2016年数学全真模拟试卷二.pdf

2016年 数 学 全 真 模 援 卷 二试题I一、填空题：本大题共 14小题，每 小 题5分，共70分.觥答案触蜗在答题 卡.相.应 位 置上.1.复 数 牡j.(i为虚数单位)的 模 为 一 【答案】夕2.已知向量 a g,2),b 3 2),则 a(a b)=1【答案】43.在标号为0,1,2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概是4.【答案】234.下表是某同学五次数学附加题测试的得分，则该歌描度 二=,星期二三四五件数3621302835【答案】146.55.命题：若a O,则 2 0 _a”的否命题是“【答案】若a=6,则 2 0a c=s-4T T2 2 2 c o s818 +)2+点=2cos n,16 请从中归纳第nN L式:n个2【答案】2cos 3 110.在锐角ABC中，若tan A,tan B,tan C依次成等差数列，tiShAtanC的 值 为.【答案】1+=允【解析】昨题戢anB tan A tanC,_因 的B Ctan C,所以 tanAtanC 3：+=11.在平面直角坐标熠y中，若 直 战x 2y 0与圆C：在直绷勺上方，捌）的最大值为.,所以 tan Atan BtanC tan A tan B一 +=2 2(x a)(y b)5相切，且圆【答案】258 L L J =+=a 7 2b【解析】易得 5,又圆心在直 口 郑J上方，所 以a 2b 0,从 而a 2b 5,因为（上）_ 2 _ _ _ _ _a 2ba b 5时等号成立，），从而ab（当且仅当a 2 b,即 52 4aF-abv 2，所以 25 abs2 8a+B=a-P =25的最大值为.81 2.己知tan()1,tan()2,4 a+P+a-的 值 为.a+a-+a+?a-:【答案】-3 P a+P-a-P a+P a 邛 +a+P a-P【解析】sin(cos2 cos()()cos(tan(p tan()_ (1 tan()tan()=.一)cos()cos()cos()sin(-)sin()sin(x 2 0,1 3.已知实数x,y满晶0,_ 设max 3x y,4x 2y,划的取值范圉上.x y,o=-=-=_ （maxa,b表 示a,b两数中的较大数）【答案】10,8【解析】设Zi 3x y,Z2 4x 2y,则 max Zi,z?,易得 Zi 10,6,Z2 0,8,2贝ij z-40,8.14.若 基 函 数f(x)n x t a R)及 其 导 函 数f(x)在区间(0,*)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数).则 实 数a的取值范围是 .【答案】(1，+8)【解析】易得 f(x)=ax,f(x)=a(a-1)x，当 a,1 时,f(x)0,f(x)0；3 0 a 1，时，f(x),0,f(x)、0；当 a 时，f(x)0,f(x)-0；当 a-0时，f(x)飞，=e+sf(x)0；当 a 0 时，f(x)0,f(x)0,综上得，a(1,).二、解答题：本大题共 6小题，共90分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量 m=(V3cosA,sin A),n=(cosB,-石sin B),其 中A,B为 ABC的两个内角.(1)若m L i,求证：C为直角;(2)若mn,求证：B为锐角.【解】(1)易得 m n tos AcosB-sin Asin B)=v?cos(A B),(3 分)_L =+=因为 m n,所以 m n 0,即 cos()cos n+=A B2+因 为0 A B兀，且 函 数y cosx在(0,7T)内是单调减函数,所 以A B 亩4为直。；(6分)卜？=(2)因为 m/n,所以 3 cos A 3 sin B sin cos B 0,即 sin Acos=B-3cos Asin B 0.(8 分)因为A,B是三是三内，角十所以于是tan A 3tan B,因而 A,Bpns A ccn 口 D._+中恰有一个是钝角.+(10 分)从而tan(Atan A tan BB)3tan B tan B1 tan A tan B21 3tan B2tan B023tan B1所 以tanB 0,即 证B为 锐 角.(14分)1 6.(本题满分14分)3如图，在四棱锥 P-A B C D 中，NPAB为二 面 角 P-A D-B 的平面角.（1）求证：平面 PAB 平 面 ABCD；（2）若 BC 平 面 P A B,求证：AD 平面PBC.Z-证明：（1）因为 PAB为 二 面 角 P AD B 的平面角,1 1所以 PA AD,BA AD,（2 分）n=又 PA AB A,UPA,AB 平面 PAB,所 以 AD 平 面 PAB,(5分)u又 AD 平 面 ABCD,故 平 面 PAB 平 面 ABCD：(7分)(2)由(1)得，AD 平面 PAB,又 BC 平 面 PAB,所以 AD/BC,（10 分）（Z又 AD 平 面 PBC,UBC 平 面 PBC，所 以 AD 平面PBC.（14分）1 7.(本题满分14分)+=如图，在平面直角坐标系 xO y中，A,B 是 圆 O：2 2 1_ x y与 x 轴的两个交点(点 B 在 点 A 右 侧)，点 Q(2,0),x 轴上 方 的 动 点 P 使 直 线 PA,PQ,P B 的斜率存在且依次成等差数列.(1)求证：动 点 P 的横坐标为定值；(2)设 直 线 PA,PB与 圆 O 的另一个交点分别为 S,T.-(第17题)求证：点Q,S,T 三点共线.【证】(1)由题设知，A(1?0),B(1,0)=+=+-设 P(xb,yo)(yo 0),则 k V。，yo yP。刈 2 k，kPA PBX o 1 X)1因 为 kpA kpQ,kpB成等差数列,4所以2 kpo-kw+kps,即 Ny由于y0丰，所 以0=-40 xx 2oX01 X0（2）由（1)知，(-4 0P.y2直线 8 的 方 程 为y k于 是 点S的横坐标X-s+2同理可得十XT因 为V、x2yTx2,即证;2（7分）kPA=PA+y0+112(-x 1),ftA2X22，从而1 g _0+1 4yo4y _9+o=1 2 yo9(1y=_2y0:y,k20 PB+=+;(+22 1手 丁 备(x 1)1ys4y02y1 4（11 分）+3)-(-2k xPA1)=2k 0，PAZ=a所以直线yT24y04y4y)2(10(4y0QS和直线a故 点S,T,Q共线.a924y04 yo1 8.（本 题 满 分16分）=12y09)2(94y)024y)0Q T的斜率相等,（14 分）394y012y012y 20z3 4y4y如图，圆。的半 魁 二,A,B为 圆。上的两个定点，且设C,D（C在D左侧）沟优弧 AB（不含蕈点）上的两个不同的动点/且=x yj a=v a记POD,四 边 形ABCD的 面 积 为S.(1)=+求S关 于 的 函 数 关 系；AOB90,P为 优 弧A B的中点.ODD/AB.P(2)=（+a,（+C a）求s的最大值及此舟 的大小.解:（1）设过圆心。作A B的垂线分别与 AB,CD交 于 点E,F,AB易 得AB2,OE 1 ,当071时，如 图1,2（第18题）PCFD易得 CD 2 2sin,OF 2 cos所以 1()()S AB CD OE OF2OA BE图 11 2 2 2 sin 1 2 cos25=G(s in a +cosa)-*2sin a cos a+1；(3 分)当 Cl 一 工 A(+).一 工 X”&=+O；(5 分)a 一 时，s-AB CD EF 一2 2 当 n a 3LJ T时，融,2 42易得 CD=2 x 夜 s in(n-a )=2 a,OF=co s(T-a )=-cos a所以=1(+).()刈“S AB CD OE OF2=1 x(2+2 6 s in a)x(i+V2cos)2=(a+a)+a a +2 sin cos 2sin cos 1 ；=(a+a)+aa+国综上得，点+a2=听（如一 ）2sin cos 1,03TT a -(2)令 t sin cose(因 为 0 GTT一 v a +-vT T2 sinT T,所 以 4+=4 TT,从而+L=(+9 )4(a+)0 sine(T T4 1,（9 分）故 t 0,，（12 分）a =221此 时 S2 22t t 1 1 t2t所 以 当 t2 时，S m ax 4,此时2TT.42(16 分)0,2,1 )1 9.（本 题 满 16。）设 数 列 必 e 购 n 项羽S,且 Sn2an 2，n N.(1)求数列a 的通叫公式;(2)设数列2a=的 前 n 1 赚Tn-求S2n；(3)判 断 数 列 3 an中是否存在二叫戈等差数声I f 并 呼 饵 的 纶-解：当n 1 府，&2的二2=，解 得 a1 2.（1 分）当 n 2时，a S S 1 2a 2 2a 1 2 2a 2a 1,即 a。2a。1.n n n n n n na因 为&0,所以 n 2,从 而 数 列 a n 是 以 2 为首项，2 为公比的等比数列,a1所以2a.（5 分）n6(2)因为 2=(2)=4 喑=n n.a，所以2 4n3(n故数列兔 以4%直,，/彳公比的等比数列,从而=二)=_()S-24 1 (7 分)2n1 24 1 4 4T _ /_I 4 1 ,)=-+-S.(10 分)所 以2K gT 2（3）假设副3a中存在三项成等差数列，不妨设第，n,k(m_n)=_+_n3,m3 3 ,涓|j 2 3 2 n 3 2 3n k）项成等差数列,2 L（12 分）因为 m n k,W.m,n,k N,所 以n+10k.n n m m k k因为 2 3 2 3 2 3 2所 以3nS 3m 2、飞匠盾=+所 以 数 列3n a（不存在三网成等差数列.（16 分）2 0.（本 题 满16分）设 速 上在函数n3(匕2nm m n2 3 2 3n2+的图象不间断（1）求m,n的值；（2）设a,b互为相反数，且 f（x）是R上的单调函数，求 a的取值范围(3)若a 1,b R.试讨 诒 数g(x)f(x)b的零点的个数，并说明理由解：(1)依题意，f(0)1,f(4)0,n 1即，64a 16(b 4a)4(4b m)n 07解 得J i(3分)m 4,（2）因 为=（-）y 是减函数，且f（x）是R上的单调函数，-（-）=-a所 以 在y a log4 x 1中，摩 孽*。，+故xln 40,(5 分)3(4)2 j4 1)17 ax-b a x-b x 中，其中 a q 0,4=y ax 32x a 一 一，导函数的瀛i-510 4 x=+1一 一（+一）+3故 J 21（，辗里双 100（3）易得函数+a a12(4+3=f(x)x2(b 4)x1 1 +=X2 x2，/(9 +-_(2)+1 _ _ 00时,又 f(0)+b=1 *b f(2)b 8 4(b 4)2 4b 1 b 15 3b 0,4 2方程在（0,4）上有两解，方程一共有两个解；（10分）（）+=+=当b 1时，1 0+=+b 有log0.5（b），log4 x 1又 f(0)b 1 b 0,f(4)b b 0,x 4b 0有一解121 1(4)b b8 41 1b2 41b3 0b,4故方程在（0,4）上有两解，方程共有4个解；（12分）当 1vbvO时，1 0b 无解，Iog4 x 1 b 0 有一解，2又 f(0)b 1 b 0,f(4)b b 0,方 程 在(0,4)内只有一解，方程共两解；(14分)8当 b=0时，有 x _ 4 和 x _工两解，b 1 时，有 x _0,=2=一综上得，当b 1时，g（x）有 2 个零点；当 b-1时，g（x）有 3 个零点；当 b 7 时，g（x）有 4 个 零 点.（1 6 分）_ 1 ，上X=,X=4三个解,2试 题n（附加题）2 1.【选做题】本题包括A、B、C、D 四J 题 请 帖 其 中 两 题，.并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（几何证明选讲）如图，已知 ABC的两条内角平分线 AD,B E 交于点求证：C,D,E,F 四点共圆.N=。-（N+N）证明：依题意得，AFB 180 BAF AFB=-,（N+N180=一（BAG2）ABC 0O 2 C1Z =Z 180 2 1 8 0（第 2 1-A）Z +N=1 2 0,运 分）又 DFE AFB,所以 DFE C 120 60 180,故 C,D,E,F 四 点 共 圆.（10分）B.（矩阵与变换）一=1-已 知 矩 阵 入 12B215满 足 AX B,求 矩 阵 X.15解：设 X 二:由122 a1 ba 2b 5,（7 分）2a b 15,9a=7,解 得 八 1 xb=1，此时=I.（10 分）L I JC.（极坐标与参数方程）P0z设 点 A 为轴:2cos在极 k 上方的一点，且0TT（P。）p=e（P o）为一条直角边作等腰直角三角酢B（B 在 A 的右下方）,求点解：设 A s2cos o，e.=L pD,-0+02，依题管,=Q 02 o9=0-2TTo07 a代入 o 2cos oTT4所 以 点 B 的轨迹方程为2 2 CO S T T47T T4+AOxW4,以 A 为直角顶点，A0B 的轨迹方程.00+7T T2T T42T T 1.证明：因中*af bp）a2 b2 cd ab c2cPa2b2 cd 2abcda b 2cd,又 a b 1,cd 1 ,所以 ac bd ad be N 1.（10 分）【必做题】黎、23题，每 题 10分，共涉 分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出字说明、证明过程或演算骤2 2.假定某篮球运动员每次投篮曲率均为 p（0 p1）.现有次投篮机会,均不中即终止投篮.已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完并规定连演次投篮3 次投篮机会的概率是2125（1）求 p 的值;（2）设该运动员投篮命次数为,求的概率分布及数学期望 E（）解 （1）设事符：恰 用 完 3 次投篮机会；则其对立事华：“前两次投篮均不中；10依题意，p（A）=P（A）=1一（1为 f=,25解 得 p=；（3 分）5t（2）依题意，一的所有可能值为0,1,2,3,P(0)1 p,1-=()或-)(-)=一224m 1 p p i p 1 2 53 27PQ _3)_p 工_,*_ *_一 一 一一 I?于 一 j 一 一 一P(542)1 P(0)P(1)P(3)1 2 5，的概，VD）布藜为：TT丁丁丁4 24 54 27P 25 125 125 125=，+X.+X=-（8 分）E（）祇2朋3晟213（次）.（I。分）0=0+0 0=2 3.设函数 f(?sin cosN,且 G（）a,其 中 常 数 a 为 区 间（0,1）内的有理数.（1）求（）f 的表 达 式（用n0a和 n 表示）；0=（2）求证：对任意的正蚁（Q，=fn（）为有理数.解：(1)易得 sin cos a,2 2所 以 2sin 2诩_ a 1 0厂Z.9=(-3 )+(-3-)解得 sin a 2 a,2 _ _0=(+J 2-n)+(a-)从而 a 2 a a 2 af();(4 分)2 j-2 _ I-r=(-)(1 7 )+(一)2()+(-)(2)证明：f()a 2 a a 2 an 2 2)+o22 an 22 aC222 an 44 aC22 ao aC2 22 22 211nn _n _ 2 20（a）+2（4（J 吐）+C C Cnnn2 2 4 2Q.（10 分）12