数学高考真题卷--全国1文数（含答案解析）.pdf

2 0 1 8 年普通高等学校招生全国统一考试全国I 卷(文科数学)一、选择题:本题共1 2 小题,每小题5 分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知集合八=0,2 ,8=-2,-1,0,1,2 ,则八0 8=A.0,2 B.1,2 C.0 D.-2,-1,0,1,2 2.设 z*+2 i,则|z|=A.O B.i C.1 D.V 223 .某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4 .已知椭圆C：4+T=1的一个焦点为0)，则 C 的离心率为a 4A.i B.i C A D.这3 2 2 35 .已知圆柱的上、下底面的中心分别为5,0 2,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为A.1 2 V 2 n B.1 2 万C.8 V 2 n D.1 0 n6.设函数f(x)=x 3+(a-l)x 2+a x.若 f (x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=-2 x B.y=xC.y=2 xD.y=x7.在a A B C 中,A D为 BC边上的中线,E 为 A D 的中点，则前A.-A B-A C B.i A B-A C4 4 4 4C.-A B+i A C D.-A B+-A C4 4 4 48 .已知函数 f (x W Z c o s x-s 力/x+2,则A.f(x)的最小正周期为巴最大值为3B.f(x)的最小正周期为,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2肛最大值为3D.f(x)的最小正周期为2巩最大值为49 .某圆柱的高为2,底面周长为1 6,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到 N 的路径中，最短路径的长度为A.2 V 1 7 B.2 V 5 C.3 D.21 0 .在长方体A BCD-A BCD中,A B=BC=2,A G 与平面B B C C 所成的角为3 0 ,则该长方体的体积为A.8 B.6 V 2 C.8 V 2 D.8/1 1 .已知角a的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且 c o s 2 a则 a-b|=A.i B.-C.D.15 5 51 2 .设函数f(x)=kX，x 0,A.(-0,-1 B.(0,+0)C.(-1,0)D.So)二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共 2 0 分.1 3 .已知函数 f (x)=/o 冬(x+a).若 f (3)=1,贝！a=.x 2 y 2 0,则 z=3 x+2 y的最大值为_ _ _ _ _ _.(y 0,15.直线 y=x+l 与圆 x2+y2+2 y-3=0 交于 A,B 两点，则|A B|=.16.A A B C 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c已知 b si n C+c si nB=4 a si nBsf”C,b2+c2-a2=8,则a A B C 的面积为三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17、2 1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分,17.(12 分)已知数列 a“满足 a i=l,n an ti=2(n+l)a.设 b n.求 b i,b2,b3;(2)判断数列 b j 是否为等比数列,并说明理由；(3)求 an 的通项公式.18.(12 分)如图,在平行四边形A BCM 中,A B=A C=3,Z A CM=9 0.以A C为折痕将a A C M 折起，使点M到达点D 的位置,且A B1DA.(1)证明：平面A CD_ L 平面A BC;(2)Q 为线段A D上一点,P 为线段BC上一点,且BP=DQ=|DA,求三棱锥Q-A BP的体积.19.(12 分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:n?)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日 用 0,0.1 0.1,0 0.2,0 0.3,0 0.4,0 0.5,0 0.6,0水量).2).3).4).5).6).7)频数 1 3 2 4 9 2 6 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用 0.1,0.0.2,0.0.3,0.0.4,0.0.5,0.0,0.1)水量2)3)4)5)6)频数1 51310 165(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;频率/组距42.0.8.642.0.8.642Q.8.642工工3.ZZZZ2LLLLLO.6S60 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 日用水量/n?(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3 5 n?的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按3 65天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)2 0.(12 分)设抛物线点4 0),5(-2,0),过点A的直线1与。交于M,A 两点.(1)当/与 x 轴垂直时,求直线8 的方程;证 明：AABM=AABN.2 1.(12 分)已知函数/(x)=aeTn xT.(1)设x t是 f(x)的极值点,求a,并求fix)的单调区间;证 明：当 a 2 三时,/U)Oe(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系X。中，曲线G 的方程为y=kx+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线&的极坐标方程为02+2PCOS 0-3=0.(1)求 G 的直角坐标方程；(2)若 G与 G有且仅有三个公共点,求。的方程.23.选修4节:不等式选讲(10分)已知 f x=x+|-|ax-1.(1)当a=l时,求不等式F(x)乂的解集；若 XW(0,1)时不等式f(x)为成立,求a的取值范围.1234567891 01 11 21 31 41 51 6ACACBDABBCBD-762V22 V 3亍1 .A【考查目标】本题主要考查集合的交运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由题意知/。6=0,2 .2 .C【考查目标】本题主要考查复数的运算、复数的模，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】z F+Z i7f：?.、+2 i=i,所以|z|=l.3 .A【考查目标】本题主要考查统计的知识，考查考生分析问题与解决问题的能力，考查的数学核心素养是数据分析与数学运算.【解析】设新农村建设前经济收入的总量为%则新农村建设后经济收入的总量为2 x.建设前种植收入为0.6 x,建设后种植收入为0.7 4 x,故 A不正确；建设前其他收入为0.0 4 x,建设后其他收入为0.l x,故 B正确；建设前养殖收入为0.3%建设后养殖收入为0.6%故 C 正确；建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的5 8%,故 I)正确.4 .C【考查目标】本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】不妨设a X),因为椭圆 7 的一个焦点为(2,0),所 以c 2所以所以a 之鱼,所以椭圆C的离心率e二当a 25 .B【考查目标】本题主要考查圆柱的表面积等知识，考查考生的运算求解能力、空间想象能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.【解题思路】由过直线aa的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,求出圆柱的高与底面圆的直径,然后代入圆柱的表面积公式求解即可.【解析】因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2 鱼,底面圆的直径为2 a,所以该圆柱的表面积为2 X n X(V 2)2+2 V 2 J T X 2 迎=1 2 n .6.D【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性与导数的几何意义，考查考生分析问题与解决问题的能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解析】因为f(x)为奇函数,所以/X-MAHX),由此可得a=l,故 f(x)=x Ox,y x)+,f (0)=1,所以曲线片f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.【解题关键】解 答 本 题 的 关 键 是 利 用 为 奇 函 数 求 出a,进而得函数/X x)的解析式.7.A【考查目标】本题主要考查平面向量的线性运算，考查考生的数形结合能力与运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由 题 可 得 而 岳 语 二 二(荏 而)语 上 四 二 前.4 4 4【方法点拨】平面向量是具有代数与几何双重特征的量,因此解题时既要考虑其代数运算,也要兼顾其儿何意义,数形结合,优化运算过程.8.B【考查目标】本题主要考查三角恒等变换与三角函数的性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】易知A x)=2 c o s2%i n2%+2 =3COS2A-+1 (2COS2%-1),+l*o s 2 吗 则 f(x)的最小正周期为n,当x=k n (A e Z)时,f(x)取得最大值,最大值为4.【解题关键】利用倍角公式进行三角恒等变换，使其变成“一角一名一函数”的形式.9.B【考查目标】本题主要考查三视图及最短路径问题,考查考生的运算求解能力与空间想象能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.【解析】设过点M 的高与圆柱的下底面交于点0,将圆柱沿以9 剪开,则也/V 的位置如图所示,连接MN,易知聆2,ONA则从M至 I J 六的最短路径为V O 2 +。印2 42 2 +42 之).M._10 .C【考查目标】本题主要考查空间几何体的体积、直线与平面所成的角，考查考生的空间想象能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.【解析】连 接 阿，因为4 8,平 面 阳 G 6；所以N 4G 6=30 ,43 L 阳，所以 46G 为直角三角形.又四=2,所以BC郃 氏又B G 2所 以 能 (2 6)2-2 2 2,故该长方体的体积r=2 X 2 X 2 V 2=8 V 2.11.B【考查目标】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由题意知cos。X.因为c o s 2 a之c o s?。T,所以c o s a J|,s in a=R,得 I t a n考.由题意知I t a n。|=|整，所以|a-61T.1-Z b12.D【考查目标】本题主要考查分段函数与不等式的解法,考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算.【解题思路】利用函数的性质,将不等式/(户1)AO)=1.作 出 f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(户1)f(2x),则需%+1 0,2x 0,或:,2x 0,x 0,所以x/2.16 .竽 【考查目标】本题主要考查正、余弦定理与三角形的面积公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】利用正弦定理，通 过 6 s i n C+cs i n 庐4 as i n 8 s i n C求出s i n 再利用余弦定理求出be当,然后利用三角形的面积公式求解即可.【解析】由 bs i n C+cs i n B=iasin Bsin C 得 s i n 咫i n G s i n C s i n 庐I s i n J s i n&i n 工因为 s i n夕 s i n 今 0,所以s i n J-.因为B +ca 4,co s A+c a,所 以 6 c史 所 以S ABcbesin力 2X随 W22bc 3 2 2 3 2 317 .【考查目标】本题主要考查数列的基础知识与基本运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算.【解题思路】由 岫“夕(+D a”得到加上剑工&,所以az工 a=12,分别代入4当,求 出b“艮,&(2)由nn题设条件得出b.g,即可证明数列 6,是等比数列；(3)借助(2)的结论求出 的通项公式,进一步求出 4 的通项公式.【解析】(1)由条件可得a“r上”n将/7-1代入得，4为必，而 8 =1,所以，将/1=2代入得，也力改,所以，53-12.从而bi=l9 b丸b A(2)4 是首项为1,公比为2的等比数列.由 条 件 可 得 匹,即beb”,又 6 尸 1,所以&,)是首项为1,公比为2的等比数列.n+1 n(3)由可得出2 T所以a“=n 2。n【方法提炼】求解含有递推关系式的数列问题时,通常可以对递推关系式进行转化,转化为等差或等比数列问题，有时也会用到一些特殊的转化方法，常用的转化方法有:变换法、待定系数法、累加法、迭代法.18.【考查目标】本题主要考查空间直线和平面、平面和平面的位置关系以及棱锥体积的计算，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算.【解题思路】（1）根据线面垂直的判定定理证明4 8,平面ACD,进而可证平面/切，平面（2）利用BP DA,求出BP,然后求出三棱锥的高,最后根据棱锥的体积公式求出三棱锥0 T 利的体积.【解析】（1）由已知可得，/胡 G 9 0 ,物，4 C又BAL AD,所以4 员L 平面ACD.又A B a平面ABC,所以平面/仪止平面/8 C由已知可得，DC=CM=AB,DA2.又 BP=DQDA,所以 BP=2 y2.作Q EVAC,垂足为则 且 物 C.由已知及（1）可得 C _L 平面ABC,所 以 aL L 平面ABC,Q E=.因此,三棱锥0 T 的的体积为V3 A B p Q EXS&A S P=X XQX3 X2 ysin 4 5 1.【解后反思】几何体中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系以及有关角度、距离、面积和体积的计算是高考命题的热点，解题时要善于画图、思图、用图,把图形语言、符号语言和文字语言结合起来.1 9.【考查目标】本题主要考查频率分布直方图、平均数、概率等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的数学核心素养是数据分析与数学运算.【解题思路】（1）利用频数计算出频率,然后根据频率您距画出频率分布直方图；（2）计算出日用水量小于 0.3 5 m3的频率即可估计概率;（3）首先计算出5 0 天未使用节水龙头的日用水量的平均数和使用了节水龙头的日用水量的平均数,再求出一年能节省的水量即可.【解析】(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后5 0 天日用水量小于0.3 5 的频率为0.2 X 0.1+1 X 0.1+2.6 X0.1+2 X 0.0 5 R.4 8,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.3 5 的概率的估计值为0.4 8.(3)该家庭未使用节水龙头5 0 天日用水量的平均数为0 5 X I X).1 5 X 3 川.2 5 X2 4).3 5 X 4 O.4 5 X 9 加.5 5 X 2 6 O.6 5 X 5)R.4 8.1 50该家庭使用了节水龙头后5 0 天日用水量的平均数为x2(0.0 5 X I X).1 5 X 5 X).2 5 X 1 3 4).3 5 X 1 0 4).4 5 X 1 6 4).5 5 X 5)4).3 5.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.4 8 -0.3 5)X 3 6 5 N 7.4 5 (m3).【题型风向】概率与统计问题是近几年高考的热点,利用各种图表解答实际问题是高考命题的新亮点.这类题往往结合实际生活中比较新颖的问题进行命题.2 0.【考查目标】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.【解题思路】(1)求出直线/与抛物线的交点,利用两点式写出直线身/的方程；(2)由(1)知，当直线1与x轴垂直时,结论显然成立,当直线1与“轴不垂直时，设出斜率k,联立直线1与 C 的方程,求出M,N两点坐标之 间 的 关 系,再 表 示 出与员 V 的斜率,得其和为0,从 而 说 明与8 V 两条直线的斜率互为相反数,进而可知两角相等.【解析】(1)当/与 x 轴垂直时，/的 方 程 为 可 得 的 坐 标 为 2)或 -2).所以直线飒的方程为yx+或y=x-.当/与 x 轴垂直时,4 8 为 妙 的 垂 直 平 分 线,所 以/赧 陇当/与 x 轴不垂直时，设1的方程为y=*(x-2)(A/0),M x i,yi),N(x%於)，则MA),X2Q.由2 得 -2 尸I E),可知力+女4,直线R if,E V 的斜率之和为加 上 屐 告 浮73 y殁渭编侬.Xt+2 X2+2(xt+2)(X2+2)将吟也及 力 隆 的 表 达 式 代 入 式 分 子，可得用M+为%+2 3+%)业 生 管 3考0.所以鼠计底用可知BM,&V 的倾斜角互补，所以N ABMN 4BN.综上，/ABM=N ABN.易错警示】在设直线的方程时,一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时,要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解.2 1.【考查目标】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题，考查运算求解能力、化归与转化思想、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、逻辑推理与数学运算.【解题思路】(1)先写出函数/X x)的定义域,并求/(X),利 用f (2)=0 可求出a的值，进而可判断函数的单调性；(2)将证明不等式问题转化为不含参数a的不等式恒成立问题,构造函数g(x)q T n x-1,求导即可证明.【解析】(1 (旧的定义域为(0,+8),(入)=56 X由题设知，f (2)4所以从而 f(x)q T n xT,f，(x)/弓当 o a 2 时，f 曲当入乂时，/1 (x)X).所 以 F(x)在(0,2)单调递减，在(2,+2单调递增.当 9 2 工时,fx)-I n x.e e设 g(x)I n X-1,则 g(x)当 OGI时,g (x)1 时,g (x)X.所以x=l 是 g(x)的最小值点.故 当 时,g(x)2g=0.因此,当a 共 时,f(x)2 0.e【名师支招】函数与导数题以导数为工具，考查函数的单调性、极值、最值，函数的零点问题，不等式恒成立或存在性问题,这是高考的重要命题方向.在处理这些问题的过程中,要注意对分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想等的应用，同时也要注意分离参数等的应用.2 2.【考查目标】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化以及利用直线与圆的交点求直线的方程,考查分类讨论思想、化归与转化思想、运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算.【解题思路】(1)利用X=P C O S，片 o si n，求 出 C的直角坐标方程；(2)利 用 G的图象恒过定点(0,2)且图象关于y 轴对称,结合G的图象,数形结合，将问题转化为直线片履+2(腔6 与圆C相切的问题,利用圆心到直线的距离与半径的关系解方程可得k的值,进而得G的方程.【解析】由 x=0 c os 0,y=ps in 得 G的直角坐标方程为(户1 犷(2)由(1)知 C是圆心为/(T,0),半径为2的圆.由题设知，G是过点8(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为7 y 轴左边的射线为b.由于6 在 圆 G的外面，故 G与 C有且仅有三个公共点等价于人与C 只有一个公共点且人与 C 有两个公共点，或心与G只有一个公共点且L与 C 有两个公共点.当上与G只有一个公共点时,A到所在直线的距离为2,所 以 整 2故 公 9或公0.经检验，当k小时，/v f c2+l 3与 G没有公共点；当 公 q时，人与G只有一个公共点，h 与C 有两个公共点.当h 与G只有一个公共点时,4到心所在直线的距离为2,所 以 相 2,故衣刀或哈经检验，当 F0 时，工与G没有公共点；当衣三时，心与C 没有公共点.综上,所求G的方程为y=-，M+2.【方法总结】极直互化主要是用好公式,与极坐标和参数方程有关的问题一般是先化为直角坐标方程,然后结合图形,合理转化加以求解.23.【考查目标】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，考查分类讨论思想、化归与转化思想、运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算.【解题思路】(1)将a=l代入,去掉绝对值符号,进而求解；(2)根据x的取值范围，将“+1/-/a x-1/”转化为/a x-1/1,然后对a进行分类讨论,去掉绝对值符号,求a的取值范围即可.2.)x W 1,【解析】(1)当 a-1 时，fx)=-11-1x-11,即 fx)=2x,-l x 1.故不等式A x)l 的解集为U I x .(2)当 xR(0,1)时|x+|-|ax-l|x 成立等价于当 xe(0,1)时|ax-1 成立.若 d W O,则当 xG(0,1)时|ax-11 2 1;若 a X),|a x-l|l 的解集为 x|0K 4,所 以 给 1,故 0CW 2.a a综上,a的取值范围为(0,2.方法总结含绝对值不等式的解法有两种:一是零点分区间法,即运用分类讨论思想;二是利用绝对值的几何意义求解,即运用数形结合思想.