初升高数学衔接含答案.pdf

2 02 1初高衔接-数学目录初 升 高 数 学 衔 接 班（上：初 中 部 分）第1讲：数与式的运算 3页第2讲：因式分解 u页第3讲：一元二次方程根与系数的父系、二次函数的最值问题、简单的二元二次方程组 19页第4讲：不等式 36页第5讲：分式方程和无理方程的解法 43页初 升 高 数 学 衔 接 班（下：高 中 部 分）第6讲：第1章集合的含义及其表示 49页第7讲：第1章子集 55页第8讲：第1章全集 补集 60页第9-10讲：第1章交集 并 集（1/2）65页第11-14讲：第2章函数的概念和图像（1/2/3/4）75页第15-16讲：第2章函数的表示方法（1/2）97页第17-18讲：第2章函数的单调性（1/2）109页第19-20讲：第2章函数的奇偶性（1/2）121页第21讲：第3章分数指数鬲 135页第1页 共193页第22-24讲：第3章指数函数(11213)第25-26讲：第3章 对 数(1/2)第27-29讲：第3章对数函数(1/2/3)143页159页173页初升高数学衔接班(上)第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数硬式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式)、分式、根式.它们具有实数的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容.-乘法公式【公式1】(+c)2=。2+c，+2 ab+2 bc+2 ca证明：,(+。+c)2=(a+力+c2=(a +2(a+b)c+c2=a 2+2 a b 4-Z 72+lac+2 bc+c26 z2+/?2+c2+2 ab+2 bc+2 ca.等式成立【例1】计算：(x2-V +i)23解：原式=x 2+(_g)+23=(x2)2+(-0 x)2 +(5 2+2x 2(_、2)x +2/xl+2 X，X (、2x)3 3 3A.=%4 2 j 2x +_ X 2 42 x +一13 3 9说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降累或升暴排列.【公式2】(。+。)(。2-a b +b2)=a3+(立方和公式证明：(a +b)(a 2-a b +b2)-a2b +a b2+a2b-a h2+b3 a3+b3说明:请同学用文字语言表述 公 式2.第2页 共1 9 3页 例 2计算：(。一 b)(a 2+2)解：原式=a +(-/?)a a(-b)+(-Z?)2-cf+(-by-cf-If我们得到：【公式3仅 一份(a 2+曲+b?)=a3-b3(立方差公式请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公 式1、2、3均称为乘法公式.【例3】计算：(1)(4 +m)(1 6 -4 m +m2)IC2)5 )/+%+2)2 25 1 0 4(3)(a +2)(-2)(a4+4 a2+1 6)(4)(J C 2+2x y+-2)(x2-x y+y 2)2解：(1)原式=43+zn3=6 4 +zn3(2)原式=(1 加/一()3 =，_ 加3 一15 2 1 25 8(3)原式=(a 2-4)(a 4+2+42)=(0,/?0)【例6】化简下列各式：(1)工 2 +J(C(2)a|(4)yja(a 0,方 0)(2)J(1-x)2+J(2-x)2(X 2 1)解：(1)原式=1 犷2|+|3，1|=2-3 淄-(2)原式二|x-11 +|x -2|=x -1)+(x -2)=2x -3(%2)-l)-(x-2)=1 (1 x x VV 2 x 2说明：（1）二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被第4页 共193页开方数不含能开得尽方的因数或因式.二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式.化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如)或被开方X数有分母(如、口).这时可将其化为半形式(如、住 可 化 为 因)，转 化 为“分母中有根式“V 2 yjb 2的情况.化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如 二 化 为 一毛 心 其中2+6与2-W叫做互为有理化因式).2+旷 (2疝(2-万【例8】计算：(1)+yb+1)(1-yfa+V P解：(1)原式=(1+yb)2-(ya)2-(a+2yah+力)=-2a-2yah+2yb+1(2)原式=4ayTa4Cl-iF)1 1ya-ya+ij(a yjb)J 2 d(G-b/Ca b)J a-b说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.【例9】设工=_芈，求V +v的值.2-力 2+6解：-=2+d=(2 +次=7+4 6),=7 =x +y=1 4,x y=l2-j3 22-3原式=(x+y)(x2-x y+y2)=(x+y)(x+y)2-3xy=14(142-3)=2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量.三 分式A A当分式f的分子、分母中至少有一个是分式时，f就叫做繁分式，繁分式的化简常用B B以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质.【例10】化 简 一 X-X第5 页 共 193页解法一:解法一:X _ X _ X原式二-1-(4-X-X+X+-X-X2-1 (x+l)(x-l)X+X原式=犬 =X 二 X(1 -X)X x(l-x)r _ xx x(x+1)x+1 X+X-X-Ai x+1x(x+1)_ x+1X2+X-X x说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手,A A xm法二则是利用分式的基本性质一二进行化简.B B xm采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解一般根据题目特点综合使用两种方法.【例11】化简4+3+9 6x x-lx2-27 9 x-x2 6+2x解：原式=x2+3x+9+6x _ x-_ 1 _ 6 _ x-1(x 3)(f+3工 +9)%(9-x2)2(3+x)x-3 (x+3)(x-3)2(x-3)2(x+3)12 (x 1 )(x 3)(x 3/3 x2(x+3)(x-3)2(x+3)(x-3)-2(x+3)说明：（1）分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；（2）分式的计算结果应是最简分式或整式.A 组1.二次根式J户=-。成立的条件是（）A,0 B.cz 0 C.a 0数2.若x =2(x +y +2 z)(x+y-2 z)说 明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.三 十字相乘法1 -X2+(p+q)x+p q型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.x2+(p+q)x+pq-x1+px+qx+pq-x(x+p)+q(x+p)-(x+p)x+q)因此，x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x +q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.【例7】把下列各式因式分解：(1)x2-lx+6 0 x2+1 3 x +3 6解:(1)v 6 =(1)x(6),(1)+(6)=-7:.X2-7X+6=X+(-1)1X+(-6)=(x-l)(x-6).(2)/3 6 =4 x 9,4 +9=1 3第11页 共193页二.x2+1 3 x +3 6 =(x +4)(x +9)说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同.【例8】把下列各式因式分解：(1)x2+5 x -2 4 (2)X2-2 x-1 5解:(1)V -2 4 =(-3)x 8,(-3)+8 =5x2+5x-2 4=x+(-3)(x +8)=(x-3)(x+8)(2)/-1 5 =(-5)x 3,(-5)+3 =-2x2-2 x-1 5 =x +(-5)(x +3)=(x -5)(x +3)说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.【例9】把下列各式因式分解：(1)x2+xy-6(2)(x2+x)2-8(x2+x)+1 2分 析：(1)把f+孙 一6寸 看 成x的二次三项式，这时常数项是-6 y2,一次项系数是y,把一6 V分解成3 y与一2 y的积，而3 y+(2 y)=y,正好是一次项系数.(2)由换元思想，只要把f+x整体看作一个字母a ,可不必写出，只当作分解二次三项式屋一8。+1 2 .解：(1)x2+x y-6 y2x2+yx-62(x+3 y)(x-2 y)(2)(x2+x)2 -8(f +x)+1 2 =(x2+x-6)(f +x-2)=(x+3)(x-2)(x+2)(x-1)2 一般二次三项式以2+b x +c型的因式分解大家知道，(a x+c)(a x +c)=a a x 2 +(“c +a c)x +c c .I 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2反过来，就得至 i j：a a x2-(a c+ac)x-cc=(a x+c)(ax-c)1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2我们发现，二次项系数。分 解 成。得2，常 数 项C分解成%2，把 见，W，G，写成第12页 共193页q XC,.这里按斜线交叉相乘，再相加，就得至U a c +a c,如果它正好等于a?+bx+c42 c 21 2 21的一次项系数匕，那么a?+c就可以分解成(q x+F)(q x+q),其中a 位于上一行，生，。2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.(2)5/+6孙-8、23-24X1、l x 9【例10】把下列各式因式分解：(1)1 2A2 5 x-2解：(1)1 2/-5 x-2=(3x 2)(4x+l)(2)5x2+6xy-8 y2=(x+2y)(5 x-说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑，看是否符合一次项系数，否则用加法 凑，先 凑 绝对值，然后调整，添加正、负号.四 其它因式分解的方法1 配方法【例11】分解因式f+6 x 16解:x2+6 x-16 =f+2 x x x 3+3?-3?-16 =(x+3)2-5?=(x+3+5)(x+3 5)=(x+8)(x-2)说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.2拆 添项法【例12分解因式3 39 +4分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行.细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0 了，可考虑通过添项或拆项解决.解:x3-3X2+4=(x3+1)-(3X2-3)=(x+1 )(f -x+1)-3(x+l)(x-1)=(x+1 )(f x+1)-3(x-1)第13页 共193页=(x+1 )(f 4x+4)=(x+l)(x 2)2说 明：本解法把原常数4拆 成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将-拆成了一4产，将多项式分成两组(尤3+/)和_4 f+4.一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.1.把下列各式分解因式：(1)苏+271,1,(4)-j r 8 6 42.把下列各式分解因式：(1)x/+/(3)cr(m +n)3 CTIT3.把下列各式分解因式：(2)8 -加(3)-27X3+8(5)8 x3 V _ 1(6)(6)L c312521627(2)/_置.(4)y1(x2-2%)3+y2(1)X2-3 x +2 X2+37X+36(3)x2+1 lx-26(4)x2-6 x-27(5)m2-4 m n -5rr(6)(孙+x)B 组1 .把下列各式分解因式：(1)ah(c2-d2)+cd(a2-b2)(2)x2-4 mx+Smn-4/i2(3)x4+6 4(4)x3-1 l x2+3 l x -2 1 (5)A3-Axy2-2。y +8 y322已知a+b =2 ,求 代 数 式+2/+a/?2的值.33证明：当n为大于2的整数时，J5-5/+4能 被1 2 0整除.4.已知 a +/?+c =0,求证：a3+crc+b2c-abc+b3-0 .第二讲因式分解答案A组1.(a+3)(屋 一3a +9),(2 -m)(4+2 m+nr),(2 -3x)(4+6 x +9x2),1 2-一 (2/?+0,A原方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可化为：4y 2 1 2 y+9=0.=(1 2)2-4 x 4 x 9=0,.原方程有两个相等的实数根.(3)原方程可化为：5/6 x+1 5=0v A =(_ 6)2-4 x 5 x 1 5=-2 6 4 0,原方程没有实数根.说 明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.【例 2】已知关于x的 一 元 二 次 方 程-2%+左=0,根据下列条件，分别求出女的范围：(1)方程有两个不相等的实数根;(3)方程有实数根；(2)方程有两个相等的实数根(4)方程无实数根.解：=(-2)2-4x 3x 1 =4-1 2%(1)14一 1 2 Z0=Z(一；314 一=；3(4)【例 3】4-=0 n4 =I34 12k 0 k 0.【例4】若 再，为是方程上+型一 2 007 =0的两个根，试求下列各式的值：(1)x2+x2；(2)_ L+!_ ；X x2(3)(x-5)；(4)|x 町分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算.这里，可以利用韦达定理来解答.解：由题意，根据根与系数的关系得：X,+X2=-2,X,X2=-2007(1)x2+x2=(x+x)2-2 xx=(-2)2-2(-2007)=40181 2 I 2 1 2(2)_ L+1_ =Xi +巧一 -2=2三 九2 一九两-2007-2007(3)(占一 5)(尤2-5)=/%-5(.+%)+25=-2007-5(-2)+25=-1972(4)-向 一 疗 =必+门2 _ 4-2 =2)2-4(-2007)=2V 2008说 明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：X 2+X 2=(X+X)2-2x X J_4_ 1_=2，(X-X)2=(X+X)2-4x X,I 2 1 2 1 2 1 2 1 2 I 2X X2 XyXyx-x=/,r2_4 r r-，x x2+x2x =xx(x+x),1 2A i,6+人 A 2 1 2 1 2 1 2 1 2X3+X3=(x +X)3-3X X(X+龙)等等.韦达定理体现了整体思想.I 2 1 2 1 2 1 2【例5】已知关于X的方程/伏+l)x+LZ2+1 =0,根据下列条件，分别求出k的4值.(!)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根n,满足I X=9 .分 析：(1)由韦达定理即可求之：(2)有两种可能，一是再=0，二是-七=，所以要分类讨论.第19页 共193页解：(1).方程两实根的积为5 =-(%+1)2-42+)之0 3，4 I,=k ,k=4L x =；/+i=5 2I 1 2 4所以，当Z=4时，方程两实根的积为5.(2)由|修|=九2得知：3 当 天2 0时，匹=巧，所以方程有两相等实数根，故 =0 nZ=,；当 天 0 n女:，故=1不合题意，舍去.23综上可得，%时，方程的两实根%,%2满足I 2|=.说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足A 2 0.【例6】已 知 修，工2是一元二次方程4q-4日+k+1 =0的两个实数根.30是否存在实数女，使(2七一)(七一 2%)=,成立？若存在，求出女的值；若不存在，请您说明理由.0求使3 +2-2的值为整数的实数女的整数值.x2 X3解：假设存在实数3 使(2%,-巧)区 2)=一5成立.V 一元二次方程4日2 一 4日+%+1 =0的两个实数根4於0.=k 0 ,=(-4Z)2-4-4Z(Z+1)=-16ZN 0又 当，是一元二次方程4%-4 k x+k+1 =0的两个实数根.卜 1 +X2=1x x _k+1 2 7 F(2 x-x)(x-2 x)=2(x 2+X2)-5X X=2(X+X)2-9X X1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12k+9 3 j 9-八=_ _ =k=_,但%0.4左 2 5第20页 共193页3不存在实数k,使QM ZXM 2）=一；成立.x.X.%.2+x2（%.+x,）2 4Z 4；_ +_ 2 _ -2=1 2 _ 2=、2,_4=4=-x2 x,%x2 X）X2%+1 攵 +1要使其值是整数，只 需k+1能 被4整除，故k+1 =1,2,4,注 意 到 上2 B.攵 2,且Z H l C.k 2,且出 H l2若x ,x是方程2*2 -6x +3=0的两个根，则+1的值为（）I 2一X x21 9A.2 B.2 C.D.2 23已知菱形AB CD的边长为5,两条对角线交于O点，且O A、O B的长分别是关于x的方程 x2+（2 m-1 ）x +in2+3=0 的根，则，等于（）B.5C.5 且 3D.-5 且 34若r是一元二次方程。2+法+。=0 9/0）的根，则判别式 =4&C和完全平方式 加=（2帆+。）2的关系是（）A.A =M B.A M C.0 (2)/?j31 4.(1 X _ Q)k=22A 组5.A9.p-1,q=-31 1.正确 1 2.4_ 12B 组1 31.(1/一 且t w l 0不存在1 22.加=1 (1)当=3时，方 程 为3 x+1 =0 ,有实根；(2)当女声3时，()也有实根.33.(1)1 ；(2)k=7.4二次函数的最值问题二次函数y=ax2+bx+c(a0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基第23页 共193页础.在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况（当a 0时,函数在x =2 处取得最小值4 一 层，无最大值；当。0时，函数在x =处取得2a 4a 2a/最大值，无最小值.4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量X在某个范围内取值时，函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.【例1】当2 3=5.1 W 2 时，的最大值和最数 的 图 象.当 /x =2 时，由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量X的范围的图象形状各异.下面给出一些常见情况：可以看出：当x=l时，ym in=-1,无最大值.所以，当x N O时，函数的取值范围是y 2 1 .第2 4页 共193页【例4】当，尤 1时：当x =r时，为m=；r2 得；0当对称轴在所给范围之间.即f +1 =时：1 5当 X =1 时，y =_ X 12_ 1 -_=-3；m i n 2 20当对称轴在所给范围右侧.即r +1 I n f 0时：当 X=f +1 时，W in =；+1)2一。+产 _3.综上所述：y =3,04，11 2 -1 2 2在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满 足 一 次 函 数162-3x,30 x 54.(!)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；0若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x -30)元，那 么 z件的销售利润为y =m(x-30),又m=162-3x .y=(x-30)(162-3 x)=-3?+2 52 x-4860,30 x 540由(1)知对称轴为x =42,位于x的范围内，另抛物线开口向下当尤=42 时，=3 x 422+252x 42 4860=432当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元.第25页 共193页A组1.抛物线y =N-(加-4)X+2?-3,当机=时，图象的顶点在y轴上；当，=时，图象的顶点在x轴上；当机=时，图象过原点.2 .用一长度为/米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为3.求下列二次函数的最值：(1)y-2 x2-4x +5；(2)y =(1-x)(x+2).4.求二次函数y =2/-3光+5在-2 4 x 4 2上的最大值和最小值，并求对应的x的值.5.对于函数y =2 r+4x-3,当x =/+2 +2在 5 Kx0,当-1尤 1时，函数y =-%2-公+1的最小值是一4,最大值是。求。力的值.4已知函数y =+2 ax+1在一1 x 3=1 95.y-56 当 x=|时，Wn=3-W 当 =鼻 1 时，1ax=3.。o 357 当/=_ 彳 时,ymin =0.B组1.(1)当 兀=1 时，in =1；当 X=-5 时，y1 1 1 ax =37.0 当 aNO 时，ymix=27+10。；当。0 时，ymix=27-10a.2.-2 m 0时，、皿=2+2,，此时 x=-l.简单的二元二次方程组在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组.高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法.因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组.-由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解.其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解.2x-y=0【例1】解方程组x2-y2+3=0分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1),得y=2 x,代入方程(2)消去解：由(1)得：y=2x(3)第2 7页 共193页将(3)代入(2)得：/(2 x)2+3 =0,解得：*=1且=_11 2把x=1代入(3)得：=2；把x=-l代入得：%=-2.f xi =1 且 f xi =-1.原方程组的解是：=2 3 y =_ 2 .r 1 1 I说 明：(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：由二元一次方程变形为用X表 示y的方程，或 用y表 示X的方程(3)；把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；解消元后得到的一元二次方程；把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3),求相应的未知数的值；写出答案.0消x,还是消y,应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如 方 程x-2y+l=0,可以消去x,变形得x=2 y 1 ,再代入消元.0消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记.【例2】解方程组x+y=孙=2 8(1)Q)分 析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可 以 把x、y看成是方 程z2-l l z+2 8 =0的两根，则更容易求解.解:根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看成是方程z2-l l z+2 8 =0的两根，解方程得：2 =4或2=7.f xi =4且x=7.原方程组的解是：，=7 y=4 .I 1f x+y=a说 明：(1)对于这种对称性的方程组-，利用一元二次方程的根与系数的关系xy-b构造方程时，未知数要换成异于x、y的字母，如z.第2 8页 共193页f x=4 x 1(2)对称形方程组的解也应是对称的，即有解 2 =4 3分析：注意到方程2-y2=5(x+y),可分解成(x+y)(x y 5)=0,艮I W尤+y=0或x-y-5 =0,则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程.解：由得：x2-y2-5(x+y)=0 =(x+y)(x-y)-5(x+y)=0 n(x+y)(x-y-5)=0 x+y=0 或 x-y-5 =0f x-y-5 =0 f x+y=0原方程组可化为两个方程组：,或,V+砂+V=4 3 忙+盯+V=4 3用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：年=-1 x2=卜3 =屈=一 屈y=_6y=l，(%-3 y)(x+y)=0/.x-3 y=0 或工+y=0f x-3 y=0 x+y=0 原方程组可化为两个二元一次方程组：2 )，。孙+=4 盯+,2 =4第2 9页 共1 9 3页用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：,P=1 1%=T说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程.此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组.x2+y2=2 6 (1)【例5】解方程组町=5 (2)分 析：(1)+(2)x 2得：(x +y =3 6 ，-(2)x 2得：(x y)2=1 6 (4),分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组.解:(1)+x 2 得：/+2 +2肛=3 6 =(x +y)2 =3 6 nx+y =6或x +y =6 ,(1)-x 2 得：f+V-2 xy=1 6 n(x-=1 6 nx-y =4或x-y-4 .解此四个方程组，得原方程组的解是：卜=5 卜2 =1 ,3=-1 (工4 =-5I/一】%=5 =-5%=-1f%2 +y 2 =a (x2 +y2 =a说 明：对称型方程组，如 1 都可以通过变形转化为 +y=b xy=bx+y=m 的形式，通过构造一元二次方程求解.xy=n2.可消二次项型的方程组【例6】解方程组xy+%=3+y =8分 析：注意到两个方程都有孙项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.解：(1)x 3 (2)得：3 x-y =ln y =3 x 1 (3)代入(1)得：x(3 x-1)+x =3 =3 x2=3 =x =lx=-1 .i 2分别代入得：%=2或%=4.原方程组的解是:第3 0页 共193页说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解.二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决.1.解下列方程组：(x+y2-6x+y-1 ,2 X2+3 xy+y2=52.解下列方程组：f x +y =-3 L 、杪=2f x2+2 /=8 k +y =2,一2y=0(4).3厂+2 xy=1 0f x +y =1第31页 共193页3.解下列方程组:f x(2 x -3)=0勺J 1p =f-1f(3 x +4 y -3)(3 x +4 y +3)=00(3)(x -y +2)(%+y)=0 x2+j2=84,解下列方程组：%2+,2=3 I ,%2-/=01.解下列方程组：f x +2 y =3(1 9 -2y+3x-2=0(x +y)(x +y 1)=0(4)7 2=8 *+9=4L o “0 1+,2 =4 2 x y =-2 1f x +y =4(2)3尸=1 0简单的二元二次方程组答案A组4.解下列方程组:f x2+J2=5W=一2第3 2页 共1 9 3页1.(1)x=-3,=2,-Vi 3 172=22.卜三二l-=-2,(2-3/=-2I i 2%=T y=-2%=33 X=3 (JM =0 j 2;，尸3y 二 一 卜 5上=,L=Tf=i f=i卜4 =2 (4)2=/7,3-2 料=卜y=-2 J =0 1 1 ,1 I V=0I 4 1 1 I y-l y=I 2 2 I 3 24.(1)X17-2-Iy1J 6 121%与|号=-404=-4 fx =4即j j y =32 3 2 I 4 2,(2)1 51 2 23.0 fx=0i 口=2戒=-24.什2,什T-=la=一2,产/产=3I 必=-1 I%=2 必=-2 以=1 匕 3%=1第33页 共193页第 四 讲 不 等 式初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法.高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识.本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识.-元二次不等式及其解法1.形如o r2+/?x +cO（且 0.分析：不等式左边可以因式分解，根 据“符号法则正正（负负）得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组.解：原不等式可以化为：a+3）a2）o,第3 4页 共193页于是：+3 0=(x v-3且 中一32 0 x 2=x 2l l l l所以，原不等式的解是x 0(且 0)的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法.【例2】解下列不等式：(1)(x+2)(%-3)(x-2)(2%+1)分 析：要先将不等式化为a?+法+c0(且 0)的形式，通常使二次项系数为正解：(1)原不等式可化为：x2-%-120,即(x+3)(x 4)0且 fx+30 x-4 0 0 0=一3 x 4所以原不等式的解是3 x 0 x(x-4)0所以原不等式的解是尤 4.2.一元二次不等式aP+bx+c 0(且 0)与二次函数y=ax1+bx+c(a w 0)及一元二次方程ax2+bx+c=0的关系(简称：三个二次).以二次函数丁=/+苫-6为例：(1)作出图象；.(2)根 据 图 象 容 易 看 到，图 象 与x轴 的交点是“(3,0),(2,0),即 当x=3且2时，y=0.就是说对应的、/一元二次方程+x 6=0的两实根是x=3且2.I /、(3)当x 2时，y 0,对应图像位于x轴的上 方.就 是 说f +x 60的解是x 3且x2.当一3 x 2时，y 0,对应图像位于x轴的下方.就是说f +x 6 0的解第3 5页 共193页是-3 x 0来判断）.那么（图 1）：or2+公+c0 （“0）=x x 2a r2+/?x+c 0）=x、x （a ）=x H2 aax2+bx+c 0）o 无解如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根（也可由根的判别式A 0 来判断）.那么加+/?尤+（:0（。0）=取一切实数（图 3）：,“a x2+f e e +c 0）=无解如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：（1）化二次项系数为正；（2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根%,看 那么“0”型的解为x /（俗称两根之外）；“0 ”型的解为再%/（俗称两根之间）：b,4 a c-b2 2（3）否则，对二次三项式进行配方，变 成 加+b x+c=a（x+2+第3 6页 共193页,结合第3 7页 共193页完全平方式为非负数的性质求解.【例3】解下列不等式：(1)X2-2X-8 0(2)f-4 x +4 4 0 (3)-%+2 0解：(1)不等式可化为(x+2)(x-4)0 ，不等式的解是一2 x 4(2)不等式可化为(九一 2)2 4 0 ，不等式的解是尤=2(3)不等式可化为(xL)2+：Q,心 o ao(-2?-4 A:2 以 一1 0=廉 =%1【例5】已知关于x的不等式kx1-k +l)x 30的解为1 k 0-1+3=n k说 明：本例也可以根据方程有两根一1和3 ,用代入法得：k(一1)2-(%2+1)(-1)-3 =0,J t-32-3(A:2+1)-3 =0 ,且注意 k 0 ,从而左=1.二 简单分式不等式的解法【例6】解下列不等式：2九一3 八 C x+3、八(1)-0 x+1 d-尤+1分 析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运 用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解.(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数.解：解法(一)原不等式可化为：-3 0 “；F3=-1 X0 x+l 1 x 1第38页 共193页解法(二)3原不等式可化为：Q x 3)(x+l)0 =1 x 0=x -31【例7】解不等式高/4 3解:原 不 等 式 可 绘 _$一小二心小)。.2且 5%+2x +2x +2L +2。03说 明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0.(2)本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号:f x +2 0 f x +2 且 1 3(x +2)2 x x -J i x x 方(a w O)的形式.(1)当。0时，不等式的解为：x 2；a0当a0时，不等式的解为：x 2 ntx+根的解.解：原不等式可化为：z(?-2)x m-21(1)当z-20且？2时，a 1,不等式的解为尤一；m(2)当加一2 0且机 2时，m x 1.0 相 2时，不等式的解为x 1；加 ；m 胴=0时，不等式的解为全体实数.(3)当m一2 =0且 机=2时，不等式无解.第3 9页 共193页综上所述：当 加 2时，不 等 式 的 解 为 当 加 2时，不等式的解为 x+2的解为,求 实 数 人的值.2b分析：将不等式整理成a x b的形式，可以考虑只有当。0时，才有形如元 的解,ab 1从而令_ =a 2解：原不等式可化为：(k l)x A 2 +2 .-1 0 k 1 3 =k=_ j.1.解下列不等式：(1)+x 0 x 12 ,一 Tx f 3 x 1 8 3(x -3)(4)3 x+1_ 0第40页 共193页3 .解下列不等式：1 ,1 1、八(I)x1-lx 2 x2+2(2)-厂 _ _ x +_ N O2 3 54已 知 不 等 式 一 以+人 0的解是2c光1-机.6已知关于无的不等式依 2 ZW Z+2 X的解是X N 1,求人的值.7已知不等式2尤2 +p x +q 0的解是一2 x 1,求不等式pf+好+20的解.B 组1已知关于尤的不等式IT2-X +机 1 +口 的 解 是X 3 ,求z的值.k k13解关于X的不等式56r+o x 0的 解 是 x 0,求 不 等 式e x2+bx+a 0 的解.第四讲不等式答案A组11.(1)-x 0(2)-3 x 6 (3)%=-1 (4)x。-32 1 12.(l)x (2)x 4且%3 (3)x 0 (4)%2 23.(1)无 解(2)全体实数4.。=5,b =6 .I