2022年新高考数学试题解析版（全国I卷）.pdf

2022年全国新高考I 卷数学试题答案2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数 学注意事项：I.答卷前,号生务必将自J的姓名、考生号等填写在答题k和试卷指定位置上,2 .F I-选择题时，选出用小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题H的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦卜净后，再选涂其他答案标也回答非选择题时,将答案写在答题k匕写在本试卷上无效,3.请保持答题K的整洁。考试结束后,将试卷和答题B 并交M L一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共*）分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .若集介A/=x|&4 1,N =【x|3 x?l,则A/D N =A.；x|0 4 2；B.令 2：C.J.v 1 1 6 D.【答案】D【解析】集合A/=；x|0令 1 6；,集合N =；.v|x e l,八彳口=令 .3 3故选D.2 .若“1-二）=1,则二+=A.-2 B.-I C.1 D.2【答案】D 解析】对原式两边同时乘以i得：:-1 =，即二=1+八所以h =I 即二+=2.故选D.3 .在/8 C 中，点。在边I,B D =IDA.记。/=八 C D =n.J C B =A.3，-2 B.-2，+3 C.3，+2 D.2，+3【答案】B解 析】因 为CB=C A A月&T,又 因 为7 7）=C Q i,所以 月=2。/+3 1。.即 8 =2 7 +3.故选1工4.南水北调工程缓解r 北方一鸣地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库,已知该水库水位为海拔1 4 8.5 m 时，相应水面的面积为1 4 0 km 2 :水位为海拔1 5 7.5 m 时，相应水面的面积为1 8 0 km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作个可台,则该水库水位从海拔1 4 8.5 m 上升到1 5 7 5 m 时,增加的水量约为（、斤=2,6 5）A.1.0 x l 0Mm3C.1.4 x l 09m【答案】CB.1.2 x l OMm D.1.6 x l Oym,【解析】由题意 y =1 4()kn f,52=1 8 0 kn r ,力=(1 5 7.5 1 4 8.5)km =9 km ,代入棱台体枳=；（5；+5；+廊?，公式可得：1,1.4 x l 09m3.故选 C.5.从2至8 的 7个整数中的机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为A.1B.-C.171).-6323【答案】D【解析】总事件数共C；=d=2 1,第个数取2时，第二个数可以是3.5.7；第一个数取3 时,第:个数可以是4,5,7,8：第个数取4时,第二个数可以是5.7 ：第个数取5 时,第.个数可以是6.7.8：第一个数取6 时,第：个数M以是7：第个数取7 时，第:个数可以是8：所以尸=3+4+22)3+1+1 1 4 21-2 1 -3 J T?6.记函数/(A)=si n(9.v+-)+0)的最小正周期为 T .7；|T T 7 L 万，n.y=/（工）的函数图象关于点（勺.2）中心对称，则/（：）=A.1B.305C.0D.3【答案】A【解析】=存（2.3）,y=/（x）的函数图象关于点点.2）中心为称，则行6=2,1 1/()=2.所以si n(巫+巴)+2=2,则 包”+4=2 履/e Z：解得“=生二山22 4 2 4 6()G(2_ .3_)(/5n)A.=2_ .69 =5 ,A i/(兀、)=si n(57 1 7+r 2,=-I,+2 .=I .7.设a =O.le*b =，c=-ln 0.9 ,则9A.a h c B.c h a C.c a b I),a c*=1-=-0,所以A 6)A(0)0,所以y、0,所以n c 0 ,所以ac.8.已知正四枝锥的侧楂长为/,其各顶点都在同球而匕 若该球的体积为3 6*且3W /W 36,则该正四棱雉体积的取值范围是Q 1A.1 8.-【答案】CB 耳 苧C.j,yD.1 8.2 7【解析】记三棱锥而与侧棱夹角为，岛为，底面中心到各顶点的距离为，,1 2 1 2 _ _ -2 1 Icos=二-=-G,贝 I /=6cos，ni=1 s n()=6si n cos，2 x3 x1 6 2 2h=ni 6 s i n cos”t a n 0si n 9cos=6cos2。，S、=-x 2 m x 2 m=2 nr,故厂=2.S .)；x Inrh=I4 4(si n 67 cos:()Y,令 y=si n 6/cos2 0=si n。(1-si n2 0)-A(1 -A*2)=-v +x,x=si n 0 e|,|了=-3.+I ,故 丁 0 .即 J =1 4 4 y M =1 4 4 x yx(y)-2=y ,1 nn=1 4 4 x(y-x(l)：)=?二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2。分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。9.已知正方体4 B C D-4B 口,则A.立线8 Q与D 4所成的用为9 0 B.直线BC；与所成的知为9 0 C.直线改；与平面BB、D,D所成的角为4 51).H线8 g与平面AH C I)所成的用为4 5【答案】A B D【解析】在正方体,4 8。-48 c A中,因为S C；_ L B C，BCt 1 A,Bt,所以8C；_L平面A、B、C D，所以BCt DA,BCt C.,故选项 A.B 均正确:设4 cleI B Q =O,因为4 cl 1平 面B B R D，所以直线BC,H平i f i l 8 8 QQ所成的角为C O I B(),在出用中，si n N G8O=一=-,故 N(；8 O =30。,故选项 C 错误：BC 2宜线8 G勺平面 际7)所成的角为N(；8c=4 5。，故选项D正确.综匕 答案选A BD.1 0 .己知函数/(x)=.v，-x+l,则A./(x)行两个极值点B./(x)有三个考点C.点(0,1)是曲线y=,/(.v)的对称中心D.直线j=2 x是曲线j=./(.V)的W线【答案】A C【解析】/(2 =3-1 ,所以/(X)1两 个 极 值 点-乎 与 乎,又/(，4 ,所以/(*只仃-个号点：lll/O)+/(-x)=2川知，点(0,1)是曲线)，=/(.、)的时称中心：曲线v=/(.V)住点(1,1)处的切线方程为j，=2 x-.所以答案选A C.II.已知。为坐标原点，点Z(l，l)在抛物线C：犬=2分，(p 0)h,过点8(0,-I)的点线交C于两点，则A.(.的准线为j =-lB.内线18与(相切C.O P -O Q O A D.BP BQ BA:【答案】B C D【解析】由题意可知：l =2p,所以抛物线C：/=j，故C的准线为j =-L 故A不对:由y =2 x得曲线C在点.4(1,1)处的切线斜率为2,所以切线方程为y =2 x-l,故在线与C相切;过力：8(0,-1)的且线设为j =k v-l,交。J儿0两点的坐标分别设为。小)，2(士.4)，联立宜线与C方程可得1nV-公+1 =0，所 以 有$+三=八、声=1,H.A=A2-4 0 R|1 A:4 进,步可得 +为=炉-2,乂%=1 .此时|O P|.|。|=+j，；X xJ +”，)=1 1+.1：心+炉)=JM.E(.11R+M+为+1)=斤 4乂 Qf=2,所以C正确;BP BQ=BP-B Q =(A;.+1)(.*.y2+1)=.vrv2+)y2+j;+y2+1 =A：+1 5,乂|8/斤=5,故D正确:综上,答案选B C D.1 2.已知函数/(.、)及其导函数/(x)的定义域均为R ,记g K).若/g-2 x),g(2 +x)均为偶函数，则A./(0)=0 B.g(-g)=O C./(-1)=/(4)I).g(-l)=g(2)【答案】B C【解析】lll/g-2 x)为偶函数可知/(x)关于百线.v =g对称，I I I g(2 +.r)为偶函数可知：g(.v)关于百.线x=2 乂 寸 称.结合g(x)=/(x),根据g(x)关于直线x=2对称可知/)关于点(2./)对称，根据/(.、,)大于直线.=对称川.知：g(.v)大于点(1,0)对 称，综 匕 函 数/(T V)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以仃/(0)=/(2)=/,所以A不正确：/(-1)=/(!)./(4)=/(2),/(1)=/(2)，故/(-1)=/(4),所以 C 正确.g(-J)=g(5)=o，g(-l)=g。)，所以 B 正确:又g(l)+g(2)=0,所以g(-l)+g(2)=0,所以 D 不正确.故选B C.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2()分。1 3 （1-，）。+I，）*的展开式中-J,的系数为 用数字作答）.【答案】-2 8【解析】原式等（+】，）*一1。+1,）、，由：顶式定理，式展开式中（1,的系数为（；（；=-2 8.1 4 ”出引朗/+/=|fn（.v-3）-+（i-4）-=1 6都 相 切 的 一 条 汽线的方程【答案】.二 一1，或卜=二工一”.或1:=一3工+*（笞时其中之一即可）-2 4 2 4 ,4 4【解机1 1 1国可得，两网外切,”均与内线/v =-1相切 的过两同同心的内线/的方4 4程为1，二 一工.“得 乂 交 点 为 i ll切线定理得，两|员 公切线/，过点/）.改3 3L-4I/、:v+-=A-（.V +1）,i l l .A jl l|L 线 扣 离 公 式 可 存-L=l =1 ,解存 k=,即3 V F 7 7 2 47”I.y=-x-.方 由 两同外切.闪此作公以点处行住公切线/爬 仃,解仔15.，若曲线j,=(x+a H 有两条过坐标取点的切线.则。的取值范围是.，【存案】(-4)U(o.y)【解析】易行曲线不过原点，设切点为卜o.(ho)e)，则切线斜率为一f k)=(o+a+l)c.M得切戊方程为丁-(%+a)e；=(%+。+1)。(一天)，又切线过京点.可得-(q*=%(%+&+恨，化简得X oN+aq-a-O (*),乂切线行网条，即方程有两不等实根.由判别式4=+4 7 0,得 0.-16 L lM tm C 泊-7.两 4、儿 N 为 小 鸟 为?.过 A H 正 3 J AFZ 的自找.J C I D,E 两，1|D|=6.&W IE|+|Q段+|E周=.另设H线/汪 f i)y=(x+c).肺M,超 h 在联立利 13y +8cx-32c=0.一 一，、ill#.1A|D|+1 ,-*4A;+I xl+x2)*-4.v,.v,!(,n r l)T I,8c.2.I2!k-48,13,o V；+，+-=c=6,即，.4.X.13 V 13 13 13 8 四、解答题：本题共6 小题，共 7(分u超答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;17.，1。分，记S”为裁列0 ：的瑞，、出I q =,：*H E 公4 为!为容彳数列.d 3 I求 也：得地项公足 2)证明：1，2_+J_0,则 8 一 ,sin B=sin(C-)=-c o s(,sin A-sin(8+)=sin(2(-)=-cos2C,2+力 sin2 A+sin2 B cos2 2C+cos2 Crti 止弦 A:理；=-；-=-；-b sin C sinC=-；-=；+4SIIT Q-3sin C siir C4 s in C-5 =4x/2-5.R sin 2 c当fl.仅当sin：C=也 时等号成t,所以土丝的最小值为4&-5.2C19.(12 分)如图，直 潜 柱/8C-4 8G的体积为4,ZMBC的面枳为2V l.I，求至 平面4 8,的距离:2)设。为的|!.A.=1 8 ,平面4，平面，1明 4,求：而用.4-8 O-C 的正弦值.【解析】1 设一到平面I*的距离为r =1 S -I -1 =-J =lx4=-3 八 侑 3 =Wi 3 3，I N =；S,h=gx2 y/i.h,所以;x 2&%=；所以h=0，所以A到平面水 的距离为72.3)取$8的中点,连接J f,闪为 以=A B，所以AEV A.B.因为平面4 6 c 1平面4 84 4,平而4 8cC l 平为人码4 =4 8 ,所以.4 _ L 平 1(1 1 4 B C.A E=y/2.则 44=AB=2,所以 A E1 BC,W 为苴二棱柱48。-4 4。，所以AtA 1 BC,因为 AE c J.I =A,所以 BC 1 平而，8 g 1,所以 BC 1.1B,|I(B,.,J,J=-x2xfi C x2=4.所以 8 c=2,以8c为x 轴，8.1 为J,轴.8 4 为二轴.建.如图所示的空间也用坐标系，所以 6(0 0 0),4()20),C(2.0,0),4(0 22),(0,1,1),D(I J,1)平 血 血 的法向量设为;=%=(0 1 )，平面班M 的法向量设为%=(r.r;)，0=(0,2,0)丽=(1，1),=0 (2 v,=0旃a二0，以1 x+y+:=0所以1=0 .设 X =1 ,则二=-1 ,所以 ：=(L 0.-1),所以 C O S =l i H 一i殳 i h i 角 4 -Hl)-C 的平面 f(为 a，则 s in a=J l -co s t/=当 所 以：而用，1 -3。-(的心弦值为走.22 0.(1 2 分)-医疗团队为研究某地的种地方性疾病与当地居民的U生 习 惯，生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中随机调杳了 1 0 0例（称为病例组，,同时隹未患该疾病的人群中随机调查了 1 0 0人（称为对照组）,得到如卜数据:不够良好良好病例组4 06 0对照组1 09 01，能否有9 9%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的H生习惯有差异?2）从该地的人群中任选人，/1衣示事件选到的人I!上 习 惯 不 够 良 好8表示事件“选到的人患行该疾病二 丝 地 与 丝 上？的比值是1 1上习惯不够良好对患该疾病风险P(BA)P(BA)程度的一项度量指标，记该指标为明:心船O（竹）利用该调行数据，给出a川8）,p（4 i心的估计值，并 利 用i）的结果给出/?的【解析】1）假设患该疾病群体与未患该疾病群体的I 1生习惯没有差异,估il值.附：K-n(ad-he)2P(K2k)0.0 5 00.0 1()().0 0 1(+/)(+d)(a+c)(+d)k3.8 4 1八6 3 51 0.8 2 8则K-=2()()(4()x 9 0-6 0 x l()f5 0 x 1 5 0 x 1 0 0 x 1 0 0=2 4 1 0,8 2 8 ,所以行9 9%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯行差异:,_ P(A)2.(l，i =lB A)P(BA)P(AB)P(A)PUB)(1)P(AB)(际。(函 -P(AB)P(AB)P(A)(叫P(AB)P(AB P(B)=-=-=AB)P(AB)P(AB)尸(.竺)P电=PE 得乱“后)P(AB)P(ATi)P（ii）III调杳数据可知，（川8）=曲 量,（川瓦=斋/，2 9则尸（1|8）=1-尸（川8）=,隔 间 二 卷,所以/?=毕=65 1021.（12分）己知点月（2,1）在双曲线C：匚 一一=1（I）I.自线/交C于。.。两点，百线a a-AP.的斜率之和为0.I）求/的斜率：2）若5/。/。=2啦.求 八2 4 0的血枳.【答案】（I）/的斜率为0：（2）尸 的面积为”也 94 1【解析】（1）将点/代 入 双曲线方程得下一一5 =1.化简得/-4/+4=0得:a a-1a2=2.故双曲线方程为工-y由题显然直线/的斜率存住，设/：），=依+，设）,则联办i线4双曲线得：（2A:-l）-v：+4A/.v+2m+2=0,故 N+x24km2 n r+2vj-1.kx、+/-1 kx2+m$-2 x,-2%-2-2二0,化 简 得:2处工2 +（团-1-2 4）卜+七）-4（zw-1）=0,2 k（2 m2+2）（4k m、z故；-_1-+（-2 A）（-#二J-4（-1）=0,即（A +l）（/+2 A 1）=0,向有线/不过力点，故A=I.（2）设直线HP的倾斜分为a,山t a n/P/O =2上.得t a n乌丝=立.2 2 2 a+Z P A Q =n.得”=t a na =J?.,即 箕7=血，万-p -V 、1 1n 1 0 4 5/2 4 2 5联-7 7-2，及一1-一齐二1得M 二-y =-M _ 2 2 3 3代入直线/得7 =3,故X +X,=型，X R,=而-尸|=退|西一21 Q|=也 x2-2|,l l I t a n Z P A Q =25 得s i n A P A Q=坐，故SA/,0=AP AQ smP AQ=|.v,.v2-2（+.x2）+4|=.2 2.（12 分）（_!.知函数/（A-）=e1-ax和g （.、）=a v-l n.v行相同的最小化I）求 a ：2）证明:存在直线歹=6,其与两条曲线y =/（x）和y=g（x）共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【解析】（1）f（x）=ex-a,g（x）=a-xa W O时，/Q）0恒成立，所以/（X）在R上小调递增，即/（X）没有最小他该类情况应舍去.a 0时，/住（-8,I n。）上小于O在（l n a,+0,所以匕式等价于I n。-0=0,a+令力卜)=I n.v-j-(.v 0).V-+1则/(*=T 0悯成立，所以/7(.v)在(0.+8)上单调递增工(.V+1)-乂因为力(1)=0=/?(n)11 a 0,所以 c/=1.(2)证明：山(1)/(.v)=ex-x*g(.v)=x-l n A*.L/(x)在(一8,0)上单调递减,在(0、+8)上单调递增.g(.x)在()上单调递减，在(L+8)上单.调递增，|./(工)g(.)皿=11;b 力,显然 y =/)与两条曲线T=/(X)和y =g(x)外行0个交点,不符合题意：6=1时，i I t l l i/(A)=g(.v)=1=6,y=b 与两条曲线y =/(、)和 J =*(工)共有2个交点，交点的横坐标分别为。和k I时，首光，证明J，=/)线y =/(、)仃2个交点：即证 明 口x)=/(x)-6 行 2 个零点，F(.v)=/，(x)=e _ ,所以“(x)在(-8,0)上单调递减,住(0,+8)上单调递增,又因为产(-6)=厂 0,F(0)=l-6 Q,(令f(b)=e-2 b.则/e)=d 2 0,/(/)/(l)=c-2 0)所以明口.)=/(”-力隹(一8,0)上存住且只存在1个零点，设为f i.(0,+oo)上存隹且只存在I个零点,设为无.其次，证明j =6 j曲线和有2个交点：即证明G(x)=g(x)-b有 2 个零点,G f.x)=g(x)=1 .X所以G(工)住(0.1)匕单调递减,在(1,+00)上单调递增,乂因为G(e 4)=e 0,G(0)=l-b 0.令(力)=6 I n 2力,则(/)=1 0./(/)/(!)=l-l n 2 0)b所以/；(.)=/(.、)一6住(0,1)上存在且只存在I个零点，设为M，在(L+8)上存在1 1.只存在1个零点，设为事.再次，证明存 在 力 使 得 三=.：因为/*(三)=6(工 J =0,所以 b =eA：一天=x3-I n 当，若 x2=x3，则 e -工=三 一 I n 工,即 e-2 x2+I n x2=0，所以只需证明e-2 x +l n x =0在(0.1)上仃解即可，即。()=e -2 x +I n x 在(0,1)上 f 孝点,因为0(二)=十 一 三 _3 0*所以0(x)=e-2 x +l n x隹(0,1)上存在零点，取 零 点为厮,令占=占=/即可,此时取b二c则此时疗作汽线丁 =6,其两条曲线 =/(*和J =g(.v)共行二个不同的支皮最后证明X +X =2/，即从小到11的：个交点的横坐标成等冷数列：因为($)=八 三)=F(.v)=O =G(xJ =G(x)=G(X4).所以 F(.YI)=G(.V,)=/7(l n .v1(),乂因为尸(中)/r(一8.0)上单调递减，.v,0,0 .vu 1 H|J I n,y,()即e 1.、I,所以.=c ”，乂因为 c 一2.Y0+I n X”=0，所以.+为=ex,+I n.Y(1=2 Ao，即i1线,v =从。两条曲线_ r=/(.v)和i =g(.v)从左到右的，个交点的横坐标成等率数列.