 恒成立.设 心)=#+(2-叽 其 图 象 的 对 称 轴 为 一 一；,0.解得a =2,.b=0 y.a-h=2,故答案为：226.(2021浙江二模)设/(x)=4川+a.2+伙若对于Vxe0,1,(x)|,1 都成立，则。=_17万 一,【解答】解：f (x)=4X+1+.2V+b=4 4 2)2+a.2 +b,设 f =2,.xe O,1,.r e l ,2,则函数等价y=4/r e l,2,若于V xe O,1,(x)|”g都成立，即于 2,|4/g 都成立，即-1 蛋姐2 +a,(+b L恒成立，2 2设 g(t)=4/+a“+/J,要使Vae R,不等式恒成立，则函数g Q)的对称轴r=|,即-=|,即。=-12,此时 g(f)=4，-+6 ,则抛物线开口向上，要使一!蒯酎+4“+人 恒 成 立，2 2则函数g ，且 g (f ).而-g，117当 二 1 或 2 时，g)g =g (1)=4 -12+=b -耳,即瓦耳,当 f =|时，8(。,而=8(|)=6-一；,即儿.日，口 n ,17即。=-,2故答案为：二17.2