2023年高考数学大招7仿射变换.pdf

大招7仿射变换大招总结仿射变换，通俗来讲，就是将一个空间内的图形按照一定法则变换，就会在另一个空间内得到与之对应的新图形.在高考数学解析几何题目中，我们可以利用仿射变换将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题,这样就可以借助圆中的特有的一些性质解决问题,从而使问题的解决过程大大简化.2 2 X!=X椭 圆 二+与=1 3 0）,经过仿射变换 a，则椭圆变为了圆/+,2=。2,并且变换过a b yz=yI b程有如下对应关系：（1）点变为P（与*%）（2）直 线 斜 率 左 变 为 后b图形面积S变为s =g sb（4）点、线、面位置不变（中点依然是中点，相切依然是相切）（5）弦 长 关 系 满 足 凶=上,因此同一条直线上线段比值不变.AB R 1+公仿射变换一般而言主要应用于选填中快速得出结果，对于大题可以利用仿射变换快速得出结果但是容易丢掉步骤分，因此还是用正常方法写出过程.当出现以下几个场景的时候就可以联想仿射变换去处理：（1）面积问题（尤其是有一个顶点是坐标原点的时候）；斜 率 之 积 出 现-与 之 类；同一条线段的比例问题；（4）其他与之相关a联的问题.典型例题例1.（2 0 1 4-新课标/）已知点A（0,-2）,椭 圆 氏1+4=1（。0）的 离 心 率 为 是 椭 圆a b 2的右焦点,直线A F的斜率为，0为坐标原点.+（1）求 的 方 程；（H）设过点A的直线/与E相交于P,。两点，当A O P Q的面积最大时，求/的方程.分析:这里第二问出现A O P Q面积最大，因此可以联想仿射变换化椭为圆去做.解 设E（c,0）,由条件知2 =3叵，得c=6,又，所以。=2,从=一,2=1,故后的方c 3 a 22程？+y 2=i.（II）方法1 ：依题意当/_Lx轴不合题意,故设直线/:y=区-2,设P（芭,y）,0（%2，%）2将丁=点-2代入亍+丁=1,得0+4二）2 16代+12=0,当A=16（4&2 3）0,即22 _|时，飞=以 士 个：二从而 I PQ|=正+1 1%一 /|=4 2：y2 31 十 TK又点。到直线P Q的距离d=T=,所以AOPQ的面积S A。=：d|。土竺巴三，设42+1 2 1+4HI-4/4,必2-3=f,则/A asA OPQ=-=1，1+4/+t当且仅当t=2,k=-等号成立,且满足 0,所以当AOPQ的面积最大时，/的方程为：y=-x-2 y =-x-2.y*v*方法2:作 变 换 一，椭圆E变为圆：/+2=4,.y=2y此时PQ过点4(0,-4),此时S y=2%*因此SAOPQ最大时，SAOPQ同样最大.SM P.Q.=g OP OQsin N P O Q =2 sin N P O Q”2当且仅当NPOQ，=W时最大设直线PQ方程为y=-4,4 L那么0到直线P Q距离d=7 =0=k +V7=kp0 k +PQ 2 2.直线/的方程为y=，x 2总结思考：当过椭圆外一个定点P 作一条直线与椭圆交于A,8 两点时，AAOB面积最大值或，2当且仅当经过仿射变换之后的4 9 与原点。所构成的三角形为直角三角形时取到最大值.如果定点P 是圆内点，则有两种情况：（1）如果作仿射变换之后户到圆心距离大于等于军。，那么面积最大值仍然是巧;（2）如果作仿射变换之后P，到圆心距离小于孝明 那么当OPJ_A8时面积取到最大值.例2.设耳、工分别是椭圆9+V =i的左、右焦点.若尸是该椭圆上的一个动点，求PE P G的取值范围；设A(2,0),5(0,1)是它的两个顶点，直线y=丘(4 0)与A 8相交于点。，与椭圆相交于E、尸两点.求四边形面积的最大值.解由题意可知。=2,8=1,c=y/a2 Z?2=V3耳(-6,0),6(6,0),设 P(x,y)：.PFi PF2=(-V 3-x,y)(#-x,y)=x2+V 3,+=x2+l-y-3 =-(3x2-8)由椭圆的性质可知，-2滋/2 n -8 W2-8 4*PF PF2=-8)e-2,1(2)方法 1:设 E(,hc1),F(,Ax2),联立V2y=kxf 2_ 消去y整理可得(1+4公卜2=4彳+)_2 -X|=-777,X2=F7iA(2,0),5(0,1)/.直线A 3的方程为：x+2y-2=0根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 知，点E,F到 直 线A B的 距 离 分 别 为力 _ 归 +-2|_ 2(1 +2k+Jl+4%2)石 网1 +4)_x2+2kx2-2 _ 2(1 +2%一，1 +4攵2)石 小5(1 +4女2)=寸+2公1(1+叱)|A5|=V22+1=V5二四边形的面积为S=g|A B|(4+%)=g x 64(1+2A)2(1+2公J1+4公ll+4k+4k2V l+4k2=21 +J”2&(当且仅当4 Z =1即A=4时,上式取等号,所以S的最大值为20.7 卜 2kY-Y方法2 :作变换 一 之后椭圆变为圆,方程为/+y 2 =4 +y =2 y此时 B (0,2),|A B|=2s2EF=4当且仅当E F L AB1时面积取到最大此时S四边形4 B =2 S四边形=20例3.(2 0 1 7-肇 庆 三 模)已 知 圆f；:(x+l)2+r名(1,0),A是圆耳上的一动点，线段1 6,定点的垂直平分线交半径耳A于尸点.求P点的轨迹。的方程；(H)四边形EFG H的四个顶点都在曲线。上，且对角线E G,F W过原点O,若原G 心H=-|，求证:四边形E F G”的面积为定值,并求出此定值.解解:因为P在线段KA的中垂线上，所以归用=|P A|.所以忸闾+|尸耳|9|+|?制=|明|=4 出闾所以轨迹。是以耳，外为焦点的椭圆，且c =l,a =2,所以人=6。2 2故轨迹C的方程工+匕=1.4 3(2)证明：方法1:不妨设点E、H位于x轴的上方,则直线E H的斜率存在,设E H的方程为yH+租,必)联立y=kx+mx2 y2，得（3+4-）2+8/J O X+4 Z2 1 2 =0,1 4 3则 为 +x2=-8 k m由 KBG,KFH3+4公二%xtx24 m2-1 2_ 3/日（点+m）（Ax,+m）k2XyX2+/an（x+x2+mi r f二xx234xx2 由 、(2),得2疗一绿2一3 =0.(3).设原点到直线四的距离为公舟，皿 二 后 卜 止中吗S四边形E F G H =4SABOH=2 I EH I d=2 A 2-3疗+9.（4）.3+4/由 、(4),得S四边形E R3H =4 6,故四边形EFGH的面积为定值,且定值4君.x=X方 法2:作 变 换，2 后 椭 圆 变 为 圆，方程为y=yx2+y2=4则 k G.=4 二 KEG.KFH 1 .E G F H,又但G=|9 =4n S 四边 w，=；|G|尸1=8,S四边形E F G H _ 2 S四边形E，F，G =462 2例4.已知A,B分别为椭圆C:二+工=1的左、右顶点，P为椭圆C上异于A B两点的任意一4 2点，直线PA PB的斜率分别记为匕&.(1)求 占 女2；过坐标原点。作与直线PA PB平行的两条射线分别交椭圆。于点M,N,问：AMON的面积是否为定值?请说明理由.分析:第一问的攵*,=-勺，并且出现了以原点为顶点的三角形的面积因此考虑用仿射变换去处理.(1)设 PQo，y。)，则9 +=1q z,_ y0 y0 _ yo _ 2&一瑶)_ i1 2-+2 -2 一率几 7 4 2(2)方法 1:lM Nl x 轴时，设 M(a,b),则 krk2=一捺=一(又 彳 +了=1 =a?=2/2=1,则 S4MON=2-ab=V2，MN与X轴不垂直时，设 直 线M N方程为：y=kx+?n,M(Xi，yi),N(X2，y2)(.(4km丫 =依+根 xi+x2=-：-7rix2+y2 =1=(1+2k2)+4kmx+2m2-4=0=m2=1+2k21 1 z-,m 1 2 2(1+2H)-MS“MON=2 MNI-d=2 1+|X 1-X 2 lV T T F =2 f T z P|zn|=V2综上可知，M O N面 积 为 V2方 法 2：作 变 换;上 丫，椭 圆C变为圆：无 2+y2=4,于是 kM。0Nr=,(V2o/v)=2koM kN=-1 ,*OM，_L ON则 SAWO N，=?|O M I|ON|sin4MON=2,_ 声 厂*,SSMON 2 SRM，ON，=7 2总结思考：当斜率之积出现-捺时很多情况都可以考虑用仿射变换去处理，因为经过变换之后，这两条直线变成垂直了，于是就可以利用垂直以及圆的特殊性质去处理.例 5.已知椭圆C:+g=l(a b 0)经 过 点 M(2,0),离心率为,A,B是 椭 圆C上两点，。为坐标原 点 直 线O A,O B的斜率之积为一*求 椭 圆C的方程；若 射 线。4 上 的 点P满 足PO=3OA,且P B与椭圆交于点Q,求 黑 的 值.BQ(Q=2-1 =6 =遮；.椭圆方程为9 +9=1a 2(2)方法 1:设 X(x11y1),B(x2,y2),则 P(3xi，3 y J,设 B Q=A Q P,则 Q(第 等，然 等)由 于 A.B.Q都在椭圆上，并 且k0 A.k0 B=一*因此6A+515213城-423+11=城3度3+OA+1+222+好4以404y23-4=2_2yX1-1y-A =0(舍)或;因 此 吧=5BQxr=XV，一 Zv，于是椭圆C变 为 圆：，2 +/2=4,y -可因此 k0 A k0 B=(蠢 k(u),(#O B)=9 0 4 ,=-1,0 A-OB=2过 点。作。H 1 BP于H,则 需=(篇z =9又 由 于O Q，=O B,n B H =Q Hn处=安=学学=卑=5y 7 BQ B Q BH+QH 2BfH思考总结：当出现同一条边的比值问题的时候很多时候就可以考虑能否用仿射变换利用圆的性 质对其作变形化简，很多情况能简化相当多的问题.而这道题还出现了斜率之积为一，于是更加考虑用仿射变换去解决例6,已 知4(一2,0),8(2,0),平面内一 动 点P满 足kPA-kpB=一*求P点运动轨迹C的轨迹方程；已知 直 线I与 曲 线C交 于M,N两点，当P点 在(1,|)时，kP M+kP N=0恒成立，试探究直线I的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由.解：设 P(x,y),则 kPA-kP B=-=P点轨迹方程为：=+?=l(y力0)方 法1 ：显然直线I不垂直于x轴，故 设l-.y=/c x +m,M(x1,y1),A/(x2,y2).f 9 7(-8km%y _+%2 =q 77 五+百=1 =(3 +4/c2)%2+8kmx+4 m2-1 2 =0=kMN=1 1 V3一 OQ=后=MN=12总结思考:除了以上三种形式以外，出现类似的情况同样可以考虑仿射变换，化椭为圆，利用圆的性质去处理.自我检测(1)已知直线I与椭圆9+9=1交 于 M,N两点，当k0 M-k0 N=A M O N面积最大，并且最大值为.记M(.xlly1)lN(x2,y2),当A M O N面积最大时，*+慰=y l+y l=P是椭圆上一点，OP=W M +当&M O N面积最大时，A2+M2=.(2)M N是 椭 圆 +=l(ab 0)上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P 是 M N的中点,则kM N-k0 P.A,B是该椭圆的左右顶点，Q 是 椭 圆 上 不 与A,B重合的点，则kA Q-kB Q=.C D是该椭圆过原点。的一条弦，直 线C Q.D Q斜率均存在，则kCQ-kD Q=(3)过 椭 圆 1+1=1的右焦点F的直线与椭圆交于A.B两点，则&A O B面积最大值为_ _ _ _ _ _ _.4 3(4)已 知A,B,C分别是椭圆1+1=1上的三个动点，贝 I I A B C面积最大值为_ _ _ _ _ _.4 2(5)M,N分 别 是 椭 圆 号+号=1和 =1上的动点，贝 I A M O N面积最大值为_ _ _ _ _ _ _.4 2 16 8(6)P是 椭 圆?+y 2 =i上任意一点，。为坐标原点，PO=2 O Q,过 点Q的直线交椭圆于A,B两点，并 且 Q 4=Q B,则 P A B面积为.丫2(7)已 知 椭 圆 C：y+y2=l左 顶 点 为A,P,Q为 椭 圆C上两动点，直 线 P。交力Q 于E,直线Q。交力P 于D,直 线O P,O Q的斜率分别为自也 且 的 矽=三，而=4 而 荏=4 的(尢 是非零实数)，求/+2=.(8)已 知 椭 圆 C:?+y 2 =i上 的 两 点A.B的中点为椭圆外点P满 足P A.P B的中点均在椭圆上，则P点坐标为.(9)(1 5 山东)平面直角坐标系x O y中，椭 圆 C:g +g=l(ab 0)的离心率为 李 左、右焦点分别 是 a,尸 2,以 a 为圆心,3为半径的圆与以F2为 圆 心 1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.求 椭 圆C的方程;2 2 设 椭 圆 E：3 +*=1,P为 椭 圆C上任意一点，过 点P的 直 线y=kx+m交 椭 圆E于，B 两 点，射 线P 0交 椭 圆E于 点Q.求 的 值；求力BQ面积的最大值.(1)已 知 椭 圆 C$+3=l(ab 0)的离心率为p P(l,|)是椭圆上一点，A,B是椭圆上两点,0为坐标原点.(1)求 椭 圆 C 的方程；线 段A B的 中 点 为M,当4 A 0 B面积最大时，是否存在两定点G,H使 得GM+H M 为定 值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.1 1 (1 6北京)已知椭圆C:5 +、=l(ab 0)过 点 做 2,0),B(0,l)两点.(1)求 椭 圆C的方程和离和率；(2)设P为椭圆第三象限内且在椭圆C上，直 线 PA与 y 轴 交 于 点M,直 线 PB与 x 轴交于点N,求证四边形A B N M面积为定值.1 2 (1 6四 川)已 知 椭 圆F:g +g=l(ai)0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶 点，直 线l：y=-x+3与椭圆有且只有一个公共点T.(1)求 椭 圆E的方程及T的坐标；设。是 坐 标 原 点 直 线I平 行 于。7,与 椭 圆E交于不同的两点A.B,且与直线1交 于 点P.求 证 存 在 常 数 人 使 得PT2=XPA-PB,并 求A的值.1 3 (1 9全 国 卷III)已 知4(-2,0),B(2,0),动 点M(x,y)满 足 直 线A M与 直 线B M斜率之积 为 一 点 记M的轨迹为曲线C.求C的方程，并 说 明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PElx轴,垂足为E.连接 QE并 延 长 交C于 点G.(i)证明：&P Q G是直角三角形；(i i)求X P Q G面积的最大值.1 4(2 1成 都 一 模)已 知 椭 圆C:捺+=l(ab 0)的离心率为 今 且 直 线1 5+(=1与 圆x2+y2-2相切.(1)求 椭 圆C的方程；设 直 线I与 椭 圆c相交于不同的两点A,B.M为 线 段A B的中点，。为坐标原点,射线O M与椭 圆C相 交 于P,且。在 以A B为直径的圆上，记A A O M C B O P的面积 分 别 是,5 2,求1的取值范围.