复变函数课后习题答案.pdf

习题一 P31i 题(2)_L+l z i =3+但=_2_il-z i.2-1 2 2D，、3.1 -3 J,V10Re(z);/,(z)=-；z=-+-；：=-；2 2 2 2 2arg(z)=arctan；一 九(4)Z8-4/21+Z=1 4i+i=1 3i;Re(z)=1；Im(z)-3;z=l+3i;|z|-VlO;argz-arctan3;5 题(2)一 2=2(cos;r+isin万)=2e；(4)(6)4-3z(夕=-arctan(cos-zsin0)3 _ 出 尸(cos 2。+i sin 26)2 一3 侬尸cos(arctan )-i sin(arctan )4 4=cos76-isin7。;8 题(1+z)8=(V2i?,7)8=16(4)c,3_ 2K7T 71V-l-i=啦(cos-3c2,k 兀-3-n 3+zsin-);0-arctan 1 -乃=乃；3 4K=0,1,2;(r y/2 V 2 V?K,-V 2(cos-+z s in-);1 12 12,/6后/13万.13万、K)V2(COS-F i sin-);2 12 1212题 R，(z 2)=3;即 凡(x 2)+M=3;x 2=3;x=5 直线(6)13题(1)(2)15题(1)(3)16题(2)(4)2 0题(1)(2)7 1 n V 1 7 Ta rg(z-z)=;a rg(x +/(y-l)=;a rc t a n -=;4 4 x 4匕1=1；y =x +l以i为起点的射线(x 0).X/,(z)0;即y 3;即 以(2,0)为圆心，3为半径的圆域外，开区域，无界，多连通。Z=J+-V；即 X=f2,y =-4；y =L ，X0；t t-X是双曲线在第一象限的一支z=ae+be=a(cost+i s in t)+b(cos t-i s in t)=(a+b)cos t+i(a-8)s infx-(a+h)cost;y =(a-h)s in t;椭圆 一-=1(a+b)2(a-h)2y=2;z(f)=f+i2z(f)=2 i+t(x-1)2+y2=9;(U)+g =l；x =l +3c o s f;y =3s int0 t 2+i z 2+i 5lim z z +3-z +2 _ i(T)+一(-i)+2 _ 3z-i I 2一1 2 2习 题 二 P502题(1)/(z)=(z l);/(z)=(z 1产4题(1)5题(1)/(z)=4 z 3z 2;/(z)=-l-6 z/(z)=(2 1)4；/仁)在2=-1无定义，Z=-1是奇点Z+1f(z)=孑+1 ;/(z)在z =0,z =i无定义(z +氏z-0,i是奇点/(z)=x2+z y3;u=x2,v=y3呜=尢1=0答 ，新犷,黑第新啜财令,导数存在，在复平面不解析。f(z)=g ln(x2+y 2)+i a rc t a n;=ln(x2+产,yv=a rc t a n xdu xdx x+ySu _ y-Z 一 2 2dy x+ydv _ y dv _ xdx x1+y2，dy x2+y2?=F，?=-?当尤2+y2*0时及X HO外都解析。即虚轴外都dx dy dy dx解析8题 v=,2)=0；x +ydv _-2 xy dv _ x2+y28x(x2+y2)2 5 dy(x2+y2)2d2v _-2 y(x2+y2)2+4x y(x2+y2)x2 x _-lyx1-2y3+8x2y _ 6 x2y-2 y3dx2(x2+y2)4(x2+y2)3(x2+y2)3必 _2y(。2+),2)2 2 a2 +y2),2 y(x2 y2)_ Zy?2y3 4盯+2)，3dy2(x2+y2)4(x2+/)3-6 x2y+2y 3U2+y2)3a2v而 .是调和函数设f(z)=/(x +iy)=(x,y)+iv(x,y)含x =0f(iy)-w(0,y)+iv(O,y)求 y 的导数即尸(iy)i=；(0,y)+M(0,y)=号+i-=0+/(-L)&(0,y)(0,.v)?=-y,t=iy,y=-it,f(t)=；,f(t)=-+cy2 t t/(2)=0 n c =2，即/(z)=+22z 2(4)=x2+4孙+y+&-y)(2x +4y)=x2+4x y +y2+2x2+2x y-4y2dx=3x2+6 xy-3y 2=3(x2+2 xy-y2),-=6 x +6 ydx=-(x2+4 +y2)4-(x-y)(4x +2 y)=-x2-4x y -y2+4x2-2y2-2 xySy=-3x2-6 xy-3y2彗=_ 6 _6)，=_吗，调和函数dy2 dx2/(z)=/(x +iy)=w(x-y)+i2(x-y),令y =0,/(x)=w(x,0)+iv(x,0)r(x)=+i=3x 2 一%2=3/(1 i),&(J.o)dx x 0f(x)=(l+i)x3+ic,f(z)=(l+i)z3+ic,由u不含任意数，故有ic9题(1)e 2 =e2(cos+zsin-)=ie22 2(2)eikn=cos k/r+i sin kn=(-1)A,(k G Z)(3)Ln3=ln3+iArg3=ln3+i(2A)，k=0,l,2,-(5)ln(12+5z)=lnl3+z arctan ,(7)(l+i)=+2kn=e 4(8)sinz=10题(3)sin(g+z=x+i)证：sin(i r-v=一 e-2z _=KV(eiLn(,+i),v Ln(l+/)=lnV2+z(-+2k兀).、/-.1I n 2 c 亢卜 2kr 兀r=。川=e 2 4cos In 2+z sin In 2I 2 2)-e cos 1 +z sin 1 -cos 1 +z sin 1 .,-二-=z sin 12z2iz)=cos z；71.71、.v,+z (+x)+iyi(g+z)-/(+z)-y+i(-+x)yT(+x)7i+x e 2-e 2 e 2-e 2z)=2 2i 2icos(卜 c)+ism(卜 c)-e cos(bx)-zsin(2 2)(2 2cos x+i sin x)+ev(cos x-zsinx)=(e y+ix+e ylx)乙=-(efe+e-,z)2 (4)cos iz=g(ei(iz)+ei(iz)=g(ez+11题(1)/+l =0,=-1,z=In 1 +z(乃 +2k兀)=i(2k+1),(3)Inz=-z,z=e2=i2乙)=chz=L?(-l)k=0,l,2 12题/-/(Zo)证.lim (z)=lim /(z)-/(z)二 H m z-z _/(z )z-z g(z)z-Zo g(z)-g Q o)z Zo g(z)-g(2o)g，(z 0)Z Zo13题lim s inz coszj o1zf 0 z 11lim I n(l+z)_ 1 +Z p _ z f 0 z 1(3)lim -ez-1=-n=1zf 0 z 116题Lnz+Lnz=2 Lnz,不正确。Lz=ln|z|+/(a rg z+2 k1),Lnz+Lnz=21n|z|+z(2a rg z +2攵 万 +2Z1)=2 k兀,2 Lnz=2(ln|z|+i(a rg z +2 k兀 =21n|z|+i(a rg z +4kTT)W Lnz+Lnz习题三P68i题计算积分z2dz,其中C为从点1沿下列路径到点i.(1)沿实轴从1到0,再沿虚轴从0到i；沿直线x +y =l从1到i.解：1 t(1)曲线 C 的方程为：一 八 t e 1,0 Z)=f dz=dt7 =0 x =05t G 0,1 z )=i t dz=idty=tg2d z=,%+j(0)2 油(2)曲线C的方味二y。)=(1一。+方 dz=(-1 +i)dtpdz=f 1 +(1 +z 2(-1+z 三一 4,+2f 2 +/(l-4r+2r)3题计算积分1(x-y +i/,C为从0至 打+i的直线段。解：X -t曲线 C 的方程 t e 0,1 Z)=(l+i d z =(l +i(x y +&z =(f T+/k +迎=1(i-力=*_ i)5题指出下列各积分值，并说明理由，其中C：忖=1,取正向。(1)i dz(3)Szedzt z 2 上解：因为在忖4 1内被积函数满足柯西古萨基本定理，所以(1)d z =047 z-2(3)elzdz=07题沿指定曲线正向计算下列积分：(1)一 一d z,其中 C：lz-l|=4上产+1 14 i dz,其中 C：|z|=l47 z -2%4日+屋4产 其 中C0|=|解:(1)d 7 弋 dz=d -+-dz=2疝 +2%=0)(z +i z-i)4,i 4,i 3 1(3)J -/z =4/-7-dz=4 工 dz+4-dzz2+2 iz*(z -2 i)z 工 z 2i，(z 2i)z(5)d 7-v-dz=c f dz-d -dz=-%I+此2+4)z2+1 z2+4 3%z?+1=!(-2 万 +2疝)=06/Rz +2 Z-l J 6 z解:jr*:z=在C 内，2i-si-n-z-d,z =(z-3.由高阶导数公式2 m.z I7 r si n z(2-1)!=02(8)鼻d z,其中 C：|z|=l解：.z=0在C内，.由高阶导数公式8题计算积分4.7 1si n -z(4z2-l-dz,其中C 为正向圆周。(l)C:|z+l|=1;解：(2)C:|z|=2.乃si n zsi n71%K71rM 丹si n7 1 zz2-l-d z =Z +lX z-1)l+栏z+1si n4 d z2=7 si n2鹿工-z-l=-7 U2 dzz-12m42m9 题计算积分（,等 废，其中C=G+C 2，G：|z|=2 为正向，C#|=3 为负向。解：r c os z,1*z+曰 爹d z-兀c osz-d z =0z3习题四P886 题把下列各函数在指定点处展开成泰勒级数，并指出收敛半径。Z o=；解：_1_=_1 _=U%-z-2 (z-2，z+l)3(z-2 z+1JI ll三=42+(1 1+胪1，忖 2-=-l Z+ZZ3-|(一 )z+|z|1Z +11 11 U f-L z -z-2 3(z-2 z+1J=；g+()+(1 Z +g 2 g 3 +(-)Z +=-立 段r+(-郎n=0|_ kZ7收敛半径为1.4n+2(3)si n z,4 =0；解：7 3 ,2 +lv si n z=z-+(-1Y17-7+3!)(2H+1)!收敛半径+84 2 2 Zsi n z=z-F3!c o 4/1+2=S(-1)(2 n +l)!收敛半径为+8 .(5)a r c t a n z,z0=0;解：I 1 8(a r c t a n z)=-5-=(-l)n22收敛半径忖 11 +Z ,.=ooc c o 2 n+la r c t a n z=(-1)无2%=)j 收敛半径闫1“n=o”=o 2 +18题将函数/(z)U-iXz-2)在以下圆环域内展开成洛朗级数(1)l|z|2；解：-1 1-1-z-1 z-2iiW1z-2解:1z-21 81z 21181+1(z-2)n+,1|z-2|lZ解：1(z-2)(z-3)在点3的去心领域内解：函数还有一奇点z=2,距离为1圆环域内为0|z 3|1,那么1 1 1 1(z 2)(z 3)=1+J _(z-3)2z-3tv：w=o(-1):-3)n+20|z-3|l J 3,0|z|l,0|z-l|lz(l z)解：7rly名，o|z|i z l l-z j z =o J,.=I1 _=1 1 =1 Z(1-z)2(z-1)2 z-1+1(z-1)2=0 C O工(-严，0|z-l|l/l=01 2题利用洛朗展开式求下列积分 寸(:八2dz|z|：2 Z(Z +1)解：r 1 J j-1 J j-1q -7 qdz=q _7 r j-dz+q -7 d zIz|=2 2(Z +1)岸 4 1+Z)匐 Z(1+Z)，=2 m +-2/ii=0z=-l解:si n2于 )(2 z (2 n +l)!.Ts i/d.寸上工闫*z r (2 +l)!(zj|q=3 k l=3=(5 dz=4 万。z2n+1dz习题五P109i题下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。z(z2+1)1(5)e l解：(1)由 z(z?+1)=z(z+i)(z-i)=0得z=0，z=i，z=T是函数的奇点,而且是一级极点。注：如果是则z=0是一级极点，z=i是二级极点。z(z2+l)2.?-3z +2 (z-l)(z-2)1(z-l)(z-2)2(z-l)(z-2)2 4 z-2z=1是 可 去 奇点，z=2是一级极点。/e:-1 +1 1 1z-l 2!(Z 1)2+1 1H-n(z-iy；.z=l是 本 性 奇点。3题设函数/(z)与g(z)分别以z=a为机级与级极点(或零点)，则下列三个函数:(1)f(z)g(z)在Z =。处各有什么性质?解：(3)f(z)+g(z)(1)如果z=。是奇点，则/(z)g(z)在Z =。是机+级极点。如果z=a是零点，则/g(z)在z=a是?+级零点。(3)如果z=a是奇点，则/(z)+g 在z=。是ma xm,级极点。如果z=。是零点，则/(z)+g(z)在z=a是mi n m,级零点。5题求下列各函数在有限奇点处的留数。7(1)R(3)(5)si n-1-z z-z z+l解：函数在z=0是唯一的有限奇点，那么/1 f.1 2 1 尸=K l +z+于+不+C (=-n =,、_ *z3-Z5 zQ-F)z l-z)(l+z)z=0,z=l,而且 3 5=3(1+z-z z故 R e s 3 1 5,0=%=1_ z-Z _又 li m(z-l)F r =-R e.8?-z5 2li m(z+1)a s ，z z-z 2(5).z=-l是si n上的唯一有限奇点。z+1.N.f,1 1.1 1si n-=si n 1-=si n 1 c os-z+1 v z+lj z+l.L i f 1 Y i f 1 Y2!(Z+D 4!1Z+Uz=-l是 函 数 的 本 性 奇R e s si n ,-l=C_,=-c oslz+1此洛朗级数的洛朗系数函数有三个有限奇点：Z2+Z4+-+Z2，+-)z|l)i z i l.z-+2 az+l工d-(-z-(-z-份-dz(la l l lb l)解:(1)原式=2万 R e s 二,1 +R e s =-1(z-l)z-1)(3)原式=，7-/丫-,Wz 在 I z 1=内只有i：i=i (z+a +-lz+a ya 1Jz=-a+7 2-1 一级极点,原式=2 m R es ：-a+V o2-1z+2 a z+l(5)-/Iab 被积函数在I z 1=1内，z=a是n级极点-,0=li m-(z a)-(z-a y(z-b y J zT a (_ i)!d zT (z-a y(z-b y理 言”(一严器鄂-L=(一1)原式=2 m.R e s1(z a)D(T)“(2 2)!m3_“严1(T)!=(-1)n(n+1)(2 n 2)2 m(D!S-a 产,