确定圆的条件(解析版).pdf

2021年八年级数学 暑假作业翎课程无忧衔接（苏科版）考点13确定圆的条件【知识点梳理】确定圆的条件1 .经过一个已知点能作无数个圆2.经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段A B 的垂直平分线上；3 .不在同一直线上的三个点确定一个圆.4 .经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【新课程预习练无忧衔接】一、单选题1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】要确定圆的大小需知道其半径.根据三角形外接圆的圆心的确定方法知第块可确定半径的大小.【详解】解：第块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长.故选：A.【点睛】考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心.2.已知。0的半径为6cm，点P在。0上，则0尸的长为（）A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm【答案】C【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解.【详解】丁。的半径为6cm,点P在O O上，0P=6cm.故选：C.【点睛】考查了点与圆的位置关系：设。O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：点P在圆外Udr；点P在圆上ud=r；点P在圆内d，点在圆外，d=z，点在圆上，d 5,点 A 在。外，故选：A【点睛】考查的是点与圆的位置关系，掌握点与圆心的距离d 与圆的半径r 的关系：d r,点在圆外，d=r,点在圆上，点在圆内，是解题的关键.4.在A ABC中，/C=90。，AB=5,BC=4,以 A 为圆心，以 3 为半径画圆，则点C 与。A 的位置关系是（）A.在（DA外 B.在O A 上 C.在。A 内 D.不能确定【答案】B【分析】根据勾股定理求出A C的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可.【详解】解：由勾股定理得：A C 7 A B 2-B C?=g-4 2 =3,：AC=半径=3,.点C 与O A 的位置关系是：点 C 在。A 上，故选：B.【点睛】考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点 与 圆（圆的半径是r,点到圆心的距离是d）的位置关系有3 种：d=r时，点在圆上：d V r点在圆内；di点在圆外5.下列四个命题:等边三角形是中心对称图形；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；三角形有且只有一个外接圆；平分弦的直径垂直于弦；过三点有且只有一个圆.其中真命题的个数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】A【分析】根据中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定依次判断即可.【详解】等边三角形是中心对称图形不是中心对称图形，故错误：在圆中一条弦所对的圆周角有两个，则在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，故错误；三角形有且只有一个外接圆，故正确；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，故错误；故是真命题的是，故选：A.【点睛】考查真命题：正确的命题是真命题，正确掌握中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定是解此题的关键.6.如图，在等边 ABC中，A B=12,点。在 AB边上，AD=4,E 为 A C中点，尸为 A8C内一点，ELZBPD=9 0 ,则线段P E 的最小值为（）A.3 6-2B.4 7 3-2E.C.2/13-4D.4713-8【答案】C【分析】以8。为直径作。，连接0 E交。于点P,则0 E的长度最小，即E P最小，根据勾股定理即可求出答案.【详解】解：以 BD 为直径作。，连接0 E 交。于点P,则 0 E 的长度最小，即 EP最小，过点E作 EF LA B于点F,在RtA AEF中,NA=60,AE=6,.AF=3,EF=3 6在 RtA OEF 中，EF=3&,。尸=5,工OE=2屈,:.PE=2/13-4,即线段P E的最小值为2岳-4,故选：C.【点睛】考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出E P最小的情况是解题关键.7.已知心 ABC的外接圆。0,那么点。是487的（）A.三条中线交点 B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线交点【答案】C【分析】根据三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，即可求得.【详解】己知。0 是4 A B C的外接圆，那么点0 一定是 A B C的三边的垂直平分线的交点，故选：C.【点睛】考查三角形外接圆圆心的确定，属基础题.8.下列说法正确的是（）A.经过三个点一定可以作一个圆 B.圆中优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长C.圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧 D.任意一个三角形有且只有一个外接圆【答案】D【分析】根据优弧，劣弧的定义，”不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义，逐一判断选项，即可得到答案.【详解】经过不在同一条直线上的三点，一定可以作一个圆,.A错误,在同一个圆中，优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长，不同圆中，无法比较，；.B错误，当圆上两点的连线是直径时，两条弧都是半圆，C错误，任意一个三角形有且只有一个外接圆，D正确.故选D.【点睛】考查圆的相关概念，掌握优弧，劣弧的定义，”不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义9.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：连接A3和6C；在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B.C；以点。为圆心，OA为半径作00；分别作出A B和B C的垂直平分线，并且相交于点0 ；正确的操作步骤是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是 ABC的外接圆，从而可以解答本题.【详解】由题意可得，所求的圆形玻璃是 ABC的外接圆，这块玻璃镜的圆心是 ABC三边垂直平分线的交点，,正确的操作步骤是故选：B.【点睛】考查垂径定理的应用.1 0.下列语句中，正确的是A.同一平面上三点确定一个圆 B.菱形的四个顶点在同一个圆上C.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形的外心到三角形三边的距离相等【答案】C【分析】根据确定圆的条件，三角形的外心的定义，以及圆内接四边形的对角互补的性质对各选项分析判断后利用排除法.【详解】A选项：同一平面上三点必须不在同一直线上才可以确定一个圆，故选项A错误；B选项：菱形的对角相等，但不一定互补，所以四个顶点不一定在同一个圆上，故选项B错误；C选项：三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，是外心定义，故选项C正确；D选项：三角形的外心到三角形三个定点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故选项D错误；故选C.【点 睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，确定圆的条件，掌握三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，确定圆的条件是解题的关键.1 1.如图，若BC是RS A B C和RS。8c的公共斜边，则A、B、C、。在 以BC为直径的圆上，则叫它们“四 点 共 圆 如 图 ，A B C的 三 条 高A。、B E、CF相 交 于 点4,则图中“四点共圆 的组数为（）A.2B.3C.4D.6【答 案】D【分 析】根据两个直角三角形公共斜边时,四个顶点共圆，结合图形求解可得.【详 解】解：如图,以A为斜边的两个直角三角形，四 个 顶 点 共 圆（A、F、H、E）,以84为斜边的两个直角三角形，四 个 顶 点 共 圆（8、F、H、D）,以 C”为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、）,以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、。、B）,以 8 c 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（2、F、E、C）,以4 c 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C）,共 6 组.故选D.【点睛】考查四点共圆的判断方法.解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.1 2.下列四个命题中，正确的个数有（）圆的对称轴是直径所在的直线；经过三点可以确定一个圆；弦长相等，则弦所对的弦心距也相等；平分弦的直径垂直于弦；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】B【分析】根据对称轴的概念、过三点的圆、弧、弦、圆心角的关系定理、三角形的外心的概念、垂径定理判断即可.【详解】解：圆的对称轴是直径所在的直线，正确；经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，错误；在同圆或等圆中弦长相等，则弦所对的弦心距也相等，错误；平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确；故选B.【点睛】考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.二、填空题1 3 .如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使 点A的 坐 标 为（-3,2）,则该圆弧所在圆心坐标是【答 案】（-2,-1）【分 析】根据外心的定义作图即可.【详 解】如图：分 别 作AC与48的垂直平分线，相 交 于 点0,则 点。即是该圆弧所在圆的圆心.:点A的 坐 标 为（-3,2）,.点。的 坐 标 为（-2,-1）.【点 睛】考查了三角形外心，熟练掌握外心的定义，准确求作线段的垂直平分线是解题的关键.1 4 .如 图，点A,B,C均 在6 x 6的正方形网格格点上，过A,B,C三点的外接圆除经过A,B,C三点外还 能 经 过 的 格 点 数 为.【答案】5 个【分析】连接AB、B C,然后分别作AC、A B的垂直平分线，进而可作 ABC的外接圆，然后根据图形可求解.【详解】如解图，连接A 3、B C,先作A C，A B 边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心0，再以。4为半径作圆.格点与圆相交的有8 个 点.除 A，B，C 三 点外，还有5 个点.故答案为5 个.【点睛】考查圆的作图，熟练掌握圆的尺规作图是解题的关键.1 5.如图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点A 的坐标为（0,7）,点 8 的坐标为（0,3）,点 C 的坐标为（3,0）,那么 ABC的 外 接 圆 的 圆 心 坐 标 为.【答案】（5,5）【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案.【详 解】V B(0,3),C(3,0),；在网格中，BC可 以 看 作 边 长 为3的正方形的对角线，根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分 别 作 出AB、BC的垂直平分线，交 于 点E,则 点E即为外接圆的圆心，如图所示，二 点E纵 坐 标 为5,.由图可得，E(5,5).故答案为：(5,5).【点 睛】考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键.1 6.如 图1是一扇旋转门，它由一个圆柱形空间的三片旋转翼组成，三片旋转翼将圆柱形空间等分为三个扇形空间，AB与CD处为出入口，在旋转过程中，当某一片旋转翼的一端与点B重合时，另两片中的一片旋 转 翼 的 一 端 与 点D重 合；继续旋转，当某一片旋转翼的一端与点A重合时，另两片中的一片旋转翼的一端 则 与 点C重 合。图2是从顶部俯视的示意图，点。为圆心，若 圆O的 直 径 为3米，且旋转门出入口的宽度相等，则该旋转门出入口的宽度为 米.图1图2【答案】1.5【分析】连结0A,易得 AOB是等边三角形，根据直径为3米可得A B=O B=I.5米.【详解】解：连结0 A,由题意得：Z A O B=-Z B O D=6 0 ,2.A O B 是等边三角形，/.A B=O B=1.5 米，故答案为：1 5【点睛】考查了圆的基本性质以及等边三角形的判定和性质，正确理解题意得出NAOB=NBOD是解题2关键.三、解答题1 7.如图，在平面直角坐标系中，尸是第三象限内一点.（1）尺规作图：请在图中作出经过。、P两点且圆心在x 轴的。M；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若点P的坐标为(-6,-3),点。是。M上的点，且N P M Q=9 0。,则点。的坐标为【答案】(I)见解析；(2)(-27,二9)或(-33，-9-)4 4 4 4【分析】(1)连接0 P,作线段0 P的垂直平分线交x轴于M,以M为圆心，0M为半径作。M即可.(2)分两种情形：当的Q在第二象限时，过点。作Q E L x轴于E,过点P作P F L x轴于F.证明 QEM/XMFP(AAS),推出Q E=F A f,E M=P凡 设O M=M P=x,构建方程求出x,可得结论，当点Q 在x轴下方时，同法可求.【详解】解：(1)如图，0M即为所求作.(2)当的Q在第二象限时，过点Q作轴于E,过点尸作尸P _L x轴于F.Z M E Q=N P F M=N P M 2=9 0,/.ZEMQ+ZPMF=90,ZPMF+Z FPM=90,：.Z E M Q=ZFPM,综上所述，满足条件的点Q的坐标为在4。加 和 MFP中，ZEMQ=NFPM4 43 9当点。在x轴的下方时，同理可得：。,-),4 427 9,.(3 ,一 9)4 4 4 42).4【点睛】考查作图-复杂作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.1 8.如图，已知P是。外一点.用两种不同的方法过点P作。的一条切线.要求：(1)用直尺和圆规作图；27 9 3故答案为：(一 彳，丁或(V(2)保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.o【答案】答案见解析.【分析】方法一：作 出。P 的垂Fi平分线，交 0 P 于点A,再以点4 为圆心，外 长 为半径画弧，交0 0 于点Q,连结尸Q,P Q 即为所求.方法二：作出以0 P 为底边的等腰三角形B P 0,再作出/0 8 尸的角平分线交0 P 于点4再以点4 为圆心，雨 长为半径画弧，交于点。，连结P。，P Q 即为所求.【详解】（方法1）作法：连结P 0,分别以P、。为圆心，大于3 P o 的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交P。于点A；以点4 为圆心，孙 长 为半径画弧，交于点Q,连结P。，即为所求.B（方法2）作法：连结P。，分别以P、。为圆心，以大于g P。的长度为半径画弧交P 0上方于点8,连结8P、BO-,以点8为圆心，任意长为半径画弧交B P、B。于C、。两点，分别以于C、O两点为圆心，大于g C O的长度为半径画弧交于一点，连结该点与B点，并将其反向延长交P Q于点A,以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点。，连结尸Q,P Q即为所求.【点睛】考查了作图复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点.复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图.解题的关健是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.1 9.如 图1,已知AABC是等边三角形，点E在线段A3上，点。在直线3 c上，且 E D =E C，将ABCE绕点C顺时针旋转60 至AA C E,连 接 族.（1）证明：A B=D B+A F.（2）如图2,如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB，D B，A尸之间又有怎样的数量关系？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）A B=D B-A F,见解析【分析】(1)首先判断出 CEF是等边三角形，即可判断出7三EC,再根据E=EC,可得ED=EF,NCAF=NBAC=60,所以NEAF=N8AC+NC4F=120。，ZDBE=12O,NEAF=NDBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出 EDB注 A F E A,即可判断出 8=AE,AB=AE+BF,所以 AB=O8+AF.(2)首先判断出 CEF是等边三角形，即可判断出7三EC,再根据E=EC,可得ED=EF,NCAF=NBAC=60,所以NEFC=NFGC+NFCG,ZBAC=ZFGC+ZFEA,ZFCG=ZFEA,再根据NFCG=NEAO,ZD=ZEAD,可得NZ)=NFE4；然后根据全等三角形判定的方法，判断出 EOB也 即 可 判 断 出 BZ)=AE,EB=AF,进而判断出AB=BD-AF即可.【详解】(1)证明：ABCE绕点C 顺时针旋转60。至A ACF,NEC尸 =60,ZBCA=60,BE=AF,EC=CF,.CE尸是等边三角形，：.EF=EC,NCEF=60。,又；ED=EC,：.ED=EF,.ABC是等边三角形，ZBCA=60,，NCAF=NCBA=60。,./E4F=NBAC+/C4F=120。，ZDB=120,NEAF=NDBE,：ZCAFZCEF=60,.”、E、C 尸四点共圆，NAEF=NACF,又：ED=EC,:/D=/B C E,NBCE=/ACF,工 ND=NAEF,在 EDB和 FEA中，ZD BE=ZEAF ZD =ZAEF,ED=EF：./ED B/FEA(A4S),：.DB=AEf BE=AF,t：AB=AE+BE,：.AB=DB+AF；(2)AB=BD-AF；延长E/、CA交于点G,/XBCE绕点C顺时针旋转60。至4 ACT,/.ZECF=60,BE=AF,EC=CF,CE/是等边三角形，:.EF=EC,又；ED=EC,：.ED=EFf/EFC=NBAC=6U。,ZEFC=ZFGC+ZFCG,NBAC=NFGC+NFEA,：.NFCG=NFEA,又,:NFCG=NECD,ZD=ZECD,：./。=/旧，由旋转的性质，可得NC8=NCAF=120。，?.NDBE=NFAE=6Q,在4比3 8和4 FEA中，NDBE=NEAF8段尸EA(AAS),：.BDAE,EB=AF,：.BD=FA+AB,g|J AB=BD-AF.【点睛】考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质的应用，解决本题的关键是利用数形结合，作出辅助线，证明三角形全等.2 0.如图：AA S C 内接于圆，请用尺规作图(保留作图痕迹)图1图2（1）在 图1中作出AABC外接圆的圆心.（2）在图2中画出一个圆周角使得所作角度数为乙4c B的两倍.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）分别作A 8的垂直平分线与A C的垂直平分线，交点。为圆心；（2）连接8 0,再过点A作B。的垂线，交。于点力，连接C Q,则 即 为 所 求.【详解】解：（1）如图，点。即为所作；I图1图2【点睛】考查作图-复杂作图，确定圆心，垂径定理,.