人教版数学八年级上册第十二章轴对称.pdf

第一课时：12.1.1轴对称（一）教学目标一、知识与技能1、在生活实例中认识轴对称图.2、轴对称图形和两个图形成轴对称的联系和区别。二、过程与方法分析轴对称图形，理解轴对称的概念.三、情感态度价值观让学生体会数学的对称美在生活中的广泛应用和体现。教学重点：轴对称图形的概念.教学难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.教学方法：探究、实践操作练习预习导航1、分析轴对称图形，理解轴对称的概念.2、两个图形成轴对称即对称点的概念3、轴对称图形和两个图形成轴对称的联系和区别。教学过程一、图片展示，引入新课轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第卜二章：轴对称.今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴.二、新知探究1、轴对称图形及对称轴的概念形成（1）出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征.这些图形都是对称的.这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合.（2）概念形成如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.（3）学生举例（4）制作学具，强化概念取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流.结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合.由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合.接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题.有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。（5）例题讲解下列各图，你能找出它们的对称轴吗？结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴;图（5）有七条对称轴.2、两个图形关于某条直线对称概念形成（1）展示挂图，大家想-一 想，你发现了什么？（2）制作学具，交流讨论总结定义像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.（3 ）两个图形成轴对称与全等图形的关系（课本P 3 1思考）.结论：成轴对称的两个图形全等.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等,并且也是成轴对称的.轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说个具有特殊形状的图形.3、两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.三、巩固练习A组：课本P 3 0练 习P 3 1练习B组：1、找出英文2 6个大写字母中哪些是轴对称图形？2、你能举出三个是轴对称图形的汉字吗3、练习册习题C组：1、用两个圆、两个三角形、两条平行线构造轴对称图形，别忘了要加上一两句贴切、诙谐的解说词。四、课时小结这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称.五、作业课本习题1 2.1的2、7题.六、板书设计 1 2.1.1 轴 对 称（一）一、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.三、两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别教学反思:第二课时：1 2.1.2 轴对称（二）轴对称的性质教学目标一、知识与技能：了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质.二、过程与方法：探究线段垂直平分线的定义.三、情感态度价值观：经历探索轴对称图形性质的过程，进步体验轴对称的特点，发展空间观察.教学重点：轴对称的性质和线段垂直平分线的定义.教学难点：体验轴对称的特征.教学方法：探究、引导预习导航：1.了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质.（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.（2）关于某条直线对称的两个图形全等，对应线段对应角相等2.探究线段垂直平分线的定义教学过程-回顾复习、引入新课提问轴时称图形与两图形成轴对称的定义，今天继续来研究轴对称的性质.二.新知探究 MI1、探究轴对称的性质 在声一8如图，AABC A AZ B C 关于直线MN对称，点A、B、C 分别是点 A、B、C 的对称点，/I 1 1 0，N(1)A A B C和4 A B C 有什么关系？对应线段、对应角有什么关系？(2)线段A A、B B、C C 与直线M N有什么关系？(3)延长对应线段，两条延长线相交吗？交点与对称轴有什么关系？教师引导学生讨论归纳轴对称的性质：a、关于某条直线对称的两个图形全等，对应线段对应角相等b、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何对对称点所连线段的垂直平分线.c、成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上。2、探究线段垂直平分线的定义(1)学生活动：自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系。我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.(2)归纳定义：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.三、例题讲解例1如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等?哪些线段相等?例2如图，四边形A B C D与四边形E F G I I关于M N对称。(1)/、氏G 的对称点分别是,线段4 G 4?的 对 应 线 段 分 别 是,CD=N C B A=,AADC=.(2)4 5 1与跖平行吗？为什么？(3)延长线段AB、E F,两条延长线相交吗？交点与对称轴有什么关系？N四、巩固练习课本习题12.13、4、10题.五.课时小结这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的定义六、课后作业七、板书设计 12.1.2 轴 对 称（二）一、图形轴对称的性质二、线段垂直平分线的定义课后反思：第三课时：12.1.2轴对称（三）线段的垂直平分线的性质教学目标一、知识与技能：线段垂直平分线的性质二、过程与方法：利用线段垂直平分线性质证明线段相等三、情感态度价值观：经历探索线段垂直平分线性质的过程，进一步培养学生探究能力教学重点：线段垂直平分线的性质.教学难点：探究线段平分线性质教学方法：探究、引导预习导航：1.线段垂直平分线的性质2、利用线段垂直平分线性质证明线段相等教学过程复习回顾，引入新课1、复习轴对称的性质2、复习线段垂直平分线的定义今天继续来研究线段垂直平分线的性质.新知探究1、探究线段垂直平分线的性质 探究1 如下图.木条L与 A B 钉在一起，L垂直平分A B,P i,P2,P 3,是 L 上的点,分别量一量点R,P 2,P”到 A与 B的距离，你有什么发现？(1)用平面图将上述问题进行转化，先作出线段A B,过 A B 中点作A B 的垂直平分线 L，在 L 上取 P i、P 2、P 3，连结 A P i、A P2,BPI、B B、CPH C P2-(2)作好图后，用刻度尺量出它的长度A P i、A P2 BPI、B P?、CPI、C P 2 讨论发现什么样的规律.总结归纳性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即A P i=B P“A P z=B P z,2、证明线段垂直平分线的性质引导学生画出图形，写出已知、求证。(1)证法一：利用判定两个三角形全等.如下图,在A A P C 和A B P C 中，P C=P CN P C A=/P C B=9 0 =A C=B C=A A P C A B P C =P A=P B.(2)证法二：利用轴对称性质.由于点C是线段A B 的中点，将线段A B 沿直线L 对折，线段P A 与 P B 是重合的，因此它们也是相等的.三、例题讲解例 1 图 8是某跨河大桥的斜拉索，图中A O=B O,P O L A B,则必有P A=P B,为什么？例 2如图，A A B C 中，A B=A C=1 8 c m,B C=1 0 c m,A B 的垂直平分线E D 交 A C 于 D点，求：Z X B C D 的周长。四.巩固练习（-）课本P 3 4 练 习 1、（二）1、已知互不平行的两条线段A B,A B 关于直线1 对称,A B,A B 所在的直线交于点P,判断卜一列正误。1)A B=A B()2)点 P在直线1 上（）3)若 A,A 是对称点，则 1 垂直平分线段A A，（）4)若 B,B是对称点，则 P B=P B（）（三）如右图所示，直线M N 和 D E 分别是线段A B、B C 的垂直平分线，它们交于P点，请问P A 和 P C相等吗?为什么？五.课时小结这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题.六、课后作业（-）课本习题1 2.1 的第5题.（二）复习题1 2 第 5 题七、板书设计 1 2.1.2 轴 对 称（二）一、复习线段垂直平分线的定义二、线段垂直平分线的性质课后反思:第四课时：12.1.2轴对称(四)线段的垂直平分线的判定教学目标一、知识与技能：线段垂直平分线的判定二、过程与方法：利用线段垂直平分线判定证明线段相等或垂直三、情感态度价值观：经历探索线段垂直平分线判定的证明过程，进一步培养学生探究能力教学重点：线段垂直平分线的判定.教学难点：探究线段平分线判定教学方法：探究、引导预习导航：1.线段垂直平分线的判定2、利用线段平分线判定证明线段相等或垂直3、成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；教学过程一.创设情境，引入新课如下图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？三.新知探究1、探究线段垂直平分线的判定(1)活动：1.用平面图形将上述问题进行转化.作线段A B,取其中点P,过 P 作 L,在 L上取点R、P 2,连结APi、APz、BP,.BP2.会有以下两种可能.2.讨论：要使L与 A B 垂直，A P i、A P?、B P i、B P z 应满足什么条件？（2）探究过程：1 .如上图甲,若A P H B P i,那么沿L 将图形折叠后，A与 B不可能重合,也就是N A P P i W N B P P,即 L与 A B 不垂直.2 .如上图乙，若 A P 产 B P”那么沿L 将图形折叠后,A与 B恰好重合,就有N A P P 尸N B P P”即 L 与 A、B重 合.当 A P 尸 B P 2 时，亦 然.（教师引导学生写出证明过程）（3）探究结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.也就是说在探 究 2 图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直.（4）总结概括线段垂直平分线的判定，即：与条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2、证明线段垂直平分线的判定已知：线段四，点 Z7是平面内一点且PA=7%求证：。点在力6的垂直平分线上.（分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程）（1）证法一：证明：过点夕作已知线段4 8 的垂线A C:Pk=PB,PC=PC,：.R心NCRtXPBClHL 定理）.:.AC=BC,即一点在4 7的垂直平分线上.(2)证法二：证明：取4 3的中点G过尸C作直线.：AP=BP,PC=PC,AC=CB,：./APC/BPCSSS).，/心=/夕龙(全等三角形的对应角相等).又./尸口+/尸g l 8 0 ,:P C A=N P C 4 9 G ,l|J PC LAB.夕点在4?的垂直平分线上.(3)证法三：证明：过P点作N 4阳的角平分线.：AP=BP,Z1=Z 2,PC=PC,:A A P作BPCkSAS.：.AC=DC,/心(全等三角形的对应角相等，对应边相等).又./心+/A庞=180,:./P C A=/PCB=9Q.尸点在线段4?的垂直平分线上3、概括线段垂直平分线的性质与判定的区别与联系线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线匕所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.三、例题解析见课本P38页 的12题四.巩固练习(-)课本P34练 习 2.五.课时小结这节课通过探索了解了线段的垂直平分线的判定，同学们应灵活运用这些判定来解决问题.六、课后作业(-)课本习题12.1 12题.七、板书设计 12.1.2轴对称(四)线段的垂直平分线的判定一、复 习：线段垂直平分线的定义及图形轴对称的性质二、线段垂直平分线的判定课后反思:第五课时：12.1.2轴对称(五)一利用轴对称的性质作图教学目标一、知识与技能：掌 握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”二、过程与方法：熟练画出轴对称图形的对称轴。三、情感态度价值观：培养良好的动手实践能力。教学重点：验证个图形是不是轴对称图形教学难点：画轴对称图形的对称轴。教学方法：动手操作，探究预习导航：1、尺规作图：线段垂直平分线的做法2、根据轴对称的性质做轴对称图形的对称轴3、利用线段垂直平分线的性质作图4、利用线段垂直平分线的性质与角平分线的性质综合作图教学过程一、提出问题1、如果我们感觉两个图形是轴对称的，你准备用什么方法验证？2、两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什么方法画出它的对称轴？二、学习新知1、画一条线段的垂直平分线（尺规作图）课本P34 页已知：线段四（如图）.求作：线 段 的 垂 直 平 分 线.作法：1.分别以点4和 5为圆心，以大于4?的长为半径作弧，两弧相交于点。和2.作 直 线 必直线中就是线段4 7 的垂直平分线.2、问：这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线？三、例题解析例 1、试着画出下边两个轴对称图形的对称轴。例 2、下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，并完成下表。图形长方形正方形三角形等腰三角形等边三角形平行四边形任意梯形等腰梯形圆对称轴的条数四、随堂练习A组1：画出以下图形的对称轴辱 B组1：下面的虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是?2、课本P 37 习题7、11四、小结1、线段垂直平分线作法2、画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法(1)将图形对折(2)尺规作图(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后画垂线五、作业习题 12.16、9、六、板书设计 12.1.2轴对称(五)一利用轴对称的性质作图一、情境导入二、探究新知三、例题解析课后反思:第六课时：12.2作轴对称图形教学目标一、知识与技能：通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换.二、过程与方法：作出-一个图形关于条直线的轴对称图形.三、情感态度价值观：通过动手操作进一步培养学生实践操作能力教学重点1.轴对称变换的定义.2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.教学难点1.作出简单平面图形关于直线的轴对称图形.2.利用轴对称进行一些图案设计.教学方法：动手实践操作预习导航：1、利用轴对称性质作一个点、一条线段、一个三角形关于某条直线的对称点、线段、三角形2、作一个图形经轴对称变换后的图形3、利用轴对称变换设计一些简单的图案教学过程一、创设情境，引入新课1、复习回顾轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题.2、操作实践，引出课题活 动1将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形.活动2准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕.再将纸打开后铺平，位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的.这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形.二、新知探究由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案.对称轴方向和位置发生变化时.，得到的图形的方向和位置也会发生变化.大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途.下面，同学们自己动手在一张纸上画个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下.结论：1、由一个平面图形可以得到它关于 条直线L对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；2、新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；3、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.4、两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上。我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的.三、例题讲解1、如图，已知点A和直线1,试画出点A关于直线1的对称点A。请说说你的画法2、作aABC关于直线1的对称的图形4A B C归纳：见P41三.随堂练习1、已知4 A B C,及点A 的对称点A,请作出对称轴直线1,并画出A A B C 关于直线1 的对称图形。C2.如图（1）,请画出三角形关于直线1 对称的图形。3、为学校运动会设计一徽标，要求贴近学生生活，突出运动主题，是轴对称图案。四.课时小结本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案.在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案.五、作业习题 1 2.2 1、5、1 0板书设计1 2.2.做轴对称图形一、轴对称变换山一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.二、利用轴对称变换设计图案课后反思:生活中的距离最短问题教学目标：一、知识与技能：利用轴对称变换解决实际问题二、过程与方法：利用作图解决生活中的问题三、情感态度价值观：通过动手操作进一步培养学生实践操作能力教学重点：极值问题的解决教学难点：极值问题的说理证明教学方法：探究引导预习导航：极值问题的解决、说理及证明教学过程：一、情境导入：复习回顾1、轴对称概念的内容是什么？2、轴对称具有什么性质？二、讲解新课今天，我们要应用上述性质来解决一个实际问题.探究1若A、B是直线a两侧的已知点，现要在a上作出一点C,使AC+CB为最小，怎么办呢？请同学们在白纸上作出点C.图 2生：这个问题容易解决，连结AB,设其交直线a于点C,则点C即为所求.探究2如 图(1).要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？B-B.过程：把管道L 近似地看成一条直线如图(2),设 B是 B A /d 】的对称点，将问题转化为在L 上找一点C使 A C 与 C B 的和最小，由于在连结A B 的线中，线 段 A B 最短.因此，线 结 A B 与直线L的交点C的位置即为所求.结果：作 B关于直线L的对称点B,连结A B ,交直线L于点C,C为所求.三、例题讲解为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明A C+C B 最小.结果：如上图，在直线L 上取不同于点C的任意一点C .由于B点是B点关于L的对称点，所以B C =BC,故 AC+B C =A CZ+B C 4AA,B C中 A C +B C A B(,而 A B =A C+C BZ=A C+C B,贝有A C+C B D F B.D E D F C.D E=D F D.不能确定 D E、D F 的大小.7.等腰三角形的一个外角等于1 0 0 ,则与它不相邻的两个内角的度数分别为()A.4 0 ,4 0 B.8 0 ,2 0 C.5 0 ,5 0 D.5 0 ,5 0 或 8 0 ,2 0 8、下列判断正确的是（)A.点（-3,4）与（3,4）关于x 轴对称 B.点（3,-4）与 点（-3,4）关于y 轴对称C.点（3,4）与 点（3,-4）关于x 轴 对 称 D.点（4,-3）与 点（4,3）关于y 轴对称二、填空题9.如图，在a A B C 中 BC=5。?，BP、C P 分别是N A B C 和N A C B 的角的平分线，且 P D A B,P E/7 A C,则a P D E 的周长是cm1 0.等腰三角形有一个外角是1 0 0，那么它的的顶角的度数为1 1.如图，Z A BC 中，D E 垂直平分A C,与 A C 交于E,与 BC 交于D,Z C=1 5,Z BA D=6 0,则4A BC 是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三角形.1 2.如 图，A A BC 中，Z C=9 0,D E 是 A B 的垂直平分线，且/BA D：Z C A D=3：1,贝 l J/B=l i t题 第12题图 第13题图1 3 .如图，分别作出点P关于0 A、0 B 的对称点R、P2,连结P R,分 别交0 A、0 B于点M N,若 P R=5 c m,则A P M N 的周长为.三、解答题1 4 .如图，直线a,b,c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有儿处？如何选？1 5 .如 图,ZXA B C 中，ZB A C=1 1 00,E、G 分别为 A B、A C 中 点,D E A B,FG A C,求N D A F.1 6、如 图,A A B C 中,A B=A C,A D 1 B C,D E/A C,试说明 A B D E 和 C A E D 都是等腰三角形1 7 已知：在 A A B C 中，A B=A C,点 D 在 A C 上,且 B D=B C=A D,求/C的度数。