正多边形与圆-2022年新九年级数学暑假课（苏科版）（解析版).pdf

第0 8讲正多边形与圆【学 习 目 标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【基础知识】正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（是大于2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.（2）正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.W【考点剖析】正多边形和圆（共12小题）1.（2022春海珠区校级月考）中心角为4 5 的正边形的边数等于（）A.12 B.10 C.8 D.6【分析】根据正多边形的中心角=幽，计算即可.n【解答】解：由题意得，陋=45,n解得=8,故选：C.【点评】本题考查正多边形与圆，解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算.2.（2021秋滨江区期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72,则该正多边形的边数是（）A.4B.5C.6D.7【分析】根据正多边形的中心角=随 计 算 即可.n【解答】解：设正多边形的边数为.360由题意可得：=72,n=5,故 选:B.【点评】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=幽.3.（2021秋南开区期末）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，O O 的半径是R，它的外切正六边形的边 长 为（）2回 r-A.-B.y/3R C.2y/3R D.6R【分析】求出NAOD=30。，然后解直角三角形求出A,再根据边长48=24。计算即可得解.【解答】解：如图，乙4。=360+12=30,所以，A D=W tan30=所以，外切六边形的边长48=2 4。=孕 兄故 选:A.【点评】本题考查了正多边形和圆，主要利用了解直角三角形，熟记正多边形的性质并求出切点与相邻的顶点所对的圆心角的度数是解题的关键.4.（2021秋咸宁月考）如图，正五边形ABCDE,连接对角线AC,B D,设 AC与 8。相交于O.（1）求证：A O=C D(2)判断四边形AOZ)E的形状，并说明理由.【分析】(1)根据正五边形的性质可知A B=B C=C D=D E=A E,Z A B C=Z B A E=108,AEB O,所以NABO=72,Z B A O=x(180-108)=36,因此/A O 8=180-72-36=72=N A B O,推出 A8=A。，贝ij CD=AO；(2)根据圆周角定理求出N8DE、N E的度数，进而证明。FAE；证明AE=D E,即可解决问题.【解答】解：(1)五边形4 3 co E是正五边形，：.A B=B C=C D=D E=A Ef Z A B C=ZBAE=m ,AE/BD,：.ZABO=12 ,Z B A O=x(180 7 08 )=36,NAO8=180-72-36=72=Z A B O,：.AB=AO,：.C D=A O；(2)四边形4ODE是菱形；理由如下：正五边形A B C D E内接于OO,1 7 1 RAZBD E=iX p =72,Z =i xx360=108，2 5 2 5；N B D E+N E=180 ,DO/AE；同理可证：AO/DE,ifu AE=DE,四边形AODE是菱形.【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是：深入分析、大胆猜测、合情推理、科学论证.5.(2020秋河东区校级月考)如果圆的内接正六边形的边长为6cm,求其外接圆的半径.【分析】根据题意画出图形，求出中心角的度数，再根据等边三角形的性质即可解答.【解答】解：六边形A8C O M是正六边形，CD=6cm,360/.Z C O D=60,o,:O C=O D,.OCQ是等边三角形，0C=C D Gcrn,其外接圆的半径为6c，.【点评】本题考查的是正多边形的性质，根据题意画出图形求出中心角是解答此题的关键.6.（2022春浦东新区校级期中）已知一个正多边形的中心角为45,则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是（）A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根据中心角的度数可求出圆内接正多边形的边数，再根据等腰三角形的定义和正八边形的性质进行判断即可.【解答】解：由于一个正多边形的中心角为45,所以这个正多边形的边数 为36丝0=8,45如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有A8C,ACF,ZXACG 共 3 个，故选：C.【点评】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的判定，掌握正多边形与圆的相关计算以及等腰三角形的判定是正确解答的前提.7.（2022春思明区校级月考）如图，六边形A8C0EF是正六边形，点 P 是边A尸的中点,PC,分别与BE交于点M,N,则SA P M N：SA P B M的 值 为（)【分析】设正六边形的边长为a.想办法求出 P B M 的面积即可.【解 答】解：设正六边形的边长为a.则S&PCD=2X号/=等,S四 边 形 B C D E=3 x2由题意MN 是P C。的中位线,SPMN=5四边形MNOC=等 等二等,.C _ C 1（3用 2 3国 2、3 7 3 2 S/BMC-S、DNE=K（-a）=AN 4 o lu:P M=C M,:&P B M=S&B M C=2，.J3?3 /3 T:SAPMN：SPBM=：c r=2：3,故选：D.【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.8.（2 0 2 2 春福州期中）如图，在正五边形A 8 C D E 中，连结AC,以点4为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点凡 连接OF.则/即 C的度数是 3 6 .D【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108。，根据等腰三角形的性质可求出/E 4C=N O C 4=72,进 而 可 得 四 边 形 尸 是 平 行 四 边 形，求出NO尸C的度数,再根据三角形的内角和定理求出答案即可.【解答】解：正五边形A8COE,A ZABC ZEAB=（5-21 8 0=108,AB=BC=CD=DE=AE,5,Z/A A CrnB=Z/.BDAArC,=-1-8-0-1-0-8-=36 o,：.ZEAC=ZDCA=0S0-36=72,NDE4+/E4c=108+72=180,：.DE/AC,：DE=AE=AF,.四边形AED尸是平行四边形，J.AE/DF,：.ZD FC=ZEAC=12=NO C4,A Z F D C=180-72-72=36,故答案为：3 6 .【点评】本题考查正多边形与圆，掌握正五边形的性质以及三角形的内角和定理是正确解答的前提.9.（2022春浦东新区校级期中）如图，由六块相同的含3 0 角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，如果该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形 的 面 积 是 平方分米.【分析】求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可.【解答】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1分米，所以它的面积为 x lx Wx 6=（平方分米），2 2 2故答案为：.2【点评】本题考查正多边形与圆，含有3 0 角的直角三角形，掌握含有3 0 角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提.10.（2021春新华区期末）一个正多边形的周长为6 0,边长为小 一个外角为/.（1）若。=6,求匕的值；（2）若6=3 0,求a的值.【分析】（1）根据正多边形的周长为6 0,边 长 为6,求得边数 为 丝=1 0,于是得到6,360 稣b=-To=36（2）根据多边形的外角和等于360求得边数 为 理 =1 2,根据正多边形的周长为60,30边长为a,于是得到结论.【解答】解：（1）正多边形的周长为6 0,边长为6,二边数为=10,6.一个外角为6,360b=-=3 6；（2）一个外角为角，6=30,.360 -=12,30正多边形的周长为6 0,边长为m60,，=12=5-【点评】本题考查了正多边形与圆，多边形的内角与外角，利用多边形的外角和得出多边形的边数是解题关键.11.（2020秋定西期末）如图，正方形ABC。内接于。0,疝=施，求证：B M=C M.【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可.【解答】证明：.四边形A8C。是正方形，：.AB=CD,.-AB=CD).AM=D M，-AB+A M =CD+DM 即 的=削，：.BM=CM.【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键.12.(2020秋鼓楼区校级月考)如图，已 知 内 接 正 六 边 形4BC3E尸的边长为6 c,求这个正六边形的边心距/6、面积56.【分析】连 接08,0G _LC8于G,易得a C O B是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R,然后由勾股定理求得边心距，又由SB边 彩=6SAOBC求得答案.【解答】解：连接OB,O G L C B于G,VZCOB=60,O C=OB,CO B是等边三角形，OC=OB=6cm,即 R=6an,VO C=O B=6,OGLCB,：.C G=B G=|CB=1 x6=3cm,在 RtZiCOG 中，r(,=OG=/OC2-C G2=373(c m),.S6=：X6 X 6 X 3 O=5 4 O (cm2).【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.W【过 关 检 测】选 择 题（共7小题）I.（2022岳池县模拟）如图，五边形ABCOE是 的 内 接 正 五 边 形，则正五边形的中心角/C O O的度数是（）【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：理 计 算 即可.n【解答】解：五边形A8COE是。的内接正五边形，五边形4 8 co七的中心角NC。的度数为=72,5故 选:A.【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：理是解题n的关键.2.（2022达拉特旗一模）如图，在拧开一个边长为。的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=0y/3mm,则这个正六边形的面积为（)C.1 SOy/Sfnni2D.15y/3tntrr【分析】根据正六边形的性质，可得NA3C=120,A B=B C=a,根据等腰三角形的性质，可 得 的 长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案.【解答】解：如图：作3 Q L A C于O,由正六边形，得Z A B C=20 ,A B=BC=a,ZBCD=ZBA C=30 .由 A（J=,得 CD/廿 八CD 国日 口5遍 /3cos/BCD=1 即-=,BC 2 a 2解得a=10,这个正六边形的面积6 x2 X10X5巡=150百（m m2）,故选C.【点评】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键,又利用了正三角形的性质，余弦函数，3.（2022德城区模拟）将正方形纸片按图方式依次对折得图的 4 8 C,点。是A C边上一点，沿线段8。剪开，展开后得到一个正八边形，则点。应 满 足（）A.B D L A C B.A D=A B C.ZA DB=6 0 D.A D=D B【分析】动手操作后很容易得到答案.【解答】解：动手操作展开后可发现这是一个正八边形，则 A5D是其中的八分之一块.A3。是等腰三角形，：.A D=A B.故 选:B.【点评】本题主要考查了正多边形、含30度角的直角三角形，正方形的性质，剪纸问题以及全等三角形，解决问题的关键是动手操作得到所求多边形的形状.4.（2022天府新区模拟）如图，圆形螺帽的内接正六边形的边心距为2 p c m,则圆形螺帽 的 面 积 是（)B.16yf3cm2C.8nc/n2D.1 6TTC/M2【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：如图所示，AB=4cm,过。作0G_LA8于G；此多边形是正六边形,.360，n 600.no.ZA(JB=r=60,ZAOG=-=30,o 2.,.AAOn=-O-GY y=2J3=4A(772,cosZ-AOG 相切于4,C两点,)则NAOC的度数是（C.130D.144【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108,由切线的性质可得出/O A E=Z O C D=9 ,在五边形CDEAO中由内角和可求出答案.【解答】解：正五边形48C0E,:./D=/E=（5-2）1 8 0 =08。,5又。与正五边形ABCCE的两边AE,CO相切于A,C两点，.N O AE=/O C C=90,在五边形CCEAO中，NAOC=（5-2）X1800-90 X2-108 X2=144,故选：D.【点评】本题考查正多边形与圆，切线的性质，掌握正多边形的内角、内角和的计算方法以及切线的性质是正确计算的前提.7.（2022蚌埠二模）已知矩形MNPQ的顶点M,N,P,。分别在正六边形ABCQEF的边DE,FA,AB,C D ,且MN8 C.在点M从E移向 （与。不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（）EA.矩形M NP0的面积与周长保持不变B.矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大C.矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大D.矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小【分析】连接A，交 PN 于”，设 4 8=，A N=x,表示出尸N=每，MN=2OH=2a-x,可得矩形 MNPQ 周长 L=2 CMN+PN)=(2 7 3-2)x+4a,面积 S=一 6(x-a)2+倔/，由一次函数及二次函数性质可得答案.,多边形48CDEF是正六边形，四边形;WVP。是矩形,：.PNAD,ZM D=60,NH=PH,OAa,在 Rt&VA”中，AH=N=NH=嗫,，O H=a-g,P N=,：.MN=2OH=2a-x,矩形 MNPQ 周长 L=2(MN+PN)=2(2 4-+通)=(2百一2)x+4m矩形面积5=例可叩2=(2 a-x)x y/3x=/3(x-a)，倔 ，当点用从E 移向。(与。不重合)的过程中，x 山向0 变 化(x/0),二矩形MNPQ周长上随x 的减小而减小，V-y3,D F,下列结论正确的是 .N”）E=108；ABC为等腰三角形；四边形AGOF为菱形；/A B C的周长为2巡+2.A【分析】根据正多边形的内角公式进行求解；根据平行线的性质，得到角相等即可证明；根据同弧（等弧）所对的圆周角相等，即可证明四边形AGO尸为菱形；证明/ABC/DCE,则相似的性质，即可求得ABC的周长.【解答】解：根据多边形的内角求解公式可知：N H D E=1 8 0。丫5-2）=08。,故正确；:五边形D E F G H 是边长为1 的正五边形，,Z H G F=NEFG,V GF/BC,.8C是0 0 的切线，A Z B=Z C,ABC为等腰三角形，故正确；V Z D F E=Z G D F=NDGB,C.DF/AB,D F=i/lB,DG/AC,D G=AC,:,AF=DG,A G=D Ft：AB=AC,四边形AGO/为菱形，故正确;设 D F=A F=F C=xf :/G F E=/D E F,：./A F G=/D E C,：.AABCSADCE,AB BC 2x 2：.=,即 一=,DC EC 1 x-1 总+1无 1=-5-，12=l-y/5（舍去），*AB=2x 1 =5+1，4BC 周长为：AB+AC+BC=y5+1+y/5+1+2=2/5+4.故错误.故答案为：.【点评】此题主要考查的是圆的内接正多边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，解题的关键在于掌握圆的内接正多边形的性质并结合等腰三角形的性质、相似三角形的性质进行求解.11.（2022徐州一模）如图，A F是 正 五 边 形 的 外 接 圆 的 切 线，则NCAF=72 .【分析】连接OC,A O,根据正五边形的性质得到N 8=也二芈3=108,根据圆周O角定理得到NAOC=360-2/8=1 4 4 ,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到；x（180-144）=18,根据切线的性质得到NOAF=90,于是得到结论.【解答】解：连接OC,AO,在正五边形A8CDE中，N B=(5-2?1 8 0。=中一,5，NAOC=360-2/8=1 4 4 ,：OC=OA,.,.Z C A O=x(180-144)=18,：A F是正五边形ABCDE的外接圆的切线,A ZOAF=90,：.ZCAF=90-18=72,故答案为：72.【点评】本题考查/正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键.12.（2022石家庄一模）如图所示，在正四边形、正五边形中，相邻两条对角线的夹角分别 为 0 4,a5,则 a5为 1 0 8 ,以此类推，正 边形相邻两条对角线的较大夹角为(n-2)1 8 0 。n【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子衣示出变化规律即可.【解答】解：由正方形A 8 C D,可得：ACVBD,.,.0 4=9 0 ；由正五边形A 8 C D E,可得：A B=B C=C D,Z A B C=Z B C D=108 ,Z D B C=Z A C B=180。”8。=3 6,.,.a5=1 8 0 -Z D B C-Z A C B=1 0 8 ；同理：0 6=1 2 0 ；.正边形相邻两条时角线的夹角：a=(n-2)1 8 0,n故答案为：1 0 8,0T18。n【点评】本题七要考查了正多边形和圆的知识，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.1 3.(2 0 2 2 北仑区二模)如图，在正六边形A 8 C D E 尸内取一点。，作。与边O E,E 尸相切，并经过点8,已知。的半经为2 百，则正六边形的边长为 2+.c、-D【分析】根据时称性可得点。以及正六边形A B C D E F的外接圆的圆心0 1均在线段BE上，由切线的性质和锐角三角函数可求出0 E,进而求出正六边形A B C D E F的外接圆半径，再根据正六边形的性质可求出答案.【解答】解：如图，连接8 E,山对称性可知，点。以及正六边形A8CDE尸的外接圆的圆心0,均在线段BE t,设。与 EF、DE 相切于点 M、N,连接 0M、O N、O D,则 0 M=0 N=0 B=2 O，六边形A B C D E F是正六边形，：.ZDEF=20,由对称性可得，Z O E F=Z O E D=Z D E F=6 0 ,在 RtZ0EM 中，OM=2y/3,NOE例=60,。*襦4：.BE=OE+OB=4+2y/3,：.正六边形A B C D E F的外接圆半径O=生 变 =2+百,/六边形A B C D E F是正六边形，：./DO E 是正三角形，：.EF=O E=2+用,即正六边形A B C D E F的边长为2+V3，故答案为：2+O.【点评】本题考查切线的性质，正多边形与圆，掌握正六边形的对称性以及正六边形与圆的性质是正确解答的前提.三.解 答 题（共 5 小题）1 4.(2 0 2 1秋信都区期末)已知正六边形A B C C E尸的中心为。，半径O A=6.(1)求正六边形的边长；(2)以A为圆心，A尸为半径画弧B凡 求乔.【分析】(1)根据正六边形的边长与半径相等即可解决问题;(2)由正六边形的性质和弧长公式即可得出结果.【解答】解：(1)六边形A B C O E F是正六边形，.正六边形的边长=半径O A=6；(2)：六边形A B C D E F是正六边形，/.ZB C F=1 2 0 ，弧3/的 长 为=1207TX6180=4 i r.【点评】本题考查了正多边形和圆、弧长公式；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键.1 5.(2 0 2 1秋昌邑区校级期末)已知，如图，正六边形A B C O E/的边长为6 cm,求这个正六边形的外接圆半径R、边心距八6、面积S 6.【分析】连接。4 O H,过点。作O G L A 8于G,易得 A 0 8是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径凡然后由勾股定理求得边心距，又由S口 边 胫=6 5幺8。求得答案.【解答】解：连接O A,O B,过点。作O G L A 8于G,V ZAOB=60a,OA=OB,是等边三角形，。4 =0 8=6,即 R=6,OA=OB=6,OGLAB,.AG=142=；X6=3,在 R t A A O G 中，r(=OG=yj0A2-AG2=3第cm,【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.1 6.(2 0 2 1 秋新荣区月考)阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：克罗狄斯托勒密7约 9 0 奉-1 6 8年丁，是希腊数学豪，天文孽家，地理学院和占星家.在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.即：如 图 1,若四边形A B C。内接于G)O，则有.任务：(1)材料中划横线部分应填写的内容为 AB CD+AD BC=AC*BD.(2)如图2,正五边形A 8 C D E 内接于O。，A B=2,求对角线8。的长.【分析】(1)根据题意即可得到结论.(2)连接A C、A C,根据正多边形的性质可得出 A B C 丝/X O C B/A E D,根据全等三角形的性质可设B O=A C=A D=x,在圆内接四边形4 8。中，利用托勒密定理可得关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【解答】解：(I)根据托勒密定理可得：ABCD+AD-BC=ACHD,故答案为：AB-CD+ADBCACBD；(2)如 2图，连接A 、AC.：五边形A 8C E 是正五边形，A(SAS),设 B D=A C=A D=x.在圆内接四边形A B C。中，由托勒密定理可得：AB-CD+AD-BC=ACBD,即 2 X 2+x，2=),解得：Xl=l+&,X 2=l-g （舍去）.对角线8。的长为1+.【点评】本题考查了命题、正多边形的性质、全等三角形的性质以及解一元二次方程,利用托勒密定理找出关于x 的一元二次方程是解决问题的关键.17.（2021秋许昌月考）如图，六边形ABCOE/是。的内接正六边形.（1）求证：在六边形ABCCEF中，过顶点A 的三条对角线四等分NBAF.（2）设。的面积为Si，六边形ABCOEF的面积为S2，求气的值（结果保留n）.【分析】（1）如图，连接AE,AD,A C,根据正六边形的性质得到EF=EZ）=CO=8C,求 得 俞=前=丽=比，于是得到/胡E=/E A O=/M C=/C A B,即可得到结论；（2）如图，过。作 O G _LO ETG,连 接 O E,设。的半径为r,推出。0E 是等边三角形，得到OE=OO=r,Z O E D=6 0a,根据勾股定理得至U O G=OE2 一 EG?=*根据三角形和圆的面积公式即可得到结论.【解答】（1）证明：如图，连接AE,AD,AC,六边形A B C D E F是。O 的内接正六边形，：.E F=E D=C D=B C,-EF=ED=C D =BC?.Z F A E=Z E A D=Z D A C=A C AB,.过顶点4 的三条对角线四等分/B A F；（2）解：如图，过。作。G J_O E T G,连接OE,设。0 的半径为r,V ZDOE=60,OD=OE=r,o OOE是等边三角形,：.DE=O D=r9 NOEO=60,：.ZEOG=30，*.EG=2广,：.OG=yjOE2-E G2=正六边形ABCDEF的面积=6x|x rx 导=孥 J，.O O 的面积=n，【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.18.(2020秋武汉期末)如图，正方形A8CO内接于。，E 是玩的中点，连接AE,DE,CE.(1)求证：AE=DE；(2)若 C E=1,求四边形AEC。的面积.E【分析】(1)欲证明A E=O E,只要证 明 屈=庞.(2)连接B O,过点。作。F_LOE交 EC的延长线于F.证明AOE2(?)尸(AA S),推出4 E=C F,推出SAA D E=SAC D F，推出S四 边 形4 E C D=SZX E F，再利用等腰三角形的性质构建方程求出。E,即可解决问题.【解答】（1）证明：四边形A8CO是正方形，：.AB=CD,AB=CD是能的中点，,BE=EC-AB+BE=CD+EC 即 屈=庞，：.AE=DE.（2）解：连接BD,A O,过点D 作 D FLD E交 EC的延长线于F.四边形ABCO是正方形，./O 8C=N O EC=45,DA=DC,V Z D F=90 ,：./F=N E D F-N D E F=90-45=45,：.DE=DF,：ZAED=ZAOD=45,.N A E O=/F=45,V ZADC=ZEDF=90,NADE+NEDC=ZCDF+ZEDC=9O,NADE=CDF在AOE和 8 尸中，（z：ADE=NCDF1/.AED=zF =DC：.ADEACDF（A A S y,：.AE=CF,S/ADE=SCDFf:S 四 边 形 A E C D USAOE/7，:EF=E=EC+D E,EC=1,:.1+DE=y/2DE.*DE=/2+1 f?3:S 四边形=V2+2-E【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.