数学知识手册.pdf

第一章数第一节整数整数(Z)包括正整数(乙)、负整数(Z-)和零，其中正整数和0 称为非负整数.自然数(N)包括正整数和0,最小的自然数为0.一、重要的数1.奇数与偶数 奇数：不能被2 整除的整数，可以表示为2 k+l,左为整数.偶数：能被2 整除的整数，包括0,可以表示为2&,%为整数.(3)偶数奇数运算性质：偶数土偶数=偶数 奇数土奇数=偶数 奇数上偶数=奇数奇数X奇数=奇数 奇数X偶数=偶数 偶数X偶数=偶数(4)两相邻整数必为一奇一偶，和为奇数，积为偶数；奇数个奇数的和差是奇数，偶数个奇数和差是偶数；奇数的正整数次事是奇数，偶数的正整数次事是偶数.2.质数与合数(1)质数：如果一个大于1 的正整数，只能被1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数(质数也称素数).如2,3,5,.(2)合数：一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这个正整数叫做合数.如4,6,8,.(3)重要性质1质数和合数都在正整数范围，且有无数多个，1 既不是质数也不是合数；2是唯一的既是质数又是偶数的整数，即是唯一的偶质数.大于2的质数必为奇数，质数中只有一个偶数2,最小的质数为2；最小的合数为4,任何合数都可以分解为几个质数的积，能写成几个质数的积的正整数就是合数.(4)互质数：公约数只有1 的两个数称为互质数，如 4 和 9.二、整数整除的特征当整数4 除以非零整数b,商正好是整数而无余数时，则称。能被人整除或6能整除4当整数。除以非零整数b,商为整数，但余数r 不为0时，称为非整除.其形式为：a b=cr ,即 a=b-c+r(04r被除数除数 商 余数b)被 除 数 除 数 商 余 数(1)0 能被任何非零自然数整除(2)被 2整除，个位数为2,4,6,8,0(3)各位数字之和能被3(或 9)整除，必能被3(或 9)整除后两(三)位能被4(8)整除，则必能被4(8)整除 个位是0或者5的数能被5整除(6)能被6整除的数必能被2,3 整除三、最大公约数与最小公倍数的关系(1)当 a 能被b整除时，称。是 b的倍数，。是 a 的约数.(2)几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数.几个数公有的倍数，叫做这几个2数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数.（3）最小公倍数的表示：数学上常用方括号表示，如 1 5,2 0 即为1 5 和 2 0 的最小公倍数.最大公约数的表示：数学上常用小括号表示，如（1 5,2 0）即为1 5 和 2 0 的最大公约数._a,b =,特别当（a力）=1,则。力=ab.（4）最小公倍数求法：分解质因数法（短除法）；公式法例如，求 1 2,1 8,2 0 ,运用短除法可得 1 2,1 8,2 0 =2 x 3 x 2 x l x 3 x 5=1 8 02|1 2 1 8 2 03|6 9 1 02|2 3 1 01 3 5第二节实数整数有理数。虫 有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数实数R 正无理数尢理数 尢限小循环小数负无理数一、分数、小数、百分数1.分数将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做3分数.真分数：分子(分母分数假分数：分子 分母2.小数有限小数：比如0.2 1小数 循环小数无限小数 混循环小数：0.312不循环小数：23.小数与分数互化(1)有限小数化为分数21用 1 0,1 0 0,1 0 0 0 等做分母，如 0.2 1=*)0(2)纯循环小数化为分数要 用9,9 9,9 9 9等这样的数做分母，其中“9”的个数等于一个循环节数字的个数；一个循环节的数字所组成的数，就是这个分数的分子.ab-g 2 1 7公式可表示为：O.ab-g=-,如0.21=9 9 9 9 9 3 3循环节位数9的个数为循环节位数(3)混循环小数化为分数分母要用9与0,其中“9”的个数等于一个循环节数字的个数，“0”的个数等于不循环的数字个数；分子是不循环的数字与一个循环节的数字所组成的数，再减去不循环的数字.3 1 2-3 3 0 9 1 0 3比如：().3 1 2=9 9 0 9 9 0-3 3 0 =44.百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数，通 常 用 ”来表示二、实数的整数部分与小数部分对于任意实数x ,用国表示不超过x的最大整数(从数轴上看，幻 应该在X的左侧)；令 x =x -x,称是X的整数部分，x 是X的小数部分.由定义可得出下列简单性质：(l)x=x%+(2)02%1例如，3.8的整数部分与小数部分：3.8 =3,3.8 =0.8.万的整数部分与小数部分：=3,7 7-=7 7 5-.三、有理数无理数运算(1)有理数(加减乘除)有理数=有理数(2)有理数(加减)无理数=无理数(3)有理数(非0)(乘除)无理数=无理数(4)0乘除无理数=有理数(0)(5)无理数(加减乘除)无理数=有理数或无理数(6)任 何 有 理 数 都 可 以 写 成.(6,n e Z,且 机*(),无理数无法表示成分子和分母都是整数的分数.(7)常见的三类无理数577-=3.14,-e-2.7182=常见无理数开不尽的根号：如2/取不尽的对数：如log2 3四、实数的运算1.乘方运算(1)当实数。主。时，/=1,(2)负实数的奇数次累为负数；负实数的偶数次累为正数.2.开方运算(1)在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是0;正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根.如：当时，。的平方根是上”，其中是正实数4的算术平方根.(2)在运算有意义的前提下，01s丁第 三 节 比 与 比 例、比(1)两个数a,b相除又可称做这两个数。与b的比，记做a:b其中，a叫做比的前项，匕叫做比的后项.若a除以的商为攵，则称左为a:。的比值.6(2)比的基本性质：a :b=k=a=kb a :b-ma:mbm 0)*二、比例外项、比例内项、比例中项a:h c:d b d如果两个比 和 的比值相等，就称a、c、成比例，a:b=c:d b d,d b记做，或J =J其中，。和 叫做比例外项，和C叫做比例内项.当=时，称6为a和d的比例中项，显然当心 b,d均为正数时，人是。和4的几何平均值.三、比例的性质(1)等式定理：a.b-c d nad-be.(2)更比定理：科 4 0%=上.反比定理：岸=/=.a+b c+dh da-b c-d=-b clamc；=i acb md bda c(4)合比定理=上da c(5)分比定理：=上a c(6)合分比定理：一=b d7a c e a+c+e等比定理：一=-b d f b+d+f四、正反比(1)若y =A r(Z 0,k为主常 数)，则称y与x成正比，氏为比例系数.注意：并不是x和y同时增大或减小才称为正比.比如当 0时，x增大时，y反而减小.k(2)若丁=一1(左0,%为*常 数)，则称y与x成反比，%为比例系数.8第二章代数式第一节数轴与绝对值实数。的绝对值定义为：1=-一、绝对值的性质a N 0 b a 或 a b.(7)运算性质：1 4 4 司扬I9图 1,Q0,aL!.=.=,即 L L L有且只有两个值i或者-i.a a-1,a0.a a二、绝对值三角不等式同一忸4 4 +汴4+小|其中，左边等号成立的条件:a b Q.11-11 1+|.三、绝对值的几何意义(1)|x-。|表示在数轴上x 点到a点的距离值.(2)|x-a+x-b 表示在数轴上x 点到a点与b点的距离之和.|工一。|+|戈一力|的最小值为|。一力|,无最大值，当 x 在与人之间时，取最小值.(3)1%-。I-I X-力 I表示在数轴上X点到a点与b点的距离之差.x-a-x-h 的最小值为一|。一|,最大值为|a-h f当x 在。与人之外时，分别取最小值和最大值，最小值与最大值互为相反数.(4)|x-a+x-b+x-c 表示在数轴上1 点到。点，b 点,c 点的距离之和.设abc,x-a +x-h +x-c 的最小值为10a-c ,无最大值，当x 在。与 c之间，且 x =b时，取最小值.(5)奇数个绝对值相加在中间零点处达到最小值；偶数个绝对值相加在中间两个零点范围内达到最小值.第二节整式一、乘法公式完全平方和(差)公式：(a Z?)2=a2 2ab+b1(2)完全立方和(差)公式：(a Z?)3=a3 3 a 2/?+3ab1+吩(3)平方差公式：。2 一.=3+。)仅一份(4)立方和(差)公式:。3 3 =3 份(。2而+b2)(5)乘法公式的推广：1 -M=(1 -a)(l +a+cr+a)2 2 2 1 2 2 2+b+c a b b c a c s (a b)(从 c)i (c+a)2(a +h+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac(6)两个多项式相等(定理)：两个多项式相等则其对应次数前系数相等，两个多项式任意取值多项式的值都相等.二、带余除法定理对任意两个实系数多项式/(无)，g(x)g(x)不是零多项式,11定存在多项式夕(X),r(x),使得/(x)=q(x)g(x)武幻成立+,这里 幻 为零多项式或(X)的次数小于g(x)的次数，且q(x)和G)都是唯一的.我幻称为g(x)除了(x)所得商式，r(x)称为g(x)除了(x)所得余式.三、因式定理/(x)能被(x -)整除 o x -/(x)=(x -a)-g(x)o/(x)含有因式G-a)f(6 1)=0。是/=(%)0 的根./G)能被(o r -匕)整 除=-)，()=/(x)=(ax-b)g(x)=/(x)含有因式(公-b)bo/=0a四、余式定理由于余式的次数要小于除式，所以当除式为一次表达式时，余式就为常数.用 一 次 多 项 式 X-。去 除 多 项 式 /(X),贝 IJ/(x)=q(x)(x a)-r,+等式两边将x =a代入，则余式r =/(a).即/(x)=q(x)(尤 a)f(a+).用 一 次 多 项 式 ax 一人 去 除 多 项 式f(x),则2是/=(x)0 的 根.a12f x-qx)ax b)-r,+等式两边将x=代入，则余式r =f(b/a).即 /(x)=q(x)(ax b)-f (b-d).五、双十字相乘法1 .十字相乘法用于分解abx1+(bp+aq)x+p q型的式子，这类二次三项式的特点是：二次项的系数、常数项是两个数的积；一次项系数是二次项系数的因数与常数项系数的因数乘积的和分解后abx2+(bp+aq)x+pq-(ax+p)(bx+q)2 .双十字相乘法当遇到二次六项式ax2+bxy+cy1+dx+ey+/时，用双十字相乘法进行因式分解，其步骤是：(1)用十字相乘法分解ax1+bxy+cy1,得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项/分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的分，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的公.则 ax2+bxy+c)r+dx+ey+f-(i x c+i y /+)(4 2 xc+zy f+2)13a,xf3央，ra ai=a,c a G力欠=/,=ac+ac=b,cf c+/e=,aj a+f d=1 2 2 i 1 2 2 1 1 2 2 114第三章函数一、集合1.集合的含义与表示(1)集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法：N 表示自然数集，N*或 N+表示正整数集，Z 表示整数集，。表示有理数集，R 表示实数集.2.集合间的基本关系名称记号意义性质示意图子集AQ B（或B 2 A）A 中的任一元素都属于BA U A 0 G A 若 A G 3且B Q C,则 A G C 若 A G 8且8 G A,则 A=8或15真子集A UB*(或B nA)AQ B,且 B中至少有一元素不属于A(1)0 u A(A 为非空子集)若 A u 8且*B UC,则 A u。*)集合相等A =BA 中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于 A(1)A CB(2)8 G A已知集合A 有(w 1)个元素，则它有2 个子集，它有2 -1 个真子集，它有2 -1 个非空子集，它有2 -2非空真子集.3.集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A BxxeA.且 X B(1)A A =A A 0-0(3)A B Q AA B Q B164.集合运算中常用结论并集ABx xeA,或 X 3(I)A A=A(2)A 0 =A(3)A B AA B?B补集CAux|x sU,且ACu(A B)=(CuA)(CuB)Cu(A B)=(C(/A)(CuB).A(C(M)=02.A(CuA)=U%A G B o A B=A,=A B=B.A 8 =A 8,A B=A B.二、一元二次函数及其图像1.一元二次函数的形式标准式：y=ax1+bx+cb 2 4 c-b2(2)配方式：y=a(x+2a)+4a17(3)零点式：y=a(x-x)(x-xi)，x i,X 2表示一元二次函数与x轴的两个交点.2.二次函数图象的性质二次函数/(x)=o r 2 +t)x+c(q *0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x=一旦,顶点坐标是(一A，%二 尤),y轴截距：2a 2a 4a(2)当。0时，抛物线开口向上，函数在(-8,-2上递减，在2a-上，+)上递增，当=-2_时，fm in(x)=4 a c b ;当2a 2a 4。0时，抛物线开口向下，函数在(-%一段4 上递增，在-*,+)上递减，当冗=-久 时，/ax(X)=2a 2a 4a(3)f(x)-ax+bx+c(a*0)=Z?4-ac O 二次函数 2 当 2 时,A/A图象与 X 轴有两个交点 M(X I,0),M2(X 2,0),M lM 2 1=1 I I -X 2|=.|a|三、指数与指数幕的运算1 .分数指数塞的运算性质(1)屋 炉=屋+s (0,r ,s/?)G18(2)(/=ars(a 0,r,s G R)(3)(ab)r-arb(a 0,b Q,r Re)(4)/I /t (a 0,r,s 昨2.指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数y=/(a 0且a*1)叫做指数函数图象a 10 a 1 (x0)6 TV=1(X 0)=1 (x 0)0)/=1 (x 0)=ax 1 (x0,那么加法：log。M+logo N=logfZ(MN)_M减法：loga M-logo N=loga-N数乘：n log M=log”M (R)ea吗N=Nlog o M=4 log M S 0,n/?*)ea,ablog/,N o,5.b换底公式：10gaN=(h 1)*log/7 a203.对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数 y=logx(。0 且 a主1)叫做对数函数图象a 10 a 0(X 1)logo x=Q (x 1)=logax 0(0 x 1)logo X 1)logo x=0(x 1)=log“x 0(0 x 0k 0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得 x +。或者 x +a=，x =a+yjb.注意：若 0 o方程有两个不相等的实根：x =心 工 竽 4”，2a(庐-4 ac 2 0 )=/(x)的图像与x轴有两个交点.2 4(2)A =0 o方程有两个相等的实根o/(x)的图像与x轴有一个交点.(3)A b c b b,b c a c.3.可加性：a ba+c bc,此法则又称为移项法则；同向可相加：a h,o d a +o b +d,a by c-d)=a-c b-d.4.可乘性：a h,c 0=ac be;a b,c ac b 0,cdO=acbd,a b 0,d c 0(1/c l/d 0)a/c b/d.5.乘、开方性：ab(On s N)o an bn 0,n/4 0.6.倒数性：a b,ab O a b-26二、含绝对值的不等式的解法不等式解集|x 0)x-a x a(a 0)ax+b|c(c 0)把ox+b看成一个整体，化成 x a(a 0)型不等式来求解三、一元二次不等式及其解法1.称一元二次不等式加+版+c 0(a 0)为标准型.任何ax2+bx+c 0(a 0(。0).可以利用二次函数的图像通过二次函数与二次不等式的联系从而得出任何一元二次不等式的解集.272.一元二次不等式的解法判别式A =Z)2-A acA0A=0A 0)的图象1 /JJc*0一元二次方程ax2+Zzr +c=0(t7 0)的根-byjb2-4ac2a（其中再x2）有两个相异实根bX.=x2=-2a有两个相等 实根无实根ax+Zzx 4-c 0(f 7 0)的解集x I X V再或X x22aRax1+Zzx +c 0)的解集x I Xj X 0。=1，,)，当n且仅当X l=X 2=工时=,等号成立.如果小b,c是正实数，那 +/?+么 i Ttbc,当且仅当a=b=c时取=”号.3“2+岳 N lab-,(2)ab 工(修蚱;(3292(4)-a +b 2(ab e R+)五、分式不等式分式不等式的解法一般通过移项整理成标准型.f(x)/(x)或 0=/(8)g(x)0g(x)29/(x)-0 o/(x)g(x)0g(x)/(x)N 0 o/(x)g(x)2 02一 g(x)g(x)*of(x)0的解集.31第六章数列一、数列的基本概念(1)数列：按照一定的次序排列起来的数.(2)项：数列中的每一个数;首项：排在第一位的数；一般形式写成a,a?,.an 简称为 斯 这里n是正整数.(3)常数列：各项都相等的数列.(4)数列的前n项的和(记做Sn)：对于数列 a”,显然有S n=+。2 +3 +；当=1 时，a=S；当 N 2 时，an=S n,即S/7 1 =1a=().S n-S n-(?2)二、等差数列L 等差数列的通项公式若 为等差数列，首 项 为 公 差 为 d,则=+(一 l)d ,即=他+(-q)d.2 .等差中项若 a、b、c成等差数列，则。是 a、c的等差中项，且 6=+23 .等差数列的性质及应用32(1)若加+=+q =2 w 则+an-cip+ciq=2aw(m,p,q、卬都是正整数)若m,p,n成等差数列，则atn,ap,an也成等差数列(m,n,p都是正整数)(3)an-am+(n -m)d(m,都是正整数)(4)若数列 成等差数列，则an=+pn q(p j q R)若数列 斯 成等差数列，则数列，斯+/?(方 力为常数)仍为等差数列(6)若 斯 和 瓦 均为等差数列，则 斯 士小也是等差数列4.等差数列的前项和公式 (1+斯)n(7 7 -1)5 二 na=(1n 2 1 25.等差数列前项和公式性质 等差数列中，依次Z(左之2,Ze N+)项之和仍然是等差数歹I J,即S k,S lk-S k,S 3 A -S 2k,S 4k-S 3k，成等差数列，且公差为k 2d.(2)等差数列 中，若 =九。n(tn=it),则如产 二0；若3 32d2Sn=m,S fn n m=)，则(+m n)+(3)若 斯 和 瓦 均为等差数列，前项和分别是S,和 7；,则有a S_ n 2-1b T n 2n-l6.等差数列前项和公式与函数的关系等差数列前项和公式S“=(_)na-1-d可以写成d 2 d d2Sn A”?Bn+.三、等比数列1 .等比数列的通项公式a=a q-l a=a qn-mnn 1 9 m 2 .等比中项如果三个数x,G,y组成等比数列，那么G 叫做x和 的等比中项,其中G?=孙，G =V-3 .等比数列的性质(1)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m,所得数列仍是等比数列，公比仍为公34(2)若 m+n=p+q,m,n,p,q e N+,则 aman=ap aq.的公比为4，(3)若等比数列。则 1_ 是以为公比的等比数a q列.若 斯 与。“均为等比数列，则 如 小 也为等比数列.4 .等比数列前项和通项公式设等比数列。”的前n项和为S,则Sn=a+。2 +.+an当?=1 时,S n-naa 1 -(2)当 q*-.L1 时，S=一 qa q、-q5 .等比数列前项和公式的性质等比数列中，连续m项的和(如Sm,S 2m Sm，S3加一 S 2m ,)仍组成等比数列(注意：公比公比为a 是公比不为1 的等比数列oS=A qn B+A B+0=.(2)(4()无穷等比数列 如 的公比为,，若卜L i,则该数列的各项和s=fn q.35四、递推公式如 与 斯+1或许-1的关系式称为递推公式，若已知数列的递推关系式及首项，可以写出其他项，因此递推公式是确定数列的一种重要方式，递推公式的常用思路：L列举法一般通过递推公式找到前几个元素数值的规律，来判断后面元素的数值.先列举前面若干项，寻找规律，一般是周期循环的规律.2.累加法对于形如an+-an+/()或 许+1-an-/()，称为类等差数列，可以写出若干项，然后将各项相加.3.累乘法a一+1对于形如斯+1=。/(=)或an/()，称为类等比数列，可以写出若干项，然后将各项相乘.4.构造数列将 某 部 分 看 成 一 个 新 数 列，新数列符合等差或等比数列，求出新数列后，再求原数列.若新数列满足氏+1 常数，则看成等差数列分析；b -(2)若新数列满足*1常数，则看成等比数列分析.尤其形36a=qan d形+式的数列，通过拆分常数，变成a向+c =q（Q c）+的形式，再构造等比数列求解.37第七章几何第一节平面几何一、三角形L三角形的性质(1)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即a-b c 12I I 2 2 2二、两点间距离公式设两点的坐标为P1 (孙 力)，P2(X 2,y 2)，点Pl和尸2之间的距离记为|尸1牛，则忸1#2 W(X2-A-1 )2忑 2 -y)2三、斜率公式(1)倾斜角：直线与X轴正方向所成的夹角，称为倾斜角，记 为a.要求,2 )(X I 土 X 2 且 y i *”)，则可得该直线的两点式方程为)V I-X-X 47截距式：已知x轴上的截距为a,y轴上的截距b,则可得该直线的截距式方程有 1.六、两条直线的位置关系一般式：A r+g y+C=O（A,B不全为零）两条直线的位置关系斜截式1 :y=k x b +h y=kix b2+一般式/j:a x+b y+ci=0，2：。2 x+匕2 y+C2=0平行k -ki 力 i bi*a b c1 二 1 件Q 2 bl C 2相交ki*k?a h1 +1a2 bi重合bki=ki,b 2=a b c1 =1 1=42 bl C 2垂直k k=1 2a a-L-=1=。2+b b2=0b bl 2注：若/1与/2的夹角为8,则t a n 8.,_ h1+M|II 2|到角公式：把直线/1逆时针方向旋转到与/2第一次重合时所转的角48为0,则 tan 0=2 .1+kk2七、两平行直线的距离两条平行直线八：Ar+B)，+。=0与/2：A x+B y+C z=0之间Q-Q|的距离为：d=VA2+B2八、对称问题1.关于点对称问题(1)点关于点对称点M(xo,yo)关于点P (a,b)的对称点是(2a-xo,2/?-yo).(由中点坐标公式得到).(2)线关于点对称已知 I 的方程为：Ar+By+C-O(A2+B2*0)和点 P(xo,yo),求/关于尸点的对称直线方程.设P(x,y)是对称直线/上任意一点，它关于P(xo,yo)的对称点(2xo-x,2 yo-y)在直线I上,代入得A(2 x o-x)+B(2 y o-y)+C=O .此直线即为所求对称直线.2.关于线对称问题(1)点关于线对称49已知点 M (x o ,y o ),直线/:Ar +By +C=0 (4 B*0),设点M关于直线的对称点为N (?,),则由ZMN Q =1得到一个关 于 的 方 程，又线段M N的中点在直线/上，得到另一个关于/,的方程，解方程级 司x o +ni y o +nA-+B +C0可求出点N (m,n).(2)线关于线对称平行直线的对称hill,因为/i与/关于/对称,由对称的性质易知Z i /h ,且/到/i与h的距离d与di相等.若/)的方程为ax+by+ci=0,I的方程为ax +c =0 ,则可设(2的方程为ax+by+C 2=0,根据距离相等得到/2的方程为：6+力+(2 c -c i )=0 .相交直线的对称法一：由4 1-P,可求出交点坐标.再找出八上任意一点(点P除50外）关于/对称的点的坐标（用点关于直线对称的方法），再根据两点式求出直线h的方程.法二：由对称性可知Z i到I的角与/到b的角相等，且/2过 八与/的交点P,由到角公式求出/2的斜率，再求出交点P的坐标后，可由点斜式求得直线h的方程.（3）圆关于线对称只需求出圆心关于直线的对称点，再由半径不变求出圆的方程.3.特殊的对称对称方式点、p(xo,yo)直线I:ax+by+c=0规律关于X轴对称p x,-y)0 0ll:ax-by+c=0将y换成-y关于y轴对称p(一%,y)0 0r:-ax+by+c=0将X换成-X51关于原点对称P(-X 0 )1 0 )r:ax+by-c=0将x换成-X,将y换成-y关于对称p (y,无)0 0r:a ybx+c=0将x与y交换关于y=-x对称p(-y o,-x o)r:ay+bx-c=0将X换成-y，将y换成-x九、圆的方程1.圆的标准方程当圆心为C（a,。），半径为r时，圆的标准方程为(X -1)2 +(y -1)2 =”.2.圆的一般方程x1+y2+Dx+Ey+F-Q 2+E2=D2+2-4F配 方 得x+y+-2 2 4/与V的系数相等；(2)D2+2-4 F 0 ；(3)圆心为C(-,半 径r2 2十、点与圆的位置关系52点 P(X p，力)，圆(x -X 0 )2 +(y -y o )2 =J ,将点代入圆的方程:/点在圆内M点在圆上/点在圆外十 一、直线与圆的位置关系1.几何判定法直线/:Ar +5 y +C =0 ,圆(x -。产+(y -2 =J的半径为圆心M(a,b)到直线I距离为d/A。+8 C加+丁直线/与圆M相交=d r.2.代数判定法Ar +By +C =0由 消元,(x-a)2 +(y -b)2=i2则(J)AO 直线与圆相交；=0直线与圆相切；得到一元二次方程的判别式，()十 二、。直线与圆相离.圆与圆的位置关系圆 C:(x -a)2+(y/?)2 =2的圆心。3 1,历)，半径r j；53圆C 2 ：(X -4 2)2+(y -岳)2=废2的圆心C 2 (。2/2)，半径1 1,两圆的圆心距离d=|C1 C2 I.圆Ci与圆C2相 交r i -F2|d ri+f 2，公共内切线2条，公共外切线2条.圆C 1内含在圆C 2内O 0 4 d 仁一门，公共内切线0条，公共外切线0条.十三、最值问题(1)求 才 二a的最值.设?二 一。=笈，转化为求定点(a,6)到动点(x,y)的斜率的范围.求ax+by的最值.设 a r +b y =c,即 y =+-X,转化为求动直线截距的最值.b b54(3)求(x-a)2+(y-b)2 的最值.设 d 2=(x-“)2+(y-b)2,&，=J(x-a)2+(y-by,转化为求定点(a,b)到动点(x,y)的距离的最值.(4)求圆上的点到直线距离的最值.求出圆心到直线的距离，再根据圆与直线的位置关系求解.一般是距离加半径或距离减半径是其最值.求两圆上的点的距离的最值.求出圆心距，再减半径或加半径即可.(6)转化为一元二次函数求最值.(7)与圆有关的最值问题，往往与切线或直径、半径有关.55第八章数据分析第一节计数原理、两个基本原理1.加法原理：做一件事，完成它有n类办法，每类办法中有机，种不同的方法,那么完成这件事共有N=机m+机+种不同的方法.1 2 n2.乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，每个步骤分别有/W 种不同的方法，那么完成这件事共有N=加 2 加 种不同的方法.二、排列与排列数公式1 .排列的定义从个不同元素中，任意取出根(4)个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2 .排列数公式()()()(-加)！Am=P1 1 n 2-n-m.A-+！=.全排列 A/=n(n l)(-n 2)-2 1 -=!(“!称为 n 的阶乘).56除此以外，还规定A*=1 ,0!=1.三、组合与组合数公式1.组合的定义从个不同元素中，任意取出加(mV )个元素并为一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.组合数公式=Anm=(w)(m +)=An!m m(n-m)排列是先组合再排列：Am=C,n-A,n=Cn-m n n n i n组合数性质：G/=G-四、二项式定理的概念(a+b)n=Cn a+Cna-b+C J an-rbr+C nnbn(n e N*)；这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+与”的二项展开式；它一共有”+1项，其中C J4-7/叫做二项展开式的通项.展开式中二项式系数的性质：(1)C朋=C L。+Cm-=C 1nnn+57 Gi+Cn=2五、七大基本方法(1)相邻元素打包捆绑法；不相邻元素插空法；相同元素隔板法;重复元素方累法；对号与不对号；穷举列举法；反面求解法(2)常用的元素分给对象归纳:n个元素m个对象每个对象非空对象可以空相同相同列举法分类+列举法相同不同隔板法，公式iwl，L1隔板法，公式C In+/n-l不同相同分堆法，注意消序分类+分堆法不同不同先分堆，再排序方累法(分房模型)，公式 产58例如：将6个球放入4个盒子:6个元素4个盒子每个盒子非空盒子可以空相同相同列举法：3,1,1,1或2,2,1,1共2种方法分类+列举法，(3,1,1,1),(2,2,1,1),(4,1,1,0),(3,2,1,0),(2,2,2,0),5,1,0,0),(4,2,0,0),(3,3,0,0),(6,0,0,0),共 9 种.相同不同隔板法，公式C64=膈板法，公式+IT=8不同相同分堆法：C3cl C1 C1 C2c2cl c13!+2!-2!=6 5分类+分堆法：（按上述数量来分堆，表达式较多，此处略）不同不同先分堆，再排序：6 5-4!=156 0方塞法（分房模型）：46第二节概率一、古典概型（1）随机试验E具有以下两个特征，称E为古典型试验.所涉及的随机事件只有有限个样本点（有限性），譬如n个.每个基本事件出现的可能性是相等的（等可能性），59(2)若有n个，则每个发生的概率为1/.(3)若样本空间有个样本点，事件A含有女个样本点，则事件A的概率为P(A)=事 件 A所 含 样 本 点 的 个 数 二k.Q 中 所 有 样 本 点 的 个 数n二、事件的关系及其运算(1)子事件(包含)：若事件A发生，必然导致事件5发生，即A u/?(2)并(和)事件：事件A和事件B至少有一个发生的事件.A B(3)交(积)事件：事件A和 B同时发生的事件.A B或 A 8.60(4)差事件：表示A 发生而8 不发生的事件.A-B(5)互不相容事件：A 事件与8 不能同时发生.A8=0(6)对立事件(或逆事件)：事件A 与 B 不能同时发生且必有一个发生，若 4 8 =1且 4 8 =0,则 P(B)=1P(A)事件的运算交换律：A B=B A;ABBA.结合律：(A B)C =A(B C);(A B)C=A(BC).61分配律：(A8)C=(AC)(BC);A(BQ=(A 3)(A O .德摩根律：AB=A B-A B=A B.对减法运算满足：A-B =A-A B =AB.事件之间的关系及运算与集合论中的几何之间的关系及运算完全相似，可以用文氏图帮助理解，特别要注意复杂事件的概率表述.三、随机事件的概率性质与公式性 质1：对于任意事件0 4P(A)4 1性质2：设有有限个两两互不相容的事件Ai,42A”，则P(A1 A2 A3 A”)=P(AI)P(+4)P(+A3)+P(+A.)公 式1(对立公式)：设A是A的对立事件，则P(A)=1-P(A).公式 2(减法公式)：P(A-3)=P(A)P-(A3)特别地，若A u s,P(B-A)=P(B)P-(A),P(A),则称事件A 和 B 是相互独立的.2.三个事件 若 A、B、C 三个事件同时满足：P(AB)=P(A)P(B、P(AC)=P(A)P(C),、P(BC)=P(B)p g称，事件A,8,C 两两独立.(2)若事件A,B,C 两两独立且P(ABC)=P(A)事)P(。,则事件A、B、C 相互独立.所以4,A2,A”相互独立n Ai,A2,A”两两独立，反之不一定成立.五、独立重复试验(1)重独立重复试验要点每次试验的结果只有A 与 A 两 个 一每次试验中P(A)=p,P(A)1=p-次试验之间相互独立(2)n次试验中恰好发生k 次的概率为Pn(k)=C (1-尸 g 0,1,).63第三节数据分析一、平均数与方差(1)平均数反映数据的中心位置，方差反映数据偏离中心位置的离散程度.(2)算术平均数(7)：总量与总体单位总数的比值，定义如下简单形式：1nX i i=l加权形式：=旦 丁Vi=l(3)几何平均数(&)：n (简单形式：X g=J，l以 不加权形式：4=f c J(4)方差与标准差方差简单形式：=-方差加权形式：C7 2 =一n=x X 2+我），+n其中方表示频数，Y f i=n.i=l=H1 M =J i X I-Xn-;”X r F I.其中亦表示短数，=1/=1n _2、-X）2i=i n；n2（无 -X）2-f ii=i n 雨6 4标准差：.二、统计图表1.频数分布直方图例如，下图反映某电脑公司销售量分布的直方图:要点：(1)频数：落在不同小组中的数据个数为该组的频数.各组的频数之和等于这组数据的总数.(2)频率：频数与数据总数的比，则各组频率之和为1.频率大小反映了各组频数在数据总数中所占的份额.(3)组数：把全体样本分成的组的个数称为组数.(4)组距：把所有数据分成若干个组，每个小组的两个端点间的距离.2.频率分布直方图例如，如下反映某班级身高分布的频率直方图：65149.5 153.5 157.5 161.5 165.5 169.5 身高/cm要点：频率=数据落在各组内的频率就是该组相应小矩形的面积,小矩形面积总和为1.3.饼图要点：反映每一块所占的比例，各块比例之和为1.4.数表数表就是一堆数字集合在一起，要从中能找出一般的规律，特别注意暗藏等差、等比数列.66第九章应用题一、利润问题利润利润=售价-进价;利润售价-进价进价 10 0%=-1 -100%售价售价=进价-(1+利润率尸进价+利润二、比、百分比、比例问题 变化率变化率=变化量 00%现值-原值I 100%=|M-I|-100%Wf f -H|O T I 注意 变化率包括增长率和下降率两个，所以上式用绝对值表示.增长率增长率p%(原值a)-现值a(l+p%)(3)下降率.下降率p%(原值a)现值a(l-p%)注意 一件商品先提价p%再降价p%,或者先降价 再提价p%,回不到原价，应该比原价小，因为：a(1 +/?%)(1-p%)=a(1 -/7%)(1+p%)a(4)恢复原值问题原值先降p%再增1 一才能恢复原值;或者先增/，再降671 +P%才能恢复原值比较 大 小 e甲一乙甲比乙大P%,=p0/o=甲 乙=(1 p%+)；乙甲是乙的=甲=乙%注意 甲比乙大P%羊乙比甲小0%(因为基准量不同)，甲比乙大P%=乙比甲小1 +(6)比例性质a c如果一=_,则ad=beb da=c a=a +c +e (b d+*。)b d f b+d+f总量与部分量邙量一 部 分 量心 对应占的比例三、路程问题1.路程s、速 度 八 时 间，之间的关系S Ss=vt,t ,V=V t2.直线型路程问题 相遇.6 8S 相遇=S i +S 2=VI/+V2t=(v i+V2 )t路程和/=_ _ _ _ _ _杷域速度和(2)追及问题S 追及=si -S 2 =v