工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版.pdf

习题解答1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 01a b c(1)1 -4-1 (2)b c a-1 83c a b1 1 1Xy 1+(3)a b c9(4)y x+y xa2 b2 c2yx y解(1)原式=2 x(-4)x 3 +0 x(-l)x(-l)+i x i x 8-l x(-4)x(-l)-2 x(-l)x 8-0 x i x 3=-4；(2)原式=acb+bac+cba-cJ-a3-=3 abc-a3-b3-c3;(3)原式=l-b,c2+lc,a2+lab2-l,b,a2-l,c,b2a,c2=be2+ca2+ab1 ba1 cb2 ac2=c2(b-a)+ab(b-a)c(b2-a2)=(a-b)(b-c)(c a);(4)原式=x(x +)y +j i r(x +j)+(x +j)y r-(x +y)J-x3-32.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1 2 3 4;(2)4 1 3 2；3 4 21;(4)2 4 1 3；1 3(2n-1)2 4 (2)；(6)1 3 (2 n -1)(2n)(2 -2)2解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0；(2)此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元素1 的逆序数为1;第3 位元素 3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+1 +1 +2 =4；(3)此排列的前两位元素的逆序数均为0;第 3位元素2的逆序数为2；末位元素1 的逆序数为3,故它的逆序数为0 +0+2 +3 =5;(4)类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2,1,故它的逆序数为0 +0 +2+1 =3；(5)注意到这2”个数的排列中，前 n位元素之间没有逆序对.第+1 位元素2与它前面的n-1个数构成逆序对，故它的逆序数为n -1;同理，第n+2倍元素4的逆序数为-2;；末位元素2 的逆序数为0.故此排列的逆序数为(”-D+(”-2)+0=1);(6)与(5)相仿，此 排 列 的 前n+1位元素没有逆序对；第”+2位元索(2n-2)的逆序数为2;第“+3位 元 素2-4与它前面的2n-3,2n-1,2n,2-2构成逆序对,故它的逆序为4；末位元素2的逆序数为2(”-1),故此排列的逆序数为2+4+2(”-1)=”(-1).3.写出四阶行列式中含有因子即1生3的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行 和 第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即即2和O或 和.注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2,故 此 行 列 式 中 含 有 即 的 项 为-即与 即 a23a34a42.4.计算下列各行列式:4 1 2 41 2 0 2(1)10 5 2 00 1 1 72 1 4 13-1 2 1(2)1 2 3 25 0 6 2a h,ac ae(3)bd-c d d ebf cf-e f 解 a-11b0100(4)0-1c100-1d1 2 0rLh 4 1 210 5 20 1 11 2 0r4*ri 0 1 10-15 20-7 2721|1.，.|I120rj+15r：11-20r,+7r20017-41 10092-4-207278545=0(因第3、4行成比例);1 4 1 6 2=0(因有两行相同);2 3 20 6 2ri v d(3)D=adfr j-3+r(4)D=-bbbc eCiT b=7=abcdef口 T Ccx,r e111-11-1abcdef-1000211,0=abcdef 0-1001 +abb-10a11+ab-10a-1ad001d按 c 展 开/、，、3（一1）（一 lA1 +ab-10a 0c 1-1 dc-11 +cd0按r j展开(-1.)(-l)51+ab-1ad1+cd=(l+a6)(l+cd)ad.5.求解下列方程：T+1 2(1)2 z+1-1 1-11 =0;(2)jr+11c2=0,其中 a 1,ccjc互不相等.r +r 1 1解(D 左式=.(z+3)2 x+1r T(r+3)-1 101X+11 0 0(1r+3)2 r-1 -1 2 +1工一 1=(z+3)=(z+3)(x2-3).L x+1于是方程的解为:工产-3,七=6,工3=-方;(2)注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式，由例1 2的结果得(x -a)(x-b)(x-c)a-6)(a -c)(-c)=0.因a,6,c互不相等，故 方 程 的 解 为=,1 2 =6,1 3 =c.6.证明：a22a1aha +1b22b1=(a -b)3;ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+by=(不+必)ay+bzyyzzya2b22(a +I)2(6 +1)2(c +l)2(d +1)?(a+2产(6 +2)2(c +2)2(d+2)2(a +3/(3)2(c +3)2(d +3=0；11a(4)bb2dd1ab c d(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a +b+c+d);x0-100000=a.N+a0 000证(1)左式a2-b22(a -)0a,ab b2 b2a b 2b0 1(a-b)2 ah-b2 h22b1400a-b0=(a-b)3=右式;(2)将左式按第1列拆开得ax ay+bz az+bxby ay+bz az+bx左式=ay az+bx ax+by+bz az+bx ax+by=aD,+bD21az cue+by ay+bzbx ax+by ay+bz其中.rDt=yaz+bxax+byay+bzay+bz zaz+bx xax by yay+bzaz+bxax byay+bzaz+bxaz hrci U C ax-r by 一 bC L b。y2=ZXay bz z az+bxx ax byy ay+bzzx ，y于是JC y zD=aD+bD2=(a3+)y z x=右式.(3)左 式，b1z JC yd12a+1 2 a +32 a+52 6+1 2 6+32 6 +52c+12 c+32 c+52 d +12d+32 4 Z+52 a +1b2c2d22 b+12c+12d+l22222222=0 (因有两列相同);(4)左式，4-Y r?0r一ar20 -50b2(b2 a2)c2(c2 a2)d2(d2 a2)111b Qc -ad-a6(6 -a)c(c -a )d(d a)1 1 1按C|展开 .(b-a)(c -a)(d -Q)b c d各列提取公因子、八 八/62(6 +a)c2(c +a)J2(J+a)c-b d-b=(6 -a)(c-a)(d_a)z y其 中：)=c(a +6 +c)(c-6);y=d?(d+a)-bd(b+a)=d(a+b+d)(d-b).口 c-b d-b 一 、故=(c-b)(d-b)1 y1 1c(a+6+c)d(a+6+d)=(c 6)(d-b)d(a +6+d)-c(a +6+c)=(c-6)(f/-6)(J-c)(a +6)+2 c2二 (c-6)(d -b(d-c)(a+b+c+d),因此，左式=(。一。)(。一。)(4 一。)(一6)(1-6)(4-。)(。+。+。+4)=右式.(5)证一 递推法.按第1 列展开，以建立递推公式，-1x-1 0&.=/&+(-1)0 ,*X-1=xD.+(-l)2+2a0=xD+a0.又，归纳基础为：DI=Q.(注意不是工)，于是D.|二 血+%=x(xD-,+即)+劭=x2 Dw.i+|x+a0=xD|+a 1 工 +,+x+a0=a0+U|x+a2x2+ajr.证 二 按最后一行展开得x-1 1D.T=宜(-1尸、j*9一 J7.设”阶行列式。=(U与)，把。上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转,依次得a.i a,a).D,=:,D2=:a”-1.a证 明。1 =A =(-1 )(1 D,Dj=D.证(D先 计 算Di,为此通过交换行将D,变 换 成D,从 而 找 出D,与。的关系.D,的最后一行是D的 第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行,共进行-1次交换；这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共 进 行”-2次交换；，直至最后一行是。的第”-1行,再通过一次交换将它换到第”-1行，这样就把D,变换成D,共进行(H -1 )+(H -2)+,+1 =(M -1 )次交换，故=注1,上述交换行列式的行(列)的方法，在解题时，经常用到.它的特点是在把最后一行换到某一行的同时，保持其余-1个行之间原有的先后次序(但行的序号可能改变).2,同理把D左右翻转所得行列式为(-(2)计 算 注 意 到D2的第1,2,，”行恰好依次是D的 第%n-1,，1列,故若把D2上下翻转得则D2的 第1,2,-,n行依次是D的 第1,2,，”列，即 凡=。T于是由(=D2=(-l)Tw-n 万2 =(T)；T DT =(-(3)计算功.注意到若把D,逆时针旋转90得DJ.JM D3的 第1.2.-.列恰好是D的第，1列，于是再把Dy左右翻转就得到。.由(1)之注及 ，有D3=(-l)i(-,)DS=D.注 本例的结论值得记取，即对行列式D作转置、依副对角线翻转、旋转180所得行列式不变;作上下翻转、左右翻转、逆(顺)时针旋转90所得行列式为8.计算下列各行列式(D4为及阶行列式)：a 1，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;1aD.=aaaa X(a T)()(a -)”M -Ia-n)(3)D,tl=a 11a1提示：利用范德蒙德行列式的结果.b.(4)b，其中未写出的元素都是0；D.=d e t(%),其中%=I(6)&=(1)解一解二Dt t1+111+。2111+%把D按第一行展开得D=。十(-1)按第一列展开01，其 中 O S 0a0/+(-1)”2=2面 一1)a1001aa 11 a0a0由 例 10a2-1).1(2)本题中D是教材例8中行列式的一般形式，它是一个非常有用的行列式,在以后各章中有不少应用.解 利 用 各 列 的 元 素 之 和 相 同，提取公因式.x+(n-l)a x+(n-l)ax aa x 11 1x-a(3)解 把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，故行列式经上下翻转再左右翻转(相当于转180,参看题7)其值不变.于是按范德蒙德行列式的结果，可得1 1 1a-n a-n+1 a _.(a-)(a-n+1)a(4)解 本题与例11相仿，解法也大致相同，用递推法.由例10(a.d,-b.ca)DU n.l),即有递推公式D2.=(a.d.-6.c,a.b另一方面，归纳基础为D?=j 利用这些结果，递推得C|d|D2.=(a.d,-b“c”)(a、d*-/白)=口(为4 -btct).解(6)解 将原行列式化为上三角形行列式.为此，从第 2 行起，各行均减去第 1行，得与例1.3相仿的行列式其中6=1 +处这宗于是D.=3 1-12一 5 1 3 49.设 D=、,D 的(i,j)元的代数余子式记作A,，求2 0 1 -11 -5 3-3A J,+3 A 32-2 A 33+2 A y .解 与例13相仿，AJI+3A32-A.”+2A”等于用1,3,-2,2 替换D的第3 行对应元素所得行列式，即AJI+3A3 2 -2A33+2A34=11003 1-125 1 3-413-221-5 3-3J +q3 1-1-5 1 31 3-21 -5 33-2-20023-5-14-4-12-23-1410.=24.用克拉默法则解下列方程组:+x2+x3+x4=5;x(+2X2-+4X4=-2;3x,+x 5以=2,+1LT4=0;解51000r2-r(-2)按 j 展开:2100211140-13-5-1-13-1-23=1.=0,+6x4=0,+5z4=1.D=11111 2 7 42-3-1-53 1 2 112-111110 1-2 30-5-3-70-2-1 8n -2 r|，4-3 八5-2-2011100012-31001-172-2-13-54-511380ill-138=-142;145333-20015-4-10-109335按门展开-27032-27310-132-22-49230-22-10-19-142;23151115115 =1-2-14=0-7-232-2-1-53-2 n0-12一3-7302H0-15-18-7-12-15-2-3-13-78门-2 r2333-150 -1 30 -31-1 8按C?展开 23-13-31=一 284;。3=33I1 1 5 1115 112-240 1-732-3 -2 -5r-2 c0 -5 -12-7|3 1 0 114-3/|0 -2 -15 8n+5r2 0 1n+2r2 0 00 05 1-7 3 1 1 1-47 8-0 1-29 141-47-2914-426;D4=小 +522-3110一 00100015-1-2口 一-1-2rj-220，.-31151-2一70-13-470-5-29-13-5-5-21-2一3-15-7-12-15-47-29=142,8123由克拉默法则，得而(2)D=5100(*610051065=114,于 是 0 =325-114=211；D2=500100106510065按c2展开0065065+510065006-1 9 +1 8 0=1 6 1;D3=5100651010010065按C 3展开1 5 05 6 001615 000501 6=5-1 1 4 =-1 09;5100651006511001由()式-1 +6 5 =6 4.按“展开100510651十51065065由克拉默法则，得_ D t _ 1 5 1 _DZ_ 1 6 1=万=一 五1 孙=万=元1，处=_ 1 09 D4 6一4N=F二方=2TT1 1.问 人，取何值时，齐次线性方程组Ax|+x2+X j=0,N=0或4=2或入=3,并且不难验证:当a=0时，叫=-2,%=1，工3 =1；当a=2时，工|=-2,工2 =3,%=1；当4=3时，叫=-1,壬=5,科=2均是该方程组的非零解.所以当入=0,2,3时方程组有非零解.习题二习 题 解 答1.计算下列乘积:4(1)153-2 3 27 oj 1(2)(1,2,3)卜卜1,2);321(1 2 3)*3=(10)|xi=10;3 x|121+2 2 4 2 +0 2 3 1 3 I3-X|+必 +0 3 3 1 33x|=M 工；+0 1 3巧工3+0 2 2招+0 2 3工2必+a】3 1 3 1 I+aMx3x2+a33x=aH X?+0 22-2+0 3 3 /+2 a|2X|X2+2。|3 1 1 1 3 +2 2 3 1 2%31 12,设 A=1 11-1求 3A B-2A 及-B.11 1 2-1 ,B=-1 -21J 0 53410于是 3A B-2A =3 02一;:|-2|:9 oj 115 8-5 69 010 15 241 2 20-15 18-2 26 27 oj 2-213 2217 20;29-2.因 AT=A，即 A 为对称阵，故0ATB=A B=023.已知两个线性变换=2“+%,和=+3*+2%,%=4 M +必+5%，5 8-5 6 .9 0.yi=3 z,+的=2勺+%，3=-的+3叼，求 从Z|tz2,z3到X|9X2 的线性变换.解依次将两个线性变换写成矩阵形式:X =AY,Y=BZ,这里矩阵-3 12 00-1013分别为对应的系数矩阵；*=在这些记号下，从孙，去，叼 到 为，与，巧的线性变换的矩*=A Y=A(5Z)=(Ab)Z=CZ,C=AB=即有X j=-6 z,+z2+3 zyx2=1 2 z j-4Z2+9叼=-1 0z|-z?+16Z3.4 设 Y 3)-C 胃M解(1)AB=BA 吗？(2)(A+8)2=A2+2AB+B2吗？(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗？1 23 8，故 ABW BA;(2)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2,但 由(1),AB力BA,故 AB+BAW 2AB,从而(A+B)2 A2+2AB+B2；(3)(A+B)(A-B)=A?+BA-AB-但由(1),A B W B A ,故 BA-A B N O,从而(A+B)(A-B)A2-B2.5 .举反例说明下列命题是错误的：若T=O,则A=O；(2)若 A、A,则 A=O 或4 =后;(3)若 A X =AY,S.A X O,则 X=Y.解 取A=(：有T=O,但A K O;(2)取 A=(：),有 1=A，但 A#O 且AKE;取 A=(：J*=(：；),y =A=(j J 有 A X3,且“。,但 X W Y.6 .设 A=（；：）,求 A A,，A”.解直接计;得:）4力一般可得(2.3)事实上，当4 =1时，（2.3）式显然成立；设当出二时，（2.3）式成立，那么当万=十1时,由归纳法，知（2.3）式成立.A 1 07.设 A=0 A 1 ,求 A”.0 0 A.解 把A写成两个矩阵之和00A00 00+01 00 1 =AE+B,0 0.0其中三阶矩阵6=0.00 01满 足 中=0o j lo1000 10 0,B*=O(4 3).0 0.于是 A,=(AE+B)=C A E+C XB +C：B=O E+C k TB+C*B 2O-21A2tiX-1)2=0 X心=厂10A2nA(Q2).1 0 0A,00A28.设4,8为”阶矩阵，且A为对称阵，证 明BTAB也是对称阵.证根据矩阵乘积的转置规则,有(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB(因 A 为对称阵),故由定义，知BTA B为对称阵.9.设都是”阶对称阵，证 明A B是对称阵的充要条件是AB=BA.证 因 AT =A,B T=B，故A B为对称阵0(A 8)T=ABBTAT=A B B A =AB.1 0.求下列矩阵的逆阵：2 ,、/c o s 6-s in 65/s m 0 c o s 01(at 02-14-2;(4)2.a“#0).-4 1J *,.0 a.解(1)由二阶方阵的求逆公式(教材例10)得(:丁尚信一:H 一；,2 51(3)35c o s 6s i n 0一 s i n dc o s 01/cos 0 s i n 0c o s2 0+s i n2 0 -s i n 0 c o s 0I c o s 6 s i n 0 -s i n 0 c o s 0 1,-1-2 =2 R0,故A可逆，并且11 2 因I A I=3 45 -4M”=4-421=-4,M2I=2-4-11=-2,M3 t=24-1-2=0,=35-21=13,M z?=15-11=6,M 32=13-1-2=1,M|3=354-4=-32,M”=152-4=-14,M33=1324=-2,于是A=,1 A =l A l 2-4 2=j-1 3 61-3 2 14Mt l-M2l-Mi?Ml3-M230-1-2-213一爹一 16M3I-M 32M 3 J1 o,3 T;7-1.(4)因 4 2 a a w 0,故 a,W 0,i =I,2,，”.于 是矩阵 B =d i a g（/,，；）是有意义的，并且因A B =d i a g(a j ,a2,an)d i a g ,y-j=d i a g(1,1,1)=,由定理1的推论，知A可逆，且4-5=啊出,办注 本题结论值得记取，可当作公式用.1 1.解下列矩阵方程:解(1)因矩阵c左乘方程两边得.53的行列式二1,不为零，故它可逆，从而用它的逆矩阵X =(2)记矩阵方程为*4 3 x 311 32 5 1/4 -6J 2 11/3-5/4T-1 2=B”，因2一 612-2308det A=221-101320001=3X0,-1-1故A可逆，用 A T 右乘方程的两边得X=B A*.又，MnA-，=_ 1-A.=_-M 12A|A|-Mzi M2i-Mi31-2-30 13-23 0于是1/-6 63-8 15 记 A=0-2-3-28(003321-2012*J则矩阵方程可写为MI3X=B A-1=j1433251T:2AXB=C.因|4|=6 搔0,|3|=2 中0,故A,B均可逆.依次用4 一,和5 T 左乘和右乘方程两边得X =A C B 1-14 ,/32 0-1 1n(i-4-112123120(4)本题与(3)相 仿.因 矩 阵 1的 行 列 式 都 是-1,故201300111021010000 和100001000j均是可逆阵，并且0000000100001101000010101 00 00 1故 得 X=1 2.利用逆矩阵解下列线性方程组:X)+2X2+3x3=1,2xi+2X2+5xy=2,3x)+5X2+1 3 =3;(2)Xj-x2-X3=2,2xj-x2-3X3=1,3x1+2X2-5X3=0.解将方程组写作矩阵形式这里，A 为系数矩阵，x=Ax=b,口，必，巧）丁为未知数矩阵，b 为常数矩阵.1即有 S l A|=3225351x 因 I Al=123即有=15#0,故 A 可逆，于是-1 -1-1 -32-5x2=0,13=0；x=3/0,故A可逆，于是M l=5,工 2=0,“3 =3.1 3.已知线性变换斗=2“+2力+3，以=3“+%+5%，、卬=3y+2%+31y3求从变量干，对，与 到变量”，的，”的线性变换.解 记 工=（f ,孙 3）T，y=（“，力，？3）、则线性变换的矩阵形式为x=2 2 1Ay,其中A 为它的系数矩阵.因det A=3 1 5=1#0,故 A 是可逆阵，于3 2 3.是从变量X,，工 z，壬到变量V，力，力的线性变换的矩阵形式为y=A 1 x.-7 -4 9又,A，=J y A =A =6 3-7 ,A3 2-4j于是即必=-7xj-4X2+9X3,yi=6斗+3X2-7X3,3=3x|+2T2-41 3 .14.设 A 为三阶矩阵，|A l号，求|（2A）-5A,解 因|4|=9 0,故 4 可逆.于是由A=|A|A T=9-及(2A)T=；AT,得(2 4)-,-5A*=j A 1-y A-1=-2 A-,两端取行列式得K2A)1-5A*I =|-2A-*|=(-2)3I A|-*=-16.注先化简矩阵，再取行列式，往往使计算变得简单.0 3 315.设 A=1 1 0,AB=A+2 B,求 B.-1 2 3解 由 AB=A+2B=(A-2E)B=A.-2 3 3因A-2E=1-1 0,它的行列式det(A-2E)=2K0,故它是可逆阵.-1 2 1用(A-2E)-左乘上式两边得1 0 116.设 A=0 2 0，且 AB+E=A?+B,求 B.1 0 1解 由方程AB+E=A?+B,合并含有未知矩阵B的项，得(A-E)B =A?-E=(A-E)(A+E).0 0 1又,A-E=0 1 0,其 行 列 式det(A-E)=-1X 0,故A-E可逆，用,1 0 0.(A-E)-左乘上式两边，即得2 0 1B=A+E=0 3 0.1 0 2.17.设 A=diag(l,-2,1),A*BA=2BA-8 E,求 B.解 由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵A,，因此仍从公式AA=|A|E若手.为此，用A左乘所给方程两边，得-AA,BA=2ABA-8 4 ,又，|A|=-2#0,故A是可逆矩阵，用A-右乘上式两边，得|A|B=2AB-8E=(2A+2E)B=8E=(A+E)B=4E.注意到 A+E=diag(l,-2,l)+diag(I,l,l)=diag(2,-1.2)是可逆矩阵，且(A+E L =diag(；,T ,引，于是 B=4(A+E)1=diag(2,-4,2).18.已知矩阵已的伴随阵A，=diag(l,1,1,8),且ABA T=B A T+3E,求B.解 先 由A,来 确 定|A .由 题 意 知4 t存 在，有A，=|A lA：得|A*|=|A门AT|=|A|3,而|=8,故|A|=2.再化简所给矩阵方程A B Al=BA1+3E=(A-E)BAl=3E=(A-E)B=3A=(E-A*)B=3E.由 I A I=2,知 A 1=A =-y d i a g d,1.1,8)=d i a g(；,.i/I 1 1-E-A=diagl y.y.y,-3 I-得(E-A -，=diag(2,2,2,-g).于是 B=3(E-A)-=3diag(2,2,2,-y j=diag(6,6,6,-l).19.设 P-A P =A,其中 P=(-；),求 A”.解本题与教材例13相仿.因7 1 4=4,故 A=P 4 P-.于是 A=PA P 1OU：塞；I):2%；.I)1/1+213 4+2u _/2 731 2 7327 -2“-4-2n/=-6 8 3 -684/2 0.设 AP=PA,其中 P=1I10-11 -1-2 ,A=11 5用。一)Q|A”A”An0*0 J *01 -2 -2 -20*0 1*求夕(4)=4 8(5 -6 4 +A2)，1 1 1解 因|P|=1 0-2 =-6 K 0,故 P 是可逆阵.于是，由 AP=PA1 -1 1得A=PAP1，并且记多项式9(丁)=/(5-6%+/2),有/A)=P 夕(A)P，因 A 是三阶对角阵，故叭 A)=diag(3(-1),p(l),9(5)=diag(12,0,0),1 1于是 a(A)=J 1-11 0=-2 1 0,1 01 0=-2 1 0,1 01 1 1=4 1 1 1.1 1 1.注，由于p(A)除(1,1)元外均是0,故在求P时，只需计算P的(1,1)元、(2,1)元、(3,1)元的代数余子式A u，A 和A”.21.设A*=O U为正整数)，证 明E-A可逆，并且其逆矩阵(E-A)=E+A+A?+A-.证 由(E A)(E +A+A?十+A )=E+A+十 A-A-A2 一 一 A”=E-O=E,由定理2之推论知E-A可逆，且其逆矩阵(E-A)t =E+A+.注 判断矩阵B是否为A的逆矩阵，能直接、破简单的方法就是验证AB.,(或者BA)是否等于单位矩阵，就像判断3是否为右的逆只需验证右X 3是否等于1 一样.下一题及例2.1都是这一思想的应用.22.设方阵A满足A2-A -2 E =O,(2.4)证明A及A+2 E都可逆，并求A、及(A+2 E)-.解 先证A可逆.由(2.4)式得A(A-E)=2 E；,也就是4 份(A-E)卜E.由定理2之推论知A是可逆的，且 A-I=W(A-E)；再证A+2 E可逆.用例2.1的解法，由(A+2 E)(A-3 E)=A2-A-6 E =2 E-6 E=-4 E,即(A+2 E)：(3 E-A)=E,-同理，知 A+2E 可逆，且(A+2E)T=；(3 E-A).23.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A 也可逆，且(A =(A7).证 因A A，=|A|E及|A|K 0,由定理2的推论知A 可逆，且0.尸=击 儿另一方面，因 A7(A-)=lA-lE.用A左乘此式两边得(A 1)=i A 1|A =.A,I A I比较上面两个式子，即知结论成立.24.设n阶矩阵A的伴随阵为A ，证 明：(1)若|A|=0,则I A|=0;(2)I A*|=|A|-*.证(1)因A A=lAlE.（2.5）当|A|=0时，上式成为A A=O.要证|A.|=0,用反证法:设|A IWO,由矩阵可逆的充要条件知，A是可逆矩阵，用（A）T左乘上式等号两边，得A=O.于是推得A的所有n-1阶子式，亦 即A 的所有元素均为零.这导致A*=O.此 与A 为可逆矩阵矛盾.这一矛盾说明，当|A|=0时，IA 1=0.（2）分两种情形：情 形1：|A 1=0.由|=0=|A l，结论成立;情形2：|AIWO.在（2.5）式的两边取行列式，得|A|=|T A|=|A|E.|=|A|.于是=注本题（2）的结果值得记取.解 与 教 材 例15相同，本题练习分块矩阵乘法.记“（；:心璃卜小则原式=（）（：”小：/）又2 m=（:需力（一；身-2小C力仁故(1 2 5 210 0 0-93 4 0 04-3 0 026.设4=.，求|川|及10 0 2 2解若记力其中一：）人=（；），则A成 为-个分块对角矩阵.于是|4 0=|A|a=（|A j|A 2 l）8=|A/|A/=10，-（o力因*弋 2；）=25E,故 4；=5 0=2（：；）,故 A；=2:：）（可参看习题6）.代人即得54 0 0 0.0 54 0 0A=0 0 24 00 0 24 2*.2 7.设 阶矩阵A 与s 阶矩阵E 都可逆，求(：犷广（0.H T ，由分块矩阵乘法规则,A 1 八 J于是（:M理犷/小（2）求（二；）的逆阵，就是求”+s 阶方阵X,使(c ME .(2.6)为此，根据原矩阵的分块情况，对X作一样的分块，X=(g x22/其 中 X u，X12，X2i，X22是未知矩阵(为明确起见，它们依次是n X”，“X s,sX*s x s 矩阵).把上式代入(2.6)式得到I EH O IA O/X“Xu I AX,|A*i2 o E j C XJ-(CX“+BX”CXn+BXn)比较上式两端两个矩阵，有AX”=E.=Xn=A;AXI2=O=X12=o;CXI2+BX22=E,BXn=E,=X22=B;CXH+BX21=O=BX2l=-CX“=-CAl=X21=B CA.于是得28.求下列矩阵的逆阵:(1)52002100008500321121解(1)将 A/A,分块为A=(o0212OA00310004，其 中4=528 32，因IAJ=1,1 A?I=1,故它们均可逆.于是由分块对角矩阵的性质，有A；OO A 丁(2)记 AB OD C，其 中B=1-200修-250013002-5:)00-3；8，D=(；2)SI B l =2,1 C l =12,故6,C均是可逆阵.由27题(2)的结论，得lB。=(葭 。)D Cl U ClDB l L)由 B=:2 c-._ 1-1 1),C 12A-1 _ 1A=244 0-1 324-12-123,ClDB4(：45，得习题三012-4-5008-20006习 题 解 答1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵:1 0 2.-10 2-3(1)2 0 3 t(2)0 3-43 0 4 3.0 4-71-1 3-4 32 3 13-3 5 4 11 2 0(3)2-2 3-2 0;(4)3-2 83 3 4 2-12 一3 713;一 3-7-2一430431 0 2解2 0 3,3 0 42-1-2-136r2 X(-1)1005门-2r 2001-3;n +2r20000,02-3 lr3_ri 02一31 0 1-1 2(2)03-4 3 01一12 0 2-3 104-7-i r 2r l o01-3)l o 0-1-3,01一1i o 5T.00T-3 0 0 1 3;一 00.-1-3)r3+r2(0 0 0 01-1 3-4 311-13-4 3n-u,、3-3 5 -4 1.-*001 -2 22-2 3-2 0 r,2r00-3 6-63-3 4-2-J 200-5 10-10n-3r1-10 2-3nn 1 -o o，3 +3u0u01 Z Z0 0 0;，4 +5 r2000 0 0，2(4)3232-2-31087-3-234-7-403232”（一。门-2。门+8n+7 r200023-2-3010001872-100为行最简形.-4112I L-23402.设 A=25解(A,E)=234125343234452343，求一个可逆阵P,使45210001000J,10,02-1一63一2-124-3-181-2-500001.r：x(-1)01010020-2-33 20 72-1一 600故 p=-3272-1一 600，并且A 的行最简形为PA=1000102301-20-3.设 4=(一；求 一 个 可 逆 阵 P,使 P A 为行最简形;(2)求一个可逆阵Q,使 Q A 为行最简形.解(1)(A,E)=3 1 1 0r,+3r/I-1 1 0 1/-20-14 1 31 0 1/，二./I 0 4 1 31 7 2 5 卜于是P=C 胃 且 =(；：为 A 的行最简形;(2)(AT,E)=2 1 0 0 1-1 0 1 0 r,+2 n 31 0 0 1 10 1 2 0-1 0 1 01 0 0 11 00-110 11 2 0于是Q=3 5 0-4-7 12 ”(-1)1 0 1，并 且 fiAT=1 00 1 为 的 行 最 简 形.0 02 05 0-7 14.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆阵:3 2 1(1)3 1 5;3 2 3.解 记 所 给 的 矩 阵 为 A.3 2 1 1(1)(A,E)=3 1 5 0,3 2 3 001010 1(3-20 01 00 1r2 X (-1)r 2r272-11r3-r(-2)300r 9rs010001209 22121 00 10 000176-122T一03222因 A E,由定理1 之推论，知 A 可逆，且7K2T3(2)(4,E)=0-22-2102-32一 22-11-2100030000-22-21400000-3202-329-212000000000-21-21570 0I 000000000-2 -101000-1-10-1-212000002322120 I0(00001000100001000100001000000000010010-300-3046-3-6-203-6010-221-4一2.69-47 0-4-16-10因A二E,由定理1之推论，知A可逆，并且45.设A=2.3，0(2)设4=2,-31 1 1-1 -1.2 11 -2)12 1 ,B=21-1J【3-2-40-13 6-6 -10.-32，求 X 使 AX=B;-1.2 3 分一.，求 X 使XA=B.解（1）与教材例3相仿，若A是可逆矩阵，则可求得矩阵方程的解为X=AT.B,而判断A是否可逆和求解可通过（A,B）的行最简形一起解决：即若A IE,则A可逆，并且初等行变换把A变为E的同时，把B变为A-B.-14 1(A,B)=2 23 1-2 11 2-1 3-3 1 02 rri 2 2-1J 13 1-2 -22 23-1021-1-1-2-2110_ 1-2-2366-_01295295,O-2r：,00-1-12-42r,1-0叮 一3口 010 2-15-312 410 2于是A可逆，且X=-15-312 4（2）可以仿照教材中的方法，用 初 等 列 变 换 求 但 通 常 习 惯 用 初 等 行变换求X.因XA=B=AT*T=BT=*T=（川 广B与题（1）相同，可用初等行变换先 求 得 从 而 得X.计算如下：0(AT,BT)=212-312小 一1313132-3 -10-73-431rj-2r(02-4 3 111-4 -5-3 1 210032 -r)r j x(-i)10,022010-4-1-30013 10 31 22-1-1-474于 是*丁=-1.-1-4741 0-1 30 1-1 0.0 0-1 1-83-4，从而*=(/-42 -17 -1416.设 A =0.一 1-1 01-1,A X =2*+A,求 X.0 1.解 A X =2X+A=（A-2 E）X=A.欲解此方程，需要（i）判断A-2 E 为可逆矩阵；（i i）进一步求X=（A-2E）T.这两件事可由（A-2 E,A）的行最简形一起解决.-1(A-2E,A)=0-1 1 0 -1r-r2-0 1 1。