北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)精华汇编专题06平面向量(含详解).pdf

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(北京卷)专题06平面向量g i真 题 汇/电 1.【2022年北京卷10班4 ABC中=3,B C=4,zC=90。.P为 ABC所在平面内的动点，且PC=1,则 丽 丽 的取值范围是()A.-5,3 B.-3,5 C.-6,4 D.-4,62.【2019年北京理科07】设点A,B,C不共线,贝U “施与品的夹角为锐角”是“|北+北|后的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.【2018年北京理科06】设 亡Z均为单位向量，则“丘一3a=而+加 是“九+的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.【2017年北京理科06】设高盛为非零向量，则“存在负数入，使得我=高”是“七 0).当，=泄，AC;当 丽.加取得最小值时，4=.20.已知名，宅 是 平 面 单 位 向 量，且浣宅=0.若 平 面 向 量 3 满足石瓦=1,丁 *+定)=2,则而=大数据之十年高考真题（20132022）与优质模拟题（北京卷）专题06平面向量真题汇总 L【2022年北京卷10】在48 c中，4C=3,BC=4,zC=90.P为 4BC所在平面内的动点，且PC=1,则 丽 丽 的取值范围是（）A.-5,3 B.-3,5 C.-6,4 D.-4,6【答案】D【解析】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C（0,0）,4（3,0）,8（0,4）,因为PC=1,所以P在以C为圆心,1为半径的圆上运动,设P（cosa sin。），Q e 0,2n,所以P4=（3 cos0,sin0）PB=（cos。,4 sin。），所以P4 PB=（-cos。）x（3 cos。）+（4 sin。）x（sin。）=cos20 3cos。4sin。+sin20=1-3cos0 4sin0=1 5sin（0+（p）,其中sing=1,cosp=因为1 sin（0+p）1,所以-4 1-5sin（0+（p）|/T的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】解：点 A,B,C 不共线，“0与公的夹角为锐角”=UAB +AC B C n,UAB +AC B C n=与几的夹角为锐角”,，设点A,B,C 不共线，则“赢 与 A 的夹角为锐角”是UAB +AC B C r的充分必要条件.故选：C.3.【2018年北京理科06】设2 均为单位向量，则“向一3&=丽+6 是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】解：；唱 一 3&=而+a”.平方得|a49|bF-6a*b=9|a|2+|b|2+6a*h,即 1+9-6a*b=9+l+6a*b,即 2 a-b=0,则=0,即a_Lb,则“丘一3否=总+&”是ua bn的充要条件，故选：C.4.【2017年北京理科06】设蓝，盛 为非零向量，则“存在负数入，使得益=人/是“后G 0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】解：m,1为非零向量，存在负数入，使 得/=证，则向量荒，盛共线且方向相反，可得反之不成立，非零向量获，的夹角为钝角，满足薪 0,而蔡=证不成立.，荒，盛 为非零向量，贝 I“存在负数入，使得薪=总”是蓝G a+b=(4,0),.(a +b)-c =4 x 0 +0 x l =0 A a-b=2 x 2 +l x(-1)=3.故答案为：0；3.7 .【2 0 1 5 年北京理科1 3】在 A B C 中，点M,N 满 足 京 =2 MC,B N=而 C,若 诵=.感+)，品,贝1丘=,尸【答案】解：由已知得到M N=M C +C N=AC +C B =AC +(AB-AC)=A B-j-AC：由平面向量基本定理，得到 =-z o一 1 1故答案为：-/-2 68 .【2 0 1 4 年北京理科1 0】已知向量立7 满足而=1,b=(2,1),且 立+1 =a (A GR),则反尸.【答案】解：设。=(x,y).向量；,1 满足面=1,b=(2,1),且 应+3 =G(A GR),t t(J-2 +y2 =1A A a +b=入(x,y)+(2,1)=(A x+2,A y+l),-*j A x+2 =0 ，化为 A2=5.Ay+1 =0解 得 园=V5.故答案为：V5.9.2 0 1 3 年北京理科1 3 向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=%+曲(入，咋 R),则【答案】解：以向量k I 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得Q=(-1,1),b=(6,2),c=(-L -3);c =AQ+。(九 E R)比；器 丁,解 之 得 入=一 2且 尸-X 2=F =42因此,1 0.【2 0 2 0 年北京卷1 5】已知正方形Z B C D 的边长为2,点P 满 足 加=l(AB +AC),贝ij 两=；PB -PD =【答案】V5 -1【解析】以 点 4为 坐 标 原 点，AB,4。所 在 直 线 分 别 为 x、y 轴 建 立 如 下 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系,则点4(0,0)、8(2,0)、C(2,2)、。(0,2),而=*+硝=：(2,0)+*2,2)=(2,1),则点P(2,l),.丽=(-2,1),丽=(0,-1),因此，I 而 I=(-2)2 +1 2 =V5,PB -PD =0 x(-2)+1 x(-1)=-1故答案为：V5；1.模 拟 好 题1.已知平面向量五，B满足|五|=2,间=1,且五与B的夹角为号 则 怔+司=（）A.V3 B.V5 C.V7 D.3【答案】A【解析】V|d|=2,|h|=1,且五与b的夹角为拳1 2 7 ra-Z?=2 x 1 x cos =-1,3,2 1.|a+h|=（a+b）2=a2+2a-b+b2=22 2 x 1+I2=|a+b|-V3.故选：A.2.已知。是边长为2的正4BC边BC上的动点，则 荏.而 的取值范围是（）A.V3,4 B.V3,2C.0,2 D.2,4【答案】D【解析】山。在边BC上运动，且4BC为边长为2 的正三角形，所以OW/DABW g,iABcosDAB&1,2由 屈 AD=ADABcosDAB G 2,4.故选：D3.已知向量出b，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则忖-4川（；1/?）的最小值是（）【答案】C【解析】如图以向量出B的起点为原点建立平面直角坐标系，设2的终点为A,3的终点为民 根据向量的几何意义可知怔-4 司(4 6 R)的最小值，表达是A 点到向量3的距离，即图中虚线段的长度,故可设向量所在的直线方程为y=),即x+2y=0,点4(2,1),故d=!=3 =W已知6是单位向量，向 量 五 满 足 五VWl,则的取值范围是()B.(0,1C原+8)D.陛【答案】C【解析】依题意，a-e=a-e cosa,e)a cos(a,e),r|a|-cos(d,e)0,-a cos(a,e)又,；()cos(a,e)故选：C.5.已知向量日=(0,1),6=(1,V3),则,在3上的投影向量为()A.V3a B.C.叵衣 D.V3d4 2【答案】B【解析】设，与办的夹角为。，则的在让的投影向量为：同 cos。向=I句 蠲 扁=粉面=%故选：B.6.已知向 量 出 3,乙在正方形网格中的位置如图所示，用基底 山丹表示3则()B.c=-2 a-3 b C.c=-3 a+2 bD.c=3 a-2 b【答案】D【解析】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1,则 4(L 0),B(2,l),C(0,4),D(7,l)所以6 =(1,1),b=(-2,3)=(7,-3),设向量不=7 nH +n-则己=m d +nb=(m-2 n,m+3 n)-(7,-3)则2 Tl=7 =+3 7 i =-3 m =-2所以己=3五一2 1故选:7.已知M为 ABC 所在平面内的一点，|而|=|就|=1，且 荏=丽+流，丽 流=一 右 则 刀.丽=()A.0 B.1 C.V 3 D.3【答案】D【解析】由 南=丽+祝，则 屈+两=府=耐，所以4 M,C 共线，即M为4 c 中点，如下图：又|而|=|就|=1且 丽 而=一：，EPcoszBMC=-1,而4BMC 6（0,兀）,所以NBMC=学，故ZC=则8C=百，AC=2,3 o所以苏f-CB=|C2|CB|COSC=3.故选：D8.已知向量五万满足间=2,五与B的夹角为60。，则当实数；I变化时，正一 2可的最小值为（）A.V3B.2C.D.2V3【答案】A【解析】如图，设a=五,而=当（3-砌1 日时，b-祠取得最小值，过8 作B E 1 0 4 即日一；1句取得最小值为|BE|,因为五与B的夹角为60,所以4804=60,ABE0=90,0B=2,所以|BE|=V3.故选：A.9.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花.图2 中正六边形4BCDEF的边长为4,圆。的圆心为该正六边形的中心，圆。的半径为2,圆。的直径MN|C D,点P在正六边形的边上运动，则 丽.丽 的 最小值为（）FA图 1图 25 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，AOZB、A OBC.OCD,A ODE.A OEF,。必均为边长为4的等边三角形,当点P位于正六边形48CDEF的顶点时，|丽|取最大值4,当点P为正六边形各边的中点时，|而|取最小值,即 国 mm=4s呜=2 后PO2-4&8,12.(JPO+O M)(PO+O N)=(而 +0 M)-(P 0-O M)丽 丽 的 最 小 值 为 8.故选：D.1 0.在A4BC中，2C=4,BC=3,点P是2B的中点，则瓦？.丽=()B.7C-ID.-7【答案】A【解析】在ABC中，点P是AB的中点，所以次+)，瓦？=褊 一 区,所以a-CP=(C A-C B y (C A +CB)=(CA2-CB2)=|(42-32)=1.故选：A11.已知向量丘=(-2,3),b-(6,rri).若2 _ L B，则m=.【答案】4【解析】解：因为五=(2,3),B=(6,m)且五-L 3，所以&b=-2 x 6 +3 x m =0.解得m=4；故答案为：412.已知向量d=(2,3),b=(x,-6).若：茂,则%=.【答案】4【解析】,*Infid=(-2,3),b=(x,-6)a.|b),*(2)x(6)-3x=0,解得x=4.故答案为：4.13.已知向量五，b 满足a+3+下=6，且 同=1，a b=0=120;因为2:=丽，所以点E为AC的中点，则屁/而，又 而=四+而，所 以 而 丽=(而+而)G而+(无)=-AB Z+-AB -B C +-B D -B A+-B D Jc=-x 4 +-x 2 x 2 cos l 2 0+-B D -(B A+B C)=-3 +2 1 2 2 2 2 2 2、JB D B E =-3 +|BD|BF|cos .=3 +V 3 cos ，又 6 0,18 0,所以cos m i n=-1.所 以(而 丽)mi n=-3 -V 3.【答案】一 I#一 0.5 V 3【解析】因为 =a+23 且G -L c,则G -c=a -(a +2f t)=d2+2 a-b=1 +2a -h =0,可得五,3 =一,|c|2=(a +2 b)=必+4 五.3 +4/=1 +4 x (1)+4 =3,故随|=遍.故答案为：-3；V 3.1 6.已知平面向量出3 的夹角为1 20。，且代|=2,间=4,则6 7的值为，代一 t 可(6R)的最小值为.【答案】-4 y/3【解析】因为平面向量方，B 的夹角为1 20。，且|回=2,同=4,所以五 b=|a|b|co s l 20 =2 x 4 x (-J =-4,|d tb=J (a tb)=7 a2 2 td-b+t2b2=V 1 6 t2+8 t +4 =J 16(t+J+3 V 3,所以当t =时，|五一国(t R)的最小值为旧，故答案为：4 ,V 317.A B C 为等边三角形,且边长为2,则荏与正的夹角大小为120。，若|访|=1，G E =E A,则 而 诙 的最小值为.【答案】一 3-百【解析】因为ABC是边长为2的等边三角形，且 方=襦，则E为4C的中点，故BE14C,以点B为坐标原点，B E,瓦?分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系,设点。(cos0,sin0),所以，A D-B E =V3(cos0-V3)-V3-3,当且仅当cos。=一1时，等号成立,因此，而 莉 的 最 小 值 为-代-3.故答案为：-6一3.18.在矩形ABC。中，AB =2,8。=百，点 在 4 3 边上，则向量而在向量而上的投影向量的长度是一一，而 丽 的最大值是.【答案】V3-2【解析】由题意可得|加|COSNPCBI=|Cfi|=V 3，即向量而在向量而上的投影向量的长度是V3;如图，以A 为坐标原点，A8为 x 轴，为 y 轴，建立平面直角坐标系，设P(x,0),(0 W x W 2),则4(0,0),8(2,0),C(2,V5),D(0,V5),故 而=(x-2,-V3),PD=(-X,V 3)，则 而 同=-x2+2 x-3 =(1)2 2，当x=16 0,2时，丽所取最大值为-2 ,故答案为：V3;21 9.已知菱形4 B C C 的边长为1,NB 4 D =6 O,而=4 荏（40）.当4 时，尼 而=;当 加 万？取得最小值时，A=.【答案】2 24 4【解析】当4 =成忖，AP=AB,AC -PD =（AB +B C）f 4 D -A P）=（AB +A D）（AD =A D2-A B2+AB-AD =l-1 +|x 1 x 1,c。3x co s 6 0 =一；4D P=AP-A D =XAB -AD,所 以 而-D P=AAB AAB -而）=XAB2-XAB -AD =AAB -XAB AD co s 6 0 0 =A2-11=（A-/_ 2 所以当4 =:时，AP 而取得最小值，最小值为-白1 O故答案为：:；4 42 0.已知可，可是平面单位向量，旦前孩=0.若平面向量3 满足 久=1，1（可+可）=2,则而=【答案】V2【解析】山题设瓦1 石，则b =m百+n 与，m,n&T-2 -由已知，U”叫+n e e 2=m =l ,可 得 产=；,b （4+e2）=m e1+（m+n）e1-e2+ne2=m 4-n =2所以3 =瓦*+芍，则群=0*+与）2=2，B|J|f o|=V 2-故答案为：/2