《线性代数考试重点》.pdf

概率论课本的课后题答案概率论考试重点题目（计科院这届大二老师给勾的）页数：I题目28 页：|9、56 页：|16、22、2480 页：|14、16、17、18、19、20、21107 页：|9、10110 页：|30、135 页：|8、9、10、11、12、13、34、136 页：|28、第 一 章 行 列 式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 11 4 1-1 8 3解2 0 11 4 1-1 8 3=2x(-4)x3+0 x(-1 )x(-1)+1 x 1 x8-0 x 1 x3-2x(-1 )x8-1 x(-4)x(-1)二 一24+8+164=一4.解cQb“c4cQh人c4=acb+hac+cba-hbb-aaa-ccc=3abc-a3-h3-c3.1%a-1b21cc2b解l2z?1Q2I 6 Z=hc2+ca2+ab2-ac2-ba-cb1=a-b)(b-ccd).(4)%y x+yy x+y xx+y%y%yx+y解y x+yx+y x%y=x(%+y)y+y x(%+y)+(%+y)y x _ y 3 _(x+y)3 _ x 3=3%y(x+y)-y3_3x2 y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;解 逆 序 数 为0(2)4 1 3 2;解 逆序数为4:41,43,42,32.(3)3 4 2 1;解 逆序数为 5:3 2,3 1,42,4 1,2 1.(4)2 4 1 3;解 逆 序 数 为3:2 1,41,43.(5)1 3-(2/2-1)24(2H);解 逆 序 数 为 若1：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)7 2,7 4,7 6(3 个)(2九 一 1)2,(2 1)4,(2 一1)6,(2/1-1)(271-2)(n-1 个)(6)1 3 (2H-1)(2M)(2M-2)2.解 逆序数为及(-1)：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)(2 n-l)2,(2H-1)4,(2H-1)6,(2 -l)(2 n-2)(n-个)4 2(1 个)6 2,6 4(2 个)(2/i)2,(2及)4,(2八)6,(2n)(2n-2)(n-1 个)3.写出四阶行列式中含有因子 4 1闷2 3 的项.解 含因子即。2 3的项的一般形式为(-1)d 1。2 3。3/4 5,其中小是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和4 2.所以含因子。1 1 4 2 3 的项分别是(1)%1 1 2 3 3 2 4 4(-1)%1 1 4 2 3 a3 2。4 4=一 1 1 2 3 3 2 4 4 5(1)%1 1。2 3。3 4。4 2=(-1 )2。1 1。2 3。3 4。4 2=。1 1 2 3 3 4 4 2-4.计算下列各行列式：-2341110=0420214207202111114110023041100024o一一0241一9017420720211111411007T2341101111CM解42361T2o231 17nz20200423411-21i2312rM-0202423611T2o231511112242361-T2o2315解o=020042301172o2310-四4岁3)b e e=adf b-c eb c-eaede-ab acbd-cdbf cf解1 1-1=4abcdef.1=adfbce 1oold41CTTOo-ooITooldecl4.1o1c-O1CT111Jp-oIbTO1。一ooQ-Ioo4)解AM1+ab a 0|c3+ccA+ab a ad=(-l)(-l)2+1-1 c 1 =-1 c+cd0-1 d|0-1 0=(一 1)(一 1产 11,=abcd+ab+cd+ad+1.5.证 明：(1)a-ab b-2a a-Yb 2b1 1 1二（一分；证明a ab b2 c2ct a2 a h-a2 b2-a22a a+b 2b 2ci ba 2b2a11 1 1 c3-c,|1 0 0/1A3+I a h-a2 h2a2=(f b-a 2h-2a二(ba)(b-a).=(a h)3.2Q)ax+byay+hzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bzx y z=(a3+b3)y z xz x y证明%yy zz%ax+by ay+bz az+bxay+bz az,+bx ax+byaz+bx ax+by ay+bzx ay+bz az+bxy ay+bz az+bx=ay az+bx ax+by+b z az+bx ax+byZ ax+by ay+hzx ay-bz=a2y az+bx=a3zXyzXyax+byy zz x%yzXy+Z?3%y zy+b2 zxyz.vzXyXyzx ax+by ay+bzz az+bxx ax+byy ay+bz%y z+b3y z x=(a3+b3)y z xz%yz%ya2(a+1)2(Q+2)2b2+1)2 0+2)22(c+1)2(c+2)23+3)23+3)2(c+3)2=0;(d+1)2(2)2 (3)2证明2229193+222912)2)2)2+gsga222DDDD+2222a8cd(C4C3,C3C2,C2-C得)a2 2a+l 2a+3 2a+5b2 20+1 2b+3 2b+5c 2c+l 2c+3 2c+5d2 2d+l 2 3 2d+5(C4-C3,C3C2 得)a2b2c2d22a+l2/7+l2c+l2d+lo=22222222(4)证明7T24lddd1c2cc41%4Z 2LZ241aaa=(Qb)(fl c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a+b+c+tZ);证明ldJ246/1cc24c1匕加12I 6 Z4I 6 Z1 1 1 1_0 b a c a d-a 0 h(h a)c(c a)d(d a)0 b2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2-a2)1 1 1=(b a)(c-a)(d-a)bedb2(b+a)c2(c+a)d2(d+a)1 1 1=(b d)(c-a)(d-a)O c-b d-b0 c(c-bc+b+a)d(d-b)(d+b+a)刘-咏-颂 -颂 匕 皿-叽 心 屋。）d（d+b+a）=(a b)(a一d)(b c)(b d)(c d)(+Z?+c+d).oo-X+-oo-X%111-2o二o%T%一o*-axo6a”5)=R+QX+,+。一X+Q.证明用数学归纳法证明.当=2 时，2=）丫 =%2 +%+。2，命题成立.C t-）人 I C/jw(n+l)=(-l)2n+l/j 5+1)+(-1)+1 2=(-1 产(-1)一i一 n(j/)n+l/j=no-./).n+l/J 1(4)%=A；C1 U1C dn解册 bD2I=夕 (按第1行展开)C1 uCn La bC j d、b r i an-+(-1产也6 ZC lbd4T o0 dnd n-00再按最后一行展开得递推公式D 2 n“d“D2n-2 b/1c“D2n 2,即 D2 n 于是 Dln=l l（M -物）02，而。2 =44一%,i=2所以%=I I(M-%)./=1(5)D=det(y),其中 aij=i-j;解 a=i-j,a hc 4r-r21234二_一321031i11.11o12.0123-1111n1 n2 n3 zi-40oooo二000-2-00-2二2n-3 2-4 2n-5)222o-(6)2 =n-21+q11 +%*,1 111-1+a,其中,解D=1+q11 1+%111 1 +。”Cl 一。2ax一 出00。2一。30 0 3000000111与000;an-an-1000 0an1+Q1 1001 10.0 1 0 00 00 0=Q42.0 0 0-0 0 0-1 0 0.0 1 0-0 0 1-0 0 0-1 10-10 0 0 0 0二(q%q)(l+七1a3 1an-l+alaxan-ln1 +%T/=10 00 00 0=4%册0 18.用克莱姆法则解下列方程组:X+X2+X3+X4=5X+212-毛+4%=-2.2 石3%2一 毛5%4=-293X1+X2+2X3+.1X4=0=-142,1t5114-11A1z212-311111CS03解 因 为。=1r5114-1-)22)5-o231514-112-31-)22)5二oA-425-2-2O1t5114-111-22-3yCM2-所以 X l=D=i,X2=-D=2,天 吟=32 15玉+6%2=1X1+5X2+6X3=0(2)+5 七+64=0.X3+5X4+6X5=0X4+5X5=1解 因 为=0006500651065106510051000JI=-1145,000650065106510ul(c51000=1507,D2=0006500651065106510011114=00065ooo0651065100510000006500651oool6510051000A1OOO0065065106510051000A_ 1 50 7 _ 1 1 45 _ 70 3 _-39 5 _ 21 2-iz a z.，2 /-/；c，13-a r c，*4-a a z.，%665 665 665 665 665Axl+x2+x3=O9.取何值时，齐次线性方程组匹+偌2+毛=0有非零解?xt+2/Z 2+x3=0解 系 数 行 列 式 为AllD=1 R =4 一,2.令 0=0,得/=()或/1.1 2 1 于是，当片0或加1 时该齐次线性方程组有非零解.(1-4)%2X2+4毛=01 0.刃取何值时，齐次线性方程2%+(3-团%2+%3=0 有非零解?X +马 +(1 力 W =0解 系 数 行 列 式 为1 A 2 4D=2 3-A 11 1 1-/11 /i 3+42 1 71411 01-Z=(1 /l)3+(/l 3)4(1 /I)2(1 /l)(3 A)=(1 /l)3+2(1 A)+A 3.令D=0,得心0,A2或入3.于是，当曲),心2 或入3 吐 该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算代=2%+2%1.已知线性变换：卜2=33+%+5%,昌=3%+2%+3%求从变量XI,%2,8 3到变量乃,”,为的线性变换.解 由 已 知：153212122yyyXM722yyyz/mkT32-76(1 0).3(2(3)1 (-1 2);解1 (-1 2)=(2x(-1)2x211x(-1)1x2、3x(l)3x2,(-2 4、=-1 2 3 6,(3 1 1(2 1 4 0 0-1 2(1 -1 3 4j 1 -3 1(4 0-2)解fl 3 1 )2 1 4 0)0-1 21 -1 3 4j 1 -3 1(4 0-2)f 6-7 8(20-5-6J-入？*3)2 97 23I。13“23 a33解(%x2 七)2。2 2。23/%、=(。1%+42%2+“1/3 112%1+。22%2+。23%3。13%1+。23%2+。33%3)X2=+。，2芯+/3后+2%2XX2 +2。13%七 +2见3工2X3 问9u/O21111/kB=Xu/231111z/nA=设5-()AB=BA 吗？解 A B B A.因为,I),所以 ABwHA(2)(A+5)2=A2+2AB+B2 吗？解(A+B)2A2+2AB+B2.因 为 A+B=(A+5)2=(；5J2 29但屈+2 W叫通+(*MW喉部所以(4+B)2WA2+2AB+#.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2 吗？解(A+B)(A-B)A2-B2.因为4+5=e 5 4-3=1。，(A+B)(A-B)=g 兼通而4一=(：J _(；?=(常)，故5+切俗一切却一破6.举反列说明下列命题是错误的：若4=0,贝L解 取 A=o)?贝U T=0,但 AW0.若4=4贝lA=0或A=；解 取A=1：J 则屋=4但A M且AWE.(3)若 AX=AY,且 A M,贝lX=Y.解 取 4 4 o X=(，J)，F；)，贝I AX=AY,且 AwO,但 XY.7.设 1)，求 T),，屋0A3=A2A=1 0 Y122 1 UAk=U?)(A 1 OA8 .设4=0 4 1,求屋.(0 0刈(4A2=0解I。1 o Y/t 1 0、4 10 2 10 矶 0 0%(无 24 1 10 咫 2/1(0 0 刃(%37 3公A3=A2-A=0 矛 3咫、0 0 无)4 无 6/、屋=4 3 2=0 少 4才，、0 0 尤,(九5/1 0 均A5=A 4.A=0 犬 5无、0 0 九龙k无 7丝无一2Ak 2A -0 无 球 T0 0 无、用数学归纳法证明:当k=2时，显然成立.假设女时成立，则上+1时，Ak+-A-A =无无o左无oOOAlJ140AoO/元+i/+1）无 t 缺 四 犬/=0 元+1 /+1）无T,0 0 无+iI）由数学归纳法原理知：无人比T”1元-2、2Ak=0 4尤 t .0 0 比I 79 .设4 6为阶矩阵，且A为对称矩阵，证明3幺3也是对称矩阵.证 明 因 为*=4,所 以（方幺从而3幺8是对称矩阵.1 0.设A,6都是n阶对称矩阵，证明A B是对称矩阵的充分必要条件是A 3=3A.证明充分性：因为“=4炉=5且4 6=氏4,所 以（4 6）7=（比1）7=6三钻，即A6是对称矩阵.必要性：因为“二人父二民 且(A6)r=A6,所以 AB=(AB)T=BTAT=BA.11.求下列矩阵的逆矩阵：Q解A=Q。昨1,故 一 存 在.因 为4晓豺=9 7故4肉*=(*2丹cosS-sinY，)(sine cose)解H潞 二 歌 囿T W故A-1存在.因为4侥=(嚅黝所以小#Y湍般.1 2-1A 3 4-2;(5-4 1 J7123444f-4 2 0)=-13 6-1(-32 14-2,0(42M).、1-2 1 0、所以 f“a2(4)0k4 u解A=%.,由对角矩阵的性质知0Ian)成 X 0y-1-o XIa u12.解下列矩阵方程：K 3 X 2 I6解解422382Of o 1(4)1 0(0 0o Wi o0X00V(0 1o)1ojf l -4 3、2 0-1(1 -2 Oj解f O 1X=1 0(0 0O Y YI-4 3 Y 1 001 J2 0 -10 0U-2 0 人0 10 Y11oj0 1 OY 1二 1 0 0 2(0 0 认 1-4 3 Y 1 0 0)0-1001-2 0 X o 1 Oj(2-1 0 1=1 3 4U 0 -2 j1 3.利用逆矩阵解下列线性方程组:%+2/+3%3=1(1)2%+2%2+5%3=2;3%+5%2+%3=3f l解方程组可表示为21 33丫 矶5 x21人 七,2225123一一!I7七七/m故，从 而 有(2)(A+2E)(A 3E)=4 E,所 以(A+2E)T(A+2E)(A 3 石)=4(A+2 E)-1,(A+2E)T=；(3E-A).1 6.设 A 为 3 阶矩阵，|川 号，求|(2A尸-5A*|.解 因 为 肥=占 4*,所以Ml|(24尸一 5A*|=|；A-1一 51A|A-1|A一 1一,A=卜24寸=(-2)3|AT|=-8|A|T=-8X2=16.1 7.设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且(A*)7=(AT)*.证明 由 U点A*,得4*=囿4一1所以当A可逆时，有|A*|二|川闫=囿-90,从而A*也可逆.因为A*=H|A,所 以(4*尸 平 .又 止 击&甘 冒 川 什】)*,IA|所以(4*尸=囿-%斗4囿(4一1)*=(4一1)*.1 8.设场阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：若以|=0,则|A*|=0;(2)|A*|=*T.证明用反证法证明.假设H*|M,则有A*(A*)-1=,由此得4=A A*(A*)T=|A|E(A*)T=O,所以A*=。，这与|A*|W O矛盾，故当囿=0时，有H*|=0.(2)由于Uj/*,贝I J 44*=|A|E,取行列式得到囿以*|二囿.若囿W O,则|A*|=|A|i;若囿=0,由知-*|=0,此时命题也成立.因此|A*|=RL.(0 3 3 11 9.设4=1 1 0 ,AB=A+2B,求区1-1 2 3；解 由 AB=A+2E 可得(A 2 E =A,故f-26=缶-2 尸4=11T3123丫7 0 3 3、0 1 1 01 J l-l 2 3；f 0=-113 3、2 3i oJ2 0.fi o -设A=0 2 0 ,且 A B+E/hB,求 B.U 0 1 J解 由 AB+E=A2+B(A-E)B=A2-E,即(A E)3=(A E X A+E).0 0 1因为M-EbO 1 0=-1题，所以(A-E)可逆，从而1 0 0(1 0 1B=A+E=030.U 0 2；2 1 .设4=d i ag(l,-2,1),A*BA=2 BA-8瓦 求正解 由 A*3 A=2 3 A-8 得(A*-2E)BA=-SE,5=-8(A*-2 E)-1A-1=-8 A(A*-2 E)_|=-8(A4*-2 A)-1=8(H|E 2 A)T =-8(-2 E-2 A)-1=4(E+A)-1=4 d i ag(2,-1,2)-1=4d i ag(1,-1,1)=2 d i ag(l,-2,1).1 02 2 .已知矩阵A的伴随阵A*=1 Q、0 -30 0、1 Q,R A B A-=BA-l+3E,0 8,求A解 由|A*|二|A?=8,得囿=2.由 ABA-=BAl+3E 得 AB=B+3A,B=3(A E)-1=34(E AT)A=3(E；4*)T=6(2E-A*)T1H700070060060360601-oo0-6oo1oo11o31070/It62 3.设 A P=A,其中尸A=(1%求屋.解 由 k A P=A,得4=尸人尸 所以A“=A=P A pT.四=3,*(二iU中 力故A11A11而o21o1oo，十;一 册 却 储I 34)3 _f2731 2732、一(一683-6 8 4；,1)A 1“2 4.设 A P=P A,其中尸=1 0-2b-i Uf-1 1A=1、5,求4 4)二 屋(5-64+人2).解(A)=A8(5E-6A+A2)=diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(l,l,25)=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(l,0,0).阳)人 尸 若 尸 夕(人)尸*ooolooo3OY-2-2-22 6.计算2 5.设矩阵A、B及A+B都可逆，证明也可逆，并求其逆阵.证明 因为*(4+3)对=尸+4-|二47+3，而A-A+B)B-l是三个可逆矩阵的乘积，所 以A-A+B 可逆,即 A-|+5-1 可 逆.(A T+BT)T=M T(A+3*TT=3(A+8)TA.10 3 n0 1 2-10 0-2 3.0 0 0-3)1000210010201133-2o则I。4人。与 广1。A2B2 y而 451+B2=Q 2Y3 _1Y r-2 _3AJ5 _2所以-2o(A ENE A4+8、o 4人。B2I O A2B2 J24395240-21001ozf42 o113-3 3-4 o-3 9fl00(0即2 1 0)(i o 3 n1 0 1 0 1 2-10 2 1 0 0-2 30 0 3)(0 0 0-3)fl 2 5 2)0 1 2-40 0-4 31,0 0 0-9)ABC DwA BC D1 0,验证0 12 7.取 A=B=-C=D=4,010 12 02o=oQoo01o2302o11-01011o010OTBl-f lAc解0 101 0 -101111ACB而D=0,故3 4ACACBBDwD,、oI 02 8.设人=4-3,求|屋|及履O3 40解令4=4-3则A=A oo A2，4 二，故不=Ao2 0丫 .8 04厂(0寓|A8HA8IIHAI8I4I-1016.0、oA4=A4 9 V 0 5424 026 24O尚厂o72 9.设八阶矩阵A及s阶矩阵3都可逆，求(1)O AB O解 设。GB OA C A(En 0,则BC20 E)由 此 得A能C3:=8En 0归C3=2A-l，所以，部I的盼BC2=EX 。2 =方B),解设信犷(股)，则(A 0 Dx D(叫 AD2、阳。(c B D3 DJyCDBDy CD2+BD4FO EVAD】：E由 此 得 赍+标=0CD2+BD4=ESko-BB-广.所 以 值g）=（一 戚1 M）3 0.求下列矩阵的逆阵:。O37008521005200)/382-5328-25 51211520038-0025250012000032008521005200/是于f 1 0 0 0 112 0 02 13 0112 14解 设 4=（；,5=（；,C=（；）,则(121B-/r2111 8100)0 02106351 124124 J第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵fl(1)213000fl2(3ooO-n解1 (下一步：r2+(-2)ri,r3+(-3)r|.)ooooooOoO1oO1O1I/)1 oJ2-1、1 3(下一步：B+3.)0 3J2-P1 -3(下一步：5+3 3.)0 1J2-1、1 0(下一步:|+(-22,厂 1+73.)0 V0 0)1 0.0 1J-3 noooOO1oO ）13-3 4-2-1J7Tolo1oloo258o1oM1d5282223.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:勺3iu7153153212333,I01 10 01 241 0 0)-1 1 0-1 0 1(3 2 o 1(0 00 3/2 00 1 12-1 0-1/2)-2u(3 0100 7/2 2-9/2)0 1 1 -21 -1/2 0 1/2Jfl 0 0 7/6-0 1 0 -1(0 0 1 -1/2To 3/2、2故逆矩阵为1/2J3-221-2-2-3TO7-671-2解1 00 10 00、(3 2 10 10、73-2 0-n(2)0 2 2 1W 1 -2-3-210 1 2 1JooO1oO1OO1oO1ooOT121023222213010zf(X解(1-2-3 -20 1 2 10 4 9 5、0 2 2 1(1-2-3 -20 1 2 10 0 1 10 0-2 -10 0 1 0)0 0 0 11 0-3 00 1 0 0,0 0 1 0)0 0 0 11 0-3-40 1 0-2f 1 -2 -3 -20 1 2 10 0 1 10 0 0 10 0 1 0)0 0 0 11 0-3 -42 1 -6 -102460-T2036TrT1-1O-12ooO1oO1O21001ooO6ooO1oO1OO1oO1ooO1L-2036故 逆 矩 阵 为?!1-12 1-2 一410-13 6 6 10,f4 14.(1)设4=2 23 1621-_,求X 使 AX=8;以所解因为4 1-2(4,3)=2 2 1(3 1-11 一3)2 23 fr(00 1(0 00 0110 2)15 312 4；(2)设4=2 3 4-0 5 2、,1 3-42 T 3O 2-36=,求 X 使 X4=B解考虑人,1灰因为fo-32OO24A 7（匣，夕）=433-3(2所以 XT=(AT)T*=-1(1-1 0、1 OO 1-o O-4)7,从而X=3A-J4)1-1 7 4,5.设4=0 1-1,AX=2X+A,求 X.0 V解原方程化为(A-2E)X=4因为f-1-1 0 1-1 0)(A-2E,A)=0-1-1 0 1-11 0-1-1 0 1Jfl 0 0 0 1-A-010-1 0 1,(001 1-1 oj(0 1-A所以 X=(A2E)TA=-10 1.I i-i oJ6.在秩是的矩阵中，有没有等于0的-I阶子式？有没有等于0的r阶子式？解 在秩是厂的矩阵中，可能存在等于0的r-1阶子式，也可能存在等于0的r阶子式.(1 0 0 0)例如，0 1 0 0,R(A)=3.0 0 1 0)0o o o o是等于。的2阶子式，1 0 0是等于0的3阶子式.u u 0 1 07.从矩阵A中划去一行得到矩阵反问A,6的秩的关系怎样？解 R(A)NR(B).这是因为B的非零子式必是A的非零子式，故A的秩不会小于3的秩.8.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:(1 0 0 0 0、1-1 0 0 01 0 1 0 0,0 0 0 1 0(0 0 0 0 0)此矩阵的秩为4,其第2行和第3行是已知向量.9.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：311!711Ziv2T4024解0242、一 1 （下一步：4一 小）131zf、,T24204JI13(下一步:f2-3rh r3-rh)A26-6_T445 （下一步：r 3Tl.）5o260440矩阵的秩为2,311-1二一4是个最高阶非零子式.(2)-3-8111135Toq27解2 1 3 I1238_311-7352To327/1O497一2413-13371一-2（下一步：门 一 心，r2-2rh r3-7rh）1 一5 （下一步：厂3-3,2.）-1 5；(3 -4 -4 1、0 -7 1 1 9 -5V 0 0 0 0 0 J矩阵的秩是2,=_7是一个最高阶非零子式.-1(2 1 8 3 712-3 0 7-53-2 5 8 0,(1 0 3 2 0；(2 1 8 3 71他 2 3 0 7 5 9./W 3 2 5 8 0(下一步：打 一2 r 4,丁2心,厂3-3”),1 0 3 2 0.ro4O-2-(下一步：厂2+3厂1,r3+2 r i，)O2352OO3(0 1 2-1 7)0 0 0 0 16-0 0 0 0 14(下一步：2+1 6 7,厂3-1 6小)J 0 3 2 0,f0 1 2-1 70 0 0 0 1 0 0 0 0 0(1 0 3 2 0)fl 0 3 2 0、0 1 2-1 7 0 0 0 0 1(0 0 0 0 oj矩阵的秩为3,-5OO782053 个最高阶非零子式.1 0.设A、8都 是m x n矩阵，证 明AB的充分必要条件是R(A)=R .证明 根据定理3,必要性是成立的.充分性.设R(A)=R(B),则A与6的标准形是相同的.设4与6的标准形为。则有4。B由等价关系的传递性，有A B.A设上333-2k2-2-17kzf问k为何值，可使(1)H(A)=1;(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.(1-2 f 1 -1解 A=-1 2左一3 0 k-k )k k-2 3J0 0 一 也 1)也+2)J当左=1时,R(A)=1;(2)当 k=-2 且 M 吐 R(A)=2;(3)当厚1且厚-2时,R(A)=3.1 2.求解下列齐次线性方程组：X+X2+2X3-X4=0(1)2X1+X2+X3-X4=0;2%+2X2+天 +2X4-0解 对系数矩阵A进行初等行变换，有(1 1 21 0-1A=1-1-0 1 31 2J0 0 10、-1,于是-4/3J4玉二铲4%2二-3%4%3=铲4居二%4、故方程组的解为-334-31（k为任意常数）.X)+2X2+X3-X4=03%+6-%3一冥4二 ；5X,+10X2+-5X4=0解 对 系 数 矩 阵A进行初等行变换，有200loozfkx、一,435-1X1AYi.26101135z/m010-n故方程组的解为出，后为任意常数）.oo于是黄(3)2 玉+3%一项+5 8 4=03%+x2+2X3-7X4=0.4X1+X2-3A3+6X4=0，%_ 2%2+4乃 _ 7 z=0解 对系 数 矩 阵A进行初等行变换，有MVoOoO1OO1oO4234-3112-341A-玉=0%,=0%3=0%4=%=0于是 C2Z n，故方程组的解为X2 V%4=。3%+4 马 5 七+7 2=。J 2%-3X2+3X3-2X4=0+1 l x2-1 3X3+1 6X4=0 ,7X1-2X2+X?+3%4=0解 对系数矩阵A进行初等行变换，有A4312-11-32473311AO1oOooOI73-70-70O41-121-113-79-70O是于%、故方程组的解为?=人“373-70-701-121出,2 为任意常数）.1 3.求解下列非齐次线性方程组:4%+2%2 3=2 3%-5 2+2%3=1 0；1 1 百+3%2=8解 对增广矩阵6进行初等行变换，有一一2087202T343130011310-1于是R(A)=2,而 R(3)=3,故方程组无解.2%+3 y+z=4n.x-2y+4z=-5 .U 3 x+8 y-2 z=1 3 4%-y+9 z=-6解 对增广矩阵B进行初等行变换，有4536一1-142-9328_-2134一一(1 0 2 -n0 1-1 20 0 0 0(0 0 0 o j即yr-n2I oj(k为任意常数).1 2%+y-z+w=l 4 x+2 y-2 z +w=2;1 2%+y-z-w=l解 对增广矩阵6进行初等行变换，有(2 1 -1 1 -B=4 2-2 1 21 2 1 -1 -1 1 J1/2 -1/2 0 1/2)0 0 1 0，于是0 0 0 o j2?2 2.尸 yz=zw=0（M自为任意常数）.1-20oo/I+1-2o1o+1-21002x+y z+w=l(4)3x-2y+z-3卬=4.x+4y-3z+5vv=-2解 对 增 广 矩 阵8进行初等行变换，有Z-113-_12475-721-79-7w=w1356-75-74 01O-1/7-1/7 6/7、-5/7 9/7-5/7，于是0 0 oJ匕一一XyZVV/11-75-711Oz(X+171-79-701-6-75-70O的，后为任意常数）.14.写出一个以x=q(1-31I oj-2+0 0为通解的齐次线性方程组.解 根 据 已 知，可得+23102401与此等价地可以写成玉=2。一。2%2 =-+4C7%3=q或巧=2毛一4 或X2=-3X3+4X4,XL玉一2毛+14=0工2+3演 一4%4=0这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15.4取何值时，非齐次线性方程组AX1+X2+X3=.X+AJC2+X3=A%i+%2+相=无(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解?f A 1 1 n3=1 4 1 2U i a到解1 A 出、0 A 1 1/I?l(l A)10 0(1-A)(2+A)(l-A)(/l+l)2J(1)要使方程组有唯一解，必须R(A)=3.因此当加1 且於-2 时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解，必须R(A)R(5),故(1-冷(2+4)=0,(l-/l)(/l+l)20.因此心-2 时，方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解，必须R(A)=R(B)3,故(1 4)(2+/l)=0,(1 4)(/1+1)2=0.因此当心1 时，方程组有无穷多个解.2玉 +%+七=-21 6.非齐次线性方程组-2%+%3=力%1 +%2 2%3=今当4取何值时有解？并求出它的解.解f-2 1 1B=1-2 1 21 1 1-2 刈1 -2 1 0 1 1,0 0 0_1_(丸_1)(4一1)(/1+2),要使方程组有解，必须(1-例4+2)=0,即在1,&-2.-2 1 1 一2、ri o -in当心 1 时,3=1 -2 1 1-01-1 0 ,1 1 -2 1；0 0 00 J方程组解为%=毛+1x2=x3西=毛+1或卜2=%3 ，%3 =8 3再、即 马=k1 +0 /为任意常数)当 A=-2 时，B=-2111-211 一2、(1 2 0-2 4J0010-1 2、-1 2 ,0 0 J方程组解为X1=X3+2X2=X3+2%3=毛即小 马二攵1 +2也为任意常数).0 J(2 一 A)X +2%2 2 X j-1(5-/)X2-4X3=2 4X2+(5 /i j x3 A-11 7.设问4为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解.r 2-2 2 -2 t f 2 5-A-42 、解 B=2 5-4 -A 2 -0 1-A 2 4 5 A A 1 J(0 0 (1 为Q 0-4要使方程组有唯一解，必须R(A)=R(3)=3,即必须所以当加1且加10吐 方程组有唯一解.要使方程组无解，必须R(A)R(B),即必须(1-加(10-2)=0且(1-4)(4-冷。0,所以当2=10吐 方程组无解.要使方程组有无穷多解，必须R(A)=R(3)3,即必须(1 4)(10 4)=0 且(1一4)(4一2)=0,所以当心1时，方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为12 2 1、X 1%2+毛+13 0 0 0 0，方程组的解为卜2=0 0 0 oj%3=当或=kx 1I oj+&0+0(M后为任意常数).1 8.证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量。及非零行向量方1使证 明 必 要 性.由R(A)=1知A的 标 准 形 为0 0)(1、,：,=(1,0,0),即存在可逆矩阵P和。，使、0 0 0八0,1、PAQ=1(1,0,-,0),lo j或 A=K。(1,0,-,0)2-.lo j令。=尸7 ,z/=(i,o,o)Q-则。是非零列向量,是非零行；o j向量，且充分性.因为。与/是都是非零向量，所以A是非零矩阵，从而R(A)2 1.因为l (A)=/?(a Z r)m i n J?(a),R(bT)=min1,1=1,所以尺(A)=L1 9 .设 A为加义“矩阵，证明(1)方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m;证：由定理7,方程A X=&有解的充分必要条件是R(A)=R(A,&),而I 是矩阵(A,&)的最高阶非零子式，故 R(4)=A(A,El t l)=m.因此 方程欧=&有解的充分必要条件是R(A)=九(2)方程玄=&有解的充分必要条件是R(A)=.证明 注意，方 程YA=En有解的充分必要条件是ATYT=En有解.由(1)4 丫 7=当有解的充分必要条件是R(4)=.因此，方程出=反有解的充分必要条件是R(A)=R(AT)=n.2 0 .设 A为 m矩阵，证明：A X=A Y,且 R(4)=，则 X=Y.证明 由 A X=A Y,得A(X-Y)=O.因 为R(A)=n,由定理9,方程A(X-y)=0 只有零解，即 x-y=0,也就是x=y.第四章 向量组的线性相关性1.设 0=(1,1,0)7,叱=(0,1,1)1 也=(3,4,0尸，求 V|-v2 及 3VI+2V2-V3.解 i f 2=(1,1,0)r-(0,1,1)=(1-0,1-1,0-1 R 1,0,-1/.3上+2y2f 3=3(1,1,0)7+2(0,1,1)7-(3,4,0)r=(3xl+2x0-3,3x1+2x1-4,3x0+2xl-0)r=(0,1,2 f2.设 3(。1 一。)+2(。2+)=5(。3+),求。，其中。尸(2,5,1,3),02=(10,1,5,10)7,43=(4,1,I/)7：解 由 3(。1-。)+2(。2+。)=5(。3+。)整理得。=(301+22-53)6=13(2,5,1,3)r+2(10,l,5,1 0 5(4,1,-1,1月=(1,2,3,4/63.已知向量组A:。产(0,1,2,3)1/=(3,0,1,21,的=(2,3,0,l)r;B-6=(2,1,1,2)1 岳=(0,2,1,1)7,=(4,4,1,3)1证明8 组能由A 组线性表示，但 A 组不能由B组线性表示.证 明 由(A,3)=2301301201232 0 4)1 -2