极值与最值问题（2月）（人教A版2019）（解析版）.pdf

专题03 极值与最值问题一、单选题1 .函数y=/(x)在区间 a,0 上的最大值是M,最小值是加，若加=，则/(x)A.小于0 B.等于0C.大于0 D.以上都有可能【试题来源】甘肃省天水市2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期末考试(文)【答案】B【分析】由最大最小相等，可得y=/(x)是常数函数，即可得出结论.【解析】因为y=/(x)在区间。,国上的最大最小相等，所以y=/(x)是常数函数，所 以/(x)=o，故选B.2 .已知函数y=/(x)的导函数y=/(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)在区间(a,。)内的极小值点的个数为C.3D.4【试题来源】陕西省延安市黄陵中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期末(文)【答案】A【分析】通过读图由y=f(x)取值符号得出函数y=/(x)的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案.【解析】由图象，设/(X)与x轴的两个交点横坐标分别为。、d 其中c d,知在(-8,c),(4+0上/(%)2 0,所以此时函数/()在(-8,。)，上单调递增,在(c,d)上，fx)0 ,此时/(x)在(c,d)上单调递减，所以x =c 时，函数取得极大值，x =d 时,函数取得极小值.则函数丁 =/(幻 的极小值点的个数为1.故 选 A.3.函数y=f(x)的图象如图所示，则关于函数)=/(力 的说法正确的是y-54_X2 0!3 xA.函数y=/(x)有 3个极值点B.函数y=/(x)在区间(-8,-4)上是增加的C.函数y=.f(x)在区间(2,+幻)上是增加的D.当x =0时，函数y=/(x)取得极大值【试题来源】黑龙江省哈尔滨市南岗区第三十二中学校2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期末【答案】C【分析】导函数/(力 0,则函/(%)单调递增，导函数/(力 0,则函数/(X)单调递减，极值点的两则函数的单调性相反，所以由图象可知极值点.【解析】函数有两个极值点：x =-5 和 x =-2,但尤=3不是函数的极值点，所以A错误；函数在(-8,-5)和(-2,e)上单调递增，在(-5,-2)上单调递减，所以B错误，C正确；尤=0不是函数的极值点，所以D错 误.故 选 C.4.函 数/(幻=竺 尹 在 x =g处取得极值，则e 27T TTA.a =1,且一为极大值点 B.a =1,且一为极小值点2 2TI 71c.a=-l,且一为极大值点 D.a=-l,且一为极小值点2 2【试题来源】重庆市南开中学2 0 2 1 届高三上学期第二次质量检测【答案】B【分析】先求导，再根据题意得:()=0,由此求得a =l,再根据导数研究函数的极值.，、cosx-a、-s i n x-c o s x+t z -V 2 s i n x+a【解析】因为/(x)=-，所以/。)=-(4 )，又一(X)在x=2处取得极值，所以r(g)=一半=,得。=1,2 2/由/(x)0得，一&sinx+?)+l ,所以工+2A:%x+工 包+2&万,4 e Z,I 4)2 4 4 4即2k乃%。得，+2 k7i x(),右侧/(2)=-1 0,所以x=l是极值点，而非拐点；当”=2时，f(x)=X2+6X-7 =(x-l)(x+7),即在x=l 的左侧/(0)=-7 0,所以 =1是极值点，而非拐点；故选D7 .设函数/(x)=；d+；办2 +2云+。的 两 个 极 值 点 分 别 为 王，若 玉6(-2,-1),e (-1,0),则2 a+匕的取值范围为A.(2,7)B.(1,7)C.(1,5)D.(2,5)【试题来源】湖南省常德市第一中学高三第七次月考(理)试卷【答案】A【解析】由已知/(x)=x2+ar +2 Z?=0的解为王,工2，且 当(-2,-1),x2 e(-l,0),/(0)=2 Z?0 h 0所以，f-2)=(-2)2-2 a+2 b 0,即，a-b-2 0 .画出其表示的点(。/)的平面区/(-1)=(-1)2-4Z+2/?0 a-2 b-l 0域及直线2 a+h=0(如图)，平移直线2 a+h=0,当其经过(1,0)时，2 a最小为2 xl +0=2,经过(3,1)时，2 a+最大为2 x3+l =7,故选A.8.关于%的函数/(乃=/+3+3x a的极值点的个数有A.2 个C.0 个B.1 个D.由。确定【试题来源】陕西省商洛市商丹高新学校2 019-2 02 0学年高二下学期期中(文)【答案】C【解析】因为/。)=丁+3/+3 所以，令/，(*)=3/+6%+3=0,得，(x+l)?=0 ,在 x=-1 附近，导函数值不变号，所以，关于x 的函数/(x)=x 3+3 f+3 x a 的极值点的个数为0,选 C.29.下列五个函数，y=d；y=X 2 +i；y=|x|；y=2；)=卓.在 =0 处取得极值的函数的个数为A.1B.2C.3D.4【试题来源】江西省南昌市2 019-2 02 0学年进贤二中高二下学期第一次月考(理)【答案】C【分析】判断各函数单调性，结合极值点的定义，即可求出结论.【解析】y=3/2。在(-),+0V=八，在(-0单调递减，在(0,+8)单调递增，X =O 处函数取得极小值；-x x 0),所以/(力 在区间(0,2)上递增，在区间(2,+a)上递减，所以f(x)在x =2 处取得极大值，符合题意.所以a =g.故选C1 3.已知函数f(x)=g d：/+4,当“X)取得极值时，x的值为A.1,1,0 B.-1,1C.-1,()D.(),1【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2 0 1 9-2 0 2 0 学年高二下学期期中考试(理)【答案】B【分析】先求导，令其等于0,再考虑在x =0两侧有无单调性的改变即可【解析】/。)=f _幺=4/1)=0,.-.X =O,1-1,f(x)的单调递增区间为(-8,-1)和(1，住)，减区间为(-1,1),在x =0两侧/(X)符号一致，故没有单调性的改变，舍去，.”=1,-1 故选 B.【名师点睛】本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值=/(%)=0 .反之结论不成立，即函数有r(x 0)=o,函数在该点不一定是极值点，(还得加上在两侧有单调性的改变)，属基础题.1 4.函数/(x)=a e*s i nx 在 x =0处有极值，则a的值为A.-1 B.0C.1D.e【试题来源】2 0 2 1 届 高考数学(文)一轮复习讲练测【答案】C【分析】根据导数与极值的关系可知/(o)=o,解方程求得结果.【解析】由题意 得/(x)=m-c os x,:/(x)在x =0处有极值，二/(0)=a-c os 0 =a-l=0,解得 =1,经检验满足题意，本题正确选项：C.1 5.若 函 数/(力=2%3-3 3 2+6%存在极值点，则加的取值范围是A.(-oo,-2)U(2,+0，解得/“2.故选A16.函数/(x)=o?+x +i 有极值的充要条件是A.a 0 B.a 0C.a 0 D.a 0【试题来源】20 20-20 21年新高考高中数学一轮复习对点练【答案】C【解析】因为/(幻=3 6 2+1，所 以/(x)=3 a?+i =o =3 a=口 0,x即a 则可排除A B C由导数求极值的方法知当/(x0)为fx的极值旦尸(七)存在时，贝 I J 有 1(%)=0故选D19 .设“X)=3*2+C OS X,则函数/(x)A.有且仅有一个极小值 B.有且仅有一个极大值C.有无数个极值 D.没有极值【试题来源】河南省信阳市20 19-20 20 学年高二下学期期末(文)【答案】A【分析】求出了(X)=x-s i n x,二次求导可得/(X)单调递增且r(0)=0,从而判断出函数的单调性，进而得到极值点.【解析】r(x)=x-s i n x,7(x)=l c o s x N O,所 以/(x)单调递增 旦/(0)=0,所以当x 0时，/(x)0时，/(%)0,函数“可单调递增，故/(x)有唯一的极小值点.故选A.20 .设/(x)是 区 间 切上的连续函数，且在(。,勿内可导，则下列结论中正确的是A.fix)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C./（X）在区间 a,口上可能没有极值点 D./（X）在区间 a,口上可能没有最值点【试题来源】人 教 A 版（20 19）选择性必修第二册过关斩将 第 五 章 一元函数的导数及其应用【答案】c【解析】根据函数的极值与最值的概念知，/（X）的极值点不一定是最值点，/（X）的最值点不一定是极值点.可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A,B,D都不正确,若函数/（X）在区间 a,句上单调，则函数/（X）在 区 间 句上没有极值点,所以C正 确.故 选 C.2 1.设动直线=加与函数/（无）=2,g（x）=21n x的图象分别交于M,N,则|M N|的最小值为A.B.12C.l +l n 2 D.l-l n 2【试题来源】湖南省郴州市2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期末【答案】B【分析】歹 U 出I M N I 的表达式，利用导数方法，分析单调性求最小值即可.【解析】由题意=2 1 n X，“、,、,2 2m2-1）令 A（m）=n r-2 In m,则 h（m）=2m=-m m当时，h（m）1 时，h（m）0 ,所以（加）向=入=1，即I MN|的最小值为1，故选B.【名师点睛】本题考查导数求解函数的最值运用求函数最值和值域的常用方法：（I）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值：（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.2 2 .设函数/(X)在 R 上可导，其导函数为了(%),且函数/(x)在x =2处取得极小值,则函数y =W(X)的图象可能是【试题来源】宁夏固原市隆德县2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期末考试(文)【答案】C【分析】由题设条件知当0%2 时，矿。)0；当x =-2 时，xf(x)=O,当*0.由此观察四个选项能够得到正确结果.【解析】.函数/(x)在 R 上可导，其导函数广(x),且函数A x)在x =2处取得极小值,当 x 2时，_ f(x)0：当x =-2 时，/(幻=0：当x 2时，A x)0.,当 一 2x0时，W)0:当 =2时，W(x)=0；当 0.当x0时,矿(幻 0.当x =0时，)=0.故选C.【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用.2 3.函 数|制=炉+3以2+3 伍+2)尤+1 既有极大值又有极小值，则”的取值范围是A.(-1,2)B.(-2,1)C.(o o,2)U (1,+o o)D.(8,1)U (2,+o o)【试题来源】宁夏固原市隆德县2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期末考试(文)【答案】D【分析】函数f(x)有极大值又有极小值，可知/(X)=。有两个不相等是实数根，因此 0,解出即可.【解析】因为f(x)=x3+3ax2+3(a +2)x +1 ,所以f(x)=3x2+6 a x +3(a +2),因为函数/(%)有极大值乂有极小值，所以尸(x)=0 有两个不相等是实数根，所以/=36 a 2 -36(a +2)0,化为a?-a-2 0,解得a 2 或a -1.则a的取值范围是(-8,-l)u(2,+8).故选D.2 4.设函数g(x)=x，l),则g(x)在区间 0,1 上的最大值为A.-1 B.0C.一 巫 D.近9 3【试题来源】高考数学备考中等生百日捷进提升系列(捷进提升篇)【答案】B【分析】根据函数的导数，求出函数的单调性，求最大值即可.【解析】g(x)4 一 有 小)=3心1.令 小)=0,解得%邛 一李0当X变 化 时,g (x)和g(X)的变化情况如下:X01 3JT忤11g (x)-04-g(x)0递减极小值递增0所以当x =0或1时，g(x)有最大值0.故选B.2 5.已知函数/(幻=卜2 力/,则“a N-l”是“/(x)有极值”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【试题来源】安徽省阜阳市2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期教学质量统测(文)【答案】B【分析】求导函数，判断导函数的符号，确定有极值时”的范围即可.【解析】/(%)=，+2%-。,=0,x2+2 x-a=0.D=4+4 a.若 =4 +4a 0,即。一1,则 有 两 个 极 值.所以Z 2T”是“f(x)有极值”的必要不充分条件.故选B.2 6.已知函数/(x)的导函数为了(%),函数g(x)=(x-l)/(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是4J-2|0|1 2 *A./(X)在(一8,-2),(1,2)上为减函数B./(X)在(一2,1),(2,)上为增函数C.的极小值为一2),极大值为“2)D./的极大值为一2),极小值为 2)【试题来源】山西省太原市2 0 2 0-2 0 2 1学年高二上学期期末(文)【答案】D【分析】根据g(x)=(x-l)/(x)图象，U J知该函数的正负性，再结合导数的性质对“X)的性质进行判断即可.【解析】根据函数g(x)=(x 1)/(X)的图象可知当 x 2 时，g(x)0,即(x-l)/(x)0 n/(x)0,因此当 x 2 时;函数 x)单调递增；当 1 c x 2时，g(x)0,即Q =f)x 0 ，因此当 1 c x 2时，函数/(x)单调递减，显然当x =2,函数有极小值，极小值为7(2)：当2 x 0,即(x-l)/X)n/U 0 ,因此当一2 x l时，函数“X)单调递减；当为 2时，g(x)o,即 0 e ,因此当x 0；当x e(l,3)时，r(x)()所以函数在(0)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以/(力.=/1)=:，故选B-【名师点睛】求函数区间上的最值的步骤：(1)求导数/(X),不要忘记函数/(X)的定义域；(2)求方 程/(x)=0 的根；(3)检查在方程的根的左右两侧/(X)的符号，确定函数的极值.(4)求函数区间端点函数值，将区间端点函数值与极值比较，取最大的为最大值，最小的为最小值.1 32 8.己知函数/(九)+氏+“，其中切，”为正整数，若函数/(x)有极大值,则加的值为A.1 B.2C.3 D.4【试题来源】江苏省镇江一中2 0 19-2 0 2 0 学年高二下学期期末【答案】A【分析】对/(x)进行求导得f(x)=x3-3 x+z,构造新函数h(x)=xi-3x+m,x e R,利用导数研究函数M%)的单调性，结合题意，可知函数/a)有极大值，则 0/1(1)1 时，hr(x)0：当-I v x v l 时，()0,所以/2(力 在区间(T 0 1),(1,+8)上单调递增；在区间(-1，1)上单调递减，因为函数“X)有极大值，贝喘，即 优 品 一 2 0，解得-2 =/(%)的最大值.【解析】Q/(x)=?-1 2 x+1 8,则/(x)=3 x2-1 2,令/(%)=0,解得x =2,列表如下：X(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)+00+所以，函数y =/(x)的极大值 为/(2)=3 4,极小值为 2)=2,/(x)极大值极小值又/(-3)=27,4 3)=9,因此，函数y =/(力 在区间-3,3 上的最大值为3 4,故选A.【名师点睛】本题考查利用导数求函数在定区间匕的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题.3 0.函数/(x)=2s i n j x +f +c o s 2x 的最大值为I 4 JA.1+夜 B.巫2C.27 2 D.3【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试(理)【答案】B【分 析】利 用 诱 导 公 式 及 二 倍 角 公 式 可 得/()=2s i Er +J+s i,2+?J,令6 =x+?,将函数转化为 e)=2s i n e+s i n 2。，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解；【解析】因为/(x)=2s i n(尤+?)+c o s 2x ,所以/(x)=2s i n|x +?+s i n 2 x +I 4令。=x+7,则/(e)=2s i n e+2s i n 8c o s 8=2s i n e+s i n 2e,则/(6)=2c o s 8+2c o s 28=2(2c o s2 -l)+2c o s =4 c o s2 e+2c o s 6-2,令/、(。)=0，得c o s 8=-l或c o s 6=g ,当一I c o s 6，时，/(。)0；，c o s 6 0,2 2所以当cose=；时，取得最大值，此时sinO=4,所以/(x)=2 x且+2x正*=述，故选B.m a x 2 2 2 2二、多选题1.已知函数/()=0?+儿2+5 3 0)的导函数丫=/瓮)的两个零点为1,2,则下列结论正确的有A.abc0 B.f(x)在区间 0,3的最大值为0C./(X)只有一个零点 D./(X)的极大值是正数【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中【答案】BC【分析】求导r(x)=3办2+M+C,根据y=/(x)的两个零点为1,2,由/(1)=0,Q/(2)=0,求得b=/a,c=6 a,再逐项验证.【解析】因为r(x)=32+2ZM+C,且/=0,/(2)=0,所以J12Q+4 .=0，9化筒得94+力=0,解得6=-a,c=6 a,因为。0,c 0,2故A错误；由。0,可 知/(x)=3以2+2/zx+c为开口向下的二次函数，且 零 点 为1,2,则当x 2时，,f(x)0,当l x 2时，/(x)0，即/(x)在(F，1)上单调递减,在(1,2)上单调递增，在(2,+oo)上单调递减,所以k 1为极小值点,x=2为极大值点，则/(%)的极大值为/(2)=8 7 +4方 +2,=84+4*|4)+2*6&=220,故 D 错误；由函数/(幻的单调性可知，函数在 0,1单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,3上单调递减，且/(0)=0,2)=2 a 0,所 以 在 区 间 0,3的最大值为0,故选项B正确；函数;(X)在(一8,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,4-00)上单调递减，目J(O)=0,/(l)=a +b+c=a +1 _ g a)+6 a =g a 0 ,/(2)=2 /(e)/(r Z)B.函数/(X)在 a,可 上递增，在 也d 上递减C.函数/(X)的极值点为。，eD.函数/(x)的极大值为了(今【试题来源】湖南省娄底市冷水江市第一中学2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期期中【答案】ABD【分析】对A,B由导数与函数单调性的关系，即可判断/(a),fib),/(c)的大小以及/(x)的单调性，对C,D由极值的定义即可判断.【解析】由题图知可,当时，/(%)0,当x w(c,e)时，/(尤)/(e),故A错误；对B,函数/(力)在 a,句上递增，在 也c上递增，在 c,d上递减，故B错误；对C,函数/(x)的极值点为c,e,故c正确；对D,函数“X)的极大值 为/(c),故D错 误.故 选ABD.3.已知函数/(x)=-l n x-2,则下列说法正确的是A./(幻有且仅有一个极值点B./(x)有零点C.若f(x)的 极 小 值 点 为 则0/(x 0)gD.若/(x)的极小值点为厮，则g /(/)0,所以h(x)在(0,+8)上单调递增，X/1 1又“e 1 y/e 2 0,所以(x 0)存在唯一零点，设为,当0 x%时，/(无)X o时，/(x)0,/(x)单调递增，所以“X)有唯极小值点x 0,故选项A正确.令/(X o)=e*=0,得/。=-1-,两边同时取对数可得%=1 1 1 =In /.玉)玉)玉)所以ln x 0 2 =-+X o -2 N2 j L-X o-2 =O(当且仅 当%=1时等号成立),又所以f(X o)O,BP y(x)m in 0,所以f(x)无零点，故选项B错误.由/(%)=，+玉)-2,7 工0 1 ,可设g(x)=1 +工-2 ,则 g(x)=-y +1 .Xo 2 x x当g x l时，g(x)o,所以g(x)在(对上单调递减.所以g(l)g(x)g(；),即0/(/)。和r a)o写出单调区间，并判断极值点.4.己知函数/(幻=；/+2在区间(。-2,。+3)上存在最小值，则整数a可以取A.-2 B.-1C.0D.1【试题来源】湖南省郴州市2 0 2 0-2 0 2 1学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】首先先求函数的极值点，若函数在开区间(a -2,a +3)取得最小值，则比较端点值,建立不等式关系，求。的取值范围.【解析】/(x)=f+2 x =x(x +2),/(x)=0时，=-2或x =0.当0，当 2 x 0时，/(x)0,所以函数的单调递增区间是(一8,-2)和(0,+“)，函数的单调递减区间是(一2,0),所以函数的极大值点是-2,极小值点是o,n./(o)=-2,那么当11+/一2 =-2,解得x =o或x =-33所以函数在区间(a -2,a+3)上存在最小值，-3 n -2 0则,解得一l W a 43九 0,故/(x)在上为增函数，即c正确:D 选项，当 X E0,5句 时，/(x)=eA-si n x+1,/(x)=ylex si n j ,令=血/si n(尤+?)=可得x +?=%乃，所以x =+(攵 EZ),3 7 1 1 1 S 1 9由x s 0,5万 可得，极值点为x 二一肛一肛一肛一肛一万；L 4 4 4 4 4当 x w -5肛 0 时，/(x)=ex-si n x+l,则(x)=-ex si n x+ex c os x=/2 ex c os x +.令f(4=叵 式c os x+=0,可工+匹=工+攵 乃得,4 2jr则 x =+左肛(e Z),由 x e -5,()可得,极值点为*=3乃 7乃T,-T1 1 兀 1 5万4，一_41 9 74由 B 选项，可知二1)；/(、)=1，即 x)+/(x)=2,所以/(x)在区间-5乃,5句 上所有的极值之和为=5/(x)+/(x)=1 0,即 D 正确；故选 B CD.【名师点睛】利用导数的方法研究函数单调性求极值时，需要先对函数求导，求解导函数对应的不等式，判断出单调性，进而可得出极值，即可求解.三、填空题1 .函数/(X)=(x+l)e”的最小值是.【试题来源】江苏省连云港市2 0 2 0-2 0 2 1学年高二上学期期末【答案】2e【解析】/(X)=(x +1)/=/(x)=(x+2)ex,当了-2时，f(x)0,/(x)单调递增，当 -2时，f(x)0,/(x)单调递减，71 1因此当x =2时，函数有最小值，最小值为一(一2)=(2 +1)”2=一 故答案为一e e2 .已知x =l是函数/(力=+/的 极 值 点，则实数。的值为.【试题来源】宁夏平罗中学2 02 0-2 02 1学年高二上学期期末考试(理)【答案】2【分析】由已知条件可得出了(1)=0,可求得。的值，然后分析导数在x =l附近的符号变化，由此可求得实数。的值.【解析】由 月=g+/，得:(力=一 乌+2-X X因为尤=1是/(X)的极值点，所以.1(1)=0,即一a +2 =0,所以a =2.此时2(、1)，当x l时，f x)1 时，r(x)0.因此x =l是函数/(%)的极小值点，即。=2符合题意.故答案为2.【名师点睛】已知极值点求参数的值，先计算/(九)=0,求得工的值，再验证极值点.由于导数为。的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误.3 .已知/(x)=d-2 c x 2+/尤在=2处有极小值，则常数c的值为.【试题来源】四川省成都市华阳中学2 01 9-2 02 0学年高二下学期期中(文)【答案】2【分析】先求函数的导数，由已知可 知/(2)=0,求C后，再验证是否能在 =2处有极小值.【解析】由/(%)=%3-2 5 2+02彳知，/r(x)=3 x2-4cx+c2,因为在x =2处取极小值，所 以/(2)=1 2 8。+。2=0,解得。=2或。=6,当c =2时，/(x)=3 x 2 _ 8 x +4 =(3 x 2)(x 2),/(x)在x =2处取极小值，符合题意，当 c=6时，f(x)=3 x2-2 4 x+3 6 =3(x-2)(x-6),/(x)在x =2处取极大值，不符合题意，综上知，c =2.故答案为2.4 .函数八 )=二 ：的值域是_ _ _ _ _ _.V 5 +4 c o sx【试题来源】【新东方】4 2 1【答案】一,【分析】先将函数两边平方，转化为关于C O SX的函数，再利用换元法令c o sx =f,将式子转化为关于，的函数，设其为g(r),利用导数求出g(。得的值域，进而得出函数“X)的值域.【解析】令c o sx =r,则.2(x)=-5 +4 c o sx 5 +4 c o sx不妨设 g（f）=U；j e 1,1 ,则 g（）=-2 r（5 +4/）-4（l-Z2）（5 +4/）2-2（r +2）（2 r +l）（5 +4）由g （/）0,得一=由g （t）20,得一i w/v 所以函数g(。在 一 1,一g 上为增函数，在 一g,l上为减函数,且 g(T)=，g(一=g(l)=O，。*(。:，U P O /2(x)0；x e(O,2)时，r(x)0,故在x =2处取得极小值.故答案为2.1 ,6.函数/()=一炉+一的极小值是.2 x【试题来源】2 02 0-2 02 1 学 年【补习教材寒假作业】高二数学(苏教版)【答案】:321 r3-1 r3 _1【解析】函数的f(x)的导数/(x)=X-7 =令 J =o,解得X=1,由x l 可得了(%)0,函数单调递增，由X V I,可得了(x)0 ,/(%)()=0 x l,/,(x)x l,x x则函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+?)上单调递减,即/(x)m,x =/(D =l n l 1 =一1,故答案为一1.8.f(x)=V-3 x2+2 x +1 在区间 0,1 上 的 最 大 值 为.【试题来源】2 0 2 0-2 0 2 1 学 年【补习教材寒假作业】高二数学(苏教版)【答案】1 +空9【分析】先求导，得到函数/(x)的单调性，从而得到函数/(X)在 0,1-之 上单调递增,在 1 4,1 上单调递减，可得函数/(X)在 0,1 上的最大值.【解析】f(x)=3x2-6 x +2,令/(x)=0得，x =l*，令/(x)0 得，x l-3 或 xl +且，所以/(x)在 8,1 3 3 I和1 +/,+8 上单调递增；令/(幻 0得，1 一 立 8 1 +且，所以F(x)在1 1 */+单调递333减，所以函数/*)在 0,1-乎 上单调递增，在 1 等,1 上单调递减,所以函数/(x)在 0,1 上的最大值为7(1 走)=1 +述.故答案为1 +2叵.1-39.若 函 数 f(x)-，a 2 +x 5 无极值点，则实数a的取值范围是【试题来源】天津市河东区2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期末【答案】T【分析】本题首先可根据函数解析式得出导函数f(x),然后根据函数/(幻无极值点得出(-2 )2-4?0,最后通过计算即可得出结果.【解析】因为/(x)=-x3-a x2+x-5 ,所 以/。)=/-2以+1,因为函数/0)=5%3-依 +x-5无极值点，所以(-2勾2一4?0,解得T WaWl，实数。的取值范围是-川，故答案为-1.1 0 .己 知 函 数/(月=；/+奴2+(4 +2卜+3在(-0 0,+0 0)上存在极值点，则实数。的取值范围是.【试题来源】广西钦州市2 0 2 0-2 0 2 1学年高二上学期期末教学质量监测(文)【答案】a a 2【分析】计算尸(尤)，然后转化为了(x)=0有解，可得a的范围，最后进行简单检验可得结果.【解析】由题可 知/(x)=x 2+2 c zx+a +2,因为函数/(x)在(f,r)上存在极值点，所 以/(x)=0有解，所以八=4/一4 x l x(a +2)2 0,则aK 1或。2 2,当a =T或a =2时，函数y =/(x)与轴只有一个交点，即/(x)0,所以函数/(x)在(F,M)单调递增，没有极值点，故舍去，所以a -l或a2,即 a|a 2 ,故答案为 a|a 2 .1 1 .已知函数在 f(x)=xi+3 m x2+nx+tn2(m,neR),x =-l 时取得极小值 0,则加+=【试题来源】安徽省宿州市卜三所省重点中学2 0 2 0-2 0 2 1学年高二上学期期末(文)【答案】1 1(分析】对函数进行求导，根据函数/(x)在x =1有极值0,可以得到/(-1)=0,/X-1)=0,代入求解即可【解析】:/(x)=x3+3mx2+m2,/.fXx)=3x2+6/n r +n,依题意可得-l +3 m-n +7?22=0c ,八 ，解得V3 -6 m+=0m =2 =9或m=l 二3当加=1,三=3时函数f(x)=d+3x?+3 x +l,r(x)=3 x?+6 x +3 =3(x +l)2.O ,m-2函数在R 上单调递增，函数无极值，故舍去；所以 八，所以加+=1 1,故答案为1 1.=9【名师点睛】本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值=/(%)=0.反之结论不成立，即函数有广(/)=0,函数在该点不一定是极值点，(还得加上.在两侧有单调性的改变).1 2 .己知/(x)=(f+2x+a)e若/(x)存在极小值，则。的取值范围是.【试题来源】河南省郑州市2 0 2 0-2 0 2 1 学年高三上学期第一次质量检测(理)【答案】(0,2)【分析】求出函数/(X)的导数，根据/(X)存在极小值，可得对应的二次方程有两个不等的实根，由A0即可求解.【解析】/(x)=(2 x+2)e*+(x?+2 x+=&x+4-x+t z+2),若/(x)存在极小值，则/(x)存在极小值，所以方程Y+4x+a +2 =()有两个不等的实根,所以A =1 6 4(。+2)0,解得a2,所以。的取值范围是(3,2),故答案为(8,2).【名师点睛】本题解题的关键是根据函数有极值点可知导函数有变号零点，由于导函数的符号由=/+4+“+2 决定，因此抛物线应与x轴有两个交点，这是解题的突破点.13 .若函数/(x)=(2-a)(x-2)e*-g o x 2+依 5e H)在 上 有 最 大 值，则 a的取值范围是.【试题来源】陕西省西安市铁一中学2020-2021学年高二上学期期末(理)【答案】(&,2)【分析】先通过r(x)=o有 根 在 上.求 得 参 数 范 围，再验证其左右的导数符号，以保证取得极大值，即得结果.【解析】依题意，在开区间(对上，函数/(%)有最大值，即说明“X)在 上 有 极大值，故/(6=(2_)(%_1)6 0,x =I n a e 1)，即 I n 右 I n a I n e，故 正 a e，此时/(x)=(2-)(x-l)(e -)=0有两个根，要使x =I n a为极大值点，则需x w(-0,x(l n“,l)时，/(x)0，即a 左右的符号，也进而能确定x =%是极大值点还是极小值点，这是这类题的易错点.14.已知函数/(幻=3一3 x在的值域为,可 伍 口)，则实数比的取值范围为.【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中【答案】(跖 汨【分析】由函数知/(x)存在极大、小值，而x e(5一加2,加一 1)的值域为 名 目 他 “)，则(52,加一。必包含极值点，列不等式组求m的取值范围.【解析】由解析式 知/(X)=3(f l),所以(80,-1)、(1,+8)上/(x)0,即/(x)单调递增；(一1,1)上/(为 5-m5-m2-l,解得屈 m/(5-/M2)-2/(-D 0，则c o s x 的最大值为.【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高一上学期期末【答案】叵12【解析】令c o s x =r,则s i n x =C，代入原不等式可得(l-/2)3-r3-/2-r+l 0,即(1 一 产 一 一/丫+1一/)+产+(i-r2-r)o,所以(1 一/一/)(1 一/丫+/(1 r)+/+1之0,即(一/2一。,4一/一 尸+.+2)20,所以，2+一1)(+/+产 一/_2)20,令/(r)=-r4+r3+r2-r-2-r4+r3+3 r2-r-2=(/-l)(-r3+3/+2)=(l-/)(/3-3 z-2),令g(r)=，-3 t-2,则8(0=3/一3 40,所以g(r)W g(-l)=-l+3-2=0,因为 1 一r 20,所以(1。(户一3 r 2)0,即/(f)=-/+/+/-1一240,因 为(/+/-1)(一/4+/+7 /一2 0,所以+_1 0，解得二1：占4 1 7;君,因为一 1 K/W 1,所以 WK 士好，即I K c o s x K 二1 沙，2 2所以c o s X的最大值为 避 二1,故答案为 避 二2 2【名师点睛】本题解题的关键点是利用换元法可简化所解不等式，利用立方差公式可进行因式分解，再判断每一个因式的符号，即可求解.四、双空题e -2 x x Q1.设函数/(x)=a.最小值，则实数”的 取 值 范 围 是.【试题来源】2 0 2 1年新高考数学一轮复习讲练测【答案】o 0,+o o)【分析】(1)将a=l代入函数，分析每段函数的最小值，则f(x)的最小值可求；(2)讨论a 0时函数的单调性和最小值即可求解-、ex 2%,x 1,巾 /,【解析】(1)当 a=l,f(x)=1 ,f(x)=e 2 x,x 1.(x)0,f (x)v O,x v l n 2；故f R)向 钮(2)E -当f(x)=x-l,(x N l),f(x)单调递增，故f(x L=f(l)=O,乂2 2 1 n 2 0,所以f(x)的最小值为。(2)当 a 0 时，由(1)知f (x)=e*-2 x,x f (a)；f(x)=a x-l(xa)单调递减，故f(x)Wf(a),故f(x)无最小值,舍去;当a=0时，f(x)最小值为-1,成立当 a 0时，f(x)=a x-l (xa)单调递增,故f(x)2 f(a)；对f (x)=e*-2 x,x a，当 0 f(a),0X 2 x x a.当 a l n 2,由 知 f(x)“(l n 2),此时 f(x)=-2x,最小值为m i n f(l n 2),f(a),即 f(x)有最小值，cix-,xa.综上a N O,故答案为0 ；0,+“).【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调性最值，分类讨论思想，分段函数，准确分类讨论是关键，是中档题.2.设 函 数/(%)=x3-3x,x a若a =0,则/(x)的最大值为若/(x)无最大值，则实数。的取值范围是【试题来源】宁夏石嘴山市第一中学2 0 2 1届高三9月月考(文)【答案】2 (8,-1)【分析】将a =0代入得到函数并对其求导，分析单调性判断最大值即可；先分析x。时/(x)的值域为(-8,-2 a),再对a分类讨论研究x W a时/(x)的最大值,使最大值小于-2 a ,即得实数。的取值范围.丫3 3 Y V*【解析】若a =0,则/(%)=0时“X)的值域为(3,()，-2 x,x 0尤 0,/(x)单调递增；尤 -1,0)时/(%)a时/(%)的值域为(f o,-2 a),-2 x,x a所以要使/(x)无最大值，则需x W a时/(力 的