2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)01 集合(含详解).pdf

专题0 1集合【考点预测】1、元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系：属 于 或 不 属 于，数学符号分别记为：G和公(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦 恩 图 图).(4)常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或 N.ZQR说明：确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的：也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合A =1,2,3,4,5 ,可知l eA,在该集合中，6仁4,不在该集合中；互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合 A =a,Z?,c 应满足a w b w c.无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A =1,2,3,4,5 和 8 =1,3,5,2,4 是同一个集合.列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“卜括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系(1)子 集(subset)：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合 3中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合8的 子 集，记作A屋B(或 B n,读作“A包含于3”(或“8包含A”).(2)真 子 集(propersubset)：如 果 集 合 但 存 在 元 素 x e 8,且 x 史A,我们称集合 A是集合B的真子集，记作A U 8 (或5 *A).读作“A真包含于3 ”或5真包含A(3)相等：如果集合A是集合3的子集(A=B,且集合8是集合A的子集(8=A),此时，集合A与集合8中的元素是一样的，因此，集合A与集合8相等，记作A =6.(4)空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合6的所有元素组成的集合，称为A与 3的交集，记作 ACS,即 AAB=X|X GA,一 旦 x w B .(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合8的元素组成的集合，称为A与 B的并集，记作 AU8，即 AU 5=X|X GA,或x e B .(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作。4，即CuA=x|xwU,且x史A.4、集合的运算性质(1)Ap|A=A,AD0=0,4 0 8 =3 0 4.(2)AJA=A,AJ0=A,AU8=8 U A.(3)A n(Q,A)=0,AJ(Cb,A)=U,Cu A)=A.【方法技巧与总结】(1)若有限集A中有 个 元素，则 A的子集有2 个，真子集有2 1 个，非空子集有2-1个，非空真子集有2 -2 个.(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.(3)A B o A C B =A o A jB =BCuB CuA.(4)Q (A n 8)=(Cu A)u(Q B),Cu(A u =(Q A)A(QB).【题型归纳目录】题型一：集合的表示题型二：集合元素的特征题型三：集合的关系题型四：集合的运算题型五：集合与排列组合题型六：新定义【题型一】集合的表示【典例例题】例 1.(20 22 安徽芜湖一中三模(理)已知集合A =x|x2 4 4 ,集合8 =卜,e N*且x 1 e A,贝|J B=()A.0,1 B.0,1,2 C.1,2,3 D.1,2,3,4【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素例 2.（2022山东聊城二模）已知集合A=0,1,2,8=刈,w A,be A,则集合B 中元素个 数 为（）A.2 B.3 C.4 D.5例 3.（2022安徽寿县第一中学高三阶段 练 习（理）设集合A=X|X2-X-6 0,X GZ）,3=yly=ln（x2+l）,x e A ,则集合B 中元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.无数个例 4.（2022湖南岳阳一中一模）定义集合4 B 的一种运算：4 区8=犬 次=/-8 4 6 8 ,若/1 =-1,0,3=1,2,则4 凶3 中的元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4例 5.(2022山东济南二模)已知集合4=1,2,B=2,4,C=z|z=x,x e e,则 C 中 元 素 的 个 数 为()A.1B.2C.3D.4例 6.（2022全国高三专题练习）用C（A）表示非空集合4 中元素的个数，定义4*8 =产1C(B)-C(A),C(A)C(B)已知集合4=犬 1%2+犬=0,8=卜|任+访（/+奴+1）=0 ,且 A*8=l,设实数a 的所有可能取值构成集合S,则C(S)=()A.0 B.1C.2 D.3【题型二】集合元素的特征【典例例题】例 7.（2022重庆南开中学模拟预测）已知集合A=-1,0,1B=a+baeA,beA)j,则集合 3=()A.-1,1B.-1,0,1 C.-2,1,1,2 D.-2,1,0,1,2【方法技巧与总结】1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。例 8.（2022全国高三专题练习）已知集合4=（左,）|炉+/4 3,天 乙）*2）,则 A 中元素的个数为（)A.9B.8C.5D.4例 9.（2022 模拟预测（理）已知集合 4=-5 40,B=xx=2 k-1,k Z,则 Ap|8中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5例 10.（2022 福建模拟预测）设集合A=-2,-1,1,2,3,B=yy=og2x,x G A ,则集合 5 元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5X2%0例 11.（2022全国高三专题练习）函数/（x）=：;，则集合 x|/V（x）=0元4smx,0 xr素的个数有（）A.2个 B.3个 C.4 个 D.5 个例 12.（2022 上海民办南模中学高三阶段练习）若3,/,则实数。的取值集合为【题型三】集合的关系【典例例题】例 13.（2022江苏南京高三开学考试）已知集合A=x|2*a,B=x|x2-3 x+2 0）,若4 工8,则实数a 的取值范 围 是（）.A.B.（f 4 C.（2,-K）D.2,+oo）例 15.（2022 全国高三专题练习）若集合A=xe/V|x而叫实数a 满足卜卜=1,则下列结论正确的是（）A.agA B.a A C.awA D.a iA例 16.（2022浙江高三专题练习）已知a e R,b&R,若集合卜,：,1=/M+A0,贝 lj即+例 9的 值 为（）A.-2B.-1C.1D.2（多选题）例 17.（2022全国高三专题练习）已知集合人=卜|奴2+2+=0,。却，若集合A 有且仅有2 个子集，则 的取值有（）A.-2 B.-1 C.0 D.1例 18.（2022浙江高三专题练习）设集合 A=x|-3 4 x 4 2 ,B=（xk-x2k+,且 A?B,则实数k的取值范围是（写成集合形式）.【题型四】集合的运算-【典例例题】（多选题）例 19.（2022.全国高三专题练习）已知M、N 均为实数集R 的子集，且N c g M=0,则下列结论中正确的是（）A.M CCRN=0 B.MDCRN =RC.CRM DCRN =CRM D.CRM CCRN =CRM【方法技巧与总结】L 注意并集与交集的大小关系2.补集和全集是不可分割的两个概念例20.（2022.河南汝州市第一高级中学模拟预测（文）己知集合4=卜.。1.8=卜卜2 _ 3 +）晨+2+2 +）0 ,若人八3=0,则实数a 的取值范围是（）A.（2,+8）B.lo（2,+ao）C.1U2,物）D.2,+oo）例 21.（2022天津和平二模）已知全集为R,集合A=R-2 x l,集合3=x|-Y+xvo,则 AU（0 8）=（）A.（-2,1 B.（-1,1C.（,-2）U L-H）D.（-,0 U（1,+O O）例 22.（2022.湖北.荆门市龙泉中学二模）已知集合4=N：l,B=Hlog3xW l,全集U =R,则（”,A）n B=（）A.x|l x 3|B.xOxl C.x|0 xl D.x|lx3|例 23.（2022湖南长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合人=-1,0,1,2,B=x e N+|l 2,4 8 ,则图中的阴影部分表示的集合为（）ABA.1,2B.-1,0,3)C.H,3 D.0,1,2）（多选题）例 24.（2022全国高三专题练习）已知集合加=小2-3了+2 1,则（）A.N q M B.M j NC.MflNx。D.M 2 3RN=R例 25.（2022江苏高三专题练习）已知集合4=目犬 1,8=卜可1 以 1 ,贝 iJ（GA）c B =例 26.（2022.浙江高三专题练习）已知全集=区，集合M=x eZ|x-1 1 6【方法技巧与总结】利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想例 28.（2022全国高三专题 练 习（理）设 A 是集合1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A.32 B.56 C.72 D.84例 2 9.（2022-安徽蚌埠三模（理）设集合“=3|=/，m 6 ,?4 5 ,则M 的子集个数为（）A.8B.16C.32D.64例 30.（2022全国高三专题练习）A,=X2X|=.例 31.（2022全国高三专题练习）已知有限集合A=4，%,%,为,定义集合B=ai+a i j n,i,j e N*中的元素的个数为集合A 的“容量”，记为A）.若集合A=x eN*|l x 3 ,则 L（A）=；若集合 A=xeN 114x4,且 4）=4 0 4 1,则正 整 数 的 值 是.【题型六】新定义【典例例题】例 32.（2022上海市进才中学高三期中）设 S 是整数集Z 的非空子集，如果任意的a/w S,有 而 e S,则称S 关于数的乘法是封闭的.若T、V 是 Z 的两个没有公共元素的非空子集，ro V =Z.若任意的a,b,c e T,宿abceT,同时，任意的x,y,z e K,有孙z e V,则下列结论恒成立的是（）A.T、V 中至少有一个关于乘法是封闭的B.T、V 中至多有一个关于乘法是封闭的C.T、V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D.T、V 中每一个关于乘法都是封闭的【方法技巧与总结】1.新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在“翻译”2.新定义题，主要是在题干中定义”新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法理解。例 33.（2022上海市松江二中高三开学考试）设集合S,T,S aN 8,T aN 8,S,T 中，至少有两个元素，且 S,7 满足：对于任意x,y e S,若 都 有 个 7；对于 任 意 若x 0,若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则 a 的取值集合为例 36.（2022全国高三专题练习）已知数集A=W +1 3 r+4 +9 .若存在/U R,使得对任意a e A 都有2 e A,则称A 为完美集，给出下列四个结论：a存在f e（0,4w）,使得A 为完美集；存在f e（YO,0）,使得A 为完美集；如果r y z,那么A一定不为完美集；使得A 为完美集的所有，的值之和为-2.其中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【过关测试】一、单选题1.（2022河北模拟预测）已知全集/=123,4,5,M=2,3,N=3,4,5,贝 I M“可加=（）A.1,2 B.1,2,3 C.1,2,3,5 D.2,3,4,5）2.（2022陕西模拟预测（理）已知集合4=小=。+”2 ,集合8=利 1+1/2 ,则 A n（4 B）=（）A.（1,3 B.（9,3 C.（l,+oo）D.（1,3）3.（2022江苏盐城三模）已知集合U=xlx6,xeN,A=2,3,B=2,4,5,则（v）n s=（）A.4,5 B.2,3,4,5 C.2 D.2,4,5）4.（2022四川省泸县第二中学模拟预测（文）若全集U=R,集合4=x|y=5 i,x w N ,8 =x|x 4 3 ,则图中阴影部分表示的集合为（）A.4,5 B.0,1,2)D.3,4,5C.0,1,2,35.（2022.江苏连云港.模拟预测）已知集合A的子集个数为（）=x|-lx5),B=xeZ|l x 8,则A.4B.6C.8D.96.（2022.河南.模拟预测（文）设全集。=1,2,3,4,5,A=1,3,5,B=1,3,则（）A.U=A K J B B.U=G，A）U B C.U=A UGB）D.U=（翻）U（7.（2022陕西模拟 预 测（理）已知集合4=卜|丁-3x-4=0,B=xa xa,B=x|x2-3 x+2 0）,若则实数a 的取值范围是（）.A.（-oo,l）B.（o,lC.（2,-H）D.2,+）二、多选题9.（2022全国高三专题练习）已知集合A,8 满足A c 8 =。，AUB=Q,全集U=R,则下列说法中可能正确 的 有（）A.为A没有最大元素，Q,8 有一个最小元素B.A有一个最大元素，8 没有最小元素C.A有一个最大元素，B有 一 个 最 小 元 素 D.A没有最大元素，B也没有最小元素10.（2022全国高三专题练习）设 可表示不大于x 的最大整数，已知集合M=x-2x2,N =H*-5X 0 ,则（）A.lg200=2 B.M c N =x0 x2C.Ig2-lg3+lg5=l D.M u N =x|-14x511.（2022全国高三专题练习）设4=小 2-8犬+12=0,B=x|ar-l=O,A B =B,则实数。的值可以是（）A.0 B.-C.4 D.26212.（2022全国高三专题练习）对任意A,B u R,记 A8=x|xwAuB,x g A n B）,则称 A8 为集合A,B 的对称差.例 如，若4=1,2,3,B=2,3,4,则/3 =1,叫，下列命题中，为真命题的是（）A.若 A,3=R 且 AB=B,则 A=0B.若 A,3 1 R 且 A 3=0,则 A=BC.若 A,且 A B u A,则 AuBD.存在A,B q R,使得人二知RB三、填空题13.（2022全国高三专题练习）已知人=七6 3 2 2 q 融+3出=6 4,若4 8,则实数a 的 取 值 范 围 是.1 4.（2 02 2 全国高三专题练习）已知集合人=卜卜=/-8 =小=_/+2 x+6,x w 7?,则 A p l B：.1 5.（2 02 2.全国高三专题练习）2 02 1 年是中国共产党成立1 00周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有 青春之歌 建党伟业 开国大典三支短视频，某大学社团有5 0 人，观看了 青春之歌的有2 1 人，观 看 了 建党伟业的有2 3 人，观 看 了 开国大典的有2 6 人.其中，只观看了 青春之歌和 建党伟业的有4人，只观看了 建党伟业和 开国大典的有7人，只观看了 青春之歌和 开国大典的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则 没 有 观 看 任 何 一 支 短 视 频 的 人 数 为.1 6.（2 02 2.全国.高三专题练习）在整数集中，被4除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，记为 冈，即 冈=4 +8 2 次=0,1,2,3.给出下列四个结论.2 02 1 则;-1 则;（D Z =0U 1 3 2 3 3 ；“整数。力属于同一“类”的充要条件是“a-b e 0”.其 中 正 确 的 结 论 是 （填所有正确的结论的序号）.四、解答题1 7.（2 02 2 全国高三专题练习）已知集合4 =41 4 5 ,B =x|a +I x 3 -l .（1）若“=3,求图中阴影部分M；（2）若求实数。的取值范围.1 8.（2 02 2.全国高三专题练习）己知集合4 =布 2-入-1 2 4 0,B =1X|X2-2X+1-/H2 0 1.（1）若加=2,求 AD低 8）；（2）xeA是的 条件，若实数机的值存在，求出加的取值范围；若不存在,说明理由.（请在充分不必要；必要不充分；充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.1 9.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知集合 4 =1,-3*-1 0 4 0 ,B=xm+x2m-.(1)若 A uB =A,求实数?的取值范围；(2)当x e R 时，若 A c 3 =0,求实数机的取值范围；20.(2022.全国高三专题练习)已知全集U=R,集合A=-2,l),8=x|2 x a +3.若 a=-g,求 AUAB).(2)p：x e A q:x e 8.若 p 是 q 的充分不必要条件，求。的取值范围.21.(2022全国高三专题练习)函数f (x)=的定义域为A,g(x)=-X2+2的值域为B,记 M=(A c 8)c Z,其中Z 表示整数集.(1)求集合M；(2)若 C=x|ar=l ,且 C=求实数。的所有可能值.22.(2022.全国高三专题练习)已知集合4=止 2 了 7,B=x|a x 3a-2).(1)若a=4,求 A IJ8、(4A)nB;(2)若 A fl8=0,求实数”的取值范围专题0 1集合【考点预测】1、元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系：属 于 或 不 属 于，数学符号分别记为：G 和公(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦 恩 图 图).(4)常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或 N.ZQR说明：确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的：也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合A =1,2,3,4,5 ,可知l e A,在该集合中，6仁4,不在该集合中；互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合 A =a,Z?,c 应满足a w b w c.无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A =1,2,3,4,5 和 8 =1,3,5,2,4 是同一个集合.列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“卜括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系(1)子 集(subset)：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合 3中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合8的 子 集，记作A屋B(或 B n,读作“A包含于3”(或“8包含A”).(2)真 子 集(propersubset)：如 果 集 合 但 存 在 元 素 x e 8,且 x史A,我们称集合 A是集合B的真子集，记作A U 8 (或5 *A).读作“A真包含于3 ”或5真包含A(3)相等：如果集合A是集合3的子集(A=B,且集合8是集合A的子集(8=A),此时，集合A与集合8中的元素是一样的，因此，集合A与集合8相等，记作A =6.(4)空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合6的所有元素组成的集合，称为A与3的交集,记作 A P IS,即 AnB=x|xeA,一 且 xwB.(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合8 的元素组成的集合，称为A与 B的并集，记作 AU8，即 AUB=X|XGA,或x e B .(3)补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集，简称为集合A的补集，记作C A,即C u A =x|x w U,且x史A .4、集合的运算性质(1)Ap|A=A,AD0=0,4 0 8 =3 0 4.(2)AJA=A,A J 0 =A,AU8 =8 U A.(3)A n(Q,A)=0,AU(C)=U,C u A)=A.【方法技巧与总结】(1)若有限集A中有个 元素，则 A的子集有2个，真子集有21个，非空子集有2-1个，非空真子集有2-2 个.(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合8 的真子集.(3)A B o A C B =A o A j B =B CuB CuA.(4)Q (A n B)=(Cu A)u(Q 8),Cu(A u =(Q A)A(QB).【题型归纳目录】题型一：集合的表示题型二：集合元素的特征题型三：集合的关系题型四：集合的运算题型五：集合与排列组合题型六：新定义【题型一】集合的表示【典例例题】例 1.(2022 安徽芜湖一中三模(理)已知集合A =x|x2 4 4,集合8=卜,e N*且 1 e A,贝|J B=()A.0,1 B.0,1,2 C.1,2,3 D.1,2,3,4【答案】C【解析】【分析】化筒集合A,根据集合B 中元素的性质求出集合B.【详解】v A=（x|x2 4）=-2,2,8=#目/-1叫，=1,2,3,故 选:C【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素例 2.（2022山东聊城二模）已知集合A=0,1,2,B=ata&A,b A ,则集合B 中元素个 数 为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由列举法列出集合5 的所有元素，即可判断；【详解】解：因为A=0,l,2,a e A,b e A,所以而=0 或=1 或 必=2 或=4 ,故5=M“eA beA =0,l,2,4,即集合5 中含有4 个元素：故选：C例 3.（2022安徽寿县第一中学高三阶段练习（理）设集合A=x|*2一 _ 60,x e Z）,B=y|y=ln（x2+l）,X GA ,则集合8 中元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.无数个【答案】B【解析】【分析】先解出集合A,再按照对数的运算求出集合5,即可求解.【详解】由 x 2-x-6 v 0，解得-2 x 3,故 A=-1,0,1,2,In（-I）2+1=ln（l2+l）=ln 2,ln（02+l）=0,ln（22+1）=In 5,故3=ln2,0,ln5,集合8 中元素个数为3.故 选:B.例 4.（2022湖南岳阳一中一模）定义集合4 8 的一种运算:48=以=4 2-8”4 6 8 ,若4=-1,0,B=1,2,则 A区5 中的元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【解 析】【分 析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详 解】因为 4 B=x|x=a。-6,a A,/?e B,A=-1,0,B=1,2,所以 AOB=0,-l,-2,故 集 合 中 的 元 素 个 数 为3,故选：C.例 5.（2022山东济南二模）已知集合人=1,2,8=2,4,C=z|z=x x e A,y e,则C中 元 素 的 个 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 题 意 写 出 集 合C的元素，可得答案.【详 解】由题意，当x=l 时，z=xy=1 当x=2,y=2时，z=xy=4 ,当x=2,y=4时，z=xy=16,即C中有三个元素,故选：C例6.（2022全国高三专题练习）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义A*B=Y 8),C(A)“已知集合4=卜|*2+=0,8=卜|任+6）（/+办+1）=0 ,且4*8 =1,设实数的所有可能取值构成集合S,则C =()A.0 B.1 C.2 D.3【答 案】D【解 析】根据条件可得集合8要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详 解】由4=卜|丁+=0 ,可得A=-1,O因为(X。+依)(*2+ax+l)=o 等价于 x?+ax=0 或/+办+1 =0，且4=-1,O,A*B=1,所以集合B要么是单元素集，要么是三元素集.(1)若 B是单元素集，则方程彳,+以二。有两个相等实数根，方程/+依+1 =0 无实数根，故 a=0；(2)若8 是三元素集，则方程/+5=0 有两个不相等实数根，方程/+融+1=0有两个相等且异于方程V+奴=0 的实数根，即/-4 =0=a=2且a*0.综上所求。=0 或。=2,即5=0,-2,2,故C(所=3,故选：D.【点睛】关键点睛：本题以A*5 这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程V+以=0 与方程/+妙+1 =0 的实根的个数情况，属于中档题.【题型二】集合元素的特征【典例例题】例 7.(2022重庆南开中学模拟预测)已知集合 4=-1,0,1,B=a+b a eA,b&A,则集合 8=()A.-1,1 B.-1,0,1 C.-2,-1,1,2 D.-2,-1,0,1,2【答案】D【解析】【分析】根据4=-1,0,1求解8=4+4。6 4 4 即 可【详解】由题，当a e A b e A 时a+b 最小为(-1)+(-1)=-2,最大为1 +1 =2,且可得(-1)+0=-1,0+0=0,0+1=1,故集合8=-2,-1,0,1,2故选：D【方法技巧与总结】1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。2.研究两(多个)集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。例 8.(2022全国高三专题练习)已知集合4=。,)|/+/4 3,工 乙了 2 ,则 A 中元素的个数为()A.9 B.8 C.5 D.4【答案】A【解析】【分析】根据x,），满足的关系式求得尤，y的可能值，从而求得集合元素个数.【详解】由 V+得-百4 x 4百，-y/3yy/3,又xeZ,yeZ,所以xw-l,O,l,y e-I,O,l）,易知x与y的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为3x3=9.故选：A.例 9.（2022模拟预测（理）已知集合4=1,-540,B=xx=2k-l,k e Z,则 AQ8中元素的个 数 为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】解不等式求出A=x|04 x 4 5,从而得到不等式组，求出左的值，进 而 得 到 中 的 元 素，求出答案.【详解】由犬-5x4 0 得：0 x 5,所以 A=x|04xW5，又 3=x|x=2Z-l,Z wZ,令02左 一145,解得：-Z:3,k e Z,当女=1 时，x=l,当k=2时，x=3,当左=3时，x=5,故2中元素的个数为3.故选:B 例 10.（2022,福建,模拟预测）设集合4=-2,-1,1,2,3,B=y|y=log2|x|,xe A ,则集合5元素的个 数 为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据集合8的描述，结合对数函数性质列举出元素即可.【详解】当x=12时，y=l：当工=1时，y=0；当彳=3 时,y=log2 3.故集合8 共有3 个元素.故选：B.X?X 0例 11.（2022全国高三专题练习）函数/（幻=-八，则集合 x （x）=0 元4sinx,0 x4 万素的个数有（）A.2 个 B.3个 C.4 个 D.5 个【答案】D【解析】【分析】根据分段函数/（X）解析式，结合集合元素要满足的性 质/（力 =0,通过分类讨论求所有满足条件的X的值，进而确定集合中元素的个数.【详解】当x 0 时，/（x）=x2=0,解得工=0,当0%W乃时，若/（x）=4sinx=0,解得了 =乃，当x 0 时，若=f =,解得无=当OvxW）时，若/（x）=4sinx=7 T,则sinx=M，解得x=arcsin工或；r-arcsin.4 4 4又.切=0y（x）=o 或/（力=万=0 或=万或 x=或 x=arcsin 2 或 x=万一 arcsin.4 4集合”“x）=0 元素的个数有5 个.故选:D.例 12.（2022上海民办南模中学高三阶段练习）若。-1,3,则实数”的取值集合为【答案】0,1,3【解析】【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数。的取值.【详解】因为a 卜1,3,/,故a=1 或a=3或a=,当。=一1时，a3=-l，与元素的互异性矛盾，舍；当。=3时，a3=2 7,符合；当“时，=0 或。=1,根据元素的互异性，”0,1 符合，故 a的取值集合为 0 ,3.故答案为：0,1,3）【题型三】集合的关系【典例例题】例 13.（2 0 2 2 江苏南京高三开学考试）已知集合A=x2x12,则 AQN的子集个数为（）A.4 B.8 C.1 6 D.32【答案】C【解析】【分析】求出A n N=0,l,2,3,即得解.【详解】解：由题得2 1 2 =2 l 2,.-.x l o g21 2 .因为 l o g,8 l o g,1 2 l o g,1 6,/.3 l o g21 2 a ,8 =k,一 3+2 （）,若 A u 8 ,则实数a的取值范围是（）.A.（-,1）B.（7 0,1 C.（2,+o o）D.2,+0 0）【答案】D【解析】【分析】先求出集合B,再由AaB求出实数。的范围.【详解】B =|X|X2-3X+2 O|=X|X 2 或 x a ,A c B,所以a 2 2.故选：D例 15.（2 0 2 2.全国.高三专题练习）若集合A=X GNX 7 2 0 2 2）,实数a满 足,&+口 =1 卜则下列结论正确的是（）A.a q A B.a c A C.a e A D.a A【答案】D【解析】【分析】根据题意得a =26，再根据元素与集合，集合与集合关系求解即可.【详解】解：因为屈+i 2=,所以/-4 0 4 +1 2 =0，解得”=26，因为4=卜 上 阵 4 J 20 22,所以A.所以qA ,a c A,4 e A 均为错误表述.故选：D例 16.（20 22浙江高三专题练习）已知a e R,b e R,若 集 合 卜 弓/卜 付 3+4。,则-9+网 9 的 值 为（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】B【解析】加本题可根据=付，+6，。得出 。+6,然后通过计算以及元素的互异性得出。、a2=1匕的值，即可得出结果.【详解】当。=1 时，不满足集合元素的互异性,故a=T,b=0,a20,9+b20,9=（-i）29+020,9=-l,故选：B.【点睛】易错点睛:通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.（多选题）例 17.（2022全国高三专题练习）已知集合 4=卜|加+2x+a=0,“e R ,若集合4 有且仅有2 个子集，则 a 的取值有（）A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】BCD【解析】【分析】根据条件可知集合A 中仅有一个元素，由此分析方程分2+2+“=（）为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出。的值.【详解】因为集合A 仅有2 个子集，所以集合A 中仅有一个元素，当a=0 时，2x=0,所以x=0,所以4=0 ,满足要求；当时，因为集合A 中仅有一个元素，所以 =4-4/=0,所以。=1,此时A=“或A=-1 ,满足要求，故选：BCD.例 18.（2022浙江高三专题练习）设集合 4=x|-34xW 2,B=xk-i x 2k+,且 ARB,则实数k 的取值范围是（写成集合形式）.【答案】k k -2 -2 k -3BP-2k+l2%+1,k-2 k +解得上 2 或-2 k 2故答案为：k k -2 -2 k 【题型四】集合的运算-【典例例题】（多选题）例19.（20 22全国高三专题练习）已知M、N均为实数集R的子集，且NCCR例=0,则下列结论中正确的是（）A.M CCRN=0 B.MDCRN =Rc.CRM 2 CRN=CRM D.CRM CCRN=CRM【答案】B D【解析】【分析】由题可知N=M,利用包含关系即可判断.【详解】,/NCCRM=0：.N 三 M,若N是M的真子集，则MCCRNW。，故A错误；由N =M可得MuCN =R ,故B正确；由NU M可得CRNACRM,故c错误，D正确.故选：BD.【方法技巧与总结】1.注意并集与交集的大小关系2.补集和全集是不可分割的两个概念例20.（20 22河南 汝 州市第一高级中学模拟预测（文）已知集合A =踪.o ,8 =卜k 2 _ 3 +g+2（2+）o）,若4nB=0,则实数的取值范|1；|是（）A.（2,+0 0）B.l u（2,+a 5）C.1 U 2,M）D.2,同【答案】C【解析】【分析】先解出集合A,考虑集合B是否为空集，集合B为空集时合题意，集合B不为空集时利用2a.4或“2+1,T 解出。的取值范围.【详解】由题意 A =xg.O 卜（-1,4 ,8 =卜产-3+1)晨+21/+l)o =x (x-2a)x-R 2+川 即a =l,符合题意；当8/0,即时，B =(2a,/+1),则有2a.4 或/+1,-1,即a.2.综上，实数。的取值范围为1U2,E).故选：C.例 21.(20 22天津和平二模)已知全集为口，集合4 =-2*1,集合3 =引 产+犬 o,0 o(l,+o o)【答案】A【解析】【分析】化简集合B,由集合的并集、补集运算可求解.【详解】由题意知4=(-2,1),B=(YO,0)5 L+0,所以Q 3=0,l ,所以 A u&8)=(-2,1.故选：A例 22.(2022湖北荆门市龙泉中学二模)已知集合4 =卜(1卜3 =卜 配 3 4 1 ,全集U =R,则&力眠=()A.X|1 x 3 j B.1x|0 x l j C.x|O x l j D.(x|l x 0,等价于(x-l)x 0,解得X 1 或x 0,X X所以 A =x|l 或 x 0,由 l o g 3%4 1,解得 0 x 4 3,所以 8 =x|l o g 3 x 4 1 =x 0 x 4 3 ,所以0 A=x|O#x 1,所以(0，A)c 8 =x|0 x 4 1；故选：c例 23.（2022 湖南 长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合 人=-1,0,1,2）,8=x e N*|l 2,4 8 ,则图中的阴影部分表示的集合为（）B.(-1,0,3 C.(-1,3 D.(0,【答案】B【解析】【分析】由题知8=1,2,3,进而得4 口8=1,2,再求阴影部分表示的集合即可.【详解】解：解不等式1 2 Y 8 得0 x 4 3,所以B=1,2,3,因为 A=-1,0,1,2）,所以 4 口8=1,2所以，图中的阴影部分表示的集合为 7,（）,3.故选：B（多选题）例 24.（2022全国高三专题练习）已知集合M=小 2-3x+2-1,贝 （）A.N j M B.M q NC.D.M 一 1.对于A,由题意得故A 错误；对于B,由上已证可知B 正确；对于 C,M n N =x x ，T3 1,2 WR,故 D 错误；故选:B C例 25.（2022江苏高三专题练习）已知集合4 =目犬 1,8 =36时山工 1,贝 l J（GA）c8=【答案】1,2【解析】【分析】先算出集合8和集合A的补集，然后再求它们的交集即可.【详解】由 In x c l 得 0 xe,又 xeN,所以 x =l 或 2,B =1,2,又。精=口,+00）,所以（CR4）C8 =1,2.故答案为：1.2.例 26.（2022浙江高三专