解三角形的综合应用.pdf

注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.第六章解三角形6.2解三角形的综合应用知也梳理i.正弦定理诡T品 嬴=2 R(R为 8 C外接圆的半径).2.余弦定理a2=b2+c2 2Z?ccos A；b2=c2+a2-2 cacos B；c2=a2+b2-2 abcos C.3.三角形的面积公式(l)S 8 C=f儿(也为边ci上的高)；(2)S“BC=；4加in C=bcsin A=acsin B；(3)S=r(a+h+c)(r为三角形的内切圆半径).国 题 型 归 纳题型一 解三角形的实际应用1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40,灯塔B在观察站南偏东60,则灯塔4在灯塔8的()A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东80【解答】解：A C=BC,/C 4 B=NCBA=40,D.南偏西80V Z BCD=60 ,A ZC B D=30 ,：.Z D B A=4 0Q-30=10,灯塔A在灯塔B的南偏西80.故选：D.2.如图所示，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30,沿倾斜角为1 5 的斜坡向上走了 100米到山腰B,在 8处测得山顶尸的仰角为75,则 山 高 力=25遍.【解答】解：中，ZPAB=5,ZBPA=(90-30)-(90-75)=45,.100 _ PB.100si5sin45-sinl5c，*一 sin45100 x与匹nT=5 0(V 3-1),山高=PQ=PC+CQ=PBsin75+ABsinl5=50(遮-1)X 丑 詈+100 x 匹 了 =25遥.故答案为：25V6.3.某港口。要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口。北偏西 3 0 且与该港口相距2 0 海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过，小时与轮船相遇.（1）若 f=2 小时，小艇与轮船恰好相遇，求小艇速度的大小和方向（角度精确到1）；（2）为保证小艇在90分 钟 内（含 90分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值.【解答】解：由题意作出简图，则NOAB=60,由余弦定理得|08=|OA+|A B/-2|0A|A81cos60,即（w）2=202+（30f）2-6 0 0/,即（2 =900尸-600Z+4000.（1）将 f=2 代入式并化简得v2=700,丫=10夕 海里/小时，此时|AB|=60,|OB|=20V7,由余弦定理得2d越 威；严=电,故乙408七101,故小船沿北偏东101-30=7 1 的方向航行.由 得 展 等 一 竿+9。=4。J/+6 7 5 (0VW 1.5),1 3 4 _-故当一=一，即 7=5 时，U 取得最小值为而而=1 5 遮,t 4 5即小艇航行速度的最小值为1 5 次 海里/小时.题型二.解三角形与三角函数、平面向量的综合应用T-*一1 .已知向量a =(2 s i n x,-c o s x),b=(V 3 c o s x,2 c o s%),f(x)=a*b+1(/)求函数f(x)的最小正周期，并求当x e 杳，竽 时f(X)的取值范围；7 1(I I )将函数/(x)的图象向左平移个单位，得到函数g (x)的图象.在 ABC 中，角 A,B,C的对边分别为a,h,c,若 g g)=L a=2,b+c=4,求 ABC 的面积.【解答】解：(/)V/(x)=a*b 4-1 =2 V 3s i n x co s x -2 co s2x+l=V 3s i n 2 x -co s 2 x=2 s i n (2 x 5)，.函数f(x)的最小正周期丁=竽=7 T.当 工 金，冬 时,2 x 所以-w s i n (2 x 卷)W1,：.f(x)的取值范围为：7,2 J6 分(I I)%(x)=/(x+J)=2 s i n 2 (x+J)-1 j=2 s i n (2 x+J)=2 co s 2 x.A1(一)=2 co s A=l,co s A=7 T,6 2 2V 0 a K,AA=J.在 ABC 中，a2=Z?2+c2-2 bccosA,.4=廿+/-2W，A 4=(+c)2-2 bc-be,4=1 6-3 bc,bc=4SAABC=于cs i n A=1 2 分)CT2.在ABC 中，内角4、B、C 所对的边分别为a、b、c,已知向量蓝=(cosB,2cos2-1),n=(c,b-2 a),且m 1 n.(1)求角C 的大小；(2)若点D为边A B上一点,且满足G =而，CD=V7,c=2 V 3,求A A B C 的面积.CT ,【解答】解：(1)Vm=(cosB,2cos2 1),n=(c,b-2 a),且m_Ln,2r/.ccosB+(2cos2 2 1)(匕2a)=0,即 ccosB+cosC(b-2a)=0,J 由正弦定理可得，sinCcosB+cosC(sinB-2sinA)=0,化简整理可得,sin(B+C)=2sinAcosC,即 sinA=2sinAcosC,VsinAO,.1 cosC 2,VCG(0,ii),.=不(2)9：AD=DB,T 1 -1 -是 A 8 的中点，即C D=A+B,：.D2=CA2+CB2+C A-CB,：CD=V7,C=JA-&2 4-a2+-a b co sC,即 b1a2+ab=2Sf4 4 2*.*c2=4 Z2+/?2+2tzZ?cosC,c=2V3,fe2+2-6=12,-可得，ab=8,故AABC 的面积为工 absinC=-x 8 x =2 2 2 23.已知函数/(x)=+cos*).(1)求函数/(x)的单调递增区间；(2)设A A B C 中的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若f (B)=坐，且b=VI 求 J+c2 的最大值.【解答】解：已知函数/(%)=s讥*(V 5sin.+cos、),则f(x)=y/3sin2 4-sincos=sinx-cosx+苧=sinx 一 号)+苧由2/C T T 2-2/C7T+2，keZ,则2/C T T 卷工 工 工 2kn+攵 WZ,即函数/(x)的单调递增区间为 2k兀一看，2/+的，k e z；(2)由(1)可 得:sin(.B -)+孚=孚，即 sin(B 亨)=0,又 打(7，-)即B=0,即 B=I，又 b V3,由余弦定理 6f2+c2-2 ccos3=Z?2 可得：6Z2+C2-ac=3,又a c S 史 罗，当且仅当a=c 时取等号，即 J+dW G,即 a2+c2的最大值为6.题型三解三角形的解答题综合1.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为。，h,c,且2cs讥(苧+4)=acosB+bcosA.(1)求角A；(2)若 3 a=6+c,且AABC外接圆的半径为1,求ABC的面积.【解答】解：(1).2csin(-+/I)=acosB+bcosA,*.*2ccosA=cosB+bcosA,由正弦定理得，2sinCcosA=sinAcos3+sin3cosA=sin(A+3)=sinC,.*.2sinCcosA=sinC,又 OVCVmsinCWO,.,1.cos A=2，又 OVAVir,4=等(2)设ABC外接圆的半径为R,则 R=l,a=2RsinA=V3,由余弦定理得a?=b2+c2 2bccos=(6+c)2-3bc,BP 3=27-3bc,：./ABC 的面积S=4 bcsinA=；x 8 x?=23.2 2:2.已知四边形A8CO是由ABC与AC 拼接而成的，且在A8C中，24B-B C =十空二院AD（I）求角8 的大小；(11)若 NB4D=E，Z.ADC=,AD=1,BC=2.求 AB 的长.【解答】解：（I）-：2A B-B C =-CB（：2/iD：.整理可得，BC2+AB2-AC1=BCAB,.在AABC中，由余弦定理可得cosB=BC2+AB2-AC22ABBC1=务 0B ir,(II),:B=W，ZB AD=,乙4D C=咨 AD=1,BC=2,3 0 0 设 AC=JG ZCAB=a,BC则在O B C 中，由正弦定理嬴而AC 口 2 x可付一：二 .71，sm B sina sin-3可 得 遍=jcsina,AC AD在A O C中由正弦定 理 痂=sm（兀-可得f=sin61sin碍 一一叫可得、=云 总 书，联立，可得 sina=2gsin(a5),可得 tana=*，可得 cosa=I 7-=sina=6乙 l+tanza/,_ ,.BC A C 一g 2xsinJ.在ABC中，由正弦定理一一=可得AC=夕，sina sinB V17;由余弦定理 AC2=BC2+AS2-2 A BBUcosB,可得 7=4+A2 -2 x 2 x A B x ,可得-2AB-3=0,解得A B=3,(负值舍去).3.已知锐角ABC的内角A,B,C 的所对边分别为a,h,c,其中c=2旧，2sin(2C-J)=V3.(I)若a=2A/2,求角 A；(I D 求ABC面积的最大值.【解答】解：(I)V2sin(2C-1)=V3,可得si?i(2C T TVCG(0,J),7 7 y r 27r:.2 C-e(-5,),3 3 3A 2 C-j=J,可得 0=泉2遮_ 2 有sinA sing可得sinA=苧,又：ac,T T/.0A C=4 nA=T(II)二 在ABC 中，由。2=次+户 一 2Q6COSC,RTW I2=a1+b2-abab,5AABC=16sinC3V3,当且仅当a=6,即三角形为等边三角形时，等号成立，/.AB C面积的最大值为3V3.4.已知在锐角ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 tanC=,吗。a2+b-c2（1 ）求角C 大小；（II）当 c=l 时，求 的取值范围.【解答】解：（I）由已知及余弦定理，化简tanC=aba2+b2 c2可得sinC abcosC 2abeosC.*.sinC=2,c 为锐角，c=3(r .a b c 1(II)由正弦定理，得 丁 二=-T=-=-=2,sin A sinB sinC 一2.a=2sinA,b=2sin8=2sin(A+30),ab=4sinAsinB=4s 讥4 s 讥(A+看)=4sinA(-sinA+?o sA)=2y/3sin2A+2sinAcosA=A/3 4-sin2A-y/3cos2A=V5+2sin(2A-),由0。4 90,0o150o-i4 9 0，可得：60 A90,y/3 nA 60 2A-60 120：.sin(2A-)1.A 2V 3 ah=CMsin60=金 备 =x lO f 噜-1)=6()(加).zsinibw2 x v6-42故选：B.2.如图，在四边形ABC。中，N B=罢，A B=遮,A8C的面积为之竺34*(1)求 AC；(2)若 BCJ_C,/。=与 求 4 D4【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意可得：4BBUsinB=季，N B=,2 4 3可得：BC=百，因为所以由余弦定理可得：AC=JAB2+BC2-2AB-BC-cos-=3.（6 分）（2）由（1）知/A C B=I，因为BCLCD,所以 NACD=J.在AC。中，由正弦定理得一餐=.ADA，sinz.D sinZ.ACD所以A O=零.（12分）3.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=c.1-cosA(1)若。=2,求ABC外接圆的半径；(2)若 b+c=10,S,M8 C=4 J 5,求 o 的值.siTiAsixiC i【解答】解：(1)由正弦定理可得：-=V3sinC,1-cosAVsinCO,.sin4=V3(1-cosA),Asin/14-V3cos/4=2 sin(八+5)=V3 可得：s in(4+引=区，yr 71.八+亍 (一,3 3471),3.4+1 =学，可得：A=*_ Q _ 2 _ 4/3 2R=而 记=方=.T2V3 /XABC的外接圆的半径为 丁.(2)VSzMec4/3=%csin4=空be bc=16,.a=lb2+c2 2bccos=,(b +c)2-2bc be=2V13.4.已知ABC 的内角 4 B,C 的对边分别为 a,b,c,(a-2b)cosC+ccosA=0.(1)求角C；(2)若c=2用,求ABC的周长的最大值.【解答】解：(1)根据正弦定理，由已知得：(sinA-2sin8)cosC+sinCcos4=0,即 sinAcosC+sinCcosA=2sin8cosC,Asin(4+C)=2sinBcosC,./4+C=n-8,/.sin(A+C)=sin(n-B)=sinB0,.*.sinB=2sinBcosC,从而cos。=于VCG(0,n),AC=J.(2)由(1)和余弦定理得cosC=，1b c=，即。2+人2-I2=ab,；.(a+b)2 12=3ab 3(喈 产即(a+b)248(当且仅当Q=b=时等号成立).所以，ABC周长的最大值为4V5+C=6V15.ABC中，角A、8、C所对的边分别为o,b,c且ZsiM g=l+cos2c2(I)求角C的大小；(H)若c=8,求ABC的面积5的取值范围.【解答】解：(I)由题意得，Zsin2-=l+cos2C,/.1-cos(A+B)=2COS2C,又 cos(A+B)=cos(TI-C)=-cosC,A2cos2C-cosC-1=0,解得 c o s C=-或 1,1 OVCVir,/cosC=-则 C=-2-：(II).C=冬,c=V3,由余弦定理得，c2=a2+b2-2GbeosC,3=a2+b2-2ab(-1),解得 3=a2+b2+ab,.*.3-ab=a2+b22 a bf解得o b W l,当且仅当a=b时取等号，AABC 的面积 5=i absinC=-ab 整，V3.ABC的面积S的取值范围是(0,.4