2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第三节随机事件与概率.pdf

第三节随机事件与概率【考试要求】1.能够掌握古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决实际问题.2.能够借助古典概型初步认识有限样本空间、随机事件以及随机事件的概率.3.掌握互斥事件与对立事件的概率的计算方法.【高考考情】考点考法：从近几年高考来看，本讲知识单独考查的概率较小，一般与其他知识综合考查,其中互斥事件和对立事件的概率及与古典概型结合考查随机事件概率的计算是高考考查重点.以小题和解答题形式呈现，试题难度不大，属中、低档题型.核心素养：数据分析、数学建模、数学运算Q一知谓梳理二 1&/爰 一 o归纳知识必备1.有限样本空间与随机事件（1）样本点：随机试验的每个可能的基本结果.样本空间：全体样本点的集合，一般用2 表示.有限样本空间：样本空间。=用，/，%.（4）随机事件（事件）：样本空间O的子集.（5）基本事件：只包含一个样本点的事件.2.事件的关系与运算定义符号包含关系如果事件力发生，则事件8 一定发生，我们就称事件6 包含事件/（或事件A包含于事件冷胆4（或 AQ 6）相等关系若 能 4 且 48A=B并事件（或和事件）事件力与事件8 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件/中，或者在事件6 中，我们称这个事件为事件A与事件8 的并事件（或和事件）AUB（或 A+B）交事件（或积事件）事件A与事件8 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件/中，也在事件6 中，我们称这样的一个或 A&事件为事件/与事件8的交事件(或积事件)斥事件如果事件/与事件6 不能同时发生，也就是说/A 6是一个不可能事件(n s=。)，则称事件4 与事件3互斥AHB=0对立事件如果事件力和事件8 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即/U8=。，且力0 8=。，那么称事件力与事件 6 互为对立/4)+/(而=1,注 解 1互斥与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发4 E 的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.3 .古典概型定义：具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个.(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.分式：P(A)=K.其中，(4)和(0)分别表示事件A和样本空间。包含的样本点个数.注 解 2 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点，即有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.4 .概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：1 2 P(4)N O.(2)尸(0)=1，尸(0)=。.(3)如果事件4 与事件8 互斥，那么P(A U =P(A)+P(皮.(4)如果事件A与事件6 互为对立事件，则尸(4=1 一喋欧如果AQ B,那么P(A)WP(B.(6)尸(4 u 而=p(A)+尸(而一产(4 n 0.-智 学 变式探源1.(改变形式)从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事1.必修二P 2 32 例 62.必修二P 2 35 例 8件是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”【解析】选 C.A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的.2.（改变问法）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3 的概率是（）1111A-9 B-6 C-T i 0 瓦【解析】选 B.抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3 的情况有（1,4）,（4,1）,（2,5）,（5,2）,（3,6）,（6,3）,共 6个样本点，而抛掷两枚质地均匀的骰子包含的样本点有36 个，所以所求概率片会=1 36 6慧 考 四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本能力6.基本应用3.（古典概型概念）（多选题）下列关于古典概型的说法中正确的是（）A.试验中样本空间的样本点只有有限个；B.每个事件出现的可能性相等；C.每个样本点发生的可能性相等；D.样本点的总数为，随机事件力若包含4 个样本点，则尸（力）=.n【解析】A C D.由古典概型的特征知A C D 正确，B 错误.4 .（对立事件的判断）一个人打靶时连续射击两次，事 件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶【解析】选 D.“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.5 .（古典概型的概率）设。为 正 方 形 的 中 心，在。，A,B,C,中任取三点，则取到的三点共线的概率为（）CDno_O_4-5力D1-2C2-5氏1-A.5-O自主练透【解析】选 A.从 0,A,B,C,中任取3 点的情况有（0,4,0,（0,4。，（。，A,），（0,B,0,（a B,D）,（a C,D）,a,B,0）,u,B,D）,（B,C,），（4 C,0,共有10 种不同的情况.由题图可知取到的三点共线的有（。，A,。和（0,B,）两种情况，所以所9 1求概率为m=5 .6.（概率性质的应用）一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.8 5,乙熔断的概率为0.7 4,两根同时熔断的概率为0.6 3,则 至 少 有 一 根 熔 断 的 概 率 为.【解析】设 4=甲熔丝熔断”，B=乙熔丝熔断”，则甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件 AUB.P（A U =P（A）+尸（P（AC 协=0.8 5+0.7 4-0.6 3=0.9 6.答案：0.9 6Q、考点探 究 悟法培优，考点一互斥事件、对立事件的判断1.（多选题）若干人站成排，其中不是互斥事件的是（）A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”【解析】B C D.排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而 B,C,D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.2 .把红、黄、蓝、白4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A.是对立事件 B.是不可能事件C.是互斥但不对立事件 D.不是互斥事件【解析】选 C.显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.3.2 0 2 2年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共 有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件“他选择政治和地理”，事 件8：“他选择化学和地理”，则 事 件/与 事 件8()A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件【解析】选A.事件力与事件8不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件.4.设条件甲：事 件/与 事 件8是对立事件，结论乙：概率满足尸(4)+尸(0=1,则甲是乙的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若事件力与事件8是对立事件，则/U 8为必然事件.再由概率的加法公式得产储)+P(而=1.例如：投掷一枚硬币3次，满 足/(/)+P(8)=1,但4,8不一定是对立事件.如7 1事 件4 “至少出现一次正面”，事 件8：“出现3次正面”，则尸(4)=6 ，0(8)=，满足尸(4)O O十尸(面=1,但4 6不是对立事件.“规律方法判断互斥事件、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.(2)集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.ppi丽【加练备选】(多选题)在一次随机试验中，A,B,C,是彼此互斥的事件，且是必然事件，则下列说法正确的是()A./+5与。是互斥事件，也是对立事件B.8+C 与。是互斥事件，但不是对立事件C.力+。与 8+是互斥事件，但不是对立事件D.4 与 6+。+是互斥事件，也是对立事件【解析】选 B D.由于4 B,C,彼此互斥，且 1+8+C+是必然事件，故事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立,故 B,D中的说法正确.7 考点二 古典概型|多维探究高考考情：古典概型问题是高考命题的热点，常以新的命题情境为载体，考查简单的古典概型的概率求法.有时会与函数、平面向量等相关知识交汇，考查学生解决问题的综合能力.角度1古典概型的判断 典例1 下列问题中是古典概型的是()A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C.在区间 1,4 上任取一数，求这个数大于1.5 的概率D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的总数之和是5的概率【解析】选 D.A,B两项中的样本点发生不是等可能的；C项中样本点有无限多个；D项中样本点的发生是等可能的，且个数有限.角度2简单的古典概型的概率 典例2 (1)先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为()1111A.&B.-C,-D.-【解析】选 C.先后抛掷两颗骰子，有 3 6种结果，其中两次朝上的点数之积为奇数的结果有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共 9 种，9 1所求概率为正=彳.3 b 4(2)(20 21 全国甲卷)将4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为()12 2 4A.B.7 C.-D.73 5 3 52【解析】选 C.把位置依次标为1 到 6.总数：先排2 个 0,有 C 6=1 5 种，再排4 个 1,有 1种，故共有1 5种.满足题设的排法：先排4 个 1,有 1 种，其间有5 个空，选 2 个空插入有2加3 1 0 2C.=1 0 种.故 P=-T7=三.5 1 5 3满足题设的排法的另一种解释：0的位置有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,6)共 1 0 种.角度3 古典概型的交汇问题 典例 3 (1)设平面向量 a=(加，1),6=(2,n),其中/，nG 1,2,3,4,记“a _ L(a 设“为事件/,则事件月发生的概率为()1 1 1 1A，8 4 C，3 D，2【解析】选 A.有序数对(如)的所有可能结果数为4义4=1 6.由a，(a 近，得病一2加+1 =0,即=(加一.由 于 例 W 1,2,3,4,故事件4 包含的样本点为(2,1)和(3,4),共 2个.9 1所以所求的概率尸3=左=R .1 6 8(2)已知 a e 0,1,2,1,1,3,5,则函数 F(x)=a x?28x在区间(1,十8)上为增函数的概率是()5 111A.以 B.-C.-D.-【解析】选 A.因为a W 0,1,2,Z e-1,1,3,5),所以样本点总数=3 X 4=1 2.当a=0 时，f(x)=-26x,符合条件的只有(0,1),即 a=0,8=-1.当 a#0 时，需要满足2 W1,符合条件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共 4a种.5所以函数f（x）=a f 2Z?x在区间（1,+8）上为增函数的概率是我.射规律方法1 .古典概型中样本点个数的探求方法（1）列举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时（x,力可看成是有序的，如（1,2）与（2,1）不同，有时也可看成是无序的，如（1,2）与（2,1）相同.（3）排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.2.求解古典概型交汇问题的思路（化事件将题目条件中的相关知识转化为事件（辨概型判断事件是古典概型还是其他概型（列事件选用合适的方法列举样本点（求概率代入相应的概率公式求解#多维训练1.（命题新视角）中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认为：“金生水，水生木，木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2 种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）1111A.7 B.-C.-D.-【解析】选 D.从五种不同属性的物质中随机抽取2 种，共有“金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土”10 种，而相生的有5 种，5 则 抽 到 的 两 种 物 质 不 相 生 的 概 率=-.2.（20 19 全国卷I I）生物实验室有5 只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3只，则恰有2 只测量过该指标的概率为（）2 3 2 1A.B.-C.7 D.73 5 5 5【解析】选 B.从 5 只兔子中随机取出3只，总的基本事件有10 种；又因为只有3只测量过某项指标，故恰有2 只测量过该指标的种数为6,则恰有2 只测量过该指标的概率为 盘，即35,3.(2021 宿迁模拟)已知 AeZ,AB=(A,1),AC=(2,4).若|五 官|W 4,则是直角三角形的概率是.【解析】因为|人 百|=#4 1 W 4,所以一m WkW平.因为 A G Z,所以 A=3,-2,-1,0,1,2,3,当力勿为直角三角形时，应有力或AB工B C,或“，式：由AB,AC=0,得 2 4+4=0,所以在=-2.因为 BC=AC AB=(2 4，3),由 AB,BC=0,得 4(2 4)+3=0,所以4=-1 或 3.由 衣 肥=0,得 2(2公+1 2=0,所以A=8(舍去).3故使/回为直角三角形的衣值为一2,1或 3,所以所求概 率 产.e 3答案：7宣 逋【加练备选】1.已知函数f(x)=1 x：i+ax+bx+l.若 a 是从1,2,3 三个数中任取的一个数，b 是从0,1,O2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()7 15 2A.B.C.D.0,所以a b,有序数对(a,b)所有可能结果有3义3=9(种),其中满足a b的有(1,0),(2,0),(3,0),(2,1),(3,1),(3,2),共 6 种.故所求概率 P=|.2.(一题多解)从分别写有1,2,3,4,5 的5 张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()【解析】选方法一：依题意，记两次取的卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a b 的数组共有10 个，分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),10 9(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4).因此所求的概率为标=-.25 5方法二：从 5 张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：第二张/k /7 K第 二 张 1 2345 1 2 345 I 23 45 1 2345 1 2 345样本点的总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的样本点的个数为10,故所求10 2概率P=-.25 5，考点三 互斥事件、对立事件的概率计算|讲练互动 典例4 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数0123425概率0.10.160.3 0.3 0.10.0 4求：(1)至多2 人排队等候的概率；(2)至少3 人排队等候的概率.【解析】记“无人排队等候”为事件A,“1 人排队等候”为事件B,“2 人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4 人排队等候”为事件E,“5 人及5 人以上排队等候”为事件 F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.记“至多2 人排队等候”为事件G,!U!)G=A U B U C,所以 P(G)=P(A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3 =0.56.(2)方法一(直接法)记“至少3 人排队等候”为事件H,则4。1 口，所以 P(H)=P(DU E U F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.0 4=0.44.方法二(间接法)记“至少3 人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.教师专用&求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)=1P(了)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便.提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥.，对点训练某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和 3 队 则抽检一件是正品（甲级）的概率为（）A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.0 8【解析】选 C记”抽检的产品是甲级品”为事件A,“抽检的产品是乙级品”为事件B,“抽检的产品是丙级品”为事件C,这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P（A）=1 P（B）P（C）=l-5%-3%=92%=0.92.（2 0 2 0 新高考全国I 卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，6 0%的学生喜欢足球，8 2%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.6 2%B.5 6%C.4 6%D.4 2%【解析】选 C记“喜欢足球的学生”为事件A,“喜欢游泳的学生”为事件B,则 P(A+B)=0.96,P(A)=0.6 0,P(B)=0.8 2,因为 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B),所以 P(A B)=0.6 0+0.8 2-0.96=0.4 6.