数学高考真题卷--浙江理数（含答案解析）.pdf

2 0 1 8年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分1 5 0 分,考试时间1 2 0 分钟.参考公式：若事件46互斥，则PA+扮=P(A)+P 物)若事件4 8 相互独立,则产(力 而=P(A)P5)若事件4 在一次试验中发生的概率是p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率M(A)W()”(h 0,1,2,，n)台体的体积公式吟(S*彳 S)力其中S,S 分别表示台体的上、下底面积，力表示台体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积，力表示柱体的高锥体的体积公式V-Sh3其中S 表示锥体的底面积，力表示锥体的高球的表面积公式S N n#球的体积公式3其中A 表示球的半径选择题部分(共4 0 分)一、选择题:本大题共1 0 小题,每小题4 分，共 4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,已知全集 =1,2,3,4,5,1=1,3,则=A.0 B.1,3C.(2,4,5 D.1,2,3,4,5)2.双曲线-”=1 的焦点坐标是A.(V 2.0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-V 2),(0.V 2)D.(0,-2),(0,2)3.某几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的体积（单位:cm：）是（第3题图）A.2 B.4 C.6 D.84.复数券（i为虚数单位）的共粗复数是A.1+iC.-1+iB.1-iD.-1 -i5.函数y =2飞in 2 x的图象可能是6 .已知平面。，直线加，满足加。，nu a,则“加 是“加 a”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7 .设0。1,随机变量&的分布列是f 0 1 2则当O在（0,1）内增大时，A.（f）减 小B.（f）增大C.（f）先减小后增大 D.D（f）先增大后减小8.已知四棱锥S T 时的底面是正方形，侧棱长均相等,是 线 段 上 的 点（不含端点）.设SE与 a 所成的角为生，跖与平面4 8口所成的角为。二面角S T 比。的平面角为生,则A.，3 B.防C.e2 D.3%9.已知a,b,e 是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为右向量6 满足目-4 e-6 3=0,则|a-目的最小值是A.V 3-1 B.V 3+1C.2 D.2-/31 0.已知 31,&2,a,a 1 成等比数列，且 a+及+。3+a=l n(8+&+&).右 a l,则A.31a a2a”B.aQa为 a2a、iC.Q a2)a：D.鼻)。3,323.1非选择题部分（共 1 1 0 分）二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6 分,单空题每题4 分，共 36分.1 1 .我国古代数学著作 张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五;鸡母一，值钱三;鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为X,K Z,则rx+y+z=1 00,5x +3y +1 z =1 00,当 Z=8 1 时y=_x-y 0,1 2.若 x,y 满足约束条件2%+y 2,1 3.在/8 C 中，角 A,B,。所对的边分别为 a,b,c.若 a=y/7,b,A=6Q ,则 sinB=,c=.1 4 .二项式（正）8 的展开式的常数项是1 5.已知4 W R,函数,当 4 3 时,不等式f j）的解集是.若函U-4 x +3,x ,且a、+a+%期,a+2是 金,a的等差中项.数列满足仇=1,数歹 U (图-4)为 的前项和为2n+n.(I)求 q 的值；(H)求数列 4 的通项公式.21 .(本题满分1 5分)如图，已知点P 是 y 轴左侧(不含y 轴)一 点,抛 物 线 上 存 在 不 同 的 两 点A,8 满足P A,P B的中点均在。上.(I )设 4 3中点为必证明：掰垂直于y 轴；(I I)若尸是半椭圆f片=1(x 4)上的动点，求为8 面积的取值范围.422.(本题满分1 5分)已知函数f(x)RjE T n x.(I )若 f(x)在x=X ,也(为关为)处导数相等,证明：f(x i)+f(x 2)8 _8 1 n 2;(I I)若 a W 3-4 1 n 2,证明：对于任意kX),直线尸A x+a 与曲线片/(x)有 唯 公共点.1.C【考查目标】本题主要考查集合的运算,考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】根据集合的补运算进行解答.【解析】因为为 1,2,3,4,5 ,1=1,3 ,所以=2,4,5 .故选C.2.B【考查目标】本题主要考查双曲线基本量之间的关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴,然后根据基本量之间的关系进行运算.【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为c a?+炉3+1%，所 以 c 之，故焦点坐标为(-2,0),(2,0).故选 B.3.C【考查目标】本题主要考查空间几何体的三视图及棱柱的体积公式,考查考生的空间想象能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】根据三视图还原直观图,进而对几何体的体积进行求解.【解析】由三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何体的体积 入(1+2)X2 X2 =6.故选 C.4.B【考查目标】本题主要考查共辗复数的概念及复数的运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】先对所给的复数进行化简,再求其共轨复数.【解析】因 为 七 号?半 学=1 瓶所以复数三的共轨复数为I f.故选B.1-1(1-1)(1+1)1-12 1-15 .D【考查目标】本题主要考查函数的图象和性质,考查考生分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想,考查的数学核心素养是逻辑推理、直观想象.【解题思路】根据函数的奇偶性及函数的零点进行解答.【解析】设 f(x)-2 s i n 2x,其定义域关于坐标原点对称,又A-x)2”s i n(-2 x)=-f(x),所以y=fx)是奇函数,故排除选项A,B;令 A%)R,所以s i n 2 E),所以2x=k J e z),所以x 胃 J e Z),故排除选项C.故选D.6 .A【考查目标】本题主要考查空间中线面位置关系以及充分条件、必要条件的判断，考查考生的空间想象能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理.【解题思路】根据线面平行的判定定理及性质和充要关系的判断即可求解.【解析】若凉I。，U a,m/n,由线面平行的判定定理知必。.若m/。，M a,u a,不一 定推出m/n,直线卬与可能异面,故w/是“勿。”的充分不必要条件.故选A.7 .D【考查目标】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】先算出(C,再根据方差公式求出D(门的表达式即可.【解析】由题可得E(C 4+p,所以。(C=_j+p+=T p寸+所以当P 在(0,1)内增大时,。(。先增大后24 2 2减小.故选D.8.D【考查目标】本题主要考查异面直线所成的角、线面角、二面角，考查考生的化归与转化能力、空间想象能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理.【解题思路】根据异面直线所成的角、线面角、二面角的定义作出外，火,再根据最小角定理即可求解.【解析】由题意知四棱锥ST四为正四棱锥,如图,连接BD,记ACH BD=O,连接SO,则 SOL平面ABC/),取46的中点M,连 接SM,0以O E,易得ABLSM,则%=N SEO,易 知%.因为O M/BC,BCLAB,归_ 4氏所以外也为(/与平面弘8 所成的角，即 6 c与平面必8 所成的角，再根据最小角定理知，%，所 以 0W 氏，故选D.【知识拓展】最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和平面经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.9.A【考查目标】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】将 6+34 进行转化，再数形结合求解即可.【解析】解法一 设 0 为坐标原点,a石 工 加 用=(x,y),e=(l,0),由 6+3R得Yx+3=0,即(x-2)0/=i,所以点6 的轨迹是以C(2,0)为圆心，1 为半径的圆.因为a 与 e 的夹角为|，所以不妨令点力在射线片乃x(x20)上,如图,数形结合可知/a-A/.in-/C 4/mi-.CB/=73-l.故选A.解法二 由 6 Y e,6+3=0 得戌Y e ,b-f3e=(b-e),(b-3e)=0.设bB,eE,3 e 京,所 以b-eEB,beFB,所 以 丽 FB=O,取以 的中点为C,则 6 在 以，为圆心,EF为直径的圆上,如图.设a 而,作 射 线 物,使 得/加 弓,所 以/a-6/=/(a-2e)+(2e f)/a-2e/-/2e T /=/E?/-，阮/，遮-1.故选A.民,1 0 .B【考查目标】本题主要考查等比数列的通项公式、不等式的放缩，考查考生的逻辑思维能力、化归与转化能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】利用式I n xWxT或放缩后，得出T再结合选项利用作差法即可求解.【解析】解法一 因为I n x W x T (x ),所以国6 2+a+囱=1 1 1(4 依七3)所以&WT,又国乂，所以等比数列的公比 7 1,所以1 n (d 9+次)X),与 I n瓜+及市3)刊+&七 3 +a W 0 矛盾，所以-1 7。所以 产 a(l-/)X),全-产a g(l-/)小,a2ah 故选 B.解法_.因为 e 2x+1,a、+az+a+&=1 n(a +aj,所以6%+。2+。3+。4%出&为 2 a七2也也出，则 aWT,又团乂，所以等比数列的公比Qo.若 qW-1,贝 lj&+改+&3炀 2(1+q)(1 +/)0,与1。(国坛2为)=a+a/a j+a W O 矛盾，所以所以a-全二&(1-，)0,尸 a q(l-/)0,所 以顼)色,备口，故选B.1 1 .8;11【考查目标】本题主要考查二元一次方程组的求解,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解析】因为Z 4 1,所以京 73：-73解 得 二 1 11 2.-2:8【考查目标】本题主要考查简单的线性规划，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算、直观想象.【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2),(1,1),(4,-2)为顶点的三角形及其内部区域(图略).由线性规划的知识可知，目标函数z=x+3 y 在 点 2)处取得最大值，在点(4,-2)处取得最小值,则最小值益“NF=-2,最大值z 侬之4=8.1 3 .”;3【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理,考查考生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.2【解析】因为a f 之 4 0 ,所以由正弦定理得sin 8-加 量 一2.专 由余弦定理於 l +4 b c 3 s A可得 c-2c-3O,所以 c=3.【解后反思】应用正弦定理、余弦定理可以实现三角形中边、角之间的转化.1 4.7【考查目标】本题主要考查二项式定理，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】该 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 为 号.令 子 力,解 得 片2,所以所求常数项为【易错警示】应用二项展开式的通项公式时要注意r的取值情况.15.(1,4);(1,3 U(4,+9)【考查目标】本题主要考查一元二次不等式的求解，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.【解析】若才=2,则当x 2 2时,令*Y 0,得2W x4;当x2吐 令x/x+3。得1 x2.综上可知1 x4,所以不等式f(x)4.【解题反思解一元二次不等式时,要注意函数与方程思想及数形结合思想的应用.16.1 2 6 0【考查目标】本题主要考查排列、组合的知识，考查考生分析问题、解决问题的能力,运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】若取的4个数字不包括0,则可以组成的四位数的个数为熊量A%;若取的4个数字包括0,则可以组成的四位数的个数为髭玛禺Ag.综上,一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为髭髭A：+髭玛禺Ag=7204 40=1 260.易错警示】本题要注意的是若取到0,则0不能放在千位,否则容易错解为髭鬣A：=l 440.1 7.5【考查目标】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力及运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】利用向量共线,实现点的坐标之间的转化,结合点在椭圆上,建立方程,应用二次函数的最值,求得相应的结论.【解析】设履汨，为)，8(超 ，由而=2两 得 手：2%即%=_2旭力=3-2%.因为点4 8在椭圆上,u 一%=4 y 2刃，+(32力)2-m,1 s Q 1所以，得度q以 所 以 以 加 (32、2)2=:必,勺/片厂:(加T V掰W 4,所以当游5时，点5横坐今+羽=犯 标的绝对值最大,最大值为2.1 8 .【考查目标】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式,考查考生分析问题、解决问题的能力,运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】（I）首先利用三角函数的定义求得s i n。，然后利用诱导公式，计 算 s i n （。5）的值；（H）根据s i n 的值，结合同角三角函数的基本关系，计算c o s 的值，要注意该值的正负，然后根据 =（a +）-a,利用两角差的余弦公式,通过分类讨论,求得c o s 的值.【解析】由 角 a的终边过点必得：）得 s i n a =?,所以 s i n （a+n）=s i n。（I I）由角。的终边过点以号 得 c o s ”等由 s i n （）磊得 c o s （。+）=土套由 =（。得 c o s =c o s （。十 万）c o s。长 i n （a+）s i n。，所 以 c o s 二?或 c o s 3 .6 5 6 5【方法总结】求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.1 9 .【考查目标】本题主要考查空间中直线与平面垂直的证明及直线与平面所成的角的正弦值的计算，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】（I）先证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到直线与平面垂直；（n）先利用直线与平面垂直找到直线与平面所成的角的平面角，再结合解三角形的知识,求得直线与平面所成的角的正弦值.【解析】方法一（I ）由 4 8 之 4 N,知 之,仍 仍 4 6 得朋当心力声，所以配（掰，故尻由 BC=2,BB=2,C G=1,得反=瓜由 AB=BCR ZABC=2Q 得 AC=2/3,由 的 得 4 G =g,所以ABl步&=ACl,故8 G.因 此 平 面 4 6 4.（H）如图,过点G作QD LAyB交直线46于点D,连接AD.（第 1 9 题图）由 4 笈，平面4 5 G得平面平面ABB”由 G L4 8 得 G _ L 平面 ABR,所以N GM 是 4 G 与平面/I 班所成的角.由 5 G 二石,4 B、之四,4 G4五得c o s N G 4 笈磊,s i n/C Mb 苓,所 以G D 忐,故 sinN C嘿噜因此,直线4 G 与平面ABR所成的角的正弦值是等.方法二（I ）如图，以/C 的中点。为原点，分别以射线O B,0C为 x,y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.（第 1 9 题图）由题意知各点坐标如下：4(0,6 0),8(1,0,0),4 (0,-V 3,4),R(1,0,2),6；(0,V 3,1).因 此 福=(1,悔 2),硒(=(1,悔-2),硒(=(0,2 V 3,-3).由 福&B；R 得 AALABi.由 福 丽=0得ABxLAyQ.所以4?平面ABQ.（H）设直线4G与平面4期所成的角为8.由（/）可知 宿=（0,2 8,1）,荏二（1,禽,0）,西=（0,0,2）.设平面4%的 法 向 量n=x,y,z）.由 性=0,即:+g=o,可取片（61,0）,In BBi=0,（2z=0,所以sin”/cos语噜因此,直线A G与 平 面 所 成 的 角 的 正 弦 值 是 鲁.【方法总结】空间中线面的平行、垂直问题及空间角问题是高考的高频考点，也是热点问题.线面平行、垂直的判定定理与性质定理是证明平行、垂直问题及空间角问题的重要工具;利用题中所给的垂直、平行，通过添加辅助线的方式,找到直线、平面之间所成的角，利用解三角形的方法求得所求角的大小或相关三角函数值,是需要掌握的方法,这体现了对空间想象能力的掌握与应用.本题也可以通过建立空间直角坐标系，用向量法求解.20.【考查目标】本题主要考查等差数列的性质，等比数列的通项公式及错位相减法,考查考生分析问题、解决问题的能力，考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.解题思路】（I）根据条件列方程,通过解方程,求得等比数列的公比；（II）设cK b e-/a,首先根据条件求出 4 的通项公式,再利用累加的方式,结合错位相减法,求得所求数列的通项公式.【解析】（I）由a+2是53,a的等差中项得当七53&1也，所以a+a七5%41刊之8,解得a=8.由 曲七530得8（。二）之0,解 得 或因为1,所以 2,解 得d由（I）可 知*2弋所以 b-b=（4 n-l）（?匕故 节),(，；庐 2,b-b=b-b-)+(&,-i-b-2)*+(&-庆)+(左抬)=(4 节)(|),r f+(4 p-9)g)-3+“+7 .1+3.设 0=3+7 弓+1 1 (|)“+(4-5)(匕.2,T ,|7 (|)2-,+(4/7-9)g)+(4-5)所以勿考也刊.(3 2 A.抬.(i),-(4/?-5)(|),因 此。=1 4-(4 3)严，后 2,又打=1,所以 4=1 5-(4+3)(7【方法总结】等差数列、等比数列是高考考查的重要内容，将等差数列与等比数列结合起来综合考查数列求和问题,常用的求和方法有:错位相减法与裂项相消法.2 1.【考查目标】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学抽象、数学运算.【解题思路】(I )设出4 8的坐标及点P的坐标,利用必，心的中点在抛物线上建立方程,利用根与系数的关系求得点A,B,。的纵坐标之间的关系，由此证明结论成立；(H)先根据根与系数的关系,求得/丹,再表示出阳6的面积,最后结合点P在椭圆上,并利用二次函数在给定区间的值域,求得三角形面积的取值范围.【解析】(I)设尸(施，无，珀，6(；羽，.因为P A,阳的中点在抛物线上,所以切,姓为方程(与1M 阻 产即8 照 的 两 个 不 同 的 实 根.所以 yi=2yot因此,己犷垂直于y 轴.(H)由 可 知 卜+丫 2；2 y所以|/4(*-xa-yl-3 加，o4归=2 j2(%-4 x0).因 此 的 面 积 S 用 川掰 1 -%|=邛(m刘”因为就哼=1 (x0 (2 5 6)=8 8 1 n 2,即 fx)8-8 I n 2.（n）令必 叱 =（华），i,则k/(/)-km-a Ia j -f-k-k-aQ,/(/?)k n a n-A)刀(回警-)0,y n n y n所以,存在 X o (勿,)使/(A b)=kxo+a,所以,对于任意的aR及ke(0,+8),直线y=A x+a与曲线y=F(x)有公共点.由/(x)=4 x+a得A也”2设加x)也 吆,则为(X)-+Q =g(%)-i+Q其中 g(x)#T n x.由(I)可知 g(x)2 g(1 6),又 M3 n 2,故-g(x)-1 +a4-g(1 6)T+a=-3 M l n 2 +a 0,所以/(x)W 0,即函数M x)在(0,+8)上单调递减，因此方程/(力-履七旬至多1个实根.综上，当a W 3/l n 2时,对于任意Q 0,直线y=kx+a与曲线y=fx)有唯一公共点.