2022考研数学（一）10月模考试卷附答案解析.pdf
2022考研数学（一）10月模考试卷附答案解析1设当 x 0 时，a(x)=tanx-si nx,/3(x)=Jl+x2-fl-x1,父力=tdt都是无穷小，将它们关于x的阶数从低到高排列，正确的顺序为()A.a(x),凤 x),y(x)B.a(x),y(x),尸(x)D.A)=a(x)，X x)参考答案D 答案解析当 Xf 0 时，/6=4+X2 7 1-X2=t,X,),Jl+x2+J1-X2a(x)=tan x-si n x=(1-cos x)tanx,y(x)=J*；0 s飞n/jrf r=-cos/jj0 0 51=1-cos(l-cos x)三 故 D 正确.已知y=+ox?+bx+c在x=-2处取得极值，且与直线y=-3%+3相切于点(1,0),则()A.a=1.6=&c=6B.a=-L b=8.c=-6C.a=1.6=8.c=-6D.a=-L b=8：c=6 参考答案A 答案解析由已知，y(-2)=0,/(l)=-3,j(l)=0(/+皿2+取+。)_2=0,f l2-4a+6=0s即(x+ax1+bx+c)|x J=3,即，3+2a+b=-3,解得a=Li =-8,c=6 一 故 选 A.(j?+ax2+6x+c)|I_1=0,l+a+b+c=O,31设反常积分/（丁 -/班 收 敛，则正确的是（）A.k-1C.klD.kl 参考答案D 答案解析i i,i.1。一年一一=/（/叫T）.当x 时，与/（l c o s B是等价x无穷小，又l-cosL与人是等价无穷小，则/（）布-J）与丁:是等价无穷小一x 2x lexi当左 ,故/（）、-厂）成收敛；当上N 1B寸，2-k ,上是阶数不高于工的无穷小，故lex x1/0s l-火 发 散.故选D.4y arctan 7,(x,v)H(050)s设次+6 则/(x,y)在点(0,0)处().0,(乂)，。0),A.连续但不可微B.偏导数存在但不连续C.可微D.连续但偏导数不存在 参考答案C 答案解析由 arctan 1 】有界，知 Hm /(x.v)=li m v arctan j 1=0 =f(Q.0),历7 浮湛 历7故f(xj)在点(0,0)处连续.於 0)=li m /)二/。)=5 =0,3 X O Xfy(0.0)=li m-=li m arctan =,i V 3To|y|23-可 乂)，)一0。-J(0,0)x+4(0。川p p1 m n 、v arctan,、O xH-j:此.2旧+/所以/(x,y)在点(QO)处可微，故C正确.5设%=(%),，叼=(bi，b2,b3)T,a3=(c1,c2,c3)T,其中 a：+6：H 0(Z=L2,3),则三条直线。/+3+6=0(1=1,2,3)恰好仅交于一点的充要条件是().A.r(a1.n-r(A)2=r(A)=/巾-1阶子式全A1=0.为 o=4=o =/.=o=J!.4，x=0有-/)=/基础解.又.4A=AA 冒 /1 E =O 及,4x=0 n AAx=0,Ax=0 的解均是=0 的解,故 选 B.显然可排除A.由于出：=0与 氐=0,当/：分(4)+/9)r(/)+r(4)K ，故当 N4)+?(/)0,故正定，A 正确.设0 尸(J)L O P(B)0 上-7 00 0 上+10 7由方程组有无穷多解,参考答案知/(4)=0 3,故左=-1或左=0.16Q设随机变量X,Y均服从区间为 Q 4的均匀分布，PmaxXJ3=.依题设，X,Y的概率密度均为/(X)=了 故产 3=尸江 3=19其他 49 7P(3)U(K3)=l-PX 3.rr3=PX 3,F3=P X 3+尸 丫 3-尸(X 3)U C 3)参考答案 4 4 1 6 1 6求曲线y=ex Jsi nx(x 0)绕x轴旋转所得旋转体的体积.答案解析先求/(x)=c-xjsi n x(x 0)的定义域.由si nx之0,知x e 2无“2左+1)4上=L2,)，如图所示则所求体积为V V 2A-2X .,x 2kV /.71_ 兀=厂 3 9+0 .小 T h 厂 3 .e si n xax-乙笈L si n tat=/Tie|八 e si nrd rt.O 如*-0 *M 18第17题图求椭球面4+4+4=心 9 0）在第一卦限上的切平面与三个坐标面围成a b c的四面体的最小体积.答案解析设点P（x,y,z）为椭球面在第一卦限上的任一点，则过点尸的切平面方程为4（X-x）+与（y-），）+4（Z_z）=0 ,该切平面在三个坐标轴上的截距分别为a b c/b2 c2,一，x y z故四面体的体积/C（x0,y 0,z0）,2 x y z 6xyz问题转化为求中z在 条 件=+g =1下的最大值.a b c令 =孙z+A(+%+1),贝 Ia o cx.=yz+22=05；=&+2 2 彳=0.由式，得代入式，可解得故所求最小体积为限邛起.a b c 2o-19设/(X)在(YD,内)内有连续导数，2为从点A(3,|)到点3(1.2)的直线段,计算,式安+涉力正吵 答案解析方法一：记尸=1+1/8),。=)(孙)1,yy贝I 孚=学=/(孙)+V(孙)-3 s H 0)，dx dy y2故当N工0时，积分与路径无关._ _ 2 2取折线X C+C 5 ,J(3,-)SC(L-):B(1,2),_2 _ f=i如图所示，AC：P =3,C B：广一故/=fl ir Z Mic+彳 口/孙)-1办=f=+)弓 力 拉 +“)-4协 y v J3 2 9 2 2 y=42-,2这里|；方法二：取积分路径为中=2,则I=(2 1+(-4)+4 7(2)-1 A-=f；4=-4.3 y y y 20设4=公4 =户S i n。tdt5=L 2,)，求级数2(T产T-的和。bh 答案解析,si口 f；Kan=1-jdxX 2si n*f .cos，tdt=2 si nwr(l-sm2 t)dtK K=si nn tdt jjsi nrd?=4一晨2.又KKb2 =td(cost)K K=-cos/si n i d：-C cos入(+1)si n，.costdtK=(+1).si n KI-si n，)d f =(+1双-(”+l)b*2，移项得b2=+ln+1n+2鼠，所以4 =Z-履2=4-n+2bn =b故？n+2 bn1n+2则2(-1尸3n=N(_ 1产 1.ti bn ti n+2O D 1构造幕函数，令S(x)=3(-1产*叫 则M 1+x积分得 S(x)-S(0)=:-x+ln(x+1),-1 x 0 0 0、令尸=（氏/氏不向，故AP=P B,其巾5=1 0 1、0 1 0,即尸-%P=5,所以N-E与8-E相似,故 N N _ E)=3 E).而r-lr(B-E)=r(1、0 0、-1 1 )=2,所以r(4-E)=2.1-L22设 随 机 变 量 见 工,及 相 互 独 立，且 均 服 从 参 数 为；I的指数分布，记T=m ax 匚及.（1）求丫的概率密度4。）；（2）求期望E T.答案解析（1）由已知，M与工相互独立，故（理 区）的概率密度为再 嚏 0:0.其他.设丫的分布函数为耳。），则当）w o 时，耳3）=0；当），0 时，有耳0，）=尸 m i nX i，X 2”对=1 一 尸%以乙 用=1 一 尸 区 y PX2 乃=1一。-卬。-4=1 一。口,故 我）2）产；：。,I o.y o.（2）先求T 的分布函数与概率密度.当two时，片=0；当C 0时,有耳=尸 7=f m a x U X J 3 =尸 丫丸工二正而丫=m i n 区/?与 区相互独立，故耳=PY t PX3 0.所以人（。=咛 =0 ,o于是 E T=tA e-lt+2 初-r -3A e-3it）dt=-+-=.J。A 22 3A 6A
