苏州市工业园区某校2022年中考一模数学试题含解析及点睛.pdf

2021-2022中考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选 择 题（每小题只有一个正确答案，每小题3 分，满分30分）1.如图，点 P 是NAOB内任意一点，O P=5cm,点 M 和 点 N 分别是射线OA和射线OB上的动点，APM N周长的最小值是5 c m,则NAOB的度数是（）.A.25 B.30 C.35 D.402.若关于x 的一元二次方程（kl）x 2+4 x+l=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（）A.k5 B.k 5,且 k#l C.k 53.如果|一二|=一二，则 a 的取值范围是（）A.a0 B.a0 C.a0 D.a 0）秒.探究下列问题：请直接写出A，的 坐 标（用含字母t 的式子表示）；当点A，落在抛物线上时，求直线1的运动时间t 的值，判断此时四边形A，BEF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，探究：在直线1的运动过程中，坐标平面内是否存在点P,使得以P,N,B,E 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.19.（5 分）如 图 1在正方形A5C。的外侧作两个等边三角形AOE和。C F,连接AF,BE.图1图2位置关系;如图2,若将条件“两个等边三角形4O E和 OC尸”变为“两个等腰三角形4 3 E 和 O C T,且EA=ED=FD=FC,（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；若三角形AOE和 ZJCF为一般三角形，且 AE=。尸。=尸。,第（D问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.20.（8 分）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲，乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.（可用（1）（2）间的条件及结论）21.（10 分）计算：16-2|+2一|-cos61-（l-亚）I22.（10分）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2 米（即CD=2米），背水坡D E的坡度i=l：1（即 DB：EB=1：1）,如图所示，已知AE=4米，ZEAC=130,求水坝原来的高度 B C.（参考数据：sin50=0.77,cos50=0.64,tan501.2）B23.(12分)已知关于x 的方程一2=0.当该方程的一个根为1 时，求 a 的值及该方程的另一根；求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.24.(14分)已 知，抛物线L：y=x2+bx+c与 x 轴交于点A 和点B(-3,0),与 y 轴交于点C(0,3).(1)求抛物线L 的顶点坐标和A 点坐标.(2)如何平移抛物线L 得到抛物线L i,使得平移后的抛物线14的顶点与抛物线L 的顶点关于原点对称？(3)将抛物线L 平移，使其经过点C 得到抛物线L 2,点 P(m,n)(m 0)是抛物线L2上的一点，是否存在点P,使得 PAC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出抛物线L2的表达式，若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3 分，满分30分)1、B【解析】试题分析：作点P 关于OA对称的点P3,作 点 P 关于OB对称的点P3,连接P3P3,与 OA交于点M,与 OB交于点N,此时 PMN的周长最小.由线段垂直平分线性质可得出APM N的周长就是P3P3的长，VOP=3,.,.OP3=OP3=O P=3.又,.P3P3=3,.,.OP3=OP3=P3P3,.,.OP3P3是等边三角形，.NP3OP3=60,即 3(ZAOP+ZBOP)=60,NAOP+NBOP=30。,即NAOB=30。，故选 B.考点：3.线段垂直平分线性质；3.轴对称作图.2、B【解析】,.,伏 1H0试题解析：关于x 的一元二次方程方程(l)d+4 x+l=0 有两个不相等的实数根，八0,即-%1工044(1)0 解得：Y 5 且 厚 1.故选B.3、C【解析】根据绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，1 的绝对值是1.若卜a|=-a,则可求得a 的取值范围.注意1 的相反数是1.【详解】因为卜a|,所以-aNL那么a 的取值范围是彩1.故选C.【点睛】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，1 的绝对值是1.4、B【解析】b 一h设抛物线与x 轴的两交点A、B 坐标分别为（xi,0）,（X2,0）,利用二次函数的性质得到P,）,利2a 4abe lb 4uc用 Xl、X2为方程aX2+bx+C=0的两根得到Xl+X2=-Xl*X2=，则利用完全平方公式变形得到AB=|X1-X2|=-j ；-,a a a h2 1 J。？4Q C接着根据等腰直角三角形的性质得到I 竺 -|=、,然后进行化简可得到b2-la c的值.a 2 a【详解】h 设抛物线与x 轴的两交点A、B 坐标分别为（xi,0）,（X2,0）,顶点P 的坐标为,）,2a 4a则 xi、X2为方程ax2+bx+c=0的两根，.b c.X|+X2=-,X/X2=一，a a:.A B=|X I-X 2|=-）2=A/（X,+X2）2-4XIX2=J（_ 1）2 _ 4.：=，ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，.A a c-b1,1 Jb2-4 a c（h2-4ac）2 _b-4ac16a2 4a2.*.b2-lac=l.故选B.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c 是常数，a#0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于X的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质.5、B【解析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值.【详解】原式=-2 -3=-5,故选：B.【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.6、D【解析】根据有理数乘法法则计算.【详解】-2x（-5）=+（2x5）=10.故选D.【点睛】考查了有理数的乘法法则，（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0 相乘，都得0;（3）几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负;当负因数有偶数个时，积为正;（4）几个数相乘，有一个因数为0 时，积为0.7、D【解析】先根据反射角等于入射角先找出前几个点，直至出现规律，然后再根据规律进行求解.【详解】由分析可得P（0,D、P。，。）、2（4）、3（，3）、2/2,4）、小（4,3）、口仅，。等，故该坐标的循环周期为7 则有贝！j有2018+1=2883,故是第2018次碰到正方形的点的坐标为（4,1）.7【点睛】本题主要考察规律的探索，注意观察规律是解题的关键.8、D【解析】根据轴对称图形的概念求解.【详解】A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确.故选D.【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.9、C【解析】试题分析：28000=1.1x1.故选C.考点：科学记数法一表示较大的数.10、D【解析】分析：根据增长率为12%,7%,可表示出2017年的国内生产总值，2018年的国内生产总值；求 2 年的增长率，可用2016年的国内生产总值表示出2018年的国内生产总值，让 2018年的国内生产总值相等即可求得所列方程.详解：设 2016年的国内生产总值为1,.,2017年国内生产总值(G D P)比2016年增长了 1 2%,，2017年的国内生产总值为1+12%；.,2018年比2017年增长7%,2018年的国内生产总值为(1+12%)(1+7%),这两年GDP年平均增长率为x%,，2018年的国内生产总值也可表示为：(1+x%)2,二可列方程为：(1+12%)(1+7%)=(l+x%)2.故选 D.点睛：考查了由实际问题列一元二次方程的知识，当必须的量没有时，应设其为1;注意2018年的国内生产总值是在2017年的国内生产总值的基础上增加的，需先算出2016年的国内生产总值.二、填 空 题(共 7 小题，每小题3 分，满分21分)11、AB,以 叵2【解析】根据已知中的点E,F 的位置，可知入射角的正切值为通过相似三角形，来确定反射后的点的位置.再由勾股定理就可以求出小球第5 次碰撞所经过路程的总长度.【详解】根 据 已 知 中 的 点E,F的位置，可知入射角的正切值为,，第 一 次 碰 撞 点 为F,在反射的过程中，根据入射角等于反射角2及平行关系的三角形的相似可得，第 二 次 碰 撞 点 为G在AB上，且AG=；AB,6第 三 次 碰 撞 点 为H,在AD上，且AH=-AD,3第 四 次 碰 撞 点 为M,在DC上，且DM=；DC,第 五 次 碰 撞 点 为N,在AB上，且BN=；AB,第 六 次 回 到E点,BE=BC.33 1 3 1由勾股定理可以得出 E F=7LFG=5 6,G H=5 V5,HM=V5,M N=-石,NE=5 百，3i 7 1 1故 小 球 第5次经过的路程为：石+万y5+7 5+V 5+-V 5=y石，故 答 案 为AB,y V5.【点 睛】本题考查了正方形与轴对称的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形与轴对称的性质.12、4【解 析】根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可.【详 解】V ZC=90,AB=6,R 2 BC3 AB2:.BC=-AB=4.3【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在RtA ABC中,NA的对边斜边cos A=N A的邻边斜边tan A-乙4的对边乙4的邻边13、作图见解析，VI5+1【解析】解：如图，点 M 即为所求.连接AC、B C.由题意知：AB=4,8 c=1.TA B为圆的直径，.NACB=90。，则A M=A C=y/AB2-B C2=V42-l2=A，工点M 表 示 的 数 为 厉+1 .故答案为V 15+1.点睛：本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理.1614、3【解析】【分析】如图，作 A 关于BC 的对称点A*连接A A*交 BC于 F,过 A作 AE_LAC于 E,交 BC于 D,则 AD=A，D,此时AD+DE的值最小，就 是 A%的长，根据相似三角形对应边的比可得结论.【详解】如图，作 A 关于BC 的对称点A T 连接AA，交 BC于 F,过 A，作 AE_LAC于 E,交 BC于 D,则AD=AD,此时AD+DE的值最小，就是A E 的长；R 3A BC 中，ZBAC=90,AB=3,AC=6 也，.,BC=J32+（6/2）2=9,1 1SA ABC=AB*AC=BC*AF f2 2.,.3x6 夜=9AF,AF=2 血，.,AA=2AF=4V2，VZAFD=ZDEC=90,ZADF=ZCDE,.*.ZA=ZC,VZAEA=ZBAC=90,/.AEAABAC,A4 B C ,A,E A C 4及一 9即 AD+DE的最小值是一,3【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.15、3【解析】根据算术平方根定义，先 化 简 后，再求相的算术平方根.【详解】因 为 商=9所以向的算术平方根是3故答案为3【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，解题需熟练掌握平方根和算术平方根的概念且区分清楚，才不容易出错.要熟悉特殊数字0,1,-1 的特殊性质.16、10%【解析】设降价的百分率为X,则第一次降价后的单价是原来的（1-X）,第二次降价后的单价是原来的（1-X）2,根据题意列方程解答即可.【详解】解：设降价的百分率为X,根据题意列方程得：100 x（1-x）2=81解得xi=0.L X2=1.9（不符合题意，舍去）.所以降价的百分率为0 1，即 10%.故答案为：10%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.找到关键描述语，根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.17、匚 +口 =200.(/-25%)+(7-70%)口 =174【解析】甲工厂5 月份用水量为x 吨，乙工厂5 月份用水量为y 吨，根据甲、乙两厂5 月份用水量与6 月份用水量列出关于X、y 的方程组即可.【详解】甲工厂5 月份用水量为x 吨，乙工厂5 月份用水量为y 吨，根据题意得：+(;-;o%)r=i-4,故答案为:n+u=200.(；-15%)口+(/-10%)口 =174【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键.三、解 答 题(共 7 小题，满分69分)18(1)A(-1,0),B(3,0),y=-G x -6；(2)A，t)；ABEF为菱形，见解析；2 2(3)存在，P 点坐标为(*,)或(:，-).3 3 3 3【解析】(1)通过解方程-g x 2+g 6 x+百=0 得 A(-1,0),B(3,0),然后利用待定系数法确定直线1的解析式；(2)作 A，H_Lx轴 于 H,如图2,利 用 OA=1,O D=百 得 到 NOAD=60。，再利用平移和对称的性质得到EA=EA=t,NA，EF=NAEF=60。，然后根据含30度的直角三角形三边的关系表示出A，H,EH 即可得到A，的坐标;把立t)代入y=-苴 x 2+2 x+J i 得-立(-t-l)2+巫(-t-1)+百=立t,解方程2 2 3 3 3 2 3 2 2得到t=2,此时A，点的坐标为(2,百)，E(L 0),然后通过计算得到AF=BE=2,A，FB E,从而判断四边形A，BEF为平行四边形，然后加上EF=BE可判定四边形A BEF为菱形；3(3)讨论：当 A，B_LBE时，四边形A，BEP为矩形，利用点A，和 点 B 的横坐标相同得到二t T=3,解方程求出t 得2到N(3,迪)，再利用矩形的性质可写出对应的P 点坐标；当 A-BXEAS如图4,四边形A BPE为矩形，作 A Q x3轴 于 Q,先确定此时A，点的坐标，然后利用点的平移确定对应P 点坐标.【详解】(1)当 y=0 时，-6=，解得 x i=-l,X2=3,则 A(-1,0),B(3,0),设直线1的解析式为y=kx+b,k+6=0 k=-3把 A(-1,0),D(0,-百)代 入 得 ，解得 ,b=-yJ3 b=-6直线1的解析式为y=-&X -百；(2)作 A，H_Lx轴 于 H,如图，VOA=1,O D=5:.ZOAD=60,VEF/7AD,:.ZAEF=60,.点A 关于直线I的对称点为AS.*.EA=EA=t,Z A,EF=ZAEF=60,在 RtAA,EH 中，EH=-EAr=-t,EH=t,2 2 2I 3:.OH=OE+EH=t-1+-1=-1-1,2 2/Ar(t-1,t)；2 2 把A，（|一，2）代 入 尸 一 冬+竽x+百得-孝）+6吟,解得ti=O（舍去），t2=2,，当点A，落在抛物线上时，直线1的运动时间t 的值为2；此时四边形A，BEF为菱形，理由如下：当 t=2时，A，点的坐标为（2,百），E（1,0）,:ZOEF=60.-.OF=V3OE=V3 EF=2OE=2,:.F(0,6),；.A，Fx 轴,.,AF=BE=2,AFBE,斗四边形A，BEF为平行四边形,而 EF=BE=2,.四边形A BEF为菱形；当 A，BJ_BE时，四边形A，BEP为矩形，则 t-l=3,解 得 t=g,则 A，（3,逑）,2335VOE=t-1=-,3,此 时 P 点坐标为（,迪）；3 3当 A，B，EA，如图，四边形A，BPE为矩形，作 A，Q_Lx轴于Q,ZArEB=60,J NEBA=30。BQ=VAQ=G.曰 t=g t,3 3 4.,.-t-l+-t=3,解得 t=一,2 2 3此时 A，（1,宜 I）,E（-,0）,3 3点 A，向左平移2 个单位，向 下 平 移 毡 个 单 位 得 到 点 E,则点B（3,0）向左平移工个单位，向下平移2 叵个单位3 3 3 3得到点P,则 P（2,-正）,3 3综上所述，满足条件的P 点坐标为（*,逑）或（工，一 空）.3 3 3 3【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的判定和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质.19、（1）AF=BE,AF1BE；（2）证明见解析；（3）结论仍然成立【解析】试题分析：（1）根据正方形和等边三角形可证明A ABEZDAF,然后可得BE=AF,NABE=NDAF,进而通过直角可证得BEAF；（2）类 似（1）的证法，证明A A B E D A F,然后可得AF=BE,AF_LBE,因此结论还成立；（3）类 似（1）（2）证法，先证AAEDW ZiDFC,然后再证 ABEW DAF,因此可得证结论.试题解析：解：（1）AF=BE,AFBE.（2）结论成立.BA3F证明：.四边形ABCD是正方形，:.BA=AD=DC,ZBAD=NADC=90.在小 EADDA FDC 中，EA=FD,ED=FC,AD=DC,/.EADAFDC.,.ZEAD=ZFDC.ZEAD+ZDAB=ZFDC+ZCDA,即 NBAE=NADF.在4 BAE和AADF中，BA=AD,ABAEZADF,AE=DF,/.BAEAADF.*.BE=AF,ZABE=ZDAF.VZDAF+ZBAF=90,:.ZABE+ZBAF=90,AAFIBE.(3)结论都能成立.考点：正方形，等边三角形，三角形全等20、(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付300元 和 140元；(2)单独请乙组需要的费用少；(3)甲乙合作施工更有利于商店.【解析】(1)设甲组单独工作一天商店应付x 元，乙组单独工作一天商店应付y 元，根据总费用与时间的关系建立方程组求出其解即可；(2)由甲乙单独完成需要的时间，再 结 合(1)求出甲、乙两组单独完成的费用进行比较就可以得出结论；(3)先比较甲、乙单独装修的时间和费用谁对商店经营有利，再比较合作装修与甲单独装修对商店的有利经营情况,从而可以得出结论.【详 解】解：(1)设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元.由题意得：8x+8y=35206x+12y=3480解 得：*x=300y=140答：甲、乙两组工作一天，商 店 各 应 付300元 和140元单独请甲组 需 要 的 费 用：300 x12=3600元.单独请乙组需要的费用：24x140=3360元.答：单独请乙组需要的费用少.(3)请两组同时装修，理由:甲单独做，需 费 用3600元,乙单独做，需 费 用3360元,少 赢 利200 x12=2400元，相 当 于 损 失6000元;少 赢 利200X24=4800元，相 当 于 损 失8160元;甲乙合作，需 费 用3520元,少 赢 利200 x8=1600元，相 当 于 损 失5120元;因 为51206000 0,不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.I Q 2 824、(1)顶 点(-2,-1)A(-1,0);(2)y=(x-2)2+l;(3)y=x2-y x+3,y=x2+-x +3,y=x2-4x+3,y=x2+-X +3.【解析】(1)将 点 B 和 点 C 代入求出抛物线L 即可求解.(2)将抛物线L 化顶点式求出顶点再根据关于原点对称求出即可求解.(3)将使得APAC为等腰直角三角形，作出所有点P 的可能性，求出代入=/+公+3 即可求解.【详解】(1)将 点 B(-3,0),C(0,3)代入抛物线得:鬻3+c,解得 M，则抛物线y=f+4 x +3.抛物线与X轴交于点A,0 =炉+4%+3，X|=-3,x2=-l,A(-1,0),抛物线L化顶点式可得y=(x+2-l,由此可得顶点坐标顶点(-2,-1).(2)抛物线L化顶点式可得y=(x+2)L l,由此可得顶点坐标顶点(-2,-1)；抛物线L的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称，对称顶点坐标为(2,1),即将抛物线向右移4个单位，向上移2个单位.(3)使得A P A C为等腰直角三角形，作出所有点P的可能性.A C是等腰直角三角形FA=CA,Z C A O+Z A C O=9 0 ,Z C A O +ZFAE=9 0 ,Z C A O =PA E,.E A=N C O A =9 0。，A C 4 O =A A E（A4 S）,求得（-4）.，同理得与（2,-1）（3,4）,4（3,2）,2Q1 Q由题意知抛物线 y=x?+公+3并将点代入得：y=x2+x+3,y=x2-4 x+3,y=x2+-x+3,=x2-x+3.【点睛】本题主要考查抛物线综合题，讨论出P点的所有可能性是解题关键.