把数学建模的思想和方法.pdf

把数学建模的思想和方法融入到大学数学教学中去北京理工大学 叶其孝数学和数学建模的重要性为什么要把数学建模的思想和方法融入大学的主干数学课程？三.怎样融入？A.融入的几个原则B.具体做法：两个例子1.复利和抵押贷款买房问题2.易拉罐问题一一个想法改变了可口可乐易拉罐的形状四.几个值得注意的问题五.困难和可能的解决办法数学和数学建模的重要性高技术本质上是数学技术.戴维（E.David,1972年曾任尼克松总统的科学顾问，1966年入选美国工程院院士）在1984年说的一段话：“对数学研究的低水平的资助只能来自对于数学研究带来的好处的完全不妥的评价，显然，很少有人认识到当今被如此称颂的 高技术本质上是数学技术.the low levels of support for mathematicsresearch can only flow from a totally inadequatepreciation of the benefits it confers.Apparently,too few people recognize that the“high technology*1 that is so celebrated today isessentially mathematical technology.E.E.David Jr.,Notices of American Mathematical Society,v.31(1984),no.2,p.142.钱学森教授1989年在中国数学会数学教育与科研座谈会上的讲话中说：“但是他(指美国Brown大学教授、应用数学家谢定裕)的题目叫“数学科技”，我想不叫“数学科技”，这是数学技术,即怎样给一个方法，能使科学的理论通过电子计算机解答具体的科学技术问题.这包括两个方面，第一就是要会用电子计算机，会指挥它去算.第二是电子计算机给出的解答，在荧光屏上显示出来，能够理解它，别让它给唬住了.我觉得后一个关于理解的问题，就是要从宏观的整体角度去认识，这也是数学问题钱学森，发展我国的数学科学，数学进展,1990,19(2):131-132.*2 1世纪是科学和工程数学化的世纪.美国科学基金会数学部主任Eisenstein在评述该基金会把数学科学列为2002-2006该基金会五大创新项目(其他四个分别为：环境中的生物复杂性，信息技术研究,纳米科学和工程,以及21世纪的劳动力)之首时所说的，“该重大创新项目背后的推动力就是一切科学和工程领域的数学化(Ma统ema版。加),“The driving force behind the initiative is themathematization1 of all areas of science andengineering.11一 NSF Launches Major Initiative in Mathematics,Allyn Jackson,Notices of AMS,v.48(2001),no.2,190-192.Eisenstein说.“还有，数学带给其他科学的附加值现在是比过去更加看得见了.其他科 学 认 识 到 的 这 种 附加值是该创新项目的主要推动力量 Also,the value-added that mathematicsbrings to other sciences is more visible todaythan it has been in the past.This value-addedthat other sciences perceive is a majordriver in this initiative.n*把对外部世界各种现象或事件的研究化归为数学问题的数学建模的方法在各种研究方法,特别是与电子计算机的出现有关的研究方法中，占有主导地位.数学建模的方法能使人们在解决复杂的科学技术问题时设计出在最佳情势下可行的新的技术手段，并且能预测新的现象.A.H.THXOHOB,Mathematical Model,Encyclopaedia ofMathematics,Kluwer Academic Publishers,1995,Vol.3,pp.784-785.数学百科全书第三卷，p.648.*一切科学和工程技术人员的教育必须包括数学和 计 算 科 学 的更 多 的 内 容.数学建模和与之相伴的计算正在成为工程设计中的关键工具.科学家正日益依赖于计算方法，而且在选择正确的数学和计算方法以及解释结果的精度和可靠性方面 必 须 具 有 足 够 的 经 验.对工程师和科学家的数学教育需要变革以反映这一新的现实.Friedman A.,J.Glimm,J.Lavery,The mathematical andcomputational sciences in emerging manufacturingtechnologies and management practices（新兴的的制造技术和管理实践中的数学和计算科学）一 SIAM Report on Issuesin the Mathematical Sciences,SIAM,1992,p.62-63.The education of technical personnel of allbranches of science and engineering must includeincreased exposure to the mathematical andcomputational sciences.Mathematical modeling andassociated computations are being critical tools in theengineering design process.Scientists relyincreasingly on computational methods and musthave sufficient experience in mathematicalcomputational methods and reliability of the results.The mathematical education of engineers andscientists needs to change to reflect this new reality.*鉴于数学研究的范围无限广阔，这门科学，即使是现代数学，也还处于婴儿时期。如果文明继续进步，在今后两千年内，在人类思想领域里具有压倒性的新情况，将是数学地理解问题占统治地位.“Having regard to the immensity of its subject-matter mathematics,even modern mathematics,isa science in its babyhood.If civilization continues toadvance,in the next two thousand years theoverwhelming novelty in human thought will be thedominance of mathematical understanding.1 1 Alfred North Whitehead(阿豳弗雷德 思1S特黑德，1861,2,15 1947,12,30)1939 年 12 月 15 日在哈佛大学的讲演：Mathematics and the Good in P.A.Schilpp ed.,1951.The Philosophy of Alfred North Whitehead,2nd.ed.New York,Tudor Publishing Company:666-81.胡世华，信息时代的数学，数学进展，1988,17(1):12-20.钱学森，发展我国的数学科学，数学进展,1990,19(2):133.*数 学 等 于 机 会Mathematics Equals Opportunity“我今天给你们的统计资料清楚地表明：“数学等于机会”。当我们为即将来临的世纪作准备时，不可能再送给美国父母和学生别的更关键的信息了。”“As the statistics I have related to you today make clear,Mathematics Equals Opportunity.There could be no morecrucial massage to send to the parents and students ofAmerica as we prepare for the coming century.”Richard W.Riley(克林顿任总统时的教育部长)，The state of mathematics education:Building a strongfoundation for the 21st centuryf a speech presented at theinvitation of the AMS Committee on Science Policy and theAMS Committee on Education,Notices of the AMS,v.45(1998),no.4,487-491.Richard W.Riley,数学教育的现状：为 2 1 世纪建立强大基础，应美国数学会(AMS)科学政策委员会和教育委员会的邀请于1998年 1 月 8 日在美国Baltimore举行的美国数学会和美国数学协会(MAA)联合数学会议上发表的演说,Notices of the AMS,v.45(1998),no.4,487-491.中译文登在：数学译林一国际数学进展，v.17(1998),no.3,252-256,207.数学和数学建模无处不在、日益重要，作为数学教师我们有义务尽快让学生学习初步掌握数学建模的思想和方法，从而更积极主动地学习数学.这样做将使学生终生受益.这不仅是我们数学教师的神圣使命，也是我们树立自己是一个负责任的、受学生欢迎的数学教师形象的机会.我们一定要处处、事事、时时为我们的学生着想.同时我们也要认真思考：我们希望学生真正学到手的是什么？什么是“简单”和“不简单”，“深”和“浅”,有“理论深度”和“没有理论深度”？我们需要什么样的教师形象？为什么要把数学建模的思想和方法融入大学的主干数学课程？1.社会发展和科技进步、提高数学教学质量和提高学生学习数学的积极性和提高能力的需要.尽早(通过一年级的高等数学课程等)让大学生了解：良好的数学基础,特别是对数学建模是用数学去解决各种实际问题的桥梁，了解数学建模三要点:合理假设、数学问题和解释验证，对于他们一生的事业都有好处的.也是数学教学改革、提高教学质量的需要，有利于讲清重要的数学概念、方法的来龙去脉，进一步提高教学质量.当然要做到这一点,应该说，途径不是唯一的，而 是“条条大路通罗马(AH roads lead to Rome)”.但是在适当的地方、运用恰当的数学建模实例和合适的教学方法进行教学是有可能给学生留下深刻的印象，提高他们的学习积极性，从而达到上述目的,我们千万不要陷入什么方法好什么方法不好的无为争论，我们要做的是通过认真的实践来证明这样的做法能够提高学生的学习积极性，并培养出许多优秀学生.2.有助于提高数学教师、数学教研室、数学（院）系在学校和社会上的地位和发言权.特别是为青年教师的提高创造条件，特别是培养青年教师的个人教学风格.但是，现实的情况是令人担忧的.3.为了进一步提高大学生数学建模竞赛的质量，实现一种良性循环.也有利于将来组队参加大学生数学建模竞赛.三.怎样融入？2002-2005全国大学生数学建模竞赛组委会曾经组织执行了由李大潜牵头的教育部教改立项“将数学建模思想和方法融入大学数学主干课程教学中的研究与试验”，取得了一定的成果和经验.又经过几年的实践，我们有可更多的体会和更加切实可行的做法.A.融入的几个原则：1.实例要简明易懂结合日常生活感觉得到的与工程或现代技术有关，或者结合专业且简明易懂，能引起学生的兴趣；2.要能够结合课程（微积分）的今后可能用到的主要概念、思想和方法，能提高学生学习的积极性和主动性；适当的灌输也是必要的.3.不拘形式（不强求统一）、因地制宜（不同学校、专业不同对待）、因材施教（特别是要培养优秀学生,，可以在习题（课外作业、小的研究课题等）上做文章）、追求实效.在不增加学时或至多增加2学时的前提下八仙过海、各显神通.与时俱进，逐步提高层次.4.要和教学研究相结合，不断发现问题，不断改进教学.怎样判定融入是有良好效果还是效果不大.5.重点放在一年级第一学期，因为这时候的大学生易于接受教师的教育和引导.结合容易懂的实际问题入手，谆谆善诱、由浅入深与适当灌输相结合，特别强调加深理解微积分的重要概念、思想和方法,通过建模的逐步深入使学生明白为什么一定要认真学好、掌握好数学的思想和方法.尤其对于青年教师来说，这个学期的教学和教学研究对于自己的成长和教学风格的确立是极其重要的.B.具体做法：动员更多的教师编写可以融入的教学单元,特别是为高等数学、线性代数和概率统计初步三门课程编写可以融入的教学单元，主要是提供可以融入各种课程的实际问题的建模教学的素材（问题的陈述、建模过程、求解和验证；习题、小的研究课题和考题的建议等），以供有心做的教师参考和钻研，从而能够结合学生情况进行富有成效的教学，特别是培养个人的教学风格.以下我们通过举例说明，我们将结合国内用得比较多的两本教材：同济大学应用数学系编，微积分，上册，高等教育出版社,1999;王绵森、马知恩主编，工科数学分析基础,高等教育出版社,1998.我们按照相应的页码提出建议.包括为什么要让大学生尽早了解和使用计算器和数学软件等.对于学生要因材施教，不一定人人都一样要求，要为优秀学生创造更好的学习条件和环境.两个例子数学建模最关键的是：合理假设，数学问题，解释验证1.复利和抵押贷款买房问题复利4=4（1+厂）(l+r/0i-q的内容，然后提出下面的问题：例1.在“文曲星”电子词典（或类似的电子词典）中，打开其目录，在“计算”目录下有一项“贷款计算”，打开后有下列显示：贷 款 金 额200,000贷 款 年 数20年利率（）6.39%=0.0639（月利率=6.39/12=0.5325%）如果是上述输入，会见到如下“计算结果”每月应付款数（记为X）总还款额总利息1478.22354,773.41154,773.41问题：用数学建模的方法来回答：这是怎么算出来的.假设：月等额还款提示:借款模型是按月利率，按月计算的。用 符 号 表 示，设 一 开 始 的 贷 款 金 额 记 为4（=200,000）,贷款年数记为N（=240月）,年利率记为尺=0.0639,月利率记为r=R/12=0.005325确定变量以及变量之间的关系，即数学模型的建立：这个月（记为第个月）尚欠银行的款数记为4,上个月（记为第-1个月）结余欠款记为AT加上利息记为4 T（1+丁）,减去这个月的还款X,还欠L所以数学模型为：这个月的欠款等于上个月欠款加上利息，再减去这个月的（等额）还款；一开始的借（欠）款已知；20年必须还清.用数学语言表示，即数学模型为：4 =。+厂)-1 几=1,2,3,.,Ny于是有4=4(1 +-)(l +r)r t-l%-(l +r)-l=4(1 +r)(l +r)n-l由于4=。，所以A/(1 +/)N(l+r f _验 证“文曲星”电子词典显示的结果是否正确.不算出数值，怎么让人相信？但是，手算是不现实的，这就涉及到在教学中要不要(允许不允许)使用计算器和计算机及相应的数学软件这个不可回避的问题(实际上也是不应该回避的问题).我个人认为，做课外作业应该允许，考试不允许.钱学森教授1989年在中国数学会数学教育与科研座谈会上的讲话中说：“今天的实践要求教会学生两条：一是会用电子计算机，二是能理解电子计算机给出的答案钱学森，发展我国的数学科学，数学进展,1990,19(2):132.我们一定要积极应对，深入研究应用图形计算器或数学软件能否加深学生对概念的理解，精心设计能够达到这样的目的的习题、思考题和研究课题，来提高学生学习数学的积极性和主动性.到底应该怎么做，值得认真研究，但这不是今天在这里要讨论的问题.不过，我们必须及时关注于2009年5月18日由Wolfram Research(沃尔弗拉姆研究)公司正式推出(发行)的一个基于Mathematica数学软件和A New Kind of Science(一种新科学，厚达1280页，缩写为NKS)名为Wolfram|Alpha的新的计算型知识(搜索)引擎(Computationalknowledge engine)以及它将对科学研究和教育产生的影响.Wolfram|Alpha 的作者 Stephen Wolfram(1959,8,29，1979年在加州理工学院(CIT)获理论物理学博士学位,1988年他推出了强大的计算机软件Mathematica),他最近撰文表示：“(Wolfram|Alpha的)用户所要做的就是用自然的语言问问题，而搜索引擎则能准确进行回答.我很高兴地宣布，通过综合使用多种启发性的算法(algorithms and heuristics)和语法发现（linguistic discovery）,我们很可能取得了一些重要的理论突破，并能实际上使其运转.我们将最终形成一个网站：通过这个网站，只要简单输入问题，我们就可以接入到一个巨大的系统，这个系统是拥有极其庞大信息量的数据库关于它将对数学教育产生的影响，例如，可以看，由Jeffrey R.Young写的发表在2009年6月12 日 Chronicle of Higher Education（高等教育记事）上的文章“A Calculating Web Site CouldIgnite a New Campus 6Math War（计算搜索网站可能会点燃新一轮的，数学战争，）”.回到原来的问题，等额还款1478.22是怎么算出来的.用Mathematic。数学软件的输入和输出输入：Clearr,n,Nf xxr,n,4 =4 (1+r)勺(l+r)n-l4 =200000;n=N=240;r=0.005325;N,4 输出：1478.22更多的应用可参考口:大学生数学建模竞赛辅导教材(五)第 3 章，叶其孝主编，湖南教育出版社，2008.模型的变形：口 p.33,(3.1-4)-(3.1-9),4个变量中知道任何3个就可以求出另一个.4=4(i+y 1 GJ.%=4/(1+，)”尢 一 (l +r)/?-l (3.1-6)x-Arn=ln(l+r)(3.1-7)或i g -Hx-Arn=log(l+r)G M)*H(1+，)-1r(l+r)n(3.1-8)为求4 =0 的L需要求解下面的代数方程式4(1+,)讨(A)+尤)(1+,)+X=0(3.1.9)例2.根据报道，乔先生向银行贷了 22万元，贷款期限是2003年9月-2013年9月共120期，采用等额本息还款法，月供2338元.目前，已还16期，还剩104期，贷款余额为198155元，乔先生手头正好有5万元可用，因此提出申请提前还款5万元.如果提前还款5万元,得到批准，乔先生又想保持贷款期限不变，即再继续105期，那么按照新的利率6.12%他的月还款是多少？解：该报道中没有说月利率，为多少，因此我们首先要求r.因为 4 =220000,n=1 2 0,工=2338.解方程(3.1-9),即解220000(1+r)120+1-(220000+2338)(1+r)120+2338=0我们可以利用Mathematica数学软件来求解.首先定义(3.1-9)右端的函数如下ClearaO,f,n,r,xfa0_,n_,x_,r_:=a0(l+r)A(n+l)-(aO+x)(l+r)An+x也可以单击“File”菜单，把光标移到“Palettes”选项，在弹出的子菜单中再单击“BasicCalculation”项，按屏幕上出现的基本命令选择窗口，可以直接输入以下数学公式的形式faO_,n_,x_,r_:=aO(l+r)n+1-(aO+x)(l+r)n+xfaO,n,x,raO(l+r)n+1-(aO+x)(l+r)n+x然后给已知的aO,n,x赋值，并画图,根据我们对利息的了解,r的变化范围为一定大于0,小于0.2.a0=220000;n=120;x=2338;Plotfa0,n,x,r,r,0,0.02,AxesLabel r,f可 见f的零点大约在0.005附近。我们可以再精细一点画图看得更清楚一点,，的变化范围为0,004,0.005,画图如下PlotfaO,n,x,r,r,0.004,0.005,AxesLabe因此，我们可以用0.0042作为初值，求 f 的零N 占9 FindRootfa0,n,x,r=0,r,0.0042r 一 0.00420197)注意，利用FindRoot语句，初值确定的好坏是很重要的，所以上述做法的步骤是很有效的.思考题：能否用 SolvefaO,n,r,x=0,r 或NSolvefaO,n,r,x=0,r 来求 r.进行比较,哪个更好些，或者说它们各自的优点是什么？r 工 0.00420197,或者 r，0.004202,年利率为0.050424.再由(3.1-4),分别令人=16 和 0=15计算之，分别计算A 6=220000(1.004202)1623380.004202(1.004202)16-!和2338A16=220000(1.004202)15-y-(1.0 0 4 2 0 2)15-1得到的结果分别为：196656和 198161.如果报道中 的 198155没有错误，那 么 198161非常接近198155.这就说明报道有误.实际上，乔先生只还了 15期，还有105期要还.现在的在=148,155,n=105,利用(3.1-6)按照新的月利率，=0.0051计算，他的月还款是1825.86.如果他不还5万元，继续还105期的话,他的月还款是2442.06.对 Mathematica有兴趣的读者可以做下面的思考题。综上所述，如果我们能应用模型(3.1-3)到(3.1-9)的话，我们可以解决许多相关的问题.习题1.如果不是等额还款，例如，每月先还利息再A)加还N 等分的本金 犷，数学模型将会怎样？2.你当前的信用卡欠款余额为12,000美元，而当前的利率为19.9%/年.利息是按月计算的.确定什么样的月还款p 美元才能在a.2年，假定不会有新的信用卡支付.b.4年，假定不会有新的信用卡支付.还清欠款.现在假定你每月用信用卡支付105美元.确定什么样的月还款0美元才能在a.2年b.4年还清欠款.考试题某人想贷款买房，他 在1 0年里每月的还款能力*=3000没有问题，已知贷款年利率r=6%,贷款年数%=1 015年.请通过数学建模的方法回答：如 果N=1 0,请你估算一下他应该借（贷款）多少？（提示：（L005产。=1.8194）如果N=1 5,请你估算一下他应该借（贷款）多少？（提示：（1.。05）|8。=2.45409）答案分别约为270220（估 算 可 以 是264000270000,10 年）,355511（估算可以是 36000,15 年）,怎么估算？用手算做估算是应该要求的，因为M(l +r r-l _ 3000 x 0.8194l +/)().005x 1.8194600000 x 0.8L8264000=600000 x 0.44 600000 x 0.8L8 0 dt4 0)=4它的解为4=4/如果设单位时间的长度为1,r等于上个单位时间，即t =k,从而有oonoonA(k)=4”=4(e)=(Z )=4(1 +厂 +n=0几,n=2几,如 果r比较小，则可以认为有一次近似式4幻=4(1 +广或由PR141149 第六节泰勒(Taylor)公式”,特别是p.142的于(X)=/(x0)+/r(x0)(x -/)+-x0)2 4 在X。和X之间.若 为=0,x =e，则有产涉er=l+r+2!如 果r比较小，则可以认为有一次近似式4%)=4(1 +广现在来考虑等额还款，即单位时间里还固定 的 金 额x,于是模型变成A(?+A?)A(?)rA(?)A?xA?令0-0,就得到0dt,4。)二 A)(3.1-11)由 l-rA(t)=-xd t两 边 乘e”,dt-re-rtA(t)=-xe-rt即er -d-A-re 一A小(t)=-d-(-e-rt-A-(-t-)-)-=-xetdt dt从0到，积分就得到xm _A(0)=_(T)rxA)=&e+(er=M+才)r=(4-K+-r rrk当”左时，再 利 用e 的一次近似”六(1+r)k就得到X t XA(Zc)=(4)(l+r/+-r r=4(l+r/-(l +r/-l)r若%AM=0,则连续模型中相应的公式分别为x x X0=4 -+(1 e )=(4 )en-+-r r rX(e l)n=l o g xx-ArA)=x(en r)en r-l为求A 5)=0 的r，需要求解下面的代数方程式Arer n-xern+x=0现在我们以口 中例3 的数据来计算之，即A)=220000,n=120,r=0.0042,x=2338.我们以计算，为例ClearaO,n,r,xgaO_,n_,r_,x_:=aO r Expn r-x Expn r)+xgaO,n,r,xarern-xern+xa0=220000;n=120;x=2338;PlotgaO,n,r,x,r,0,0.01FindRootgaO,n,r,x=0,r,0.0042r 一0.00423133.r 差约为 0.00003133.c 122000re120re-1r=0.00423133;930.8926-Exp0.5077596Exp0.5077596-l得到2338.其他留作习题.所以，在经济、管理类专业的课程中一定要学习这些连续模型（微分方程模型）.熟练掌握一阶线性方程对于数学专业的学生来说也是很重要的.Banach空间中的抽象微分方程.总结性习题和研究课题：从各种资料（图书、杂志甚至网上的有关文章）中寻找在一定简化层次上以0d tx(0)=为数学模型的实际问题，其中“，匕为实常数,可正、可负、可零.1.分析其简化假设，模型的合理性，是否可以改进。2.(*)可以有多少种解法？3.如果“，匕是1的函数怎么求解？证明其解为a(T)dr pf a(r)dTx(t)=+/?(cr)e da2.易 拉 罐 问 题 一 一个想法改变了可口可乐易拉罐的形状在 皿.166176”第九节函数的极值与最大、最小值”中，把“二、最大值与最小值问题”改 为“二、最优化问题”，并插入“例？易拉罐问题”.让学生做一点测量.简化假设:易拉罐用材的体积与其表面积成正比简化模型1分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体是有一定合理性的.要求饮料罐内体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.实际上，用几何语言来表述就是：体积给定的直圆柱体，其表面积最小的尺寸(半径和高)为多少？表面积用S表示，体积用V表示，则有S(r,h)=2TZT h+兀r1+兀丫2 -27rr2+rhV-7i r2h,h=V/7 T r2.于是我们可以建立以下的数学模型：min S(r,h)r0,/i0s.t.g(r,h)=0其 中s是目标函数,g)二 v 乃/=是约束条件.V是已知的(即罐内体积一定)，即要在体积一定的条件下，求罐的体积最小的工h.如果考虑材料厚度的话，并假设所用材料与罐的表面积成正比，那么其中心断面的图形如下：F=AbsoIuteThicknessl,Line-3.2,12.4,-3.2,0,3.2,0,3,2,12.4,-3.2,12.4,-3,12.2,-3,0.2,3,0.2,3,12.2,-3,12.2mygrapg=ShowGraphicsF,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic,PlotRange-1,12.9)F=AbsoluteThicknessl,Line-3,0.2,-3,0,3,0,3,0.2,3.2,0.2,3.2,12.2,3,12.2,3,12.4,-3,12.4,-3,12.2,-3.2,12.2,-3.2,0.2,-3,0.2,-3,0,3,0,3,0.2,3,12.2,-3,12.2,-3,0.2,3,0.2mygrapg=ShowGraphicsF,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic,PlotRange-l,12.9|把 h=V/7ir2 RA S(r),得到S(r)=2万 厂 +r 7 =2 厂 H-Ttr Ttr求驻点(临界点,critical point)0=2(2厂-二)二 七(2/-)7ir r 7i又由于2VS1=2 万(2+嬴 儿 0,6 。.所以再次由勿.141149”第六节 泰勒(Taylor)公式“，特别是p.142的f(x)=/(%)+/(%)。-/)+-%)2(5)3厂知 道=是 一 个 局 部 极 小 值 点实际上，它也是全局最小值点，因为临界点是唯一的.最小面积为5)=6卷=6。2有没有直径等于高的易拉罐吗？没有！简化模型2分析和假设：用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬（厚，因为要使劲拉），假设除易拉罐的顶、底盖外，罐的厚度相同，记作b,顶、底盖的厚度相同为a b.想象一下，硬度体现在同样材料的厚度上（前面的）.因此，我们可以进行如下的数学建模.这时必须考虑所用材料的体积.F=AbsoIuteThicknessl,Line-3.2,0,3.2,0,3,2,12.8,-3.2,12.8,-3.2,0,3.2,0,3,0.4,3,12.4,-3,12.4,-3,0.4,3,0.4mygrapg=ShowGraphicsF,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic,PlotRange-1,12.9|明确变量和参数：设饮料罐的半径为r（因此，直 径 为d=2r）,罐的高为h.罐内体积为V.b为除顶、底盖外（即侧面体积）的材料的厚度.其 中 力是自变量，所用材料的体积S V 是因变量，而 力 和 V 是固定参数，。是待定参数.饮料罐侧面所用材料的体积为S(r,h)-(r+/?)2-7rr2)h饮料罐顶盖所用材料的体积为ab九户饮料罐底部所用材料的体积为abTTY?所以,SV和V分别为，SV(r,h)=jrbQr+b)h+2/ra(r+b)2 b-Ijirhb+17iar2b+47rrab2+h/rb2+27rab32V(r,/z)=7rr h因 为b r,所 以 带b b3的项可以忽略(极其重要的合理假设或简化，为什么?).因此SV(r,/z)x S(r,/z)=2/rrhb+Ijiarb记 g(r,h)=兀 r2h-V .于是我们可以建立以下的数学模型：min S(r,h)r0,h0s.t.g(r,/z)=0其 中S是目标函数，g&，)二 是约束条件,V是已知的(即罐内体积一定)，即要在体积一定的条件下，求罐的体积最小的5人 和。使 得r,h和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.模型的求解：一种解法(从约束中解出一个变量，化约束(条件)极值问题为求一元函数的无约束(无条件)极值问题)从 g(r,h)=7ir2h-V=0 解出 h-V 171 r2,代 入S,使原问题化为：求d:h使S最小，即,求r使S(r,h(r)=b-1-2/iar2r最小.求临界点：令其导数为零得 二 2。(2。万 厂 一 乂 =-(2ajrr3-V)=0.dr r r解得临界点为r =,因此h (-)=2 a Q )=2ccr=ad.7T V Y 2测量数据大致为力?=2,即相当于a=2,即顶、底盖的厚度是其他材料厚度的2倍.为验证这个r确实使S达到极小。计 算S的二阶导数V5=4 6。+=0,r0.r所以，这 个r确实使S达到局部极小，因为临界点只有一个，因此也是全局极小.习题(或思考题)：如果不忽略高级无穷小量，结果将会怎样？SV(r,h)=(乃(/+。)2 -;ir2)h+2a/r(r+b)2b=b7rh(2r+5)+2anr+Z?)22VV(r,/z)=7ir h,h -7ir代 入h的表达式,(死算)得到r 2V bV;SV(r)=b-1 +2 a上分段光滑函数f(x)的最大值问题m a x /(x)xea,b时，有的教材，例如Frederick R.Adler(Department of Mathematicsand Department of Biology,University of Utah)Modeling the Dynamics of Life-Calculus and Probability for life scientists,Brooks/Cole Publishing Company,1998.(该书2005年出了第2版)提出了连续函数求最大、最小的如下算法：p.200,Algorithm 3.1(Finding global maximaand minima）1.Compute the value of the function at theendpoints and anywhere the function is notdifferentiable.计算函数在端点和不可微点处的值.2.Find all critical points.求全部临界点.3.Compute the value of the function at allcritical points.计算所有临界点处的值.4.The largest of the numbers found in step 1and 3 is the global maximum.The smallest ofthe numbers found in step 1 and 3 is theglobal minimum.第1、3步求得的最大（小）值就是该连续函数的整体（全局）最大（小）值.p.202,Algorithm 3.2（Finding local maxima andminima with the second derivative）1.Find all critical points.2.Compute the sign of the secong derivative atall critical points.3.Critical points where the second derivative ispositive correspond to local minima,andcritical points where the second derivative isnegative correspond to local maxima.这就可能引起我们对如下问题的思考:什么是算法？算法为什么重要？上述算法在实际中都是可行的吗？值得向同学介绍.算法(algorithm)定义计算过程的一组详细指令(从而这个过程也称为算法(algorithmic)过程),它开始于(给定的算法的一定数量的可能输入中的)一个任意输入(input),而且其目的在于得到一个完全由输入和指令决定的结果(result)(或输出(output).数学百科全书，卷 1,科学出版社1994,pp.119-121.简化模型3易拉罐可以简化为圆台加圆柱形罐(黏接长度短一些，就降低成本了!)我们假设圆台部分是个直圆台，实际上，它也可能是某个曲线段(例如，双曲线的一段)绕中轴线旋转而得的圆台.假设所用材料与罐内的表面积成正比,即，各部分的