北京市2017年数学中考真题（解析版）.pdf

2 0 1 7 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1.如图所示，点 P 到直线/的距离是（）【答案】BC.线段PC的长度 D.线 段 的 长 度【解析】【详解】解：由点到直线的距离定义，点 P 到直线/的距离是线段P B 的长度,故选：B.2.若 代 数 式 上 有 意 义，则实数x 的取值范围是（）x-4A.x=0 B.x=4 C.x#0 D.x*【答案】D【解析】【详解】由分式有意义的条件:分母不为0,即 x-4#）,解得存4,故选D.3.某几何体的展开图如图所示，该几何体是（）A.三棱柱 B.圆锥C.四棱柱 D.圆柱【答案】A【解析】【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱.【详解】观察图形可知，这个几何体是三棱柱.故选：A.【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解.4.实 数 在 数 轴 上 对 应 点 的 位 置 如 图 所 示，则正确的结论是（）ab-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5A.a T B.b d Q C.b+c 0 D.同 同【答案】D【解析】【分析】根据数轴上点的位置关系，可得。，匕，c,d 的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案.【详解】解:由数轴上点的位置，得：-5a-4,-2b-1,0cl,4=4,A、a-4,故 A 不符合题意；B、bd0,故 B 不符合题意；C、b+c4,bh,故 D 符合题意;故选：D.【点睛】本题考查了数轴、绝对值以及有理数的混合运算，根据数轴确定点的位置和点表示数的大小是关键.5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）【答案】A【解析】【详解】A.是轴对称图形不是中心对称图形，符合题意,B.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意，C.是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意，D.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意,故选：A.【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键.6.若正多边形的一个内角是150,则该正多边形的边数是（)A.6B.12C.16D.18【答案】B【解析】【详解】设多边形的边数为n,则 有（n-2）x l 8 0=n x l 5 0 ,解得：n=1 2,故选B.7.（2 0 1 7 北京市，第 7 题，3 分）如果。2+2。-1 =0,那么代数式（。一3 二 的 值 是（）（a J a-2A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】C【解析】【详解】原式=必&-=。（。+2）=/+2。,当 +2。一1=0时，a2+2a=l，故选C.a a-28.（2 0 1 7 北京市）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.2 0 1 1 -2 0 1 6 年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图八贸易额亿美元50004802 _,-东南亚地区“东欧地区3000 3632.52000 1523.6 1660.6 茴誓21000 1440.1 I）“。m N。0 201120122013201420152016 蠢分（以上数据摘自“一带一路”贸易合作大数据报告（2 0 1 7）根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（）A.与 2 0 1 5 年相比，2 0 1 6 年我国与东欧地区的贸易额有所增长B.2 0 1 1 -2 0 1 6 年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C.2 0 1 1 -2 0 1 6 年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4 2 0 0 亿美元D.2 0 1 6 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3 倍还多【答案】B【解析】【分析】【详解】A.与 2 0 1 5 年相比，2 0 1 6 年我国与东欧地区的贸易额由1 3 3 2.0 增加到了 1 3 6 8.2,正确；B.从 2 0 1 4 年开始，我国与东南亚地区的贸易额逐年下降，错误：C.（3 6 3 2.6+4 0 0 3.0+4 4 3 6.5+4 8 0 3.6+4 7 8 1.7+4 5 5 4.4）+6=4 3 5 8.1 4 2 0 0,正确；D.4 5 5 4.4+1 3 6 8.2=3.3 2,正确，故选B9.小苏和小林在如图所示的跑道上进行4 X 5 0 米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y （单位：?）与跑步时间r （单位：s）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是（）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏在跑最后1 0 0”的过程中，与小林相遇2 次D.小苏前1 5 s 跑过的路程小于小林前1 5 s 跑过的路程【答案】D【解析】【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根 据 速 度路=程豁，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程时间的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前1 5 s 跑过的路程小于小林前1 5 s 跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答.【详解】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故 A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=7路程*，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故 B错误；时间小林在跑最后1 0 0 m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1 次，故 C 错误；根据图象小苏前1 5 s 跑过的路程小于小林前1 5 s 跑过的路程，故 D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.1 0 .如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.0 500 1 000 IS00 2000 2S00 3000 3$00 4 000 4 500 SMX）用后次数下面有三个推断：当投掷次数是5 0 0 时;计算机记录“钉尖向上”的次数是3 0 8,所 以“钉尖向上”的概率是0.6 1 6；随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.6 1 8附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.6 1 8；若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1 0 0 0 时，“钉尖向上”的频率一定是0.6 2 0.其中合理的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，5 0 0 次的实验次数偏低，而频率稳定在了 0.6 1 8,错误；由图可知频数稳定在了 0.6 1 8,所以估计频率为0.6 1 8,正确；.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1 0 0 0 时，钉尖向上”的概率不一定是0.6 2 0.错误，故选B.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键.二、填空题（本题共18分，每题3 分）1 1 .请写出一个比2 大且比4小的无理数：.【答案】兀（逐 或 J7）【解析】【分析】利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，然后找出无理数即可【详解】设无理数为五，4 5 x-71 8.解不等式组：,x +1 0 I -3-2x【答案】x 5 x-7 试题解析：4x+10 .A，-2X 2)I 3由得:x 3,由得：x 2,不等式组的解集为：x S 短 彩EBM：=SAABC-（+）易知，SAADC=SAABC，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=可得S 矩 形NFGD=S 矩 形EBM F【答案】SA A EF,S&C F U；SA AN FJ SA A EF；SA EGC,SA CT W.【解析】【详解】试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可.试题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得：S矩形NFGD=A A C 一+S矩形ABC +&FMC)，S1 sADC=S BC SM NF=SM EF，SAFGC=S&FMC,S矩形NFGD=S矩形殖M F 21.已知关于x的方程左+3）x+2 Z +2=0（1）求证：方程总有两个实数根（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围【答案】证明见解析；1%0，方程总有两个实数根(2)f (%+3)x+2攵 +2=0.Z+3 (1)x 2玉=女+1,=2.方程有一个小于1的正根0 攵 +1 1 1 =9(),E 为 AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCOE为菱形；(2)连接A C,若AC平分 4 4 Z),BC=1,求AC的长.【答案】(1)证明见解析.(2)0.【解析】【分析】(1)先证明四边形BCOE是平行四边形，再证明一组邻边相等即可；(2)连接4 C,根据平行线性质及等角对等边证明A8=l,AD=2,可知NAO3=3 0 ,再根据菱形的性质即可得出入4。是含30。的特殊三角形，最后根据勾股定理即可求AC的长.【小 问1详解】.4)=2 6 C，E为A。的中点，:.D E=B C，-,-AD/BC,：.四 边 形 是 平 行 四 边 形，vZABD=90-AE=D E，/.BE-DE，四边形BCCE是菱形.【小问2 详解】解：连接AC.-,-AD/BC,AC平分NfiAD,ABAC=ADAC=ZBCA，：.AB=BC=1，AD-2BC-2，.ZAT3=30，ND4c=30。，V四边形BCDE是菱形.ZADC=2ZADB=60，ZACD 90在 用 八4。中，.AD=2，:.CD=1,1 AC=6【点睛】本题考查了菱形 性质与判定，勾股定理等，解题的关键是连接AC构造RrAACD.2 3.如图，在平面直角坐标系x O y 中，函数y=&(x0)的图象与直线y=x-2 交于点A(3,m).X(1)求 k、m 的值；(2)已知点P(n,n)(n0),过点P 作平行于不 轴的直线，交直线y=x-2于点M,过点P 作平行于y 轴的直L线，交函数y=E(x 0)的图象于点N.X 当 n=l时，判断线段PM与 PN的数量关系，并说明理由；若 PNNPM,结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.【答案】(1)k 的值为3,m的值为1；(2)0 P M,即 P N 2,.O V n W l 或*3点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型.2 4.如 图，AB是。O的一条弦，E是AB的中点，过 点E作ECLOA于 点C,过 点B作。的切 线 交C E的 延 长 线 于 点D.(1)求 证：D B=D E;(2)若 A B=1 2,B D=5,求OO 的半径.【解 析】【详解】试题分析：（1）由切线性质及等量代换推出N 4=/5,再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出s i n/D E F 和 s i n/A O E 的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.试题解析：（1）V D C 1 O A,.,.Z l+Z 3=90 ,：B D 为切线，.,.OBJIBD,A Z 2+Z 5=90 ,V O A=O B,.*.Z 1=Z 2,V Z 3=Z 4,.*.Z 4=Z 5,在A D E B 中，Z 4=Z 5,.D E=D B.作 D F _ L A B 于 F,连接 O E,V D B=D E,.,.E F=1BE=3,在 R T z D E F 中，E F=3,D E=B D=5,E F=3 ,A D F=r-DF 4 *4 AE 4J 52-32-4.,.s i n Z D E F=-,V Z A O E=Z D E F,.在 R T Z X A O E 中，s i n Z A 0 E=一，心 S T DE 5 AO 51 5V A E=6,.*.A 0=.2【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.2 5.某工厂甲、乙两个部门各有员工4 0 0 人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取2 0 名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲 7 8 86 7 4 81 7 5 7 6 87 7 0 7 5 9 07 5 7 9 81 7 0 7 4 80 86 6 9 83 7 7乙 9 3 7 3 88 81 7 2 81 9 4 83 7 7 8380 81 7 0 81 7 3 7 8 82 80 7 0 4 0整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据:成绩X人数部门4 0 x 4 95 0 x 5 96 0 x 6 97 0 x 7 98 gx 89 9 0 x 1 0 0甲0011 171乙（说明：成绩80 分及以上为生产技能优秀，7 0 7 9 分为生产技能良好，6 0 6 9 分为生产技能合格，6 0 分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：部门平均数中位数众数甲7 8.37 7.57 5乙7 880.581得出结论：a.估 计 乙 部 门 生 产 技 能 优 秀 的 员 工 人 数 为；可以推断出 部门员工的生产技能水平较高，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【答案】a.2 4 0,b.乙；理由见解析.【解析】1 2【详解】试题分析：（1）由表可知乙部门样本的优秀率为：X 1 0 0%=6 0%,则整个乙部门的优秀率也4 0是 60%,因此即可求解；（2）观察图表可得出结论.试题解析：如图：整理、描述数据按如下分数段整理按如下分数段整理数据：成绩X人数部n4 0 x 4 95 0 x 5 96 0 x 6 97 0 x 7 98 0 x 8 99 0 x 1 0 0甲0011 171乙1007102a估计乙部门生产技能优秀的员工人数为400X =240（人）；40b.答案不唯一，言之有理即可.可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由如下：甲部门生产技能测试中，测试成绩的平均数较高，表示甲部门生产技能水平较高；甲部门生产技能测试中，没有生产技能不合格的员工.可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由如下：乙部门生产技能测试中，测试成绩的中位数较高，表示乙部门生产技能水平优秀的员工较多；乙部门生产技能测试中，测试成绩的众数较高，表示乙部门生产技能水平较高.2 6.如图，P 是弧AB所对弦AB上一动点，过点P 作 PM_LAB交 AB于点M,连接M B,过点P 作PNLM B于点N.已知A B=6cm,设 A、P 两点间的距离为xcm,P、N 两点间的距离为y c m.（当点P 与点 A 或点B 重合时，y 的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm02.02.32.10.90（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 PAN为等腰三角形时，AP的长度约为 cm.【答案】（1）1.6,（2）作图见解析，（3）2.2（答案不唯一）【解析】【详解】试题分析：（1）通过画图画出大致图象，估算当A P=4 时，P N-L 6；（2）根据题意画出图象即可；（3）作 y=x 与（2）中的函数图象交点即可得.试题解析：（1）由题意可大致画出图象，据此估计估算当A P=4 时，P N 1.6,故答案为1.6；2 7.在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y=x 2*4 x+3 与 x 轴交于点A、B （点 A在点B的左侧），与 y 轴交于点 C.（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y 轴的直线1 与抛物线交于点P（西,y）,。（马，必），与直线BC交于点N（f,%），若X|X2X3,结合函数的图象，求X1+X2+X3的取值范围.【答案】（1）y=-x+3;7X1+X2+X38.【解析】【详解】试题分析：（1）先求A、B、C的坐标，用待定系数法即可求解;达式为y=k x+b,.1由于垂直于y 轴的直线1 与抛物线y =f 一 叔+3要保证司&，则 P、Q两点必位于x 轴下方,作出二次函数与一次函数图象，找出两条临界直线，为 x 轴和过顶点的直线，继而求解.试题解析：（1）由抛物线y =f-4x+3 与 X 轴交于点A,B（点 A在点B的左侧），令 y=0,解得x=l 或x=3,二点A,B的坐标分别为（1,0）,（3,0）,.抛物线y =9-4%+3与 y 轴交于点C,令 x=0,解得y=3,.点C的坐标为（0,3）.设直线B C 的表k=lb=3，直线B C 的表达式为：y=-x+3.（2）.由 y =Y -4 x +3 =（x-2）2 -1,工抛物线的顶点坐标为（2,-1）,对称轴为直线x=2,V =y2，,X +4=4.令 y=T，y=-x+3,x=4.x2 x3,/.3X34,即 7 玉+工2+无 3 ：8,3k+bO,c，解得b=3X+X3 的取值范围为：7 +/8.【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性等，结合图形正确地求解是关键.2 8.在等腰直角 A B C 中，ZACB=90,P 是线段BC上一动点（与点8、C不重合），连接AP,延长B C至点Q,使得C Q=C P,过点。作 QH LAP 于点H,交 A B于点（1）若N B 4 C=a,求乙4MQ的 大 小（用含a的式子表示）.（2）用等式表示线段M8与 P。之间的数量关系，并证明.A【答案】(1)/AMQ=45o+a；(2)线段MB与PQ之间的数量关系：P Q/MB,理由见解析.【解析】【分析】由直角三角形性质，两锐角互余，可得/AMQ=180。,解得/4用0=45。+(1；(2)由题意得AP=AQ=QW,再证R。APC丝小 QME,.全等三角形对应边相等得出PC=ME,得出 MEB为等腰直角三角形，贝1 。=及BM.【详解】(1)N4W(2=45+a.理由如下:V ZPAC=a,ACB是等腰直角三角形，.NELB=45-a,ZAHM=90,：.ZAMQ=1SO-ZAHM-ZPAM=45+a；(2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ=V2 MB.理由如下：连接A Q,过点M作 AC_LQP,CQ=CP,：.ZQAC=ZPAC=af：.NQAM=a+45o=NAMQ,：.AP=AQ=QMf在 Rm APC 和 Rm QME 中，AMQE=PAC ZACP=NQEMAP=QM；RS APCRtA QME,：.PC=ME,，AM EB是等腰直角三角形,/.-PQ=MB,2 2：.PQ=42MB.2 9.在平面直角坐标系无0 y中的点P和图形M,给出如下的定义：若在图形M存在一点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.（1）当。0的半径为2时，在点6（2,O），8 中，。的关联点是-点P在直线y=-x上，若P为。0的关联点，求点P的横坐标的取值范围.（2）。（2的圆心在*轴上，半径为2,直线y=-x+l与x轴、y轴交于点A、B.若线段A B上的所有点都是。C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.【答案】（1）P2、P3,一 逑 Wx W一 变 或 也 x ；（2）-2 x l 2 x 2 V2 .2 2 2 2【解析】【详解】试题分析：（1）由题意得，P只需在以0为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由。鸟,。4的值可知鸟,乙为。0的关联点；满足条件的P只需在以0为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P横坐 标 范 围 是 一 逑 x 或 旦 x；2 2 2 2（2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A,C A=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点A,A C=1时；当圆过点B时，即可得出.试题解析：(1)0耳=3,0 吕=l,O A=g,点 与。最小距离为；，点尸2与。的最小距离为1，点 G与。的最小距离为，二。的关联点为名和巴.根据定义分析，可得当直线y=-x 上的点P 到原点的距离在1 到 3 之间时符合题意；设点P 坐标为P(x ,-x),当 O P=1时，由距离公式可得，0P=J(x _ 0)2+(*0)2 =1,解得x =三，当 0P=3 时,可得，0P=J(x-0)2+(%O f =3，/+f=9 ,解得x =逑，.点的横坐标的取值范围为一逑 x -2 E 或 也 x!l2 2 2 2由距离公式(2)y=-x+l 与轴、轴的交点分别为A、B两点，令 y=0得，-x+l=0,解得x=l,令得x=0得,y=0,；.A(1,0),8(0,1),分析得：如 图 1,当圆过点A 时，此时C A=3,.点C坐标为，C(-2,0)图1如图2,当圆与小圆相切时，切点为D,；.C D=1,y”图2又.直线A B所在的函数解析式为y=-x+1,直线A B与 x 轴形成的夹角是45。，二 R T A A C D 中，CA=V2，二C点坐标为(1-、巧，0)C点的横坐标的取值范围为；-2W X,如图3,当圆过点A 时，AC=1,C点坐标为(2,0)y：c；;图3如图4,当圆过点B时,连 接 B C ,此 时 B C=3,在 RSOCB中，由勾股定理得O C=J学7=2血，C点坐标为（2 夜，0）.y 八：。X 卢、了；：困4C点的横坐标的取值范围为三毛W 2 c ；综上所述点C的横坐标的取值范围为一述 或 叵 xc!l.2 2 2 2【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解题的关键.