（立体几何解答题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（山东、海南专用）（解析版）.pdf

专练1 3立体几何解答题(3 0题)(山东、海南专用)1.(2 0 2 0 山东泰安市高二期末)如图所示，A _L 平面A 3C Q,四边形A E F 8 为矩形，B C/A D,B A 1 A D，(1)求证：C 尸平面A O E；(2)求平面C D F与平面A E F B所成锐二面角的余弦值.2【答案】(I)见 解 析(2)-【详解】(1)四边形A B E F 为矩形：.B F/A E又8 尸Z平面ADE,A E u平面ADE二8 尸/平面人口又 8C/AD,同理可得：3 C/平面ADE又 B F c B C=B,B F,B C 平面 B CF平面平面A DE又 C F 平面B CF；.C F/平面 A D E(2)如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系4一 型，则C(2,2,0),0(0,4,0),F(2,0,4)AD=(0,4,0).CD=(-2,2,0).CF=(0,-2,4)设 =(x,y,z)是平面C D F 的一个法向量，则n-C D =0/x-y =0 即 4-n-CF=0 y-2z=0 x=2令 y =2,解得z=l:.n=(2,2,1)又 诟 是平面AEFB的一个法向量，/-7 7：,A D 2.c os(n,AD)=/n-A D 32，平面C D F与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为 .2.(2019山东潍坊市)四边形ABC。是圆柱。的轴截面，为底面圆周上的一点，A E =2 5 B E =4,A=5.(1)求证：B E 1 平面A P E；(2)求圆柱的表面积.【答案】(1)见证明；(2)4 8【解析】(1)证明：平面A B C D是圆柱OQ的轴截面,AD，平面A BE,BE u平面AB E,.AT)_L 3石，又E为底面圆周上一点，A 3为直径，AEL 3 E,又 A D cA E =A，平面 A D E(2)在 A 4 B E中；A E =2小,B E =4,A A B =ylA E2+B E2=6-底面圆的半径r =3,又；A =5圆柱侧面积为2万x 3 x 5 =3 0万，上下两底面面积为X32X2=18%，二圆柱的表面积为3 0乃+1 8 =4 8乃.3.(2 0 2 1 山东淄博市高三一模)已知在三棱柱A B C 人与 中，A B =B C =B B,=4,=1 2 0.侧棱与底面垂直，点 M，N 分别是棱C C，44的中点.(1)求三棱柱A BC-A&G外接球的表面积；(2)设平面A BC 截三棱柱A BC-44G的外接球面所得小圆的圆心为0,求直线。片与平面BMN所成角的正弦值.7【答案】8 0 ；(2)8【详解】(1)据已知条件，取 A C 的 中 点 以 C 4所在的直线为4轴，以8”所在的直线为轴，以过点”且和A 4平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得 A 修 后 0,0),5(0,-2,0),C(-2 7 3,0,0),A 0百,0,4),C,(-2 ,0,4),B,(0-2,4),设球心G 的坐标为(冬c),则G A=G C =Gq,且 c =2(a-2y/3)2+b2+4 =(a +2y/3)2+b2+4所以 ，(a-2+/?2+4 =a2+(/?+2)2+4解得：a =0,。=2,所以G(0,2,2),所以 r =J。?+(2 +2)2+(2-4)2 =2后.所以外接球的表面积S =4 万/=;r(2 r)2 =8 0 万.(2)由(1)可知：所 以 配=(2 6,2,o),cq=(0,0,4),uuir i umr uur mm umr uni i uuir/、因为 C M=C G，所以 B M =8 C+C M =8 C+5 C G =(-2 7 3,2,2),uim umr uuur umr i iniun/、同理 8 N =g+B 1 N =B B】+Q4A =(x/3,l,4),设平面BMN的法向 量/=(x,y,z),i n -BM=0m-B N=0则即-J x+y +z=0 厂r，取 X=y/3，则 z=2，y=5,。3尤+y+4z=0所 以*=（亚5,-2）,由（1）可知，截面圆的圆心0在 的 延 长 线 上，且/。=2,UUU所以=（0,4,4）,设直线。耳与平面B M N所成的角大小为氏iir uuuIr r i q.召_ I。用.20+8 7所 以 sin 8=jtt.|Uutrj=F=T=,|/|.|OB,|V32-V32 8y4.（2016山东济宁市高三三模（文）如图，在直角梯形A 3C O中，A B/C D,ZBCD=90%3C =CO=2,A 6=4,C/H）,ED_L底面ABC。，是A 3的中点.（1）求证：平面C R W,平面B）产；（2）若点N为线段C E的中点，E C =2,FD=3,求证：M N”平面BEF.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明：FD_L底面ABC。，FD _LM C，连接Z W,；A B/C D ,D C =B M =B C/B C D =9 0 ,四边形 B C D M 是正方形，O E _L C M，.C M _L 平面 尸，,/C M u 平面 C F M ,：.平面 C F M 1 平面 B D F.(2)解：过N作M 9 EE交。/于。，连接M O.,/E C/FD,：.四连形E F O N是平行四边形，;E C =2,FD =3,E N =1,：,O F=1,则0。=2,连接O E，a O E H D C H MB，且O E =D C =M B,四边形8 M O E是平行四边形，则Q W/B E，从而O M/平面B EF，同理Q V/平 面 在F，又OMc ON=O,平面O M N 平面8防，,/M N u平面 OMN.：.M N/平面 B E F.5.(2 0 1 5山东高三一模(文)如图在四棱锥P-A B C D中，底面AB C。是边长为。的正方形，侧面底 A B C D,且PA=PD=2A。，设E,尸分别为P C,8的中点.2(1)求证：E F/平面P A D；(2)求证：面 丛8,平面P DC.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】(1)A B8 为平行四边形，连结A C,则A C c3D=/，:尸 为A C中点，E为PC中点，.在ACR4中，E F U P A,且A 4U平面P A。，七尸二平面；所/平面尸4)；pE（2）.平面BA D，平面A B C。，平面PA D八面A B C。=A D，四边形A B C。为正方形，CD LAD,CDu平面A B C。，CD,平面尸A O，CD1PA,又:PA=PD=JAD2P+P D A D2 P 4 ）是等腰直角三角形，且P 4 _L P。,PDcCD=DQ 4 _L 面尸D C，又；Q4u面RW，二平面RW _ L平面P DC.6.（2 0 2 0山东潍坊市高三三模）如图，点。是以A B为直径的圆上的动点（异于A,B ）,已知4 3 =2,A E =S ,5,平面A BC,四边形8 E O C为平行四边形.（1）求证：3 CJ _平面A C D；（2）当三棱锥A-8 C E的体积最大时，求平面A 0E与平面A B C所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）叵5【详解】（1）因为四边形B E D C为平行四边形，所以CD/BE.因为 3,平面A B C,所以CD_L平面ABC，所以C D,3 c因为4 4cB是以A 8为直存的圆卜一的圆周角，所以8C_LAC,因为ACcOC=C,4C,D C u平面AC。，所以8（7，平面4。）.（2）MBC中，设AC=x,BC=，4-2（0*（0,0,6）,网0,血,6）,所 以 而=卜 也,0,6）,诙=倒,&,0）,平面ABC的法向量）=（0,0,班卜设平面ADE的法向量%=（x,y,z）,_ _.,，-DE=0所以X +y/3z 0 -(I ,即%=(J3,O,J2),所以好/小 丽n,二资R =V丁lO法二：因为 DEHBC,BCu 平面 ABC,D Ea 平面 A8C，所以。E 平面A8C，设平面A0ECI平面ABC=/,则/DE,又 BC/DE,所 以/B C，乂点A是平面AOE与平面ABC公共点，所以/过点A，过点A在圆内作A F/B C交圆于点F，则直线A F与I重合,所以A F为平面A D E与平面A B C的交线，因为Ab/ABC，A C 1 B C.所以ACLAb,又因为BC_L平面ACQ，所以B C L A O,所以ADJ_A尸，所以NZMC为两个平面所成的锐二面角的平面角，在 RtAACD 中，A C：5,D C =B E =V3,.-.A D =y/AC2+C D2=2+3 =亚/A C 6 屈所以 cos A D A C =r=-，A D y5 5所以平面A D E与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 为 亚57.(2019济南市山东师范大学附中高三其他模拟(理)如图，底面/LBCD是边长为2的菱形，4%。=60。DEL(1)求证：平 面 在 产，平面BOE；(2)求二面角B-EF-D的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)旦4【详解】(1)：)E_L平面 48CC,A C u 平面 A8CD二 D E L AC.又V底面A8CZ)是菱形，A C 1 B DB D c D E=D.AC_L平面 BDE,设AC,B D 交于0,取BE的中点G,连PG,0G,O G/C F ,O G =C F ,四边形OCFG是平行四边形F G H AC,ACJ_平面尸6，平面8。又因F G u平面8EF,，平面 跳 下_L平面BDE.(2)以。为坐标原点，OA,OB,0G所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系.8E与平面A8CO所成的角为45,ZfiAD=60oD E =B D =A B =2,0A=GD(0,-l,0),8(0,L O),。(-疯0,0),(0,-1,2),F(-V 3,0,l).B E=(0,-2,2),BF=(-V3,-1,1)-2y+2z=0设平面用沙的法向量为力=(x,y,z),r,H=(0,1,1)-V 3x-y+z=0友=(-1,0)，DE=(),(),2)设平面CD石尸的法向量玩=(x,y,z)-后+尸0=坑=(l,6 0)z=0设二面角B E F D 的大小为色c o s e=|c o s|=奈=乎8.（2 0 2 0山东高三专题练习）如图所示的几何体中，4 5。-456为三棱柱，且 明，平面4 8。，AA,=A C ,四边形4 5 c o为平行四边形，A D =2 C D,N A D C =6 0 .（1）求证：A B,平面A CG4；（2）若8 =2,求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）8【详解】（1）证明:V四边形A B C D为平行四边形,A D =2 C D.Z A D C=6 0 ./.N A C D =N B A C=9 0,:.ABAC,v几何体中.A B C-A C,为三棱柱,艮A4,J平面ABC,ACc A41=A,AB _ L平面.（2）连结AC,Q A B_ L平面 A CG4.8/AB,CD人平面C G 4,，四棱锥C-A B C。的体积：丫 =%-CGA+匕1 一 AMG=3 x SAGC+x CCj x SAAIBIG=-x2x-x2yf3x2y/3+-x2y/3x-x2x2y/33 2 3 2=8.9.（2019山东高考模拟（理）如图，在四棱锥P ABQD中，底面ABCD为梯形，AB/CD,A B Y A D,AB=AD=2CD=2,AADP为等边三角形.P 当 PB 长为多少时，平面24_|_平 面 ABCD?并说明理由；若二面角PADB大小为1 5 0,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）当PB=2后 时，平面平面A B C O,详见解析（2）过 亘53【详解】解：（1）当PB=2夜 时，平面平面ABC。，证明如下：在 A E 43中，因为A3=P4=2,P 8 =2 j 5,所以AB_LR4，又 ABLAD,A D cQ 4 =A,所以 A6_L 平面 PA D，又A B i 平面ABC。，所以平面BAD，平面ABC。：（2）分别取线段A D,B C 的中点O,E,连接尸O,O E,因为A 4D P为等边三角形，。为A D 的中点，所以PO LAD，为 AZ）,8 C 的中点，所以 0 E/A 3.又43_LAZ），所以O E J.A D,故N P O E 为二面角P ADB 的平面角，所以NPOE=150，如图，分别 以 砺，诙 的 方向以及垂直于平面ABCO向上的方向作为y,z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,因为O P =V i，N P O E =1 5 0，所以 P(O,-g,乎)，4(1,0,0)，8(1,2,0),C(-l,l,0).可 得 而=(0,2,0),P B =P C =，2 2 2 2设3=(x,y,z)为平面P8C的 个 法 向 量，则 有 而7=0,定 不=0，尤十7 月 一。X y-Z -U2 2即 l ,令 X=l，5 6 nl 2 2可得n (1,-2,4A/3),设A B与平面B B C所成角为。，则有s i n =L”川ABn4 22#+(-2)2+(-4超y-7 5 3所以直线A B与平面P B C所成角的正弦值为2叵.5 310.(2021海南海口市高三其他模拟)如图，在五面体A 6 C D 中，底面四边形ABCO为正方形，面 ABEEQ面 C D E F =E F,A D E D,C D L E A.(1)求证：A B H E F x(2)若E F =E D =1,C D =3,求平面AO E与平面BCE所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)好.5【详解】(1)在正方形ABCD中，A B/C D,因为C O u平面COER,A B z平面A班 石，所以AB平面COEF.因为ABu平面A B F E，平面A B F E Q平面C D E F =E F,所以ABF.(2)因为四边形ABC。是正方形，所以C O L A O.因为CD_LAE,ADcAE=A,AO,Au面ADE，所以CD J平面A D E.因为D u平面ADE，所以C_LZ)E.由AD，D E，所以可以如图以点。为坐标原点建立空间直角坐标系.由已知，3(3,3,0),C(0,3,0),尸(0,1,1).易知平面ADE的法向量为肩=()/,().设平面BC尸的法向量为3=(x,%z),所以：n l B C n-BC=0,f-3x=0,n L F C n-FC=0,2y-z=Q,令y=l，解得：Z=2,x=(),所以平面8C T的法向量：n=(0,1,2)设平面ADE与平面BCT所成锐二面角为。，则cos8=m-n _ 1 _/|m|n|/5 5所以平面A D E与平面BCE所成锐二面角的余弦值为好.5U.(2021海南高三其他模拟)如图，在三棱柱ABC A 5 G中，底面ABC,A B V B C,A B =,B C =2,（1）求直线AC与A4所成角的余弦值;设M为AC的中点，在平面BCG内找一点N,使得M V _ L平面A8 C,求点N到平面A B C和平面A B用的距离.【答案】（1）巫；（2）到平面ABC的距离为 立，到 平 面 的 距 离 为1.4 6【详解】解：（1）根据题设可知AB，BC，8片两两垂直，以8为坐标原点，分别以84,B C,B B 1所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则 3（0,0,0）,A（1,0,0）,（0,0,7 3）,A（l，0，K），C（0,2,0）,所 以 罚=卜1,0,AC=（-1,2,-7 3）,/i i u i r u u i r）所以 c os（Ag，A。UUU UUU.,A B.-A C 1-3 V 2/=I i i i t r 11 u u tfT =-7=,/|阿M 2 x限 4所以直线 C与A B 1所成角的余弦值为也.4（1 u u i r（1（2）由条件知因为点N在平面5CG内，可设其坐标为N（o,a,则=，。一因为M N _ L平面 AC,所以 MNLBC,MN ,UUU UUU1/由坐标系可得6 c =（0,2,0）,M =（l,0,J 3卜所以M/V-B C =2（a-l）=0,r_ _ _ _ _ _ _1 r 解得。=1，b =在M N-B A,=-+7 3/?=0,6所以点N 0,1,，其到平面A8 C的距离为 立,至i j平面ABg的距离为1.61 2.（2 0 2 1海南高三二模）如图所示，四棱柱ABCO-dg G R的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱CG上，且满足A E =；M，C F=|C C,平 面 与 平 面A B C的交线为/.(1)证明：直线/I平面8。；(2)已知E F =2,B D,=4,设B E与平面8。口 所 成 的 角 为 凡 求si n。的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】(1)如图，连接AC，与 交 于 点0.由条件可知A C F，旦A E =CE，所以A C E F,因为ERu平 面 班F,所以A C/平面为E F.因为平面B E FI平面A B C=/，所以A C H I.因为四棱柱ABCO-Ag G A的底面是菱形，且侧棱垂直于底面,所以 A C J.B Z)，A C L B B、,又 B D c B B i=B ,所以 A C J _ 平面 B O。，所以/，平面8。.（2）如图所示，以。为坐标原点，分别以 为，无 的 方向为X,设 3 O =2 a,因为 B D B R,所以 0 a 2.则 O B =a,D D、=ylBD；-B D2=2 7 4-a2.所以 8（a,0,0）,C（0,l,0）,F（0,l,gj 4 一/）由（1）可 知 定=（0,1,0）是平面50,的 个法向量，而 8尸=（一）,.B户 1所 以 抑。=陋。,所|=_|-b+1+：（4/）当0 Q V2时，-0),则 8(0,0,0),4(4,0,0),4仅，2后0),C(O,O,/z).所 以 麻=(-4,0,)，府=(2,2 6,0 1设平面C 4用的法向量为 =(x,y,z),贝 匹 方.A=0,-4x+/zz=0,_ /百 4、即 I-令 x=1,得 =1,.+2伤=0,1 3 h)由条件知BC=(0,0 为平面A 4 4的一个法向量.设二面角C-AB1-A的平面角为。，易知。为锐角.4 V21C O S V-二-则 1 16 7，解得h=4.所以匕 A B B=-x B C x 5 =lx 4 x lx 4 x 4 x sin 6 0 0 =.C-riO|3 3 2 315.（2019海口市海南中学高三一模（理）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，A D/B C,/4。=90。，平面正/4。，底面/18。，。为AO的中点，是 棱PC上的点，P A =P D=2,BC-AD l,2CD=6（D若M为P C的中点，求证：PA/面MQ B；（2）若二面角M-3 Q-C为30。，设 两=/就，试确定f的值.【答案】（1）证明见解析（2）t =3【详解】（1）证明：连接A C,交BQ于。，连接M0.A D/B C R BC-AD.2四边形8CQA为平行四边形，艮。为。中点，又；点M是棱PC的中点，所以。M PA.OM u 平面 MQ B,P A Z 平面 M Q B.B4 面 MQ 8.(2)P A=P D =2,。为 A O的中点，,/3。4，AO.3 3化简得：8加2 _ 18 2+9 =0，解得：?=:或 加=不(舍)4 2二.平面B4 _ L平面A B C。，且平面P 4 D n平面A B C D =A),A PQ-L 平面 A B C。.V A D/IB C，BC-AD2。为A O的中点，.四边形B C Q A为平行四边形，.C OBQ.Z A D C =9 0,Z A Q B=9 0 即 B Q A D以。为原点.Q A QB,Q P分别为x,y z轴建立空间直角坐标系.则 网 0,0,6),网0,6,0)9(1,6,0),则平面BCQ的法向量为n=(0,0,1)设 P M-m P C=/wf-l,6,-G)=(-/w,G m,-0 m|=即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 立.3EC O D V3EClIOD _ 3EF 1 1 (1 1 (1 2(3)解：存在点F,R=时，有EC平面FBD.证明如下：由EF=-E A =,F-0,-EA 3 3 3 3J V 3 3所 以 而 叫,0,一|).v-BD=G设平面FBD的法向量为D=(a,b,c),则有 一vF B =0 u+Z?=0所以 =2BC=4,AB=23,N8AD=9 0，M,。分别为CO和AC的中点，。，平面川弘:。.（1）求证：平面平面ELC；（II）是否存在线段尸例上一点N,使得O N/平 面 如8,若存在，求 丝 的 值，如果不存在，说明理由.PM【答案】（1）见 解 析（2）当N为P例靠近P点的三等分点时，Q V/平面见8.【详解】（/）连 结 并 延 长 交A8于E,设AC,8M的交点为凡。是 CO,AC的中点，.M O/AO/8CM O -A D=2,2.E 是 48 的中点，BE=1AB=62.ME=g(AO+BC)=3BM=BE2+ME2=2 g -：M O/BC,MO=BC,.BCF 咨 AMOF,：.BF=-B M ,CF=-O C =-A C .2 2 4-.AC=ylAB2+BC2=4-：CF=1.BF2+CF2=BC2 B F 1 C F,即;PO 平面 ABCD,BM u 平面 A8CD,又P O u平面布C,A C u平面B4C,POrAC=O,.80_1_平面 外C，又B M u平面P8M,平面 PBM 1 PAC.()当N为尸M靠近尸点的三等分点时，C W/平面B4B.证明：连结P E,由(/)可知MO=2,EM=3,_M_O_ _ _M_N_ _ _2：.O N/P E,又ON =1,求三棱锥B-M CO的体积.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）在长方形A 3 C O中，因为A B =2 A D，M是DC的中点，所以A M =B M =0 A。，从而A M?+创 外=从笈，所以又因为 A D_L 5 M，A DcA =A，所以 _ L 平面 A O 0 .（2）因为 A O =1，所以 A 5 =2A =2，因为M是。的中点，所以3 C =CM =1,AM=BM=拒设点D到平面ABCM的距离为/,由（1 ）知 BM _ 1_平面 ADM 因为 V0T MB=VB-A D M，11/Q所以3 sAz 4MB公 丁 刖 犷 期，所以人啜,所以 VB F C D=VD-MBC=Q SW B C，h=；x；xlxlx.J D /乙 i乙19.（2020海口市第二中学高三月考）（2018海南高三阶段性测试（二模）如图，在直三棱柱A B C-%与G中，Z B A C =9Q，A B =A C =2,点”为A G的中点，点N为A B 1上一动点.（I）是否存在一点N,使得线段MT V/平面B 4 G。？若存在，指出点N的位置，若不存在，请说明理由.（II）若点N为A片的中点且CM,肠V,求二面角“一O V A的正弦值.【答案】见解析（II）3【解析】（1）存在点N，且N为A片的中点.证明如下:如图，连接48,B Q,点加，N分别为4 G，4 8的中点,所以M N为AAG的一条中位线，M N B C,又平面88CC，8 0 轴，A A为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得A（0,0,0）,故 丽=1,C（0,2,0）,N,A C =（0,2,0）,CN=1,-2,7设加=（x,y,z）为平面ANC的一个法向量，则,CM=（0,-1,V 2）m -AC=0,（m -AN=0,得2 =0,0 nX H-Z=0,2令x =1,得平面ANC的一个法向量机=（1,0,01同理可得平向MNC的一个法向量为=卜,2,、历），故二面角M CNA的余弦值为cos m,n）=-3+0+27 3.7 15旦15275515故二面角M-C N-A的正弦值为20.（2016海南高三一模（理）如图，在 直 角 梯 形 中，乙4入台=90,A g AB,AB=AA,=2,5,=2.直角梯形A 4C C通过直角梯形 4 8以 直 线 为 轴 旋 转 得 到，且使得平面A 4C C，平面为线段8 c的中点，P为线段8为上的动点.（I）求证：4 G工AP；（II）当点P是线段8用中点时，求二面角P AM 3的余弦值；（in）是否存在点p,使得直线A。平面AMP?请说明理由.3Rp【答案】（I）详见解析：（II）节 一；（III）在线段3片 上存在点P,且 诟 =2时，使得直线A。平面AWP.【解析】（I）由已知NAA8=NAAC=9O，且平面A 4C C，平面所以 N B A C=90,即 AC_LAB.又因为A C,A41 LLABnAA=A,所以 AC_L 平面 A&gB.由已知AG A C,所以AG J平面4 A 4 8.因为A P u平面44向8,所以AG_LAP.（H）由（I）可知AC,AB,A d两两垂直，分别以AC,4B,AA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知 AB=AC=A4,=2ABl=24G =2,所以 4(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),B,(0,1,2),A (0,0,2),因为M为线段B C的中点，P为线段8芯 的中点，所以M(l,l,0),P(0,l).2易知平面ABM的一个法向量而=(0,0,1),设平面APM的一个法向量为 =(x,y,z),n -AM=0,由_ _ _ _ _.得1x+y =0,3，、取 y =2-y+z=o,-得1=(-2,2,-3).由图可知，二面角PAM5的大小为锐角,所以|c o s m n 3 3 后所以二面角尸一AM-8的余弦值为 生 叵17(I I I)存在点P,使得直线AC 平 面.设P(%，M，Z|),且 而=/1瓯,；则(玉，y2,Z 1)=0,1,2),所以 x,=0,y =2-4 4=2 ,所以 Q =(0,2-;1,24).设平面A M P的一个法向量为4 =(%,%,z 0),%AM=0,4-yn=0,_ 2-2L _ 得八，”_八取=1，得/=(-M二)(显然2=0不符合题意)n(),A P=0 (2/l)y0+2/l z0 0,2Z乂 而=(2,0,2),若4。平面AMP，则4 C _ L疝，所以荏式=2七*=0,所以4=工A 3所以在线段S B】上存在点P,且 空 =2时，使 得 直 线 平 面AMPPB21.(2016海南高三一模(文)如图，在直三棱柱A B C-A 4 G 中，D,M,N 分别是A B.A V B C i的中点.（1）求证：M N/平面ABC；（2）若AC=B C,B B=6AB,试在上找一点尸，使 A/，平面C D F,并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）点尸为的中点.【解析】（1）证明：如图，连结A（为 4 G 的中点），由M,N 分别为A A I G 的中点，可得M N/4”,又因为4 u 平面A B ,M N U 平面A 4 G，所以M N/平面A B ，所以由ABC 是直三棱柱，从而有M N/平面ABC.（2）解：作。E J.4 8 交4 B 于 E,延长DE交BB1于 尸,连接C F,则4,8,平面8b，点尸即为所求.因为。_ 1 平面4 4 万 8,又 A B J.平 面 A4,用B,所以COJ.4 反 乂 AB_L DF,所以J.平面8 尸.此时点尸为8 6的中点.22.（2016海南高三一模（理）（题文）如图，在三棱柱/豳”在陶蠲i中，通弱1.平 面/的，且4 感 =/e=w 律=144（1）求棱,圆 线与瓢:所成的角的大小;（2）在棱蹄皤上确定一点孽，使二面角等-/慰-线的平面角的余弦值为土.【答案】（1）右；（2）,肄为棱陶皤中点.【解析】（1）如图，以地为原点建立空间直角坐标系,蔡 蕊 _ -21.1 K7石，故与 棱 盘 所成的角是”./笔设平面段 窗 的 法向量为公=4典 嚼 秀=星悬-舄裴，则而平面/费僦的法向量是叫=瞰 磁.弊=期区 1解得盘=一,.憎，.其坐标为%即0为棱豌线中点.23.（2015海南高三其他 模 拟（理）（本题满分12分）如图，三棱柱/幅 一 禽 13中，3 上面案,嬲窗_L獭、：=C)-CC.=1 同X|C,C|二面角C i BD C的余弦值为二(Ill)假设侧棱AAi上存在一点P使得CP，面BDCi.设 P(2,y,0)(0y_LCD,A D/B C,且5 c =2 4)=4 8 =4.点 E是线段BC上一点，且CE=BC.8(1)求证：平面平面SED.(2)若SD=2 O,在线段BS上是否存在一点尸，使得口到平面SAC的 距 离 为 好？若存在，求SF的值；若6不存在，请说明理由.【答案】证明见解析；存在，I【详解】(1)方 法-：因为AZ)=2 8,E C-C D,2所以 tan ACAD=tan ZEDC=2所以 NC4=NEDC.因为 AD_LC,所以NC4)+NACD=900，所以NEDC+ZAC。=9 0，所以 AC_LO.因为SA L平面ABC。，Eu平面A B C D,所以 4,DE.又 S 4 c A e =A,所以 DE1 JL平面 SAC.而D E u平面S E D,所以平 面%C,平面SEO.EC CD方法二：在 AGA。与 EDC 中，,ZECD=ZADC=90CD DA所以 CADAEOC.所以NC4）=NEDC.（以下证明同方法一）（2）存在这样的点.由 SO=2及，AD=2，得5?1=2 又易知 AB=后,AC=V5-SB=3.设点5到平面幼。的距离为d，因为匕.SAC=KY B C，所以xLx2x5/xd=xx4-*2/-m-n 厂+2 丽=加+4.4+因为平面BDF与平面A B G所成锐二面角的余弦值为姮，5/+2 J 5所以,I =/=-,解得 t =2,即 A D =2，V 2/2+4-#+1 5因为Z M，平面A B F ,所以ZD FA即直线DF与平面ABF所成的角，在AAD尸中，因为N D 4 P =9 0，A D =A F =2，所以/D E 4 =45，故直线DF与平面ABF所成的角为45：2 6.(2 02 1山东德州市高三二模)如图，在四棱锥P-A B CD中，底面A B C O为矩形且A B =4,B C =3,点P在底面上的射影为线段。上一点E，PE =EC,且D E =1,M为A P上的一点且A M:M P=1:3,过E、M做平面交P B于点N,PC于点尸且尸为PC的中点.(1)证明：M E平面P8 C；(2)求 平 面 与 平 面 肠 下 所 成 角 的 余 弦 值.【答案】(1)证明见解析；(2)包 亘.5 5【详解】(1)证明：解法一：取A B的四等分点G,使A G =1，连接M G,E G,r r,AM则MPAG 1GB3所以MG 依,因为M G z 平面P B C，PB u平面P B C，所以MG平面P B C，又因为EC幺 B G,所以G E/BC，因为G E a 平面PBC,B C u 平面P B C,所以GE平面尸BC,又因为 G E cM G =G，GE i 平面 M G E,MG u平面 M G E,所以平面MGEH平面P B C，因为M E u 平面M G E，所以ME平面PBC.解法二：取 P B 的四等分点H，使 黑=；，连接M H，C H,则AM BH1 3所以 M H/A B,MP HP 3=43乂因为EC二A B,所以”必EC,=4 =所以四边形M HCE为平行四边形，所以ME/CH.又因为平面 8 C，。”(=平面尸8。,所以ME 平面尸BC.P(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则 A（3,l,0）,0（0,-1,0）,P（0,0,3）,石（0,0,0）,C（0,3,0）,M9 _3 34，-454吟I，所 以 通=(3,0,0),而=(0,1,3),EM=93 34 4 4，EF=0,3 32 2 设平面PA D的法向量为诩=（M，X，Z 1）,则AD-m=-3 玉=0DP-m-x +3 Z =0令X i=0,Z|=-l,得平面P A。的一个法向量为妨=（0,3,-1）,设平面EMNF的法向量为力=（乙,%*2），则_ _ _ 9 3 3EM 日=一 X,y,+z,=04 2 4-4 一 3 3EF =,+,=02 2 2 -令 句=-1,得平面EWNE的一个法向量为五=所以平面尸A D与 平 面 所 成 角 的 余 弦 值 为 施5 .27.（2021山东潍坊市高三一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面B4O为等边三角形且垂直于底面A8CD,AD/BC,ABVAD,AB=2BC=4,E是棱PD上的动点（除端点外），F,分 别 为AB,CE的中点.E(1)求证：E M/平面PA O：(2)若直线痔与平面尸AZ)所成的最大角为3 0。，求平面C E E与平面P A D所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)叵.【详解】(1)证明：取CD的中点N,连结F N,MN,因为 尸，N分别为A B，CO的中点，所以 F N/AD，又因为硒 平面尸A D，A Du平 面?A D，所以/W/平面PA O，同理，MN/平面P AD，又因为F Nc MN=N,所以平面MF N/平面P AD，乂因为EM u平面MF 7 V ,所以f M/平面P AD.B C(2)因为平面B4 _ L平面A B C。，A B A D，所以A 3,平面尸AZ)，所以NAEF即为直线E F与平面尸AD所成的角,且 tan ZAEFAF 2AE AE当AE最小，即E为P。中点时，AE_LPD，此时NAE最大为30。，乂因为AF=2,所以AE=2 g，所以4T=4.取AO的中点O,连结P。，OC，易知PO_L平面A8CO，因为 AO/BC 且 AO=6C,所以四边形ABCO为平行四边形，所以AOLOC，以。为坐标原点，反 的 方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一 种.则 0(0,0,0),C(4,0,0),(0,2,0),P(0,0,2,E(),l,百)，F(2,-2,0),CE=(-4,1,73),FC=(2,2,0),设%=(x,y,z)为平面CEF的法向量,q屈=0n,-C=0则即2x+2y=0,-4x+y+G z=0,可取用=(V3,-V3,5).设平面尸AD的法向量为质=。,0,0)，所以cos伍,动=箭=需=噜所以平面CEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为叵31p.E28.（2020山东高三专题练习）试在PC_L3O,PC_LAB,Q4=PC三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使 得 产。，面48。成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥P ABCD中，A C C B D =O,底A8C。为菱形，若,且ZABC=6 0 ,异面直线P5与CD所成的角为60。，求二面角A PB C的余弦值.【答案】详见解析；余弦值为:【详解】若选：由P。，平面ABCO知，又PCJ_/W，所以A8_L面 以C,所以A8LAC,所以NR4C=90，B C B A,这与底面ABC。为菱形矛盾，所以必不选，故选.下面证明：PO 1平面A8CD,因为四边形4 8 8为菱形，所以AC _L 60.因为 PC_L 6 0，P C r A C =C，所以8O_L平面APC.又因为P O u平面APC,所以BOLPO.因为Q4=PC，。为AC中点，所以PO_LAC.又ACnBO=O,所以POL平面A8CD,因为尸OJL面A8C,以。为坐标原点，以丽，O C，而 的 方向分别作为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图因为A 8/C O,所以NPBA为异面直线PB与CD所成的角,所以 NP84=60.在菱形A8CO中，设A3=2，因为NABC=60。，所以。4=1,08=6,设 尸