高中物理运动学专题讲义.pdf

高中物理运动学专题(总14页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除运动学第一 讲基本知识介绍一.基本概念1.质点2.参照物3.参照系一一固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点）4.绝对运动，相对运动，牵连运动:二.运动的描述v =v +v绝 相 奉1 .位置：r=r（t）2 .位移：r=r（t+t）r（t）3 .速度：v=l im A r/A t.在大学教材中表述为：v=d r/d t,表示r 对t求导数4.加速度=2+2 a:法向加速度，速度方向的改变率，且 a=V2/p,p 叫做曲率半径，（这是小学物理竞赛求曲率半径的唯一方法）a,:助向加速度，速度大小的改变率。a=d v/d t5 以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。可是三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=m a,即直接和加速度相联系。（a 对t的导数叫“急动度”。）6 由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较好三.等加速运动v (t)=v +at0r(t)=r+v t+1/2 at 20 0一道经典的物理问题：二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度V 沿各种角度发0射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险（注：结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线。此抛物线为在大炮上方h=v z/2 g 处，以vo平抛物体的轨迹。）练习题：一盏灯挂在离地板高1 ,天花板下面1处。灯泡爆裂，所有碎片以同样大2 1小的速度V 朝各个方向飞去。求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。）四.刚体的平动和定轴转动1.我们讲过的圆周运动是平动而不是转动2.角位移6=6（t）,角速度3=d 6/d t ,角加速度=d 3/d t3.有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量4._ 同一刚体上两点的相对速度和相对加速度 两 点的相对距离不变，相对运动轨迹为圆弧，C2AV =V +V ,在A B连线上AB投影:V =V ,a =a +a a =a n +a】AB B AB A B AB,AB,AB,例：A,B,C三质点速度分别V、，V；,求G的速度。AB,a IBVC垂直于A B,a.=V 2/A BAB AB五.课 后 习 题：一只木筏离开河岸，初速度为V,方向垂直于岸边，航行路线如图。经过时间T木筏划到路线上标有符号处。河水速度恒定U用作图法找到在2 T,3 T,4 T时刻木筏在航线上的确切位置。五、处理问题的一般方法(1)用微元法求解相关速度问题 为=例1：如图所示，物 体A置于水平面上，A前固定一滑轮B,高/台上有一定 滑 轮D,一根轻绳一端固 定 在C点，再绕过B、D,BC段/水平，当以恒定水平速度v拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，%|c求当跨过B的两段绳子的夹角为a时，A的运动速度。从(v =)A 1+COSa(2)抛体运动问题的一般处理方法1.平抛运动2.斜抛运动3.常见的处理方法(1)将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动(2)将沿斜面和垂直于斜面方向作为x、y轴，分别分解初速度和加速度后用运动学公式解题(3)将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动两个分运动，用矢量合成法则求解例2：在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h,若出手时的速度为V ,0求以何角度掷球时，水平射程最远最远射程为多少第二讲运动的合成与分解、相对运动(一)知识点点拨(1)力的独立性原理：各分力作用互不影响，单独起作用。(2)运动的独立性原理：分运动之间互不影响，彼此之间满足自己的运动规律(3)力的合成分解：遵循平行四边形定则，方法有正交分解，解直角三角形等(4)运动的合成分解：矢量合成分解的规律方法适用A.位移的合成分解B.速度的合成分解C.加速度的合成分解3参考系的转换：动参考系，静参考系相对运动：动点相对于动参考系的运动绝对运动：动点相对于静参考系统(通常指固定于地面的参考系)的运动牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动(5)位移合成定理：S =S +S .4A.、a A对地 A 对B B 对地速度合成定理：V绝对 斗 相 对+v秘 悴 对 地 火 车 在 雨 中 以3 0 m/s的速度向南行驶，雨滴被风吹向南方，在地球上静止的观察者测得雨滴的径迹与竖直方向成2 1角，而坐在火车里乘客看到雨滴的径迹恰好竖直方向。求解雨滴相对于地的运动。提示：矢量关系入图答案：s 某 人 手 拿一只停表，上了一次固定楼梯，又以不同方式上了两趟自动扶梯，为什么他可以根据测得的数据来计算自动扶梯的台阶数？提示：V人对梯=nl/tlV梯对地=n/t2V人对地=n/t3V人对地=V人对梯+V梯对地答案：n=t tn/(t-t)t2 3 1 2 3 1(3)某人驾船从河岸A处出发横渡，如果使船头保持跟河岸垂直的方向航行，则 经l O mi n后到达正对岸下游1 2 0 m的C /处，如果他使船逆向上游，保 持 跟 河 岸 成a角的方向航行，/则经过恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。提示：1 2 0=V 水*6 0 0 ,D=V 船*6 0 0答 案:2 0 0 m(4)一船在河的正中航行，河 宽l=1 0 0 m,流 速u=5 m/s,并在距船s=1 5 0 m的下游形成瀑布，为了使小船靠岸时，不至于被冲进瀑布中，船对水的最小速度为多少？提示：如图船航行答案：s(三)同步练习1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为P =3 0 ,另一次安装成倾角为3 =1 5 o问汽车两次速度之比 为多少时，司酎都是看见冰雹都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开(冰雹相对地面是竖直下落的)2、模型飞机以相对空气v=3 9 k m/h的速度绕一个边长2 k m的等边三角形飞行，设 风 速u=2 1 k m/h ,方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同，试求：飞机绕三角形一周需多少时间？43.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片（俯视）。两列车沿直轨道分别以速度v=5 0 k m/h 和v=7 0 k m/h 行驶，行驶方向如箭头所示，求成速。-4、细杆A B 长L ,两端分别约束在x、y轴上运动，（1）试求杆上与A点相距a L （0 a V I）的P 点运动轨迹；（2）如 果 v 为已知，试 求 P点 的 x、y向分速度vAPx和 V对杆方位角o 的函数。Py（四）同步练习提示与答案1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案为：302、提示：三角形各边的方向为飞机合速度的方向（而非机头的指向）；第二段和第三段v 大小相同。参见右图，显然：V2=v,+U2令2 v uc o sl2 0合可解出v 八=2 4 km/h。答 案:（最 1 2 mi n.）。3、提示：方法与练习一类似。答案为：34、提示：（1）写成参数方程x=a L s i n O后消参数0 ojy =（I-a）L c o s0（2）解法有讲究：以A端为参照，则杆上各点只绕A转动。但鉴于杆子的实际运动情形如右图，应有v=奉V c o s o ,V =V 2 .,可知B 立林目对A转 A si n0,的转动线速度为：v+v s in 0=。,转 入 si nGP 点的线速度必为-=vsi n0 相所以 v=v c o s 0+v,v=vPx相 Ax Py Ay v si n 0相5答案：(1)+尸 =1 ,为椭圆；(2)v=a v c tg O ,v(a )2 (1-a)2 z Px A I=(1 a)vA第四部分曲线运动万有引力第一讲基本知识介绍一、曲线运动1、概念、性质2,参量特征二、曲线运动的研究方法一一运动的分解与合成1、法则与对象2、两种分解的思路a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动）建立坐标的一般模式一一沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想一一根据解题需要建直角坐标或非直角坐标。b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）基本常识：在考查点沿轨迹建立切向T、法向n 坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。ZF=ma动力学方程：1，其中a改变速度的大小（速率），a 改变速度Z F=ma T n1n n的方向。且a =m 2 1,其中P表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只n P涉及法向动力学方程。三、两种典型的曲线运动1、抛体运动（类抛体运动）关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面，有灵活处理的余地。2、圆周运动匀速圆周运动的处理：运动学参量V、3、n、a、f、T之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。四、万有引力定律1、定律内容2、条件a、基本条件b、拓展条件：球 体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展一一对球体外一点A的吸引等效于位于球心的质量为球的质量的质点对质点A的吸引；6球 体（密度呈球对称分布）鲍 空 间 的 拓 展“剥皮法则”一一对球内任一距球心为r的一质点A的吸引力等效于质量与半径为r的球的质量相等且位于球心的质点对质点A的吸引；球 壳（密度呈球对称分布）外部空间的拓展一一对球壳外一点A的吸引等效于位于球心的质量为球壳的质量的质点对质点A的吸引；球 体（密度呈球对称分布）内部空间的 拓 展 一一对球壳内任一位置上任一 质 点A的吸引力都为零；并且根据以为所述，由牛顿第三定律，也可求得一质点对球或对球壳的吸引力。c、不规则物体间的万有引力计算一一分割与矢量叠加3、万有引力做功也具有只与初末位置有关而与路径无关的特征。因而相互作用的物体间有引力势能。在任一惯性系中，若规定相距无穷远时系统的万有引力势能为零，可以证明，当两物体相距为r时系统的万有引力势能为E=P一mm（j 1 2五、开普勒三定律天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。六、宇宙速度、天体运动1、第一宇宙速度的常规求法2、从能量角度求第二、第三宇宙速度万有引力势能E=-G叫 叫3、解天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识第二讲重要模型与专题一、小船渡河物理情形：在宽度为d的河中，水流速度v,恒定。岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率v渡河，但船头的方向可仅选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移。模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度y和水相对河岸的速度V合成。可以设船头与河岸上游夹角为0（即v的 方 21向），速度矢量合成如图1（学生活动）用余弦定理可求V合的大小7V =/V2+V2-2v V COS0合 V I 2 1 2（学生活动）用正弦定理可求V 的方向。令 V 与河岸下游夹角为a,则合 合.v sin 0a=arcsin V2+V2-2v v cosG1、求渡河的时间与最短时间由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求。针对这一思想，有以下两种解法S解法一：t=上v合其中V 可用正弦定理表达,合d上L 七 d/sina故 有 t=VI Sint）二 V Fin。sin a解法二：t=一=图 2V1d/sin0 _ dv v sin 0i i此外，结合静力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标X、y,然后先将v 分 解（v 无需分1 2解），再合成，如 图 2 所示。而且不难看出，合运动在x、yv、v 以及v 具有以下关系lx ly 2V =Vy lyV =V -Vx 2 l x由于合运动沿y 方向的分量S三 d,故有y解法三：t=&=dv v v sin 0y iy t（0）函数既已得出，我们不难得出结论v 和 V与v 在 X、y 方向的分量x y 1当 o=9 0 时，渡河时间的最小值t=Amin v1（从“解法三”我们最容易理解t 为什么与V无关，故 t也 与 V无关。这2 min 2个结论是意味深长的。）2、求渡河的位移和最小位移在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即8S =Q =d J v2 +v2-2 v v c o n O件 si n a _ sin 0 V si n 0V合但 s，（O）函数l i 较复杂，寻求s,.的极小值并非易事。因此，我们可以从其它痴面作一些努力。将 S,沿 x、y 方向分解成S和 S ,因 为 S三 d ,要,S极小，只 要 S极小就行了；而 S （0 ）函数可以这碎求一一,XS d解法一：S =v t=（v-v）y =（v _ v c o s 0 ）_ _ _ _ _xx 2 i x v 2 i v si n 0y i为求极值，令 c o s0 =p,则 si n 9=1 方，再将上式两边平方、整理，得到V 2（S2+d 2）p 2-2 v V d 叩+d 2V 2-s 2 V 2=01 x 1 2 2 x I这是一个关于P的一元二次方程，要 P有解，须满足（），即4V 2 V 2 d 4 2 4V 2（S2+d 2）（d 2 V 2-S2 V 2）I 2 I x 2 x I整理得 S2 V2 2 d 2（V 2-V 2）x I 2 Id .,v所以，S =_ J v 2 -V 2,代入S （o ）函数可知，此时c o s 0 =_ J _xm i n v 2 1 x y12V最后，S =J S 2 +S 2 =dm i n xm i n y y1此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。结论得出后，我们还不难发现一个问题：当 v V v 时，S d ,这显然与事实不符。（造成这个局面的原因是：2 1 m i n在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉。解法二：纯物理解一一矢量三角形的动态分析从图2 可知，S恒定，S越小，必有S,矢量与下游河岸的夹角越大，亦即v 货量与下游河岸的夹角越大（但不得大于9 0。）o我们可以通过丫与2 V合成/矢量图探讨v 与下游河岸夹角的最大可能。先进行平行四 形到三角形而变换，如 图 3,所示。当 0 变化时，v合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图4所示。从图4不难看出，只有当v 和虚线半圆周相切时，v与 v （下游）的夹角合 合 2才会最大。此时，V v ,v、v和 v 构成一个直角三错形，a合 1 12 合 m a x.Va r cs m iv29V1 v合并且，此时：0=Varccosrv2有了 a的值，结合图1可以求出：S=二dmax合 min 丫1最后解决V v时结果不切实际的问题。从 图4可以看出，当VV时，V2 I2 IV不可能和虚线半圆周相切（或a=arcs in r无 解），结合实际情况，a合max v max2取90即：v v 时，S=d,此时，0=arccos匕.2 1 台 min W结论：若VV1 29=a rc c o si 口 寸，S=V合 min V21若 V 0,故v W O o （学生活动：若 换 一 个v值，在A B阶段,n0V =0是可能出现的；若将绳子换成轻杆，在B C阶 段V =0也是可能出现的。）下面先解脱离点的具体位置。设脱离点为D,对应方位角为0,如 图8所示。由于在D点之后绳子就要弯曲，则此时绳子的张力T为零，而此时仍然在作圆周运动，故动力学方程仍满足G =G s i n 0=m V 2 在再针对A-D过程，小球机械能守恒，即（选A所在的平面为参考平面）：1/、1_ m V 2 +0=m g （L +L s i n 9）+_ m v 2 2o2 D代 入V值解、两式得：0=a r c s i n ,（同时得到：v =I-0L ）小。3 V3球 脱 离D点 后 将 以v为初速度作斜向上抛运动。它所能到达的最高点（相对DA）可以用两种方法求得。解法一：运动学途径。先求小球斜抛的最大高度，h =9。=（1 -s i”。）“2g 2g5代 入0和V的值得：h =一 L 27小球相对A的总高度：H =L +L s i n 0+h =竺Lmm 27解法二：能量途径小球在斜抛的最高点仍具有 的水平分量，即:S i n e二:厚。对A-最高科的过程用皆械能守恒定律（设A所在的平面为参考平面），有_ m v 2+o =_ m （v s i n 0）2 +m g H2 o 2 D n,容易得到：H =H L“27五、万有引力的计算物理情形：如 图 9 所示，半径为R 的均质球质量 为 M,球 心 在 0 点，现在被内切的挖去了一个半径 为 R/2 的球形空腔（球心在0 ）。在 0、0 的连线上距离0点为d的地方放有一个很小的、质 量 为m的物体，试求这两个物体之间的万有引力。模型分析：无 论 是“基本条件”还 是“拓展条件”，本模型都很难直接符合，因此必须使用一些特殊的处理方法。本模型除了照应万有引力的拓展条件之外，着重介绍“填补法”的应用。空腔里现在虽然空无一物，但可以看成是两个半径为R/2的球的叠加：一个的质量为+M/8,一个的质量为一M/8。然后，前者正好填补空腔一一和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质球A ；注意后者，虽然是一个比较特殊的物体（质量为负值），但仍然是一个均质的球体，命 名 为B。既然A、B两物均为均质球体，他们各自和右边小物体之间的万有引力，就可以使用“拓展条件”中的定势来计算了。只是有一点需要说明，B物的质量既然负值，它 和m之间的万有“引力”在方向上不再表现为吸引，而应为排斥一一成了“万有斥力”了。具体过程如下 八MmF=GMm-R-8(d-R 2最后，两物之间的万有引力F=F+F=GM m-G M mA m d 2 8（d-1）2需要指出的是，在一部分同学的心目中，可能还会存在另一种解题思路,那就是先通过力矩平衡求被挖除物体的重心（仍然要用到“填补法”、负质量物体的重力反向等），它将在0、0 的连线上距离0点左侧R/14处，然后“一步到位”地求被挖除物与M_ mF=G-（d+_）214m的万有引力然而，这种求法违背了万有引力定律适用的条件，是一种错误的思路。六、天体运动的计算物理情形：地球和太阳的质量分别为m和M ,地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a，半短轴为b,如 图11所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度，以及轨迹在A、C两点的曲率半径。模型分析：求解天体运动的本来模式，常常要用到开普勒定律（定量）、机 械 能 守 恒（万有引力势能）、椭圆的数学常识等等，相对高考要求有很大的不同。地球轨道的离心率很小（其值9%,其 中Ca为半焦距），这是我们常常能将它近似为圆的原图1114因。为了方便说明问题，在 图1 1中，我们将离心率夸大了。针对地球从A点运动到B点的过程，机械能守恒1mV2+2 Az八 M m、1 /-M m、(G)=_mv2+(G)a-c 2 B a+c比较A、B两点，应用开普勒第二定律，有：v(a-c)=v(a+c)AB结合椭圆的基本关系：c=Ja 2-b2ba-V a2-b2解以上三式可得：V =a+VB再针对地球从A到C的过程，应用机械能守恒定律，有1/八 M m、1 ,八 Mm、_mV2+(G)=_mv 2+(G)2 A a-c 2 c a代 入V值可解得:A为 求A、C两点的曲率半径，在A、C两点建自然坐标，然后应用动力学(法 向)方 程。在A点，F=ZF=m a,设轨迹在A点的曲率半径为P,即：万 n n A Mm V2G_二 m A(a-c)2 p代 入v值可解得：P=_A a a在C点，方程复杂一些，须将万有引力在T、n方向分解，如 图1 2所示。八 V2然后，F=2F =m a,即：F co s=m-万n n n 万 pMm b V2即：G,=m_Qa2 a pc代 入V值可解得：p=上C r值得注意的是，如 果 针 对A、C两点用开普勒第二定律，由 于C点处的矢径r和瞬时速度v不垂直，方程不能写作v(a c)=v a oC AC正确的做法是：将V分解出垂直于矢径的分量(分解方式可参看图1 2,但分解的平行四边形未画由)v cosO,再 用v(a-c)=(v cos 0)a,化简C AC之后的形式成为15v(a c)=v bA C要理解这个关系，有一定的难度，所以建议最好不要对A、C 两点用开普勒第二定律第三讲典型例题解析教材范本：龚霞玲主编 奥林匹克物理思维训练教材，知识出版社,2002年 8 月第一版。例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题。16