近年高等数学期末考试试题及答案(大一考试).pdf

四川理工学院试卷（2 0 0 7 至 2 0 0 8 学年第一学期）课程名称：高等数学（上）（A卷）命题教师：杨 勇适用班级：理工科本科考试（考查）：考试 2 0 0 8 年 1 月1 0 日 共6 页0叔注意事项：1、满 分 1 0 0 分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否题号 二三四五六七八九十十一总分评阅（统分）教 师得分n|r都则视为废卷。3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸匕 否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试 题忠得分评阅教师、单 选 题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共 1 5 分）阳.s in(x2-1)1.hm-=()X T Ix-1(A)1；(B)0；(C)2；(D)!2 .若/(x)的一个原函数为尸(X),则 卜 /(0 7)公为()(A)F(e)+c；(B)-F(ex)+c；_F(ex)(C)F(e )+c ；(D)-F cx3 .下列广义积分中()是收敛的.(A)P s in xdx；(B)f dx；(C)一；(D)f exd x。J-X J-l J Q J-C O +J-004.7（x）为定义在“，b 上的函数，则下列结论错误的是（）(A)/(x)可导，则/(x)一定连续；(B)/(x)可微，则/(x)不一定可导:(C)/(x)可积(常义)，则/(x)一定有界；(D)函数/(x)连续，则，/(f)力 在 。，”上一定可导。1+X5.设函数/(x)=l im-,则下列结论正确的为()1 +x(A)不存在间断点；(B)存在间断点x =l；(C)存在间断点x =0；(D)存在间断点x =-l得分评阅教师二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分，共1 8分)1.极限l im正包匚=.Xf x =1 +产2,曲线j 在f =2处 的 切 线 方 程 为.3 .已 知 方 程y 5 y +6 y =x e 2 x的 一 个 特 解 为_ _ g(x 2 +2 x)e 2 则该方程的通解为:4 .设了(X)在x =2处连续，月/i m/=2,则/(2)=_ _ _T X 一 25 .由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F (牛顿)与伸长量s成正比，即尸=右(k为比例系数)，当把弹簧由原长拉伸6 c m时，所作的功为 焦耳。6 .曲线y =彳工2上相应于x从3到8的一段弧长为.得分评阅教师三、设X-0时，/一 一(6 2 +法+。)是比/高阶的无穷小，求常数Q,氏c的 值(6分)得分评阅教师四、已知函数 y =a r c s i nx +e x c os(3-2 x),求d y .(6 分)叔n|r得分评阅教师赢d 2 y五、设函数y =/(x)由方程盯+ev=e确定，求y.(8分)d-o忠三屁得分评阅教师六、若有界可积函数/(x)满足关系式/(x)=f f(-)dt+3 x-3,求 x).(8J)3分)得分评阅教师七、求下列各不定积分（每题6分，共1 2分）（1）j（l-s i n3 W，(2)J a r c t a n得分 评阅教师X4-1,X 11 2求定积分（6分）叔n|r赢出得分评阅教师九、讨论函数/（x）=x-3 x 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（1 0分）二得分 评阅教师十、求方程生的通解（6分）dx x +y阳得分评阅教师H、求证：sinx x,x G(0,).(5 分)7t 20 7-0 8 学年第一学期高等数学(上)理工科(A)卷参考答案及评分标准一、选择题(每题3分，共 1 5 分)1.C 2.B 3.D 4.B 5.D二、填 空(每 题 3分，共 1 8 分)1.0 ,2.y-3 x-l,3.y =。传2*+2 x)e r (q c 2 为 任 意 常 数 4.2 ,2 85.0.1 8 左 6.03三、解：0 imb (a x2+b x +c)=O c =1.2 分X TO-(ax2+Z?x +c)n r/W b0 l i m-=0.*.l i m(e -a-)=0.4 分Dx21。2 x.a=1 b=0.6 分dx2(x +e )2j 2.=0 时,/=6-2.8 分dx六、两边求导 fx)=3/(x)+3.3分：.f(x)=ce3x-1(c为任意常数).6分0 x=O,/(O)=-3 ：.f(x)=-2 e3 x.8 分七、解：(1)J(1-s i n，e)c/e.=j d 6+/(l-c os?6)d c os。.3 分=+c os -c os3 O+c.6 分31 2 11 八=x arctanx x+arctanx+c.6 分2 2 2八、解：1/(%)公=(1+1)公+(3 2公.2分二 o _ W九、解。f,(x)=l-x f x)=x W(x)=0得%=1,/(x)不存在%=0(3 分)0/(0)=0/(-1)=2/(1)=2.7 分X(-0,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(L+OO)fM+0不存在0+f M不存在+4-4-/(x)在(-+8)上单增,在-1,1上单减.x=-1时有极大值2,x=L有极小值一 2。在(8,0上是凸的，在 0,+8)上是凹的，拐 点 为(0,0).10分(1)dx 1 3=九+V .十、解dy)y 对 应 齐 次 方 程 处=,X的通解为X=cy、dy y.3分设 方 程(1)的解为x=()y代 入(1)得()=；V+C.5分+C J.6 分271H 一1、证明：令/(x)=sinx-x,x G 0,.1 分兀|_ 2_ fM =c o sx-J(x)=-sinx 又X E(0,2)，f，f(x)0.5 分。四川理工学院试卷（2005至2006学年第一学期）课程名称：高等数学出题教师：岳健民适用班级：本科多学时（不含职教）题号*二三四五六七八九总分得分一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当工_8 时-，下列函数为无穷小量的是（A）-Cos、陋（C），X%2X-12.函数/（%）在点%。处连续是函数在该点可导的（A）必要条件（B）充分条件)(D)(l+-)xx)（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件3.设/（x）在（a内单增,则/（X）在S 内（）（A）无驻点（B）无拐点（C）无极值点(D)/(九)04.设/在%勿内连续,且/（。）4 3）(B)p 1 (D)pWl二、填空题(15分，每小题3分)1、若当 X -0 时，1 -J l X2,则 六、讨 论 函 数/(x)=cosx 2的连续性，若有间断点,指出其类型。七、证明不等式：当x0时，ln(l+x)-、(7 分)(7 分)一八、求由曲线盯=2,y =,y =2 x（xN l）所围图形的面积。（7分）九、设/（X）在 0,1 上连续，在（0,1）内可导且/=/（0）=0.证明：至少存在一点J e（M）使四川理工学院试题（A）参考答案及评分标准（2005至2006学年第一学期）课程名称：高等数学一、单项选择题（1 5 分，每小题3分）l.B 2.A 3.C 4.A 5.A二、填 空 题（1 5 分，每小题3分）l.a=2 2.d y =-J x 3.（0,2）单减，（，+o o）单增。2 x4.A =-5.a=22三、计算下列极限。（1 2 分，每小题6分/i */1、入 G D1.解。原式=l i m -=l i m 1 +=/（6 分）1礼 X）X）pX I Y 1.解。原式=l i m -i =l i m =-（6 分）i o 2 x i o 2 x 2四、求下列函数的导数（1 2 分，每小题6 分）y，=(4 户=-1(4-x2；1解。L =/X 6 分1 一=F产3 分dx 2 t 22.解。1 +r2d 2 y d(dt 1 1 1 +dx1 dtl)d x 2 d x 4/ht五、计算下列积分(1 8 分，每小题6分)dx+1 解。原式=1 +X 1 +X=a rc t a n x+l n(l +/)+_32 .(-2 x)4 分-6 分a rc t a n x f-dx 3 分1 +x2-a rc t a n2 x+c 6 分22 P /c o s x(l-c o s2 x)dx71 _=-2 f J c o s x d c o s x3分2.解。原式=n_4/4 4=(C 0 S X I 2 二一3 o 36分3.解 显 然 有：/(1)=0,./s i n x2 八 2 s i n x2/-2 x=-X X2分xfxlx=f x l x2=-:卜2或(x)4分22 s i n x2.-ax=x f s i n 尤 2 d x22)c o s x2|_=(c o s l-1)6分六、讨论 函 数/(1)=2的连续性，若有间断点，指出其类型。x 2-+0 C O S X77所以当x=2时，函数连续。2T T当 X=k 22是函数的间断点。,7 1ZE Z 时，c o s x=0 ,所以x=Z乃 k 2 k E z25分7 1-X且 l i m /(x)=l i m2一=8,所以x=R%+工k2 kez是函数的无穷间2 xTk兀 二2 C O S X 2断点。7分，八、X七、证明不等式：当x 0时，ln(l+x)x一 可(7分)乙丫2证 明：设/(x)=ln(l+x)-x+2分1产r(x)=1+x-且/(0)=01+X 1+X当x 0时/(x)0,所以/(x)单增。5分当x0 时/(%)/(0)=0,即：ln(l+x)X-证毕。7 分X2八、求 由 曲 线 个=2,y=7,y=2%(%2 1)所围图形的面积。(7分)解：如图所示：(略)所 求 面 积A=2 x-dx+(x 2 In x+=21-21n2九、设/(%)在 0,1上连续，在(0,1)内可导且/(D =/(0)=0.证明：至少存在一点J e(0,l)使=(7分)证明：设 F(x)=显然尸(x)在在 0,1上连续，在(0,1)内可导(3分)并 且 尸(0)=尸(1)=0,由罗尔定理：至少存在一点彳(0,1)使尸 仔)=0而 尸(x)=eT/(x)-/。0(6分)尸G)=o 即：/(J)=/(J)证毕。四川理工学院试卷（2 0 0 6至 2 0 0 7学年第一学期）课程名称：高等数学（上）（A卷）命题教师：杜道渊适用班级：理工科本科考试（考查）：考试 2 0 0 年 月 日 共6 页0叔注意事项：5、满 分 1 0 0 分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。6、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否题号二三四五六七八九十1-总分评阅（统分）教 师得分n|r都则视为废卷。7、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。8、如有答题纸，答案请全部写在答题纸匕否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试 题忠得分评阅教师-、单 选 题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共 1 8 分）(A)e；(B)e-1；(C)1 ；(D)c o阳2.=0 是函数/（幻=,1x si n xl +exx 0)（A）连 续 点：（B）可去间断点；（C）跳跃间断点：（D）无穷间断点麟3 .设/（x）、g（x）在 x =0的某邻域内连续，且当x f 0时/（x）是较g（x）高阶的无穷小，则当x f 0时 J（f）si n tdt是 较 小（）无穷小.（A）低阶；（B）高阶；（C）同阶非等价；（D）等价。4 .下列求导正确的是（）（A）（si n x2）=2 x c o s x；（B）/（x0）=(C)(eCOSA)=eCsx；(D)(ln 5 x)=-X5.极限 lim1 l-F A H-|=()T l x 2 2x3(n-l)zz),1 c(A)1：(B)-；(C)0；(D)oo26.两直线右：3=匕=三 3 与 右：七 池=工=三 二 之的夹角为(11-21 2 1 1 -27T 71 71 TC(A)；(B)；(C)；(D)得分评阅教师二、填 空 题（请将正确的结果填在横线上,每题4分，共16分）x2+ax-b1.设 hm-=5 贝IQ=_,h=_.xfi 1-x2.设/=则/的取值范围是 1 =1确定，求H.(6分)dX l.v=O小得分评阅教师六、已知函数y =/(x)由参数方程2x=co s t A一，、dy、,确定，求?.（6分）y =si n /dx得分评阅教师七、求下列各不定积分（每题8分，共16分）(1)dx.1 +e*(2)j sin 4xdx.得分评阅教师2 八、求 定 积 分 （产卜一1|dx.（6分）得分 评阅教师九、求函数,=%3-2-+1的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（8分）叔即都小某x得分评阅教师阳十、求位于曲线y =e，的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积.（6分）得分评阅教师H一、设/(x)在 0,1上连续，在(0,1)内可导，且3 j；/(x)dx =/(0),求证：存在3使 得 广 修)=0.(6分)20062007(1)高等数学(上)理科本科A 卷参考答案单选题题号123 456答案BCB DAC二.填空题1、a=-7；b=62、-3 I 0),dx=2 tdt|s in-7 x J x =2，s inf df =-Itcost+2 s inr +C =2(s in Vx -Vcos Vx)+C八.解:2 x(x-)dx-1九.解：函数y的单调增区间为-O O-V(l,+8)，单调减区间为(,1),曲 线 的 凹 区 间 为+8，曲线的凸区间为(3 )-0 O,3y=|，N minl i=0,拐点坐标为(J,知3 2/13 2/)十.解：所求面积 s =jxdx+(/-ex)dx=j-o 证明：。/(x)在 0,1 上连续存在X。(弓,1 使得 /(x)dx =：/(%)1 3 /。3又 3 /(x)dx =/(。)n /(x)dx =：/()333./ao）=/（o）又/（x）在（0,1）内可导，所以/（x）在（0,%）内可导由罗尔定理得：存在7 e（0,X。）u（0,1）使得四川理工学院试卷（2 0 0 7至 2 0 0 8学年第1学期）课程名称：高等数学（上）A卷命题教师：谢巍适用班级：文科本科考试 2007年 月 日 共 页题号1-67-1011-14四15-18五八22总分评 阅（统分）教师192021得分n|?沿注意事项：9、满 分 100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。10、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。11、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。12、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别同交回，否则不给分。：加 脚司K禺j；-K合I :榛4|：得分评阅教师四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共20分）15、fcos3 x dx16、x In xdx版17、x+2)J2x+1dx18、H -2-+-sin-xd x,J-l +x2得分评阅教师五、综合题（每题8分，共2 4分）19、讨论函数丁=的单调性、极值.l+x.a二答号3学一要M不班二-内级业专蜜I-.I系2。，用雷/y2H4(x+l)俎y2H4(1|卫国画口画三3回弟2厂并建就la+-yueLs血帮.六、证明题（6分）得分评阅教师22、试证：当x0 时有一-ln(x+l)lim-zo sin x解：imee =im(ee A)，1 分io sinx I。(sinx)-X .xre+e)八=hm.4 分XT。cos x=2.5 分12、y=A/COS x2,求：yr解：y，=(Jcosd y=-.(cosx2)r.2 分2vcosx2解：lny=l n_(-sinx2).2x.4分2A/COS x2一Nsinx)-xsin x25分vcos x2|cos x2|13 y-JX-2(X-1)4(X+l)5求：y1分=In Jx 2+ln(x-I)4+ln(x+1)5=ln(x-2)+4ln(x 1)+5ln(x+1)2 分2(In)，=ln(x-2)+4 ln(x-1)+5 ln(x+1)了 3 分1 ,1y1 4 5,+4分y 2x 2 x 1 尤+1，JF1 4 5、Jx 2(1)4,-1-1-)-.-x-2 x-1 x+1 (X+1)、5分14、方程孙=确定y是x的函数，求：y解：(xy)；=(e*)；.1 分W +y=e(1+)，)4分5分四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共2 0分）15 cos3 x dx解：jcos3 xdx=jcos2 xd sin xj(l-sin2 x)dxsinxsinx1 si.n 3x+c316、x2 In xdx解：J.x2 In xdx=jin xd gx3,x3 Inx-dlnx3 J 3 In x-f Jx3 J 3x3 x3 Inx-He392分3分5分1分3分4分5分17、4,x +2 a,x9 V2x+1-/2_1解：设 J2 x+1 =f，贝ij x=-,dx=tdt 1 分2产+3于 是 知=2尸22T18、解:p 2+sin xL 1 +/p 2+sinxL 1 +尤2dxdx2,ri sinx,-ax+-dxl+x2 L l+d hdX=2 arctan A-|L j4分5分2分4分二715分五、综合题(每题8分，共2 4分)讨论函数 =1的单调性、极直解：由题知，X 6(-00,+00),了 =支 山 。2分(1 +-V )令y=0,得驻点玉=一1,=i.3分解：由题知，X 6(-00,+00),了 =支 山 。2分(1 +-V )令y=0,得驻点玉=一1,=i.3分.6分X故，函数在(-哈-1 ,口,+8)上单调递减，-1,1 上单调递增.7分1 +xX(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+00)y0+0y单调递减极小值单调递增极大值单调递减在x=T处取得极小值，加小=-3；在=1处取得极大值，/极 大=：8分2 0、求曲线y 2=4(x +l)及丁=4(1 -x)所围成图形的面积 丁=4(彳+1)得交点卜=0卜2=oy 2=4(l X)1y=2，2=-21分解:2分6分1 ,7=4 y-y 01 68分32 1、求微分方程包+=6一 的通解.dx解:此方程为一阶线性微分方程，对应齐次微分方程为虫+y =0 1分dx分离变量得空=-dx,积分得y =c-3分y令 y =“(x)e-*则 y =(x)*-u(x)ex 4 分代入原方程，得：u(x)ex-u(x)e +u(x)ex=ex即/(x)=l M(X)-x+c 7 分于是，原方程的通解为 y=(x+c)e-x 8分六、证明题(6分)2 2、试证：当x0时有一 ln(l+x)x (6分)x+证明：设函数/(x)=ln(l+x),当x0时，/(x)在 0,x 上满足拉格朗日中值定理条件，所以/。)一/(0)=:(J.(x 0)(0 x)2 分又/(0)=0，r(x)=_,所以上式即为1 +x/U)=-7 即n(l+x)=；4 分1+J 1+4由于0 J x,所以有X X-XX+l 4+1故-ln(l+x)x 6 分x +1