2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）.pdf

2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，1 5 0分。考试时间长1 2 0分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选 择 题 共4 0分）一、选择题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。I.已知集合P=x I x221 3 .已 知 函 数=若关于x 的方程f（x）=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围（X-1）3,X/3,0).设P B与A C所成角为。，则八 P B A C 6 V6COS:.=k-尸=.PB-AC 2 V 2 x 2 V 3 4(I I I)由(H)知 瑟=(-1,百,0).设 P(0,-/3 ,t)(t0),则 丽=(-1,-岛)设平面P B C的法向量m=(x,y,z),则 衣 机=0,而 加=0-x+3.Jy=0,所以 ；-x J3 y+?z -0令 y =y/3,则 x =3,z =所以 2 =(3,J5,9)t同理，平面P D C的法向量=(-3,75,3t因为平面PC B _ L平面PD C,所以加=(),即6+*=0t解得。=而所以PA=J(17)(共 13 分)解(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10,所以平均数为-8+8+9+10 3 5x=-=;4 4方差为5 1 (8-)2+(8-)2+(9-)2+(10-)2 =11.4 4 4 4 4 16(0)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是：9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4x 4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,2 0,2 1事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P同理可得p（y =18）=,；p（y =19）=-；p（y =2 0）=-；p（y =2 1）=-.4 4 4 8所以随机变量Y的分布列为：Y1718192 02 1P8_4J_4j _4j _8E Y=17x P(Y=17)+18x P(Y=18)+19x P(Y=19)+2 0 x P(Y=2 0)+2 1 x P(Y=2 1)11111=17x-+18x-+19x-+2 0 x-+2 1x-8 4 4 4 8=19(18)(共 13 分)i二解：(I )f(x)=-(x2-k2)e.k令/(0)=0,得 x =Z.当 k 0时，/（x）与/（x）的情况如下X(-00,-A:)-k(-k ,k)k(Z,+8)fM+00+/(x)/4 e0/所以，/。）的单调递减区间是（一8,攵）和（,+8）;单高层区间是（%,女）当 k 0 时，因为/(Z +l)=e*-,所以不会有 V x e(0,+oo),/(x)4 一.4左 2当 k),/U)-等价于 f 一 (一口=一-.e e e解得一l.当机=1 时，切线1的方程x =l,点 A、B的坐标分别为一方-),此时 I ABI=J5当 m=-1 时，同理可得|AB|=当|相|1时，设切线1的方程为丁 =左 一加),y=k(x-/ri),由v +/=1.U )得(1+4公)/-S k2mx+4k2m2-4=0设 A、B两点的坐标分别为(内，必)(%2，%)，则x+x28公利 4 2 2 m 2 _ 41 7 7 记 无2=1+小又由/与圆/+y2=1 相切，得即/上2 =公+1.AF+1所以I A 8|=)(七一七)2+(为 一%)2(1+公)64k4 m2(1 +4 4 2)24(4/”2 4)1 +就 24 6 1 m lm2+3由于当加=3时，AB=V3,所 以 依 上乎詈皿y f uue因为I A B 卜4向?|tn2+3473-V2,|m|+I m且当加=G时，|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.（2 0）（共 1 3 分）解：（I ）0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5）（H）必要性：因为E数列As是递增数列，所以4+1 久=1（攵=1,2,1994所以As是首项为1 2,公差为1 的等差数列.所以 a2 ooo=1 2+（2 0 0 0 1）xl=2 0 1 9.充分性，由于az oooai ooo2 2 0 0 0 ai（xx la?a l所以 az ooo1 9999,即 a2 oooS ai+1 999.又因为 ai=1 2,a2 ooo=2 0 1 9,所以 a2 ooo=ai+1 999.故一耳=1(左=1 2 ,199%即4 是递增数列综上，结论得证。(III)令 q =aM ak=1 0(左=1,2,一 1),贝 ijq =1.因为 =a1+G +=/+G+c2%=4+G+/+%，所以 S(A)=+(n 1)G+(-2)Q+(n-3)q H-Fcn_x=吗 _ (1 -1)+(2)(_2)+.-+(1 _%).因为q =1,所以1 q 为偶数（攵=1,1）.所以*1 q)(1)+(1 ，2)(2)+(1%)为偶数，所以要使S(A)=0,必须使D为偶数，即 4 整除“(1),亦 即=4加或=4 m +l(m e N*).当 =4 m+l(m G N*)0寸，硅 歹 的 项 满 足%&+=。软-1=，2 =一1，=1(左=1,2,，m)时，有,=0,S(A,)=0;a4k=l(A:=l,2,-,m),a4 j t+1=0 0寸，有=0,S(An)=0;当“=4m+l(m e N*时,磁 列4“的项满足，=T当=4 m 4-2或=4m+3(m G N)日 寸,n(m 1)不能被4整除，此时不存在E数列An,使 得 弓=0,S(A)=0.