2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)试题.pdf
2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)试题D.3I B一视图 使K.卜(第3出一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设函数=(右/(a)=4,则实数a 二x,x0.A.-4 或-2 B.-4 或 2 C.-2 或 4 D-2 或 22.把复数z的共辗复数记作1,i为虚数单位,若z=l+i,则(l+z)z=A.3-i B.3+i C.l+3i3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是园闻囱初(A)(B)(C)(D)4.下列命题中至肯送的是A.如果平面。_L平面力，那么平面a内一定存在直线平行于平面月B.如果平面a不垂直于平面，那么平面。内一定不存在直线垂直于平面夕C.如果平面。_L平 面y,平面力_L平 面y,a c p=l,那 么 平 面/D.如果平面a_L平面力，那么平面a内所有直线都垂直于平面少x+2 y-505.设 实 数 满 足 不 等 式 组 0,若 为 整 数，则3x+4 y的最小值是xNO,y2 0,A.14 B.16 C.17 D.196.若0&工，-/?0,cos(+a)=-,c o s(-)则cos(a+2)=2 2 4 3 4 2 3 2A B 百 C 5逝 口 R3 3 9 97.若。涉为实数，则“O V ab 0）的展开式中X的系数为A,常数项为B,yjX若B=4 A,则a的值是 o1 4 .若平面向量a,B满足且以向量a,B为邻边的平行四边形的面积为L,则a与B的夹角e的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _2(第 12)1 5 .某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲2公司面试的概率为孑，得到乙丙公司面试的概率为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若尸（乂=0）=-,则随机变量*的数学期望E(X)=1 6 .设 为 实 数，若4 X 2 +丁+.=1,则2彳+的最大值是,1 7.2设6,6分别为椭圆、+y2=l的左、右焦点，点A8在椭圆上，若耳4 =5 6 3;则点A的坐标是-三、解答题;本大题共5小题，共7 2分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 8 .(本题满分1 4分)在A 4 3 C中，角A AC所对的边分别为a,b,c.已知 sin A+sin C -psin B（p w R）,且 ac =（b?(I )当p =3,b =l时，求a,c的值；4(I D若角B为锐角，求p的取值范围;1 9 .(本题满分1 4分)已知公差不为0的等差数列 4的首项为a(a e R ),设数列的前n项和为5,，且,成等比数列q a2 a4(1)求数列 ,的通项公式及(2)记4=-+-+工 +“.+-!-，当之2时，试比较A与F G Q Q G n 1 5 J n 4 。2。2纥的大小.2 0.(本 题 满 分1 5分)如图，在三棱锥PABC中，AB=AC,D为BC的中点，P O L平 面A B C,垂 足O落在线段 A D 上，己知 B C=8,P O=4,A O=3,O D=2(I )证明：A P 1 B C；(H )在线段A P上是否存在点M,使得二面角A-M C-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。（第 2 0*）2 1.(本题满分1 5 分)己知抛物线G:d=y,圆&:X2+(y-4)2=1 的圆心为点M(I )求点M 到抛物线J的准线的距离:(II)已知点P是抛物线G上一点(异于原点)，过点P作 圆 的 两 条 切 线，交抛物线q于 A,B两点，若过M,P两点的直线/垂直于AB,求直线/的方程2 2.(本题满分1 4 分)设函数/(x)=(x-a)2 In x,a e/?(I)若x=e/J y=/(x)的极值点，求实数a；(H)求实数a 的取值范围，使得对任意的xe(0,3 e,恒有/(x W4e?)成立，注：e 为自然对数的底数。参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题5 分，满分50分。BADDBCACBD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4 分，满分28分。11.0 12.5 13.2 14.15.-16.17.(0,1)6 6 3 5三、解答题：本大题共5 小题，共 72 分。18.本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满 分 14分。5Q+C =一,(I)解：由题设并利用正弦定理，得 44解得V(7 =1,1或 C =451C =1.(I I)解：由余弦定理，/?2=a2+c2-2 accosB二 (+c)2-2 ac-2 accos B=p2 b2-b2-b2 co s B,2 2日 n)3 1 D即 p-=+co s B,3因为0 co s 3 O,所 以 迈 p n+1，即 1 OH寸,4 纥;当a 耳.20.本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满 分15分。方法一：(I)证明：如图，以。为原点，以射线O P为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Ox y z则 0(0,0,0),4(0,-3,0),8(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),A P =(0,3,4),6。=(一8,0,0),由此可得AR3 C=0,所以A P B C,即 A P J.B C(I I)解：设。=；124,；1。1,则田0=；1(0,3,-1)B M =B P +P M =B P +A P A=-2,4)+/1(0,-3,-4)=(-4,-2-3/l,4-4A)A C=(T,5,0),B C=(-8,0,0)设平面B M C的法向量勺=(%,，x，Z 1),平面A P C的法向量叼=(x2,y2,z2)BM-n,=0,由VB C f l y 0,得4 4%(2+34)%+(4 4/1)Xj=0,-8%1=0,%=0,叫 2+3 2Z-4-4 2可取勺=(0,1,卢 普)y,4-4 2AP 4=0,由4 4AC%=0.3y2+4Z2=0,4x,+5%=0,5得 1 4 可 取 叼=(5,4,-3).“中，7 I由1 ，=0,得4 3-=0,4 4A2解 得 力=?，故 AM=3。综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。方法二：(I)证明：由 AB=AC,D 是 BC的中点，得 AO J.BC又 平面A B C,得P O上BC.因为PO AD=O,所以BC_L平面PAD,故 3 C，PA.(I I)解：如图，在平面PAB内作_LPA于 M,连 CM,由(I)中知 A P _ L 3 C,得 APJ.平面 BMC,又 A P u 平面A P C,所以平面BMC_L平面APC。在 MAAD阱,AB2=A D1+BD1=41,得AB=屈.在 RtAPODfp,PD2=PO2+OD2,在 R M D研,PB1=PD2+BD1,所以尸3?=PO2+OEP+DB2=36,得 PB=6.在 RtAPOA 中,PA2=AO2+OP2=25,得 P 4=5.又 cos NBPA=PA2+PB2-AB22PA-PBI3从而 PM=PBCOS NBPA=2,所以 AM=PA-PM=3。综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。2 1.本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满 分 15分。(I)解：由题意可知，抛物线的准线方程为：y=-,417所以圆心M (0,4)到准线的距离是一.4(I I)解：设 P 5,片),4(%,5),6(孙力),则题意得*0,玉)W 1,玉W /，设过点P 的圆C2的切线方程为y-片=k(x-xQ),即了=依一代()+片 则 出。+4-片 1 =1,，1 +左2即(4-Y)k2+2 豌)(4片)女+(%4)2-1=0,设 PA,P B的斜率为H&),则匕,心是上述方程的两根，所以k、+k22%(X：-4)_(Xp -4)-1F-，I L F1将代入 y=-V2,|x2 kx+kx0 一 x：0,由于不 是此方程的根,故 =仁-x0,x2=k2-x0,所以3壬=%+*2 =4+4-2%=2学 4)2x。,=Y由 得心%一2/).卢 2%0 _ X。=一1),解 得 片=w即点P的坐标为所以直线/的方程为y =士 笔 p x+4.22.本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满 分1 4分。(I)解：求导得尸(x)=2(x-a)l nx +=(%a)(2I nx +1 -).xx因为X =渥/(X)的极值点，所以/(e)=(e 。)(3-0)=0,e解得a =e或a =3 e经检验，符合题意，所以a-e或a =3 e.(I I)解：当0 x l时，对于任意的实数a,恒有/(x)W 0 4 e 2成立；当l x 3 e时，由题意，首先有/(3 e)=(3 e a)2 1 n(3 e)W 4 e 2,解得 3 e-a 3 e+-产 .,J n(3 e)J l n(3 e)由(I)知/(x)=(x-a)(21 nx +l-4)，X令 h(x)=21 nx +l ,则/z(l)=1 -t z 0,xc 2 e3 e H i-且 h(3 e)=2 l n(3 e)+1 -2 l n(3 e)+1-41.(3)3 e 3 e=2(l n3 e -4=)0.V l n3 又/z(x)在(0,+o。)内单调递增所以函数/z(x)在(0,+oo)内有唯一零点，记此零点为与，贝1J 1 与 3 e,1 x()0;当 x G(%,a)时(X)0.即/(x)在(0,朝)内单调递增，在(%,。)内单调递减，在(a,+)内单调递增。所以要使/(x)W 4 e 2对x l,3 e 恒成立，只要f(x0)-(x0-af l nx0 4 e2,(l)V/(3 e)=(3 e a)?l n(3 e)1,注意到函数d h?%在 内 单 调 递 增，故1 拓 e。再 由(3)以及函数2x l nx +x在(1,+8)内单调递增，可得l a 3 e.由(2)解得，3 e-T=a 3e+.J l n(3 e)J l n(3 e)所以 3 e -=a 3e.J l n(3 e)综上，a的取值范围是3 e Je Y a 3 e.J l n(3 e)
