2022年中考数学真题汇编：圆(含解析).pdf

2022年中考数学真题汇编：圆1.（2022贵阳）如图，已知NA5C=6 0 ,点。为 8 4 边上一点，8。=1 0,点O 为线段3。的中点，以点。为圆心，线段。8 长为半径作弧，交 B C 于点、E，连接。E,则 8 E 的 长 是（）A.5B,572C.573D.5752.（2022铜仁）如图，O A O B 是。的两条半径，点 C 在上，若 NAO3=8 0 ,则 NC的度数为（）B.40C.50D.603.（2022黔东南）如图，已知正六边形A B CO EF内接于半径为r 的 O。，随机地往。内投一粒米，落在正六边形内的概率为（)A等出4兀RD6.-2兀D.以上答案都不对在边长为6 的正方形ABCO中，以3 C 为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）B.6C.3D.125.（2022黔东南）如图，P A、P 3 分别与。相切于点A、B,连接P。并延长与。交于点C、D,若CD=12,PA=8,贝 UsinZADB的 值 为（）A4A.-53B.-53C.一4D.436.（2 0 2 2河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2,PA,P 8分 别 与 所 在 圆 相 切 于 点A，B.若该圆半径是9 cm,/P=4 0。，则AMB的 长 是（）A.1 1乃cm B.cm C.7 cm27D.一 九 em27.（2 0 2 2哈尔滨）如图，A D,B C是。的直径，点P在BC的延长线上，2 4与。相切于点A,连接3。，若 N P =4(),则N A D 3的度数为（）A.6 5 B.6 0 C.5 0 D.2 5 8.（2 0 2 2遵义）如图，在正方形A 5 C O中，AC和3。交于点。，过点。直 线 交AB于点E（E不与A,B重合），交 CD于点F .以点。为圆心，OC为半径的圆交直线E尸于点M,N .若A B =1，则图中阴影部分的面积为（）9.（2 0 2 2 龙东地区）如图，正方形A 8 C O 的对角线A C,8。相交于点O,点尸是C。上一点，O E 上O F 交B C 于点、E,连接A E,B F 交于前P,连接OP.则下列结论：A _ L 即；N OQ4=4 5；4A P-B P =&P；若 的：C E =2：3,则ta n/C 4 E =,；四边形O E C F 的面积是正方形A B C。面积的1.其中正确的结论是（）4A.B.C.D.1 0.（2 0 2 2 哈尔滨）一个扇形的面积为7 7 1 cm2,半径为6c m,则此扇形的圆心角是 度.1 1.（2 0 2 2 龙东地区）如图，在。中，48是。的弦，。的半径为3 cm,C 为。上一点，N A C B =6 0,则A B的长为 cm.1 2.（2 0 2 2 恩施州）如图，在 R tAA B C 中，Z C=9 0,AC=4,B C=3,。为 R tA A B C的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留万）.A13.（2022遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28。，求北纬28纬线的长度.小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如 图 1,在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2,赤道半径。4 约为6400千米，弦O A,以 为 直 径 的 圆 的 周 长 就 是 北 纬 28。纬线的长度；（参考数据：兀“3,sin280ao.47,cos2 8 0.88,tan2 8 0.5 3）根据以上信息，北纬28。纬线的长度约为 千米.图1图214.（2022黔东南）如图，在AABC中，NA=8 0 ,半径为3cm的。是AABC的内切圆，连接。8、0C,则图中阴影部分的面积是 cm?.（结果用含兀的式子表示）15.（2022 绥化）己知：AABC.A(1)尺规作图：用直尺和圆规作出AABC内切圆的圆心。；(只保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)如果AABC的周长为1 4 c m,内切圆的半径为1.3 cm,求AABC的面积.1 6.(2 0 2 2 铜仁)如图，。是以A B 为直径的。上一点，过点。的切线。E交 AB的延长线于点E,过点8作 8C LDE交 AO的延长线于点C,垂足为点凡(1)求证：AB=CB；(2)若 A B=1 8,s i n A=-,求 EF 长.31 7.(2 0 2 2 鄂州)如图，AABC内接于。，尸是。O的直径A B延长线上一点，Z P C B=Z O A C,过点。作B C的平行线交P C的延长线于点D.(1)试判断P C 与。的位置关系，并说明理由;(2)若 P C=4,t a n A=；,求仆。的面积.18.(2022大庆)如图，已知B C是“IB C外接圆。的直径，8 c=16.点。为。外的一点,NACD=N 3 .点E为A C中点，弦FG过点E.E F =2 E G.连接O E.(1)求证：C D是。的切线；(2)求证：(OC+O E)(O C-OE)=E G E F ；(3)当F G IIB C时，求弦尸G的长.19.(2022齐齐哈尔)如图，在AABC中，A B=A C,以AB为直径作。O,AC与。交于点。，BC与。交于点E,过点C作 5 4 3，Ji C F=C D,连接BF.(1)求证：BF是。的切线；(2)若N8AC=45。，A D 4,求图中阴影部分的面积.20.(2022河北)如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其 中 水 面 截 线 嘉 琪 在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14。，点”的俯角为7。.已知爸爸的身高为1.7%（1）求/C的大小及A B的长；（2）请 在 图 中 画 出 线 段 用 其 长 度 表 示 最 大 水 深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）.（参考数据：t a n 7 6 取 4,J 万 取 4.1）2 1.（2 0 2 2 黔东南）（1）请在图中作出AABC的外接圆0。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；A B（2）如图，是AABC的外接圆，A E是 0。的直径，点 8是 CE的中点，过点8的切线与A C的延长线交于点.求证：B D A D；3若A C=6,t a n Z A B C -,求。的半径.2 2.（2 0 2 2 哈尔滨）已知C”是。的直径，点 A,点 B是。O 上的两个点，连接0A oB,点。，点 E分别是半径。4,。8的中点，连接C D,C E,B H ,且 N A O C =2 N C H B.ccc(1)如图 1,求证：N O D C =N O E C ；（2）如图2,延长CE交于点F,若C D _ L O 4,求证：F C =F H ；（3）如图3,在（2）的条件下，点G是8”上一点，连接A GIGHG,。/7,若A G:B G =5:3,H G =2,求OF的长.2 3.（2 0 2 2绥化）如图所示，在。的内接AAM N中，/M A N =90。,A M =2A N ,作A B _ L M N于点P，交 于 另 一 点8,C是 痴 上的一个动点（不与4,加重合），射 线 交 线 段 的 延 长 线 于 点 Q,分别连接A C和3 C,B C 交 M N 于点、E.（1）求证：/C M A s/C B D .（2）若 肱V =1 0,M C =N C，求 的 长.3 M F（3）在 点C运动过程中，当t a n/M O 6 =一时，求的值.4 N E2 4.（2 0 2 2鄂州）如 图1,在平面直角坐标系中，R a O A B的直角边0 A在y轴的正半轴上，且O A=6,斜边。8=1 0,点P为线段A B上一动点.（2）若动点P 满足NPO8=45。，求此时点尸的坐标；（3）如图2,若点E 为线段。8 的中点，连接尸E,以尸E 为折痕，在平面内将AAPE折叠，点 A 的对应点为 A,当以 0 8 时，求此时点P 的坐标；（4）如图3,若尸为线段A。上一点，且 AF=2,连接F P,将线段F P 绕点、F 顺时针方向旋转60。得线段F G,连接O G,当 OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段尸P 扫过的面积.25.（2022恩施州）如图，P 为O O 外一点，PA.PB为。的切线，切点分别为A、B,直线PO 交O O 于点。、E,交 A 8于点C.(1)求证：Z A D E=Z PA E.(2)若N4OE=30。，求证：A E=PE.(3)若 PE=4,C D=6,求 CE的长.26.（2022 河北）如图，四边形 ABCQ 中，AD/BC,/A BC=90。，Z C=30,A D=3,A B =2。D H于点H.将APQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点尸与A 重合，点 B 在 PM 上，其中/Q=90,NQPM=30,P M=46（1）求证：4 P Q M妥A C H D；（2）从 图1的位置出发，先沿着8 C方向向右平移（图2）,当点P到达点。后立刻绕点O逆时针旋 转（图3）,当边P M旋转5 0。时停止.边P。从平移开始，到绕点。旋转结束，求边P Q扫过的面积；如图2,点K在上，且B K =9-4g.若A P O M右移的速度为每秒1个单位长，绕点。旋转的速度为每秒5。，求点K在APOM区 域（含边界）内的时长；如图3.在A P Q M旋转过程中，设尸Q,分别交B C于点E,F,若B E=d,直接写出C F的 长（用含d的式子表示）.27.（20 22遵义）综合与实践“善思”小组开展”探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.提出问题：如 图1,在线段A C同侧有两点B,D,连接A。，A B，BC,C D,如果ZB=N D，那么A,B,C,。四点在同一个圆上.图1探究展示：如图2,作经过点A,C,。的O。，在劣弧A C上取一点E （不与A,C重合），连接A E，C E则Z A E C+Z Z）=1 8 0o（依据 1）E图2;ZB=ZDZAEC+ZB ISO0.点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点8,。在点A,C,E所确定的。上（依据2）点A,B,C,E四点在同一个圆上（1）反思归纳：上述探究过程中的“依 据1”、“依据2”分别是指什么？依 据1：;依据2：.（2）如图3,在四边形A B C 0中，N1 =N 2，N3=4 5,则N 4的度数为图3（3）拓展探究：如图4,已知AASC是等腰三角形，A B =A C,点。在3 C上（不与8C的中点重合）,连接A D.作点C关于A O的对称点E，连 接 并 延 长 交4）的延长线于尸，连接A E，DE.求证：A.D,B,E四点共圆；若AB=2 0，A D-A F的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.2022年中考数学真题汇编：圆参考答案1.（2022贵阳）如图，已知NABC=6 0 ,点。为8 4边上一点，B=1 0,点。为线段3。的中点，以点O为圆心，线 段 长 为 半 径 作 弧，交BC于羔E，连接。E,则8E的 长 是（）【答案】连接O E,如图所示:C.5 GD.5百VBD=1 0,点O为线段BD的中点，OB OD=5，.以点。为圆心，线段。8长为半径作弧，交BC于点E，OE-OB=OD 5，ZABC=ZOEB=60.，ZXOBE为等边三角形,即 比：=0 =。8=5,故选：A.2.（2022铜仁）如图，。4,。8是 的 两 条 半 径，点C在。上，若NAQB=8 0,则NC的度数为（）B.40C.50D.60【答案】:O A O B是。的两条半径，点C在。上，NAOB=80.NC=NAOB=402故选：B3.（2022黔东南）如图，已知正六边形ABCO EF内接于半径为一的。，随机地往。内投一粒米，落在正六边形内的概率为（）V3D.以上答案都不对【答案】解：如图：连接O B,过点。作于点儿,/六边形A B C D E F是正六边形，ZAOB=60,：OA=OB=r,是等边三角形，：.AB=OA=OB=r,ZOAB=60,在中，O H =O A sinNOAB=立=昱厂，2 2=-A B O H =-r x 正六边形的面积=6 乂 立/=空 广。的面积二犷2,373米粒落在正六边形内的概率为：Yr 3A/3.故选：A.4.（2022铜仁）如图，在边长为6 的正方形A3CZ）中，以8 c 为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）A.9B.6C.3D.12【答案】解：设AC与半圆交于点E,半圆的圆心为0,连接BE,0E,.四边形A8CO是正方形，ZOCE=45,/0E=0C,：.N O E C=N O C E=4 5。,：.ZEOC=90,；.0E垂直平分BC,：.BE=CE,.弓形BE的面积=弓形CE的面积，,S阴影=SABE=SABC-5ABC=-x 6 x 6-x6x 3=9,故选A.5.（2022黔东南）如图，PA P3分别与。相切于点A、B,连接PO并延长与。交于点C、D,若CD=12,PA=8,则sin/A D B的 值 为（）【答案】解：连结OA:2 4、P8分别与。相切于点A、B,：.PA=PB,OP 平分/APB,OP1AP,：.ZAPD=ZBPD,在M PQ和 P Q中，AP=BP乙APD=/BPD,AD=AD：APD沼&BPD(SAS)4ADP=/BDP,：OA=OD=69：.NOAD=NADP=/BDP,：./AOP=/ADP+NOAD=NADP+/BDP=/A D B,在 RdA。尸中，O P=J042+A p2=0,6.（2022河北）某款“不倒翁”（图 1）的主视图是图2,出，P 8 分别与A M 8所在圆相切于点人.若该圆半径是9cm,N P=40。，则 A M 8的 长 是（)【答案】解：如图,C.ITT cm7D.7icva2p力 工、.-8 JM图 2PA,PB分 别 与 所 在 圆 相 切 于 点 A,B.-.ZPAO-ZPBO=90,：ZP=40,ZAOB=360-9 0 -9 0 -40=140,该圆半径是9cm,360-140 0.r.AMB-7 x9=1 lcm,180故选：A.7.（2022哈尔滨）如图，A。,8 c 是。的直径，点 P在 3 C 的延长线上，抬 与。相切于点A,连接8 0,若NP=40,则ZA D B的度数为（）A.65 B.60 C.50 D.25【答案】解：与。相切于点A,4。是。的直径，O A LP A,A ZPAO=9Q,.2=4 0P,ZAQ P=50,NBOD=ZAOP=50。,/OB=O D,NOBD=N O D B,Z A D B=l x2(180。50。)=65。故选：A.8.（2022遵义）如图，在正方形ABC。中，A C 和 交 于 点 O,过点。直 线 交 A B 于点E（E 不与A，8 重合），交 8 于点F.以点。为圆心，O C 为半径的圆交直线上户于点M，N.若 A B =1，【答案】解：在正方形ABC。中，AB=1，；.0。的半径为：O B -A B =2 2 E F 过点0,根据中心对称可得四边形E 5 C E 的面积等于正方形面积的一半,又 S 4BC=4 Sj方形A 8 C。1 (1 二阴影部分面积为：3 万 X-X S A BC D-(S ABC-SA0BC)1 1 1 90 1 1=-7 T X-7TX-F 2 2 2 360 2 471 71-1-4 2 8 4_ n 1-I-4故选：B.9.（2022龙东地区）如图，正方形ABC。的对角线AC,2。相交于点。，点 尸是C。上一点，O E L O F 交B C 于点、E,连接4E,B F 交于点、P,连接O P.则下列结论：AE_L即；NOQ4=4 5；4A P-B P =0 O P；若BE:C E =2:3,则 ta n/C 4 =,；四边形OECF的面积是正方形ABC。面积的，.其 中正确的结论是（）4A.B.C.【答案】四边形ABC。是正方形，。是对角线AC、8。的交点,A OC=OD,OC1,OD,NODF=NOCE=45。R O E LO F.Z DOF+ZFOC=Z FOC+Z OC=90ZDOF=ZEOC在 3。/与ACOE中Z.ODF=ZOCE,：.AD=BD=-A B,ZODA=90,2 ZACB=60，Z A O B =120,.OA=OB,：.ZOAB=ZOBA=30,OA=3cm，3:.OD=-c m,2.AD=yOA2-O D2=-cm，2AB=375cm，故答案为：36.12.（2022恩施州）如图，在 RtAABC中，ZC=90,AC=4,B C=3,。为 RtABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留加）.【答案】解：设切点分别为。、E、F,连接。、O E、OF,。0 为 RSA 8C的内切圆，：.AE=AF.BD=BF.CD=CE,ODl.BCf OEACf;ZC=90,，四边形COOE为正方形，ZEOF+ZFOD=360-90=270,设。0 的半径为 x,则 C=CE=x,AE=AF=4-xf BD=BF=3-xf4-x+3-x=5,解得X=l，S 阴影=SdABC-(S Si彩 EOF+S 8 DOF)-S 正方形 CDOE=U 3万-T T故答案为：-.2 413.（2022遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28。，求北纬28纬线的长度.小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如 图 1,在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2,赤道半径。4 约为6400千米，弦B C a O A,以B C 为直径的圆的周长就是北纬28。纬线的长度；（参考数据：n 3,sin2 8 0.47,cos280.88,tan2 8 0.5 3）根据以上信息，北纬28。纬线的长度约为 千米.图1图2【答案】解：如图，过点。作（WBC,垂足为。,根据题意0 8 =0 4 =6 4 0 0，BC/OA,：.N B =N B O A =28。,.,在&ABO。中，N B =2 8,B D -O B cos 2 8,:ODA BC,，由垂径定理可知：B D =D C =-BC,2二以BC为直径的圆的周长为2万x 3 0 2 x 3 x 6 4 0 0 x 0.88=3 3 792,故答案为：3 3 792.1 4.（2 0 2 2黔东南）如图，在“BC中，Z A =80,半径为3 c m的。是AABC的内切圆，连接。8、O C ,则图中阴影部分的面积是 c m?.（结果用含7r的式子表示）【答案】.内切圆圆心是三条角平分线的交点:.Z A B O =N C B O；Z A C O =N B C O设 Z A B O =/C B O =a,Z A C O Z B C O=b在 AABC 中：Z A +2 a +2 Z?=1 80 在 ABOC 中：Z D O E+a +b=SO由得：N D O E=90 +-Z A =90 +-x 80 =1 3 0 2 2i 300 13扇形面积：S x x 32-7V (cm2)3600 413故答案为：415.(2022 绥化)已知：AABC.(1)尺规作图：用直尺和圆规作出AABC内切圆的圆心。；(只保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)如果AABC的周长为14cm,内切圆的半径为1.3cm,求AABC的面积.【答案】(1)ft?：如下图所示，O为所求作点，A(2)解：如图所示，连接 04,OB,O C,作。_L4B,OEVBC,OFVAC,.内切圆的半径为1.3 cm,：.OD=OF=OE=13,.三角形ABC的周长为14,：.AB+BC+AC=14,则 S.B C=S“OB+SM O B+SaAoc=g AB +-B C-O E+A C O F=L1.3x(AB+BC+AC)=1.3 x 1 4 =9.12 2故三角形ABC的面积为9.1.16.(2022铜仁)如图，。是以AB为直径的。上一点，过点。的切线OE交 AB的延长线于点E,过点3作 BCLOE交 AO的延长线于点C,垂足为点上(1)求证：AB=CB；(2)若 AB=18,sinA=-,求 EF 长.3【答案】(1)证明：连接O C,如 图 1,图1是。的切线，J.ODLDE.：BCDE,：.OD/BC.：.ZODAZC.：OA=OD,：.ZO D AZA.：.ZA=ZC.：.AB=BC；(2)解：连接8。，则乙408=90。，如图2,CDBE图2在 RtABD 中，BD 1VsinA=-=-，43=18,AB 3BD=6.,:OB=OD,：.ZODB=ZOBD.:Z OBD+ZA=/FDB+Z ODB=90,J NA=NFDB.sin ZA=sin Z FDB.在 RtBDF 中，BF 1V sin ZBDF=-,BD 3：.BF=2.由（1）知：OD/BF,：./EBF/EO D.BE BE BE 2二.sp：-=,OE OD BE+9 9w 18解得：BE=.7，EF=ylBE2-B F2=还.717.（2022鄂州）如图，AABC内接于。，尸是。O 的直径4 8 延长线上一点，NPCB=NOAC,过 点。作BC的平行线交PC的延长线于点D.(1)试判断PC与。的位置关系，并说明理由；(2)若尸C=4,tan A=g,求 OCD 的面积.【答案】(1)解：PC与。相切，理由如下：TAB是圆。的直径，ZACB=90,：.ZOCB+ZOCA=90,：OA=OC,：.ZOCA=ZOAC,：ZPCB=ZOAC,：.NPCB=/OCA,，ZPCB+Z OCB=Z OCA+Z 0cB=90,即 Z PCO=90,与。相切：(2)解：ZACB=90,tan A=-,2BC 1/.-=,AC 2,：ZPCB=ZOAC,ZP=ZP,:PBCsNCA,PC _ PB _B C，PAPCCA21PA=8,PB 2,A8=6,OC=OB=3，：.OP=5,B C/OD.M P B CSPOD,.PB _PC 2 _ 4 -，U J ,OP PD 5 PDPD=1。,：.CD=6,:.S 0cD=OC CD=9.18.（2022大庆）如图，已知8 c是AABC外接圆O。的直径，3C=16.点。为。外的一点,NACP=ZB.点E为A C中点，弦FG过点E.EF=2 E G.连接0 E.(1)求证：C O是0。的切线；(2)求证：(0C+OE)(OC-0E)=EG-EF；(3)当EG|6 C时，求弦FG的长.【答案】(1)解：是AA8C外接圆。的直径，NBAC=90,/.ZB+ZACB=90,/ZACD=ZB,：.ZACD+ZACB=90,：.ZBCD=90,OC是0。的半径，：.CD是。0的切线；(2)如下图，连接4尸、CG,DNAFE=NECG,：NAEF=NCEG,.FEAACEG,.EF AECEEG.,点E为AC中点,AE=CE,:EF=2EG,.2EG CECE EG；/BAC=90。，点 E为 AC 中点，EO/AB,NOEC=90。,0。-0 昨EC2,.O C-O IEG1,(OC+OE)(OC-OE)=EG EF；(3)作ON_LFG,延长尸G交线段于点W,.,BC=16,0C=8,.FG/BC,四边形ONWC为矩形，：EF=2EG,：.FG=3EG,：.NG=.5EG,NE=0.5EG,EW=8-1.5EG+EG=S-0.5EG,由(2)可知：OG-OEZEG2,：.C=2EG2,OM-2EG2,O AP-64-2EG2-E G2,E M=(8-0.5EG)2,4(8-0.5EG)2+64-2 62-EG2=2 G2,4解得旅=屈_1，:.FG=3EG=3回-3.19.(2022齐齐哈尔)如图，在A A B C中，AB=AC,以A B为直径作。O,A C与。交于点。，B C与。交于点E,过点C作C E A B,J.CF=CD,连接BF.(1)求证：B F是(DO的切线；(2)若N BAC=45。，AD=4,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)连接8。是。的直径ABDA=90ZBDC=90,/AB=AC.,.ZABCZACBCF/AB：.4FCB=ZABC,ZABF+NR=1804FCB=ZACB,:CF=CD,BC=BC：.ABCF ABCD(SAS)/.NF=NBDC=90。又,:ZABF+ZF=180/.ZABF=90尸是O。的切线(2)连接O E,与8。相交于M点V ABDA=90,NB4c=45,4)=4/XADB为等腰直角三角形BD=AD=4，AB=yjAD2+BD2=45/2-NOB=45。；OB=2A/2OE=OB=2y/2：.ZOEB=ZABC：AB=A C，ZR4c=45。NBOE=NBAC=45。：.OE/ACN0MB 二 ZADB=9Q。/.OMB为等腰直角三角形，BM=OM=2r _弋 c _454(2夜产2 x 2 0 _ 行 阴 影 一 扇 形 Q A 8 -、A O B E -益 一 兀-20.(2022河北)如图，某水渠的横断面是以A B为直径的半圆O,其 中 水 面 截 线 嘉 琪 在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14。，点M的俯角为7。.已知爸爸的身高为1.7近(1)求NC的大小及A B的长；(2)请在图中画出线段。H,用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).(参考数据：t a n 76取4,J万 取4.1)【答案】(1)解：.水面截线.-.BCA.AB,ZABC=90,ZC=90-ZC4B=76.在 用AABC中，ZABC=90,BC=1.7,“c ABt a n 76 =-BCABL7解得 AB x 6.8(m).(2)过点。作 如_ L MN,交M N于。点，交半圆于点，连接。过点M作用GJ_ O B于G,如图所示：水面截线 M N A B，OH L A B，：.DH 上M N,GM=OD,为最大水深，vZBAM=7,:.ZBOM=2ZBAM 40,Z A B C =NOGM=9 0，且 ABAC=14。,.A B C AOGM，OGABMG,unpn OG=MGCB 6.8 1.7,即 O G =4 G M,在向中，NOGM=90,OM=3.4,2:.OG2+GM2OM2,即（4 G M）2 +G M 2 =（3.4）2,解得 G M a 0.8，DH=OH-O =6.8 -0.8 a 6,最大水深约为6.0米.21.（2022黔东南）（1）请在图中作出AABC的外接圆。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;（2）如图，。是AABC的外接圆，A E 是。的直径，点8 是 C E 的中点，过点8 的切线与A C 的延长线交于点）.求证：BD AD；3若4 c =6,t a n Z A B C =-,求。的半径.4【答案】（1）如下图所示V AABC的外接圆。的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，.做 AB、A C 垂直平分线交于点O,以 0 8 为半径，以 0 为圆心做圆即可得到AABC的外接圆;(2)OBA.BD,/N C 4E是 CE对应的圆周角，NCOE是 底 对应的圆心角/C 0E =2/CAE丁点8 是C E的中点ZCOE=2ZBOE/.ZCAE=ZBOE：.4CAE=/B 0E：.ADHOB；BDAD如下图所示，连接CEcDNA5C与NAEC是AC对应的圆周角，ZABCZAEC：AE是。的直径 ZACE=90A C Q，tan AAEC=-CE 4CE=8AE2=CE2+AC2AE=10/.。的半径为5.22.(2022哈 尔 滨)已知C”是。的直径，点 A,点B是。上的两个点，连接0A 0 3,点别是半径。4,。8的中点，连接CD,CE,BH,且NAOC=2NCHB.点E分(1)如 图1,求证:NODC=NOEC；GH 图3(2)如图2,延长CE交8”于点F，若CD_LOA,求证：FC=FH；(3)如图3,在(2)的条件下，点G是8”上一点，连接4 6,8 6,”6,0人若AG:BG=5:3,HG=2,求OF的长.【答案】(1)如 图1.点。，点E分别是半径。4,。8的中点图1A OD=-OA,OE=-OB2 2OA=OB.:.OD-OE:/BOC=2NCHB,ZAOC=2NCHB：.ZAOC=ABOC：o c =o c.ACOD*COE,:.Z.CDO=/CEO；（2）如图 2.CD_LQ4,/.NCQO=90图2由（1）得 NCEO=/CDO=90。,.”OE _1 sin 40CE-=一OC 2/.NOCE=30。，NCOE=90-ZOCE=60 Z/7=-ZBOC=-x60=302 2:.ZH=NECO,:.FC=FH(3)如图 3.V CO=OH,：.OF CH./FO H =90。H图3连接 A/7.；NAOC=NBOC=60，ZAOH=ZBOH=120,:AH=BH,ZAG4=60AG:5G=5:3设 AG=5x,二 BG=3x在 A G 上取点M,使得AM=8 G,连接M HZHAM=ZHBG,?.4HAMq 4HBG:.MH=GH,；.MHG为等边三角形：.MG=HG=2；AG=AM+MG,5x=3x+2/.x=1,/.AG=5BG=AM-3,过点H作HN 1.MG于点NMN=1G M=?x2=l,N=HG sin60=2 2：.AN=MN+AM=4,*-HB=HA=NNG +HN2=M:/FO H =90,ZOHF=30,Z.ZOFH=60 OB=OH,：.ABHO=NOBH=30，ZFOB=NOBF=30OF=BF,在 RtOFH 中,NOHF=30。,：.HF=2OF，HB=BF+HF=3OF=M，23.（2022绥化）如图所示，在。的内接 4VW中，/M AN=90,AM=2A N,作AB_LMN于点P,交0 0于另一点B,C是%0上的一个动点（不与A,M重合），射线 C交 线 段 的 延 长 线 于 点。，分别连接AC和8C,BC交MN于点、E.(2)若 MN=10,MC=NC，求 8C 的长.3 MF(3)在 点 C 运动过程中，当tan/M O 8 =一时，求的值.4 NE【答案】(1)解：AB上MN,NAPM=90。,ND+NDMP=900,又 NDMP+NNAC=180,/MAN=90。,.ZDMP+ZCAM=90,：.ZCAM=ZDf：ZCMA=ZABC9/ACM AsACBD.(2)连接OC,NM47V=90,；.MN是直径，：MN=：.OM=ON=OC=5,：AM=2 A N,且4,+.2 =W2,:.AN=2亚,AM=475.：S MN=；A M.A N=；MN.AP,AP=4，：.BP=AP=4,NP=AN2-A P2=2-OP=5 2=3,MC=NC，0cLMN,：./COE=90。，CABA.MN,：.NBPE=90,NBPE=NCOE,又,：NBEP=NCEO,COESBPE.CO OE CEBPPEBEnr,5 OE CE即一=4 PE BE由 OE+PE=OP=3,5 4A OE=,PE=-,3 3/.BC=+-7 3=6 .3 3（3）过C点作CGLMN,垂足为G,连接CM是直径，NMCN=90。,：.ZCNM+ZDMP=90,：ZD+ZDMP=90,：.ZD=ZCNM,3V tanZMDB=-,43.tan Z C W=-,4设 GM=3x,CG=4x,CM=5x,25r：.0 M =0N =-AM=2A N,且 4那+的？=*2,:%M N=；4 M Y N=；MN.AP,:.AP=x=PB,3NP=-x,3.”16 5 113 3 3：NCGE=NBPE=90,ZCEG=ZBEP,：.CGEsABPE,.CG GE CE而一正一诟4x GE CE即 n F PEBE3 A:.GE=2x,PE=-x3ME=5x,NE=-,3.ME:NE=3:2,3值为一.2-，24.（2022鄂州）如 图1,在平面直角坐标系中，出AOAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6,斜边08=10,点P为线段A8上一动点.(2)若动点P满足N PO 8=4 5。，求此时点尸的坐标；(3)如图2,若点E为线段。8的中点，连接P E,以尸E为折痕，在平面内将AAPE折叠，点A的对应点为 当 以 工0 8时，求此时点尸的坐标；(4)如图3,若尸为线段A。上一点，且AF=2,连接F P,将线段尸 尸 绕点F顺时针方向旋转6 0。得线段F G,连接O G,当O G取最小值时，请直接写出O G的最小值和此时线段尸P扫过的面积.【答案】(1)解：在放AOAB中，AB=4OB1-OA2=71O2-62=8，.点8的坐标为(8,6)；(2)解：连接0 P,过点P作PQ _L O B于点Q,如图，ZPOB=45,：.ZOPQ=45,J.ZPOBZOPQ,：.PQ=OQ,设 PQ=OQ=x,贝ij BQ=0-x,在 R dO AB 中，t an B =,AB 8 4小 .n PQ X 3在 RtBPQ 中，t an B-=-=BQ 10 -x 4解得x=5，30OQ=PQ=：，在 RAPO。中，op=JOQ2 +PQ?=丹旦在 MAAOP中，AP=yjop2-OA2=7.点P的坐标为（9,6）.7AE=-05=5,BE2tan BPD OABD AB设 PD=3a,则 BD=4a，；BP=ylBD2+PD25a，6812：.AP AB-BP=S-5a,OB=5,3一,4DE=BE BD=5 4a由折叠的性质，可得AE=AE=5,AP=AP 8-5a,：.AD=AP PD=8-8a,在 Rt&ZDE 中，AD2+DE2=AE2，即（8-8a丫 +（5-4a）2=52，i Q解得q=a2=2 2 5BDBE,即 4a K 中：KH=BH-BK=3-9 -4乖)=4下-6=2垂 又0-也)DK=yjDH2+KH2=J(2 1 +(4。-6=x 飞2-也设”也-5 则 K H=26/2，DK=4 0 ,DH=2s/3t a n 型=DHsin”他，,DK 22也DK12t：OM为直径，ZDGM=90在 心DGM 中：DG=DW-cos6=4V3x=2t t在/DGT中：GT=DG sin6=x-=V3t 2T/Q I在 Rt/HGT 中:sin 20=斗=GH 2G 228=30,8=15。PQ转过的角度：30 15=15=-=3 s2 5总时间：f=4+t2=4A/6+3=(4A/3 3)s设 CF=?，则 EF=8C-8E-CP=9d?，C E=9-d,当旋转角 30。时，OE在力，的左侧，如图:V ZEDF=30,ZC=30,NEDF=/C,又；NDEF=NCED,:ADEF （7/）,-D-E =-E-F nn DE 9-d-m9即-=-CE DE 9-d DEA D E2=（9-J）2-m（9-）,:在 ”中，DE2=DH2+EH2=2y/3,/.（9-d）2-加（9-d）=（2可+（3-d）2,CF=m=60 12d9-d当旋转角N30。时，DE在 OH上或右侧，如图：CF=m,则 EF=BC-BE-CF=9-d-m,CE=9-d,同理:可得CF=m=6 0-1 2 J9-d综上所述：b=6T2”9-d27.（2022遵义）综合与实践“善思”小组开展”探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.提出问题：如 图1,在线段AC同侧有两点B,D,连接A。，A B,BC,C D,如果N3=ND，那么A,B,C,）四点在同一个圆上.如图2,作经过点A,C,。的O。，在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合），连接AE，CE则ZAC+Z=1800（依据 1）图2.ZB=Z D.-.ZAC+Z5=180点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），点8,。在点A,C ,E所确定的。上（依据2）:点、A,B,C,E四点在同一个圆上（1）反思归纳：上述探究过程中的“依 据1”、“依据2”分别是指什么？依 据1：;依据2：.（2）如图3,在四边形ABCD中，Z1=Z 2，N3=4 5 ,则N4的度数为图3（3）拓展探究：如图4,已知AABC是等腰三角形，4B=A C,点。